MATHS ECS

MATHS
ECS•2e année
MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
Des ouvrages pour faire la différence :
– des synthèses de cours et de méthode pour acquérir les connaissances indispensables
et réviser efficacement,
– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation
d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes de synthèse,
– en ligne (www.vuibert.fr, à la page du livre) : des annexes pour maîtriser la simulation sur Scilab
et des exercices complémentaires.
MÉTHODES
EXERCICES
PROBLÈMES
2e année
VUIBERT
VUIBERT
MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
MATHS
ECS 2 année
• e
1. Rappels de calculs algébriques – 2. Compléments d’algèbre – 3. Réduction des
endomorphismes – 4. Algèbre bilinéaire – 5. Intégrales impropres – 6. Fonctions de
plusieurs variables (1) – 7. Séries et compléments de probabilités – 8. Couples et
vecteurs aléatoires – 9. Endomorphismes symétriques – 10. Fonctions de plusieurs
variables (2) – 11. Extrema sur un fermé borné et extrema sous contrainte –
12. Convergences – 13. Estimateurs, estimations
En ligne :
• Annexes : A. Lois usuelles – B. Scilab
• Exercices complémentaires
Les auteurs :
Jean-Philippe Cortier est professeur de chaire supérieure de mathématiques.
François Delaplace est professeur en classes préparatoires économiques et commerciales
au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.
Fabrice Fortain dit Fortin est professeur en classes préparatoires économiques et commerciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.
Marguerite Rossillon est professeur de mathématiques à ParisTech Shanghaï Jiao Tong.
MATHS ECS
SOMMAIRE
To
prog ut le
ramm
e
➔ Rappels de cours
➔ Conseils de méthode
➔ Exercices guidés
➔ Exercices d’approfondissement
➔ Problèmes de synthèse
➔ Tous les corrigés détaillés
J.-P. Cortier
F. Delaplace
F. Fortain
M. Rossillon
ISBN : 978-2-311-40285-8
www.
Maths-ECS-2eAnnee-9782311402858.indd Toutes les pages
.fr
18/08/15 09:44
Table des matières
Retrouvez sur le site www.vuibert.fr,
à la page du livre, des annexes (Lois usuelles et Scilab),
des contenus numériques ainsi que des exercices complémentaires.
Chapitre 1. Rappel de calculs algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1. Calcul matriciel 1 – 2. Sommes et produits 2 – 3. Séries 3 – 4. Limites 4 – 5. Calcul intégral 5 –
6. Représentations graphique de fonctions 7 – Exercices 9 – 1. Calcul matriciel 9 – 2. Sommes
et produits et séries 11 – 3. Séries 11 – 4. Limites 12 – 5. Calcul intégral 13 – 6. Représentations
graphiques de fonctions 15 – Corrigés 16
Chapitre 2. Compléments d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Exercices 45 – 1. Trace d’une matrice, d’un endomorphisme 45 – 2. Sous-espaces stables 47
– 3. Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes 48 – 4. Caractérisation des endomorphismes, des matrices diagonalisables 49 – 5. Matrices stochastiques 50 – Corrigés 52
Chapitre 3. Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
1. Éléments propres et réduction d’un endomorphisme 65 – 2. Éléments propres et réduction
des matrices 66 – Exercices 68 – Corrigés 73
Chapitre 4. Algèbre bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
1. Produit scalaire-Espace euclidien 85 – 2. Orthogonalité 86 – 3. Espace euclidien 87 –
Exercices 89 – Corrigés 94
Chapitre 5. Intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Exercices 107 – Corrigés 112
Chapitre 6. Fonctions de plusieurs variables (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
1. Fonction de plusieurs variables 131 – 2. Dérivées partielles en un point et gradient 132 –
Exercices 134 – Corrigés 138
Chapitre 7. Séries et compléments de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
1. Séries absolument convergentes 151 – 2. Variables à densité 153 – Exercices 155 – Corrigés 161
Chapitre 8. Couples et vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
1. Couples aléatoires 181 – 2. Couples de variables à densité 183 – 3. Vecteurs aléatoires 183 –
Exercices 185 – Corrigés 188
Chapitre 9. Endomorphismes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
1. Espace vectoriel euclidien 199 – 2. Endomorphismes symétriques 200 – Exercices 201 –
Corrigés 205
Chapitre 10. Fonctions de plusieurs variables (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
1. Dérivées partielles d’ordre 2 215 – 2. Développement limité d’ordre 2 216 – 3. Extrema des
fonctions de classe C 2 217 – Exercices 218 – Corrigés 222
III
Table des matières
Chapitre 11. Extrema sur un fermé borné et extrema sous contrainte . . . . . . . . . . . . 249
1. Extrema sur un fermé borné 249 – 2. Extremum sous contrainte 249 – 3. Extremum sous
contraintes linéaires 249 – Exercices 251 – Corrigés 253
Chapitre 12. Convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
1. Convergence en probabilité (compléments) 267 – 2. Convergence en loi (compléments) 267
– Exercices 269 – Corrigés 272
Chapitre 13. Estimateurs, estimations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
1. Estimateurs et estimations 281 – 2. Suites d’estimateurs 282 – Exercices 283 – Corrigés 288
IV
1.
Fonction de plusieurs variables
Définition 6.1. Fonctions partielles et lignes de niveaux
• Soit f une fonction définie sur une partie E de Rn . Pour tout entier
k ∈ ¹1, n º, f k : x k 7−→ f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) est appelée la k -ième fonction partielle.
• On appelle lignes de niveaux de la fonction f les ensembles des points
x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) de E pour lesquelles f (x ) est constante. Concrètement, la ligne
L k de niveau k est définie par : L k = x ∈ E / f (x ) = k
Î
Chemins sur un graphe
Scilab : on pourra être amené à représenter graphiquement des chemins sur les surfaces
représentatives des fonctions de deux variables.
Définition 6.2.
