méthode rectangles et trapèzes

TD
Calcul intégral : méthode des rectangles et des trapèzes
On considère la fonction définie , sur
par ( )
.
On ne sait pas , en Terminale S , calculer une primitive de
est continue et positive sur .
.
On souhaite calculer une valeur approchée de l’intégrale ( )
I.
∫
( )
pour
Méthode des rectangles
On divise l’intervalle [0 ; ] en
intervalles de même amplitude
1. On appelle « aire inférieure » l’aire des rectangles situés sous la courbe :
a. Déterminer en fonction de et de la largeur et la longueur des rectangles « inférieurs »
b. Expliquer pourquoi l’aire inférieure est égale à :
∑
( )
2. On appelle « aire supérieure » l’aire des rectangles situés au-dessus de la courbe :
3. De même , exprimer à l’aide d’une somme l’aire supérieure notée .
4. On donne l’algorithme suivant :
Saisir
Saisir
a. Compléter l’algorithme suivant pour que:
 Dans la variable G soit calculée l’aire
inférieure
 Dans la variable D soit calculée l’aire
supérieure
Pour
b. Programmer cet algorithme à l’aide de
votre calculatrice et le tester pour


Variables :
Entrée :
Traitement :
allant de
à
……………………
FinPour
Sortie :
Afficher
Afficher
TS
Aide à la programmation
Pour utiliser une fonction dans un programme
Casio graph 35
Dans le menu GRAPH : écrire la fonction en Y1
TI 82
Dans le menu ( ) : écrire la fonction en Y1
Dans le menu PGRM :
Taper Y1(A) si l’on veut calculer l’image de A par la
fonction
Dans le menu PGRM :
Taper Y1(A) si l’on veut calculer l’image de A par la
fonction
Pour trouver la lettre Y1 :
Pour trouver la lettre Y1 :
Touche VARS puis choisir GRPH , Yn et taper 1
II.
Méthode des trapèzes avec le logiciel Geogebra
1. Principe
Ci-contre la représentation graphique de la fonction
, notée
On partage l’intervalle [0 ;1] en deux intervalles
d’amplitude 0,5 et on construit :
 Les points A , I et B de la courbe
d’abscisses 0 ; 0,5 et 1
 Les trapèzes OAIH et HIBK
En utilisant les trapèzes OAIH et HIBK , déterminer
une valeur approchée de ∫ ( )
2. Pour augmenter la précision de cette valeur approchée , on partage l’intervalle [0 ;1] en
forme [
pour
variant de
a. Construire à l’aide du logiciel Geogebra la courbe représentative de
b.
c.
d.
e.
intervalles de la
: ( )
Créer un curseu r variant de 1 à 100
Entrer dans le champ de saisie : SommeTrapèzes[f,0,1,n]
Combien faut-il de trapèzes pour que l’aire de cette somme soit environ égale à 3,14 à 0,01 près ?
En utilisant la fonctionnalité SommeInférieure[…] de Geogebra , déterminer le nombre de « rectangles
inférieurs » qu’il faut utiliser pour obtenir la même valeur approchée.
3. Expliquer pourquoi la somme des aires des trapèzes de largeur est égale à
∑
4. En utilisant le logiciel Geogebra , déterminer une valeur approchée de cette somme
5. Compléter l’algorithme précédent pour qu’il affiche une valeur approchée de ∫
trapèzes et le programmer sur votre calculatrice .
( )
(
( )
(
)
)
pour
par la méthode des