Chapitre 1 – Section 1.1 Les ensembles de nombres

1
Chapitre 1 – Section 1.1
Les ensembles de nombres
Lorsque nous avons appris à compter, nous avons utilisé les nombres les plus
« simples » : 0, 1, 2, 3, … Ce sont les nombres _________________. Par contre, ces
nombres ne sont pas suffisants. Si par exemple nous voulons exprimer la température en
hiver au Québec, nous avons besoin des nombres __________________. Ajoutés aux
entiers positifs, ces nombres forment l’ensemble des nombres
______________________.
Puis, il nous arrive de vouloir diviser des entiers. Nous avons alors besoin des
fractions. L’ensemble de toutes les fractions se nomme l’ensemble des nombres
_______________________. Les nombres que nous ne pouvons pas exprimer sous forme
de fractions font partie de l’ensemble des nombres ___________________________.
Finalement, si nous regroupons tous ces nombres, nous obtenons l’ensemble des nombres
_____________.
Question : Donner une fraction qui est équivalente au nombre 7.
Les nombres naturels
0,1, 2,3,...
est l’ensemble de nombres entiers positifs ou nuls.
Les nombres entiers
..., 2, 1, 0,1, 2,...  
est l’ensemble des nombres entiers négatifs, nuls et positifs.
Les nombres rationnels
est l’ensemble des nombres qui peuvent s’exprimer sous forme
d’une fraction. Ceci inclut :
 Les nombres entiers ;
 Les nombres à développement décimal fini;
 Les nombres à développement décimal infini périodique.
Les nombres irrationnels
'
'
est l’ensemble des nombres qui ne peuvent pas s’exprimer sous
forme de fraction. Ce sont les nombres à développement décimal infini non
périodique.
Les nombres réels
est l’ensemble qui regroupe les rationnels et les irrationnels. C’est le plus grand ensemble que nous utiliserons dans
le cadre de ce cours.

Notation
 Le symbole \ indique que l’on soustrait le deuxième ensemble du premier. Par
exemple, l’expression
\{0}
signifie : l’ensemble des nombres entiers moins
l’ensemble contenant l’élément 0. Soit,
\{0} ..., 2, 1,1,2,...  
. On peut aussi
remplacer le symbole \ par le mot « sauf ».
Exemple
\
 Les symboles + (-) indique que l’on ne conserve que la partie positive (négative),
incluant le 0, de l’ensemble. Par exemple,
est l’ensemble des rationnels positifs
et
_____
Exemple : #3 page 6 du manuel
Exemple
Le nombre suivant 0,32 est rationnel. En effet ce nombre peut s’écrire sous la forme
d’une fraction :
0,32 
Exercices 1.1 (supplémentaires à ceux du plan de travail)
1. À quels ensembles de nombres ces nombres appartiennent-ils?
a) -2 b)
5
7
c) 10,12571257… d) -5,158234657… e)
9,8
2. Parmi ces nombres, lesquels sont rationnels? Justifier.
a) b)
958
13
c) -9,125 d) 5,758758…
e) 3,1416 f) 0 g) -28 h) 0,1001000100001…
3. Quel est le plus petit ensemble de nombres qui peut représenter les situations
suivantes? Utiliser les symboles +, - au besoin.
a) Le nombre d’élèves au cégep. b) La circonférence d’un cercle.

3
Chapitre 1 – Section 1.2
Les intervalles
En comparant deux nombres réels a et b, on obtient l’une des relations suivantes :
 a = b, a est égal à b;
 a < b, a est plus _______________ que b;
 a > b, a est plus _______________ que b;
 a ≤ b, a est plus ___________________________ à b;
 a ≥ b, a est plus ___________________________ à b;
Exemples
a) -4 2
b) √10 3
c) x ≥ 5 signifie que la variable x peut être ______________________________ à 5.
____________ et ____________ sont des valeurs de x qui rendent l’expression
vraies puisque ____________ et ____________.
Question : Que signifie l’expression -3 ≤ x ≤ 0? Donner deux valeurs possibles pour x.

Un intervalle borné est un sous-ensemble de contenant tous les nombres réels compris
entre deux nombres réels distincts a et b ou tous les nombres réels plus petits (ou plus
grand) qu’un nombre réel a. Les nombres a et b sont les bornes de l’intervalle.
Un intervalle est fermé s’il inclut ses bornes. Il est représenté par des crochets tournés
vers l’intérieur.
Exemple
L’intervalle
10, 28
représente tous les nombres réels entre 10 et 28, ces deux valeurs
étant incluses. Voici une autre notation utilisée pour représenter un tel ensemble :
Et graphiquement :
Un intervalle est ouvert s’il n’inclut pas ses bornes. Il est représenté par des crochets
tournés vers l’extérieur.
Exemple
L’intervalle
4, 2
représente tous les nombres réels entre -4 et 2, ces deux valeurs étant
exclues. Voici une autre notation utilisée pour représenter un tel ensemble :
Et graphiquement :
Question : Que représente l’intervalle
3, 
?
Est-ce que le nombre
8
3
fait partie de l’intervalle
3, 
?

5
Chapitre 1 – Section 1.3
Les relations entre deux ensembles
Question : Y a-t-il une différence entre les ensembles suivants :
Ensemble A :
2,3A
Ensemble B :
2,3B
Les accolades { } sont utilisées lorsque l’on veut _____________________ les éléments
d’un ensemble.
Les crochets [ ] sont utilisés pour représenter ___________________________________
__________ compris entre deux bornes.
En d’autres mots, l’ensemble A comprend deux éléments; l’élément 2 et l’élément 3.
L’ensemble B comprend une __________________ d’éléments.
Le symbole signifie qu’une valeur appartient à un ensemble. Par exemple, on peut
écrire _____________________, ou encore ______________________.
Le symbole _____ représente un ensemble vide.
Exercice
Vrai ou faux?
a)
7 5, 8, 11
b)
3 10, 3   
c)
19,22 20,21