Soit f une fonction définie sur Rn . On considère les applications u 1 , u 2 , . . . , u n continues sur un intervalle I de R telles que, pour tout réel t ∈ I , (u 1 (t ), u 2 (t ), . . . ,
u n (t )) ∈ Ω. L’application γ qui à t ∈ I associe le couple (u 1 (t ), u 2 (t ), . . . , u n (t )) est appelé un chemin sur la surface représentative de f . La restriction de f à γ, notée f γ est
une fonction d’une variable réelle définie sur I .
f γ : t 7−→ f γ (t ) = f (u 1 (t ), u 2 (t ), . . . , u n (t )).
Î
Continuité
• Les projecteurs Pk : (x 1 , x 2 , . . . , x n ) 7−→ x k sont des fonctions continues sur Rn .
• Les fonctions polynômes sont continues sur Rn .
131
E
Dans tout ce chapitre, l’espace vectoriel Rn est muni du produit scalaire canonique. On
rappelle que pour ce produit scalaire, la base canonique (e 1 , e 2 , . . . , e n ) est orthonormée.
D
Fonctions de plusieurs
variables (1)
O
H
ÉT
M
6
Chapitre
Mathématiques ECS 2e année
Î
Opérations sur les fonctions continues
• Toute combinaison linéaire de fonctions continues sur Rn est une fonction continue
sur Rn .
• Le produit de deux fonctions continues sur Rn est continu sur Rn .
• L’inverse d’une fonction continue et ne s’annulant pas sur Rn est continu sur Rn .
• Si f est une fonction continue sur Rn à valeurs dans un intervalle I et si g est continue
sur I à valeurs dans R, alors g ◦ f est continue sur Rn .
2.
Dérivées partielles en un point et gradient
Soit f une fonction définie sur Rn ; on dit que f admet une dérivée partielle par rapport à
x k en a si la fonction de la variable réelle h définie par :
h 7→
f (a + he k ) − f (a )
h
a une limite lorsque h tend vers 0. Cette limite se note habituellement ∂k f (a ) ou parfois f k0 (a ).
Soit f une fonction ayant des dérivées partielles premières en un point a ; on appelle gradient
de f en a , le vecteur ∇ f (a ) = ∂1 f (a ) , ∂2 f (a ) , . . . , ∂n f (a ) de Rn .
Définition 6.3. Fonction de classe C 1 sur Rn
Une fonction f définie sur Rn est de classe C 1 sur Rn si elle admet des dérivées
partielles continues sur Rn . Si f est de classe C 1 sur Rn alors f est continue sur Rn .
Î
Développement limité d’ordre 1
Soit f une fonction de classe C 1 sur Rn et soit a un élément de Rn . Alors f possède au
voisinage de a un développement limité d’ordre 1, s’il existe une fonction " définie au voisinage
−
→
de 0 et si pour tout h ∈ R2
f (a + h) = f (a ) + ∇ f (a ) , h + khk "(h)
−
→
−
→
où " 0 = 0, " continue en 0 .
Î
Point critique
Soit f une fonction de classe C 1 sur Rn ; on dit qu’un point a est un point critique de f
si son gradient en a est nul, c’est-à-dire, si les dérivées partielles premières de f en a sont
nulles :
a point critique de f ⇔ ∇ f (a ) = 0
Définition 6.4. Dérivée directionnelle
Soit f une fonction définie sur un ouvert Ω de Rn et u un vecteur unitaire ; on appelle
nombre dérivée dans la direction du vecteur u de f en a = (a 1 , a 2 , . . . , a n ) et on note
f u0 (a ), le nombre, s’il existe
f (a + hu ) − f (a )
lim
.
h→0
h
0
On a : f u (a ) = ∇ f (a ) , u .
132
Soit f une fonction définie sur Rn ; on dit que f présente un extremum local en un
point a de Rn si f (a ) est un maximum (ou un minimum) local, c’est-à-dire si :
∃r > 0
∀ x ∈ B (a , r ) ,
f (x ) ≤ f (a )
ou f (x ) ≥ f (a ) .
On dit que f présente un extremum global en (a ,b ) si f (a ,b ) est un maximum (ou un
minimum), c’est-à-dire si : ∀ x ∈ Rn , f (x ) ≤ f (a )
ou f (x ) ≥ f (a ) .
Î
Condition nécessaire d’extremum local. Point col ou point selle
Soit f une fonction de classe C 1 sur Rn ; si f admet un extremum local en a ∈ Ω alors a est
un point critique de f .
Par contraposition on en déduit que si un point a de Rn n’est pas un point critique, alors
f (a ) n’est pas un extremum. Un point critique a pour lequel f (a ) n’est pas un extremum est
appelé un point col ou un point selle.
133
E
Définitions 6.5. Extrema locaux, extrema globaux
D
O
H
ÉT
M
Chapitre 6 – Fonctions de plusieurs variables (1)
Exercices
Fonctions de plusieurs variables (1)
Méthode Scilab
Pour représenter des fonctions implicites f x , y = k , pour (x , y ) ∈ [a , b ] 2 on peut
utiliser la syntaxe suivante :
clf ();
deff ( ’ z = f (x , y ) ’ , ’ z =... ’)
x = a :0.1: b ; y = x ;
contour (x ,y ,f ,[ c ; k ] , flag =[2 ,0 ,4])
La valeur de c doit être une valeur pour laquelle l’équation f x , y = c n’a pas de
solution.
Dans flag=[2,0,4], la valeur 2 est impérative ; les autres sont arbitraires.
Modifier les paramètres des axes dans Édition > Propriétés des axes.
Exercices guidés
Exercice A Représentation graphique d’ensembles de points du plan (10 min.)
Représenter graphiquement les ensembles de points du plan définies par
1) A = x , y ∈ R2 /2|x | − |y | = 1
2) B = x , y ∈ R2 /x ≥ 0, y ≥ 0, 2x − 3y + 1 = 0
En déduire graphiquement l’ensemble
¦
©
B + = x , y ∈ R2 /x ≥ 0, y ≥ 0, 2x − 3y + 1 ≥ 0 .
