MATHS ECS

VUIBERT
MATHS
ECS•2
e
année
MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
SOMMAIRE
1. Rappels de calculs algébriques – 2. Compléments d’algèbre – 3. Réduction des
endomorphismes – 4. Algèbre bilinéaire – 5. Intégrales impropres – 6. Fonctions de
plusieurs variables (1) – 7. Séries et compléments de probabilités – 8. Couples et
vecteurs aléatoires – 9. Endomorphismes symétriques – 10. Fonctions de plusieurs
variables (2) – 11. Extrema sur un fermé borné et extrema sous contrainte –
12. Convergences – 13. Estimateurs, estimations
En ligne :
• Annexes : A. Lois usuelles – B. Scilab
• Exercices complémentaires
Les auteurs :
Jean-Philippe Cortier est professeur de chaire supérieure de mathématiques.
François Delaplace est professeur en classes préparatoires économiques et commerciales
au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.
Fabrice Fortain dit Fortin est professeur en classes préparatoires économiques et commer-
ciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.
Marguerite Rossillon est professeur de mathématiques à ParisTech Shanghaï Jiao Tong.
ISBN : 978-2-311-40285-8
www. .fr
Des ouvrages pour faire la différence :
– des synthèses de cours et de méthode pour acquérir les connaissances indispensables
et réviser efficacement,
– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation
d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes de synthèse,
– en ligne (www.vuibert.fr, à la page du livre) : des annexes pour maîtriser la simulation sur Scilab
et des exercices complémentaires.
MATHS ECS
2e année
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ECS• 2e année
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Table des matières
Retrouvez sur le site www.vuibert.fr,
à la page du livre, des annexes (Lois usuelles et Scilab),
des contenus numériques ainsi que des exercices complémentaires.
Chapitre 1. Rappel de calculs algébriques ............................... 1
1. Calcul matriciel 1 – 2. Sommes et produits 2 – 3. Séries 3 – 4. Limites 4 – 5. Calcul intégral 5 –
6. Représentations graphique de fonctions 7 – Exercices 9 – 1. Calcul matriciel 9 – 2. Sommes
et produits et séries 11 – 3. Séries 11 – 4. Limites 12 – 5. Calcul intégral 13 – 6. Représentations
graphiques de fonctions 15 –Corrigés 16
Chapitre 2. Compléments d’algèbre ................................... 43
Exercices 45 – 1. Trace d’une matrice, d’un endomorphisme 45 – 2. Sous-espaces stables 47
– 3. Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes 48 – 4. Caractérisation des endomor-
phismes, des matrices diagonalisables 49 – 5. Matrices stochastiques 50 –Corrigés 52
Chapitre 3. Réduction des endomorphismes .............................. 65
1. Éléments propres et réduction d’un endomorphisme 65 – 2. Éléments propres et réduction
des matrices 66 –Exercices 68 –Corrigés 73
Chapitre 4. Algèbre bilinéaire ....................................... 85
1. Produit scalaire-Espace euclidien 85 – 2. Orthogonalité 86 – 3. Espace euclidien 87 –
Exercices 89 –Corrigés 94
Chapitre 5. Intégrales impropres ..................................... 105
Exercices 107 –Corrigés 112
Chapitre 6. Fonctions de plusieurs variables (1) ............................131
1. Fonction de plusieurs variables 131 – 2. Dérivées partielles en un point et gradient 132 –
Exercices 134 –Corrigés 138
Chapitre 7. Séries et compléments de probabilités ......................... 151
1. Séries absolument convergentes 151 – 2. Variables à densité 153 – Exercices 155 – Corri-
gés 161
Chapitre 8. Couples et vecteurs aléatoires ............................... 181
1. Couples aléatoires 181 – 2. Couples de variables à densité 183 – 3. Vecteurs aléatoires 183 –
Exercices 185 –Corrigés 188
Chapitre 9. Endomorphismes symétriques ............................... 199
1. Espace vectoriel euclidien 199 – 2. Endomorphismes symétriques 200 – Exercices 201 –
Corrigés 205
Chapitre 10. Fonctions de plusieurs variables (2) ........................... 215
1. Dérivées partielles d’ordre 2 215 – 2. Développement limité d’ordre 2 216 – 3. Extrema des
fonctions de classe C2217 –Exercices 218 –Corrigés 222
III

Table des matières
Chapitre 11. Extrema sur un fermé borné et extrema sous contrainte ............ 249
1. Extrema sur un fermé borné 249 – 2. Extremum sous contrainte 249 – 3. Extremum sous
contraintes linéaires 249 –Exercices 251 –Corrigés 253
Chapitre 12. Convergences ......................................... 267
1. Convergence en probabilité (compléments) 267 – 2. Convergence en loi (compléments) 267
–Exercices 269 –Corrigés 272
Chapitre 13. Estimateurs, estimations .................................. 281
1. Estimateurs et estimations 281 – 2. Suites d’estimateurs 282 – Exercices 283 – Corri-
gés 288
IV

MÉTHODE
6
Chapitre
Fonctions de plusieurs
variables (1)
Dans tout ce chapitre, l’espace vectoriel Rn est muni du produit scalaire canonique. On
rappelle que pour ce produit scalaire, la base canonique (e1,e2,...,en)est orthonormée.
1. Fonction de plusieurs variables
Définition 6.1. Fonctions partielles et lignes de niveaux
• Soit f une fonction définie sur une partie E de Rn . Pour tout entier
k∈¹1,nº,fk:xk7−→ f(x1,x2,...,xn)est appelée la k-ième fonction partielle.
• On appelle lignes de niveaux de la fonction fles ensembles des points
x =
(x1,x2,...,xn)
de E pour lesquelles f ( x )est constante. Concrètement, la ligne
Lkde niveau kest définie par : Lk=x∈E/f(x) = k
Î
Chemins sur un graphe
Scilab : on pourra être amené à représenter graphiquement des chemins sur les surfaces
représentatives des fonctions de deux variables.
Définition 6.2.
Soit f une fonction définie sur Rn . On considère les applications u1,u2,...,un conti-
nues sur un intervalle I de R telles que, pour tout réel t∈I ,( u1 ( t ) ,u2 ( t ) ,...,
un ( t )) ∈ Ω. L’application γ qui à t∈I associe le couple
(u1(t),u2(t),...,un(t))
est ap-
pelé un chemin sur la surface représentative de f . La restriction de f à γ , notée fγ est
une fonction d’une variable réelle définie sur I.
fγ:t7−→ fγ(t) = f(u1(t),u2(t),...,un(t)).
Î
Continuité
• Les projecteurs Pk:(x1,x2,...,xn)7−→xksont des fonctions continues sur Rn.
• Les fonctions polynômes sont continues sur Rn.
131