Exercice B Dérivées partielles (5 min.)
Effectuer les instructions suivantes :
function v = F ( u )
v =( u (1) -2* u (2))./(4+ u (1).^2 - u (2). ^2).^(1/ 2) // on peut aussi utiliser sqrt ( ... )
endfunction
u =[1; -1]
grad = numderivative (F , u )
disp ([ u ’; grad ])
Qu’est-ce qui est affiché sur la console ? À quoi sert ce programme ?
Exercice C Représentations graphiques utilisant Scilab (10 min.)
1) Recopier le programme suivant et l’exécuter
134
Chapitre 6 – Fonctions de plusieurs variables (1)
clear ; clf ();
deff ( ’ z = f (x , y ) ’ , ’ z = x .^2 - y .^2 ’)
x = -1.5:0.1:1.5 ; y = x ;
// Repr é sentation des plans z =0 , z =1 et z = -1
t = -1.5:0.1:1.5;
x0 = t ; y0 = t ;
z0 = zeros ( length ( t ) , length ( t )); z1 = z0 +1 ; z2 = z0 -1;
plot3d ( x0 , y0 , z0 )
e = gce () // Propri é t é s graphique du plan z =0
e . color_mode =5 // couleur du plan : rouge
e . hiddencolor =5
plot3d ( x0 , y0 , z1 )
e = gce () // Propri é t é s graphique du plan z =1
e . color_mode =7 // couleur du plan jaune
e . hiddencolor =7
plot3d ( x0 , y0 , z2 )
e = gce () // Propri é t é s graphique du plan z = -1
e . color_mode =12 // Couleur du plan : bleu azur
e . hiddencolor =12
// Repr é sentation graphique de la fonction f
fplot3d (x ,y , f )
e = gce () // Propri é t é s graphiques de la surface repr é sentative de f
e . color_mode =3 // couleur de la surface : vert clair
e . hiddencolor =3
2) Questions sur le bloc d’instructions
a) Quelle fonction a été représentée ? Quelles instructions a-t-on utilisé ?
b) Avec quelles instructions a-t-on représenté les plans d’équation z = c où c est une
constante ?
c) Supprimer ou masquer chacune des instructions e.hiddencolor = ... ; que fait cette
instruction ?
3) Que représente chacune des courbes, intersections des plans avec la surface définie par
la fonction f ? La fonction admet-elle un extremum local en (0, 0) ?
Exercices
Exercice 1 (10 min.)
Représenter graphiquement les ensembles suivants.
1) A = x , y ∈ R2 /2|x | + 3|y | = 1
2) B = x , y ∈ R2 / max (|x |, |y |) = 2
3) C = x , y ∈ R2 / x 4 − 2y 2 + x 2 y = 0
EX
135
CE
ER
CI
1) Représenter graphiquement en utilisant Scilab les lignes de niveau k pour chacune des
surfaces suivantes
a) x , y ∈ [−1.5; 1.5]2 , f x , y = 2|x | − y 2 et L 1
b) x , y ∈ [−1.5; 1.5]2 , f x , y = 3|x | + 2y et L −1
S
Exercice 2 (15 min.)
Mathématiques ECS 2e année
c) x , y ∈ [−1.5; 1.5]2 , f x , y = 3x 4 − 4x 2 y + y 2 e t
2) En déduire
suivants :
¦ les ensembles
©
a) A = x , y ∈ [−1.5; 1.5]2 /2|x | − y 2 ≥ 1
¦
©
b) B = x , y ∈ [−1.5; 1.5]2 /3|x | + 2y ≤ − 1
¦
©
c) C = x , y ∈ [−1.5; 1.5]2 /3x 4 − 4x 2 y + y 2 ≥ 0
L0
Exercice 3 (12 min.)
Représenter graphiquement dans une fenêtre Scilab, les fonctions f ainsi que les plans
d’équation z = k.
1) f x , y = x 2 + y 2 − x y et z = 0
Justifier graphiquement que la fonction f admet un extremum local en (0, 0) ?
2) f x , y = ln 1 + x 2 + y 2 et z = 1
xy
3) f x , y =
et z = −0.1
1+x2 +y 2
Exercice 4 (15 min.)
Pour chacune des fonctions suivantes, justifier leur continuité et l’existence de leurs dérivées
partielles ; calculer les fonctions dérivées partielles et préciser les gradients des fonctions aux
points x 0 , y 0 ou x 0 , y 0 , z 0 .
1) f x , y = 2x 3 − 5x 2 y + 3y 2 − 5 et
x 0 , y 0 = (−1, 2)
xy
2) f x , y =
et x 0 , y 0 = (0, 0)
p
2
2
1 + x + 2y
Pour l’existence des dérivées partielles en (0, 0) , on utilisera la définition.
x3
3) f x , y =
et x 0 , y 0 = (2, −1)
2
1+y
xy z
4) f x , y , z =
et x 0 , y 0 , z 0 = (1, −1, 2)
1+x2 +y 2
Exercice 5 (20 min.)
Donner le développement limité d’ordre 1 au point x 0 , y 0 et, en utilisant Scilab, représenter
graphiquement sa surface. Représenter graphiquement le plan P dont l’équation est donnée
par :
z = ∂ 1 f x 0 , y 0 (x − x 0 ) + ∂ 2 f x 0 , y 0 y − y 0 + f x 0 , y 0 .
On remarquera (et admettra) que ce plan est un plan tangent à la surface représentative de f,
au point x 0 , y 0 .
1) x , y ∈ [−2; 2]2 , f x , y = (x − 2y )(1 + ln 1 + x 2 + y 2 ) et x 0 , y 0 = (−1, 1)
Quelle est l’écriture de son développement limité au point (−1, 1) ?
1 − 2x + y
et x 0 , y 0 = (−0.5, 1.7)
2) x , y ∈ [−1.5; 2.5]2 , f x , y =
2
2
1 + ln 1 + x + y
3
2
2
2
3) x , y ∈ [−2; 2] , f x , y = x − 2y x + y 2 et x 0 , y 0 = (−0.75, 0.5)
4) x , y ∈ [−2; 2]2 , f x , y = x − 2y x 2 − y 2
et x 0 , y 0 = (0, 0)
136
Chapitre 6 – Fonctions de plusieurs variables (1)
Exercice 6 (30 min.)
1) Question de cours :
˜
•
π π
Montrer que la fonction x 7→ tan x est une bijection de − ,
dans R ; en déduire
2 2
les propriétés de sa fonction réciproque arctan.
2) Montrer que pour tout réel x ∈ ]0, +∞[,
arctan x + arctan
1 π
= .
x
2
3) Soit (a 1 , a 2 , . . . , a n ) ∈ Rn . Montrer que la fonction f définie sur Rn par
!
n
X
arctan
a i xi
i =1
f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) =
1+
n
X
ai2
i =1
EX
137
ER
CI
CE
S
possède un maximum et un minimum.
Corrigés
Fonctions de plusieurs variables (1)
Corrigés des exercices guidés
Exercice A
Cet exercice est destiné à représenter des lignes de niveaux, mais aussi des ensembles de
définition de fonctions ou de leurs frontières.
1)
Méthode
Si une fonction de deux variables f définie sur R2 vérifie
• ∀ x , y ∈ R2 , f x , y = f −x , y
alors sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
• ∀ x , y ∈ R2 , f x , y = f x , −y
alors sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des abscisses
• ∀ x , y ∈ R2 , f x , y = f −x , −y alors sa courbe est symétrique par rapport à
l’origine.
Remarque
Si une courbe est symétrique par rapport à l’axe des abscisses et par rapport à l’axe
des ordonnées, elle est symétrique par rapport à l’origine.
Si on note ϕ la fonction définie sur R2 par ϕ x , y = 2|x | − |y |, on remarque que
ϕ −x , y = ϕ x , y ; il s’ensuit que la courbe représentative de ϕ est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées. De même, pour tout x , y ∈ R2 , ϕ x , −y = ϕ x , y donc la
courbe d’est symétrique par rapport à l’axe des abscisses. Par composition elle est symétrique
par rapport à O(0, 0).
Il suffit donc de tracer la courbe de la fonction définie implicitement par ϕ x , y = 2 pour
x ≥ 0 et y ≥ 0 ; on effectue ensuite les symétries par rapport à l’axe des abscisses et par
rapport à l’axe des ordonnées.
On veut donc d’abord représenter graphiquement
x , y ∈ R+ × R+ , 2x − y = 1.
1
On reconnaît une demi-droite d’extrémité
, 0 et de pente égale à 2. D’où la représentation
2
graphique de A par symétrie :
138
Chapitre 6 – Fonctions de plusieurs variables (1)
1
0
−2
−0.5
0.5
2
−1
2)
Méthode
La courbe d’une fonction continue définie sur une région du plan par ϕ x , y = 0
partage cette région du plan en deux parties ; l’une dans laquelle, pour tout couple,
x , y , ϕ x , y > 0 une autre dans laquelle pour tout couple.
x , y , ϕ x , y < 0 Si dans l’une des régions du plan, il existe un point p (a , b ) our
lequel ( ϕ (a , b ) > 0 resp. :) ϕ (a , b ) < 0 alors pour tous les points d x , y e cette région
on a ( ϕ x , y > 0 resp. :). ϕ x , y < 0.
CO
139
RR
IG
ÉS
2x − 3y + 1 = 0 est l’équation d’une droite dans le plan. En se limitant aux couples, x , y ∈
R+ × R+ on obtient la représentation d’une demi-droite.
Pour déterminer l’ensemble, B − on prend un point du quart de plan n’appartenant pas à B ,
par exemple ; (0, 0) on constate que ce point n’appartient pas à B − puisque 2 × 0 − 3 × 0 + 1 =
1 > 0 ; il s’ensuit que l’ensemble B − est la partie du quart de plan limité par B et ne contenant
pas ; (0, 0) c’est donc la partie non hachurée au dessus de la demi-droite B .
Mathématiques ECS 2e année
Exercice B
Méthode
• Pour montrer qu’une fonction f admet des dérivées partielles en x 0 , y 0 , on montre
que c’est la composée de fonctions dérivables d’une variable, et de fonctions polynômes
ou rationnelles.
On rappelle que les deux projecteurs x , y 7→ x et x , y 7→ y sont des fonctions
polynômes (et même affine, c’est-à-dire de la forme x , y 7→ a x + b y + c ).
• Pour déterminer les dérivées partielles d’une fonction f en un point, x 0 , y 0 on calcule
les dérivées des fonctions partielles f 1 : x 7→ f (x , y 0 ) et f 2 : y 7→ f (x 0 , y ) respectivement
en x 0 et en y 0 . On a :
∂ 1 f x 0 , y 0 = f 10 (x 0 ) et ∂ 2 f x 0 , y 0 = f 20 (x 0 ).
On commence d’abord par définir une fonction, la fonction
x − 2y
F : x, y →
7 p
.
4+x2 −y 2
‚
Œ
1
On donne ensuite un vecteur colonne ; u =
on calcule un vecteur ligne grad (de
−1
t
même taille que u ) et on affiche en première ligne les coordonnées de u, en deuxième ligne,
les coordonnées de grad.
On peut lire sur la console
1.
0.125
- 1.
- 1.375
On peut se douter (vu le nom) que ce vecteur est le gradient de F au point (1, −1). Vérifionsle.
• Montrons d’abord que F admet des dérivées partielles en (1, −1).
Les fonctions x , y 7→ x − 2y et x , y 7→ 4 + x 2 − y 2 sont des fonctions polynômes et F est
le quotient de la première par la racine carrée de la seconde ; elle admet donc des dérivées
partielles en tout point où elle est définie, c’est-à-dire où x 0 , y 0 .
L 4 + x 02 − y 02 > 0, donc la fonction F admet des dérivées partielles en (1, −1).
x +2
• La fonction F1 : x 7→ F (x , −1) = p
.
3+x2
On a :
3 − 2x
F10 (x ) =
p
3+x2
3+x2
est dérivable en tout point donc, en particulier, en x = 1.
En particulier,
1
1 − 2y
0
• ∂ 1 F (1, −1) = F1 (1) = = 0.125 La fonction F2 : y 7→ F 1, y = p
est dérivable pour
2
8
5
−
y
tout y tel que y < 5. Elle l’est donc au point y = −1 ; on a :
F20 y =
y − 10
.
p
5−y2
5−y2
140
Chapitre 6 – Fonctions de plusieurs variables (1)
En particulier,
11
= −1, 375. Ainsi l’instruction grad=numderivative(F,u) ren8
voie le gradient de F au vecteur u (vecteur ligne).
0
• ∂ 2 F (1, −1) = F2 (−1) = −
Méthode
(Scilab]
Pour vérifier avec Scilab nos calculs de dérivées partielles en un point, on peut utiliser le
bloc d’instructions suivant :
function v = F ( u )
v = < é criture de la fonction F en fonction des coordonn é es
u (1) et u (2) de u >
endfunction
u =[ u (1); u (2)]
grad = numderivative (F , u )
disp ([ u ’; grad ] ," point et gradient en ce point ")
Exercice C
1) On peut masquer la représentation de certains plans pour mieux voir les intersections
de chacun des plans avec la surface représentative de f .
CO
141
RR
IG
ÉS
2) a) La fonction représentée est la fonction f : x , y 7→ x 2 − y 2 donnée par les instructions deff(’z=f(x,y)’,’z=x.^2-y.^2’) pour définir la fonction x=-1.5 :0.1 :1.5 ; y=x pour le
rectangle de définition fplot3d(x,y,f ) pour la figure.
Sa surface représentative est en vert (instructions e=gce() puis e.color_mode=3 )
Mathématiques ECS 2e année
b) Les plans ont respectivement pour équation z = 0, z = 1 et z = 1. Les instructions
donnant le plan d’équation z = 0 sont
t=-1.5 :0.1 :1.5 ; x0=t ; y0=t ; pour le rectangle de définition
z0=zeros(length(t),length(t)) pour la matrice des valeurs de z ; c’est une matrice nulle dont
la taille est taille de x0 × taille de y0.
Sa représentation graphique est donnée par plot3d(x0,y0,z0) ; il est en rouge (instructions
e=gce() puis e.color_mode=5 )
Pour obtenir les deux autres plans, avec le même rectangle de définition, on a respectivement
considéré les matrices des valeurs de z :
z1=z0+1 et z1=z0-1.
c) En supprimant (ou en masquant) les instructions e.hiddencolor=... on voit que le dessous des surfaces représentées sont en bleu clair ; en d’autre termes, cette instruction colorise
le dessous des surfaces représentées.
3)
Méthode
Soit f une fonction de deux variables définies sur un ouvert Ω.
1. Une ligne de niveau k , est l’ensemble des solutions de l’équation
f x , y = k ; graphiquement, c’est l’intersection de la surface représentative de f et du
plan d’équation z = k .
2. Pour montrer qu’un plan d’équation z = k est un plan tangent à la surface représentative de f en (a , b ), on montre que f (a , b ) = k et ∇f (a , b ) = (0, 0) que (a , b ).
3. Pour que f admette un extremum local en (a , b ) , il faut que le plan tangent à la surface
représentative de f en soit horizontal (d’équation z = k ) et qu’au voisinage de ce point,
la surface soit toujours au-dessus ou en dessous du plan tangent.
L’intersection de la surface représentative de f et d’un plan d’équation z = c est une courbe
appelée, courbe de niveau de f. Ici, on a trois courbes de niveau, les courbes de niveau 1, 0 et
1. On pourra remarquer en particulier, que la courbe de niveau 0 est l’intersection de deux
droites ; on le voit immédiatement par le calcul ; en désignant L 0 par la ligne de niveau 0, elle
se définit par :
¦
© ¦
©
L 0 = x , y ∈ R 2 /x 2 − y 2 = 0 = x , y ∈ R 2 /|x | − |y | .
On remarque que la fonction f admet des dérivées partielles en tout point (voir exercice B)
et de plus :
∀ x , y ∈ R 2 , ∂ 1 f x , y = 2x , ∂ 2 f x , y = −2y .
• Le plan rouge (plan horizontal d’équation z = 0) coupe la surface en (0, 0) ; Le gradient
de f en (0, 0) est ∂ 1 f (0, 0) , ∂ 2 f (0, 0) = (0, 0). Localement la surface n’est pas toujours
au-dessus ou en dessous de ce plan. Donc f (0, 0) n’est pas un extremum.
142
Chapitre 6 – Fonctions de plusieurs variables (1)
Corrigés des exercices
Exercice 1
Les représentations graphiques sont en fin d’exercice.
1) Si on note ϕ la fonction définie sur R2 par ϕ x , y = 2|x | + 3|y |, on remarque que pour
tout x , y ∈ R2 ϕ x , y = ϕ −x , y = ϕ x , −y = ϕ −x , −y ; il s’ensuit que la courbe représentative de’est symétrique par rapport aux axes de coordonnées et par rapport à l’origine.
Il suffit donc de tracer la courbe de la fonction définie implicitement par 2x + 3y = 1 pour
x ≥ 0 et y ≥ 0 et d’effectuer ensuite les symétries. D’où la représentation graphique.
2) La fonction est ϕ : x , y 7→ max (|x |, |y |) définie sur R2 et possède les propriétés
suivantes :
∀ x , y ∈ R2 , ϕ x , y = ϕ x , −y = ϕ −x , y = ϕ −x , −y .
Il suffit donc de tracer la courbe définie par
¨
x = 2 si x ≥ y ≥ 0
c’est-à-dire
y = 2 si 0 ≤ x ≤ y
¨
x =2
y =2
si 0 ≤ y ≤ 2
si 0 ≤ x ≤ 2
et de procéder par symétrie. D’où la représentation graphique.
3) On remarque que x 4 − 2y 2 + x 2 y = (x 2 − y )(x 2 + 2y ) ; donc C est la réunion des deux
1
courbes d’équation respective y = x 2 et y = − x 2 ; d’où la représentation graphique :
2
Exercice 2
CO
143
RR
IG
ÉS
1) Les représentations graphiques sont données à la fin de la question 1 ; on a utilisé la
syntaxe donnée dans l’exercice A.
a) On a, pour tout x , y ∈ [−1.5; 1.5]2 , f x , y = f −x , y = f x , −y = f (−x , −y ) ; la
courbe est symétrique par rapport aux axes de coordonnées et à l’origine ;
b) On a, pour tout x , y ∈ [−1.5; 1.5]2 , f x , y = f −x , y ; la courbe est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées.
c) On a, pour tout x , y ∈ [−1.5; 1.5]2 , f x , y = f −x , y ; la courbe est symétrique par
rapport à l’axe des ordonnées.
D’autre part, on a f x , y = (3x 2 −y )(x 2 −y ) ; la courbe de f est donc la réunion des courbes
des fonctions x 7→ 3x 2 et x 7→ x 2 .
Représentations graphiques :
Mathématiques ECS 2e année
2) a) Le point (0, 0) n’appartient pas à l’ensemble A ; donc l’ensemble A est la partie du
plan non comprise entre les arcs de courbes, c’est-à dire au-dessus des arcs des régions 1 et 2
du plan, et en dessous des arcs des régions 3 et 4 du plan.
b) Le point (0, 0) n’appartient pas à l’ensemble B ; donc l’ensemble B est la partie du plan
non comprise entre les arcs de courbes, c’est-à dire au-dessus de chacune des demi-droites.
c) Les deux arcs partagent le plan en 4 régions.
On vérifie que la partie du plan au-dessus ou en dessous des deux paraboles sont des parties
de C tandis que la partie du plan entre les deux paraboles n’en est pas une. Donc C est partie
du plan au-dessus de la parabole d’équation et y = 3x 2 endessous de la parabole d’équation
y = x 2.
Exercice 3
On constate que la surface représentative de f est toujours au-dessus du plan d’équation
z = 0 (plan horizontal) ; de plus, ce plan semble être tangent à la surface (faire pivoter la figure).
On peut donc conjecturer que la fonction f admet un minimum local égal à 0 en (0, 0).
On utilise la syntaxe de l’exercice C et on obtient respectivement les représentations graphiques suivantes :
Exercice 4
1) La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est continue et admet des dérivées
partielles en tout point de R2 . On a :
∂ 1 f x , y = 6x 2 − 10x y donc ∂ 1 f (−1, 2) = 26
∂ 2 f x , y = −5x 2 + 6y donc ∂ 2 f (−1, 2) = 7.
Ainsi ∇ f (−1, 2) = (26, 7) . On peut vérifier le gradient de f avec Scilab, en utilisant les
instructions données dans l’exercice C :
function v = F ( u )
v =2* u (1).^3 -5*( u (1).^2).* u (2)+3* u (2).^2 -5
endfunction
144
Chapitre 6 – Fonctions de plusieurs variables (1)
u =[ -1;2]
grad = numderivative (F , u )
disp ([ u ’; grad ] ," point et gradient en ce point ")
Sur la console :
point et gradient en ce point
- 1. 2.
26. 7.
2) La fonction f est le quotient de la fonction polynôme x , y 7→ x y par la somme d’une
fonction constante
x , y 7→ 1 et de la racine carrée d’une fonction polynôme
p
x , y 7→ x 2 + y 2 ; elle est donc continue pour toute valeur où elle est définie, c’est-à-dire
sur R2 et admet des dérivées en tout point où x 2 + y 2 est strictement positif, c’est-à-dire en
tout point sauf, peut-être, en (0, 0).
Existence des dérivées partielles en. On a (0, 0) :
f (h, 0) − f (0, 0) 0 − 0
=
= 0 −→ 0 donc ∂ 1 f (0, 0) = 0
h→ 0
h
h
et
f (0, k ) − f (0, 0) 0 − 0
=
= 0 −→ 0 donc ∂ 2 f (0, 0) = 0.
k→ 0
k
k
Il en résulte que f admet des dérivées partielles en (0, 0) et que ∇ f (0, 0) = (0, 0) . Nous
laissons le soin au lecteur de vérifier ce résultat avec Scilab.
3) La fonction f est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas ; elle est
donc continue et admet des dérivées partielles en tout point de R2 ; on a :
3x 2
∂ 1f x, y =
1+y2
∂ 2f x, y =
2x 3 y
1+y2 2
donc ∂ 1 f (2, −1) = 6
donc ∂ 2 f (2, −1) = 4.
Ainsi ∇ f (2, −1) = (6, 4). La vérification avec Scilab est laissée au soin du lecteur.
4) La fonction est une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas. Elle est
donc continue et admet des dérivées partielles en tout point de R 2 ; on a :
∂ 1f x, y =
yz
2y x 2 z
2
−
2 donc ∂ 1 f (1, −1, 2) = −
2
2
2
2
1+x +y
9
1+x +y
∂ 2f x, y =
xz
2y 2 x z
2
−
2 donc ∂ 1 f (1, −1, 2) =
2
2
2
2
1+x +y
9
1+x +y
yx
1
donc ∂ 3 f (1, −1, 2) = −
2
2
1+x +y
3
2 2
1
Donc ∇ f (1, −1, 2) = − , , − . On peut vérifier ce résultat sur Scilab :
9 9
3
∂ 3f x, y =
RR
CO
145
IG
ÉS
function v = F ( u )
v = u (1)* u (2)* u (3)/(1+ u (1)^2+ u (2)^2)
endfunction u =[1; -1;2]
grad = numderivative (F , u )
disp ([ u ’; grad ] ," point et gradient en ce point ")
Mathématiques ECS 2e année
Sur la console :
point et gradient en ce point
1.
- 1.
2.
- 0.2222222 0.2222222 - 0.3333333
Exercice 5
1) La fonction f est le produit d’une fonction polynôme (et même affine :
x , y 7→ x − 2y ) par la différence de la fonction constante x , y 7→ 1 et du logarithme d’une
fonction polynôme strictement positive x , y 7→ ln 1 + x 2 + y 2 ; c’est donc une fonction de
la classe C 1 sur R 2 . On a :
1 − x 2 + y 2 + 4x y
∂ 1f x, y =
− ln (1 + x 2 + y 2 )
1+x2 +y 2
donc
∂ 1 f (−1, 1) =
De même,
1−1+1−4
− ln 3 = −1 − ln 3.
1+1+1
1+x2 −y 2 +xy
∂ 2 f x , y = −2
+ 2 ln (1 + x 2 + y 2 )
1+x2 +y 2
donc
∂ 2 f (−1, 1) = −2
1+1−1−1
+ 2 ln 3 = 2 ln 3.
3
Le plan Pa a pour équation :
z = (−1 − ln 3) (x + 1) + 2 ln 3 y − 1 − 3 + 3 ln 3.
Laissons le soin au lecteur de vérifier ses calculs de dérivées partielles sur Scilab ; nous
donnons ci-dessous un bloc d’instructions qui a été utilisé pour la représentation graphique :
clear ; clf ();
deff ( ’ z = f (x , y ) ’ , ’ z =( x -2* y ).*(1 - log (1+ x .^2+ y .^2)) ’)
x = -2:0.1:2 ; y = x ;
// Repr é sentation du plan z = a (x - x0 )+ b (y - y0 )
[a , b ]= numderivative (f , ( x0 ; y0 )))
deff ( ’ w = p (u , v ) ’ , ’ w =( -1 - log (3))*( u +1)+2* log (3)*( v -1) -3+3* log (3) ’)
u=x; v=u;
fplot3d (u ,v , p )
e = gce () // Propri é t é s graphique du plan
z = a (x - x0 )+ b (y - y0 ) e . color_mode =12 // Couleur du plan : bleu azur
e . hiddencolor =12
// Repr é sentation graphique de la fonction f
fplot3d (x ,y , f )
e = gce () // Propri é t é s graphiques de la surface repr é sentative de f
e . color_mode =3 // couleur de la surface : vert clair
e . hiddencolor =3
146
Chapitre 6 – Fonctions de plusieurs variables (1)
En faisant tourner la figure, on peut remarquer que le plan est tangent à la surface au point
(−1, 1) et qu’au voisinage de ce point, il est toujours en dessous de la surface.
Attention
ce plan n’est pas horizontal ; on ne peut donc pas en déduire que la fonction présente un
minimum au point (−1, 1).
La fonction f a un développement limité s’écrira au point (−1, 1) puisque la fonction
est de classe C 1 sur son ensemble de définition (la démonstration est la même que pour la
dérivabilité ou la continuité) ; d’autre part :
p
f (−1 + h, 1 + k ) = −3 + 3 ln 3 + (−1 − ln 3)h + (2 ln 3) k + h 2 + k 2 ε(h, k )
où ε est une fonction au voisinage de (0, 0) et ε (0, 0) = 0.
Donnons les résultats pour les autres fonctions :
2) La fonction f a des dérivées partielles en tout point de son ensemble de définition, et
pour tout x , y on a :
∂ 1f x, y = 2
2x 2 − x − x y
2
−
. (1 + ln 1 + x 2 + y 2 )2 1 + ln 1 + x 2 + y 2
1+x2 +y 2
et aussi
∂ 2f x, y =
−2y 2 − 2y + 4x y
1
−
. (1 + ln 1 + x 2 + y 2 )2 1 + ln 1 + x 2 + y 2
1+x2 +y 2
CO
147
RR
IG
ÉS
donc, avec Scilab
∂ 1 f (−0.5, 1.7) ≈ − 0.67369, ∂ 2 f (−0.5, 1.7) ≈ − 0.10546.
De plus f (−0.5, 1.7) ≈ 1.52849, donc l’équation du plan Pb est :
z = −0.67369 (x + 0.5) − 0.10546 y − 1.7 + 1.52849.
Mathématiques ECS 2e année
En faisant tourner la figure, on peut remarquer que le plan est tangent à la surface au point
et qu’au (−0.5, 1.7) voisinage de ce point, il est toujours en dessous de la surface.
3) La fonction f a des dérivées partielles en tout point de son ensemble de définition, et
pour tout x , y on a :
p
∂ 1 f x , y = (4x 2 + y 2 − 6x y ) x 2 + y 2
et aussi
p
∂ 2 f x , y = (−2x 2 − 8y 2 + 3x y ) x 2 + y 2
donc, avec Scilab
∂ 1 f (−075, 0.5) ≈ 4.28159
∂ 2 f (−0.75, 0.5) ≈ − 3.8308.
De plus, f (−0.75, 0.5) ≈ − 1.28166, donc l’équation du plan Pc est :
z = 4.28159 (x + 0.75) − 3.8308 y − 0.5 − 1.28166.
En faisant tourner la figure, on peut remarquer que le plan est tangent à la surface au point
(−0.75, 0.5) et qu’au voisinage de ce point, il est toujours en dessous de la surface.
4) La fonction f a des dérivées partielles en tout point de son ensemble de définition, et
pour tout x , y on a :
∂ 1 f x , y = 3x 2 − y 2 − 4x y
et aussi :
∂ 2 f x , y = −2x 2 + 6y 2 − 2x y
donc, avec Scilab :
∂ 1 f (0, 0) = 0 ∂ 2 f (0, 0) = 0.
De plus f (0, 0) = 0, donc l’équation du plan Pd est z = 0.
148
Chapitre 6 – Fonctions de plusieurs variables (1)
En faisant tourner la figure, on peut remarquer que le plan est horizontale et tangent à la
surface au point (0, 0). Ce plan coupe la surface en ce point : il n’est pas localement au dessus
ou en dessous de la surface ; donc f (0, 0) n’est pas un extremum.
Exercice 6
˜
•
π π
1) La fonction tangente réalise une bijection de − ,
à valeurs dans R.
2 2
∀ x ∈ R, ∃!y ∈ R, tan x = y ⇔ x = arctan y
or, arctan x ∼ x .
x→ 0
La fonction arctan est deux fois dérivables R sur, et
1
2x
0
00
∀ x ∈ R, arctan (x ) =
et
arctan (x ) = −
2
1+x2
1+x2
2) Soit ϕ la fonction définie sur ]0, +∞[ par
ϕ (x ) = arctan x + arctan
1
.
x
Cette fonction est dérivable sur ]0, +∞[ et
1
− 2
1
x
ϕ (x ) =
+
1
1+x2
1+ 2
x
0
donc ϕ (x ) = 0 ; il en résulte que ϕ est constante sur ]0, +∞[. On a ϕ (1) = 2 arctan 1 =
0
donc, pour tout réel x > 0,
arctan x + arctan
π
,
2
1 π
= .
x
2
IG
ÉS
3) Deux cas.
1er cas : si a 1 = a 2 = . . . = a n = 0, alors, pour tous réels x 1 , x 2 , . . . , x n , f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) = 0 ; la
fonction f admet donc un minimum et un maximum.
2e cas : s’il existe au moins un i tel que a i 6 = 0. Posons a = (a 1 , a 2 , . . . , a n ) et x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ;
on a :
n
X
a i x i = ⟨a , x ⟩ e t | ⟨a , x ⟩ | ≤ |a | × |x |.
CO
149
RR
i =1
Mathématiques ECS 2e année
La fonction arctan est une fonction impaire et positive sur R, donc
| arctan ⟨a , x ⟩ | = arctan | < a , x > | ≤ arctan (|a | × |x |) .
Par ailleurs,
n
X
x i 2 = |x |2 .
i =1
En posant α = |a | et t = |x |, on a :
| f (x 1 , x 2 , . . . , x n ) | ≤ g (t )
o
g (t ) =
arctan (αt )
.
1+t2
On a lim g (t ) = 0 et lim g (t ) = 0 ; comme la fonction g est positive et non nulle sur ]0, +∞[ ,
t →0
t →+∞
il existe t 1 ∈ ]0, +∞[ tel que g (t 1 ) > 0 ; il existe donc un réel A tel que t > a , g (t ) < g (t 1 ) pour
tout réel. On notera que nécessairement A > t 1 .
Par ailleurs, sur le segment [0, A] la fonction g est continue ; elle admet donc un maximum
g (t 2 ) ≥ g (t 1 ).
Il en résulte que la fonction g admet un maximum M sur R et M = g (t 2 ) ; donc f est une
fonction continue R n de dans [−M , M ].
Reste à montrer qu’il existe (u 1 , u 2 , . . . , u n ) tel que f (u 1 , u 2 , . . . , u n ) = M et (v 1 , v 2 , . . . , v n )
tel que f (v 1 , v 2 , . . . , v n ) = −M .
Pour tout réel λ, x = λa est un vecteur colinéaire à a ; on a donc | ⟨a , x ⟩ | = |a | × |x |.
t2
t2
Posons d’abord λ =
et u = λa ; on a f (u ) = g (t 2 ) = M . Posons en suite µ = −
et
α
α
v = µa ; on a f (v ) = g (−t 2 ) = −M .
La fonction f admet donc un maximum et un minimum sur R.
150
MATHS
ECS•2e année
MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
Des ouvrages pour faire la différence :
– des synthèses de cours et de méthode pour acquérir les connaissances indispensables
et réviser efficacement,
– de nombreux exercices intégralement corrigés pour s’entraîner et se mettre en situation
d’épreuve : exercices guidés, exercices d’application et problèmes de synthèse,
– en ligne (www.vuibert.fr, à la page du livre) : des annexes pour maîtriser la simulation sur Scilab
et des exercices complémentaires.
MÉTHODES
EXERCICES
PROBLÈMES
2e année
VUIBERT
VUIBERT
MÉTHODES•EXERCICES•PROBLÈMES
MATHS
ECS 2 année
• e
1. Rappels de calculs algébriques – 2. Compléments d’algèbre – 3. Réduction des
endomorphismes – 4. Algèbre bilinéaire – 5. Intégrales impropres – 6. Fonctions de
plusieurs variables (1) – 7. Séries et compléments de probabilités – 8. Couples et
vecteurs aléatoires – 9. Endomorphismes symétriques – 10. Fonctions de plusieurs
variables (2) – 11. Extrema sur un fermé borné et extrema sous contrainte –
12. Convergences – 13. Estimateurs, estimations
En ligne :
• Annexes : A. Lois usuelles – B. Scilab
• Exercices complémentaires
Les auteurs :
Jean-Philippe Cortier est professeur de chaire supérieure de mathématiques.
François Delaplace est professeur en classes préparatoires économiques et commerciales
au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.
Fabrice Fortain dit Fortin est professeur en classes préparatoires économiques et commerciales au lycée Notre-Dame du Grandchamp à Versailles.
Marguerite Rossillon est professeur de mathématiques à ParisTech Shanghaï Jiao Tong.
MATHS ECS
SOMMAIRE
To
prog ut le
ramm
e
➔ Rappels de cours
➔ Conseils de méthode
➔ Exercices guidés
➔ Exercices d’approfondissement
➔ Problèmes de synthèse
➔ Tous les corrigés détaillés
J.-P. Cortier
F. Delaplace
F. Fortain
M. Rossillon
ISBN : 978-2-311-40285-8
www.
Maths-ECS-2eAnnee-9782311402858.indd Toutes les pages
.fr
18/08/15 09:44