Chapitre 1 – Section 1.1 Les ensembles de nombres

Chapitre 1 – Section 1.1
Les ensembles de nombres
Lorsque nous avons appris à compter, nous avons utilisé les nombres les plus
« simples » : 0, 1, 2, 3, … Ce sont les nombres _________________. Par contre, ces
nombres ne sont pas suffisants. Si par exemple nous voulons exprimer la température en
hiver au Québec, nous avons besoin des nombres __________________. Ajoutés aux
entiers
positifs,
ces
nombres
forment
l’ensemble
des
nombres
______________________.
Puis, il nous arrive de vouloir diviser des entiers. Nous avons alors besoin des
fractions. L’ensemble de toutes les fractions se nomme l’ensemble des nombres
_______________________. Les nombres que nous ne pouvons pas exprimer sous forme
de fractions font partie de l’ensemble des nombres ___________________________.
Finalement, si nous regroupons tous ces nombres, nous obtenons l’ensemble des nombres
_____________.
Question : Donner une fraction qui est équivalente au nombre 7.
Les nombres naturels
 0,1, 2, 3,... est l’ensemble de nombres entiers positifs ou nuls.
Les nombres entiers
 ...,  2,  1, 0,1, 2,... est l’ensemble des nombres entiers négatifs, nuls et positifs.
Les nombres rationnels
est l’ensemble des nombres qui peuvent s’exprimer sous forme
d’une fraction. Ceci inclut :
 Les nombres entiers ;
 Les nombres à développement décimal fini;
 Les nombres à développement décimal infini périodique.
Les nombres irrationnels '
' est l’ensemble des nombres qui ne peuvent pas s’exprimer sous
forme de fraction. Ce sont les nombres à développement décimal infini non
périodique.
Les nombres réels
est l’ensemble qui regroupe les rationnels et les irrationnels. C’est le plus grand ensemble que nous utiliserons dans
le cadre de ce cours.
1
Notation

Le symbole \ indique que l’on soustrait le deuxième ensemble du premier. Par
exemple, l’expression
\ {0} signifie : l’ensemble des nombres entiers moins
l’ensemble contenant l’élément 0. Soit, \ {0}  ..., 2, 1,1, 2,... . On peut aussi
remplacer le symbole \ par le mot « sauf ».
Exemple
\


Les symboles + (-) indique que l’on ne conserve que la partie positive (négative),
incluant le 0, de l’ensemble. Par exemple,  est l’ensemble des rationnels positifs
et   _____
Exemple : #3 page 6 du manuel
Exemple
Le nombre suivant 0,32 est rationnel. En effet ce nombre peut s’écrire sous la forme
d’une fraction :
0,32 
Exercices 1.1 (supplémentaires à ceux du plan de travail)
1.
À quels ensembles de nombres ces nombres appartiennent-ils?
a) -2
2.
3.
b)
5
7
c) 10,12571257…
d) -5,158234657…
e) 9,8
Parmi ces nombres, lesquels sont rationnels? Justifier.
958
13
a) 
b)
e) 3,1416
f) 0
c) -9,125
d) 5,758758…
g) -28
h) 0,1001000100001…
Quel est le plus petit ensemble de nombres qui peut représenter les situations
suivantes? Utiliser les symboles +, - au besoin.
a) Le nombre d’élèves au cégep.
b) La circonférence d’un cercle.
Chapitre 1 – Section 1.2
Les intervalles
En comparant deux nombres réels a et b, on obtient l’une des relations suivantes :
 a = b, a est égal à b;

a < b, a est plus _______________ que b;

a > b, a est plus _______________ que b;

a ≤ b, a est plus ___________________________ à b;

a ≥ b, a est plus ___________________________ à b;
Exemples
a) -4
b) √10
2
3
c) x ≥ 5 signifie que la variable x peut être ______________________________ à 5.
____________ et ____________ sont des valeurs de x qui rendent l’expression
vraies puisque ____________ et ____________.
Question : Que signifie l’expression -3 ≤ x ≤ 0? Donner deux valeurs possibles pour x.
3
Un intervalle borné est un sous-ensemble de
contenant tous les nombres réels compris
entre deux nombres réels distincts a et b ou tous les nombres réels plus petits (ou plus
grand) qu’un nombre réel a. Les nombres a et b sont les bornes de l’intervalle.
Un intervalle est fermé s’il inclut ses bornes. Il est représenté par des crochets tournés
vers l’intérieur.
Exemple
L’intervalle 10, 28 représente tous les nombres réels entre 10 et 28, ces deux valeurs
étant incluses. Voici une autre notation utilisée pour représenter un tel ensemble :
Et graphiquement :
Un intervalle est ouvert s’il n’inclut pas ses bornes. Il est représenté par des crochets
tournés vers l’extérieur.
Exemple
L’intervalle 4, 2 représente tous les nombres réels entre -4 et 2, ces deux valeurs étant
exclues. Voici une autre notation utilisée pour représenter un tel ensemble :
Et graphiquement :
Question : Que représente l’intervalle 3,   ?
Est-ce que le nombre
8
fait partie de l’intervalle 3,   ?
3
Chapitre 1 – Section 1.3
Les relations entre deux ensembles
Question : Y a-t-il une différence entre les ensembles suivants :
Ensemble B : B   2,3
Ensemble A : A  2,3
Les accolades { } sont utilisées lorsque l’on veut _____________________ les éléments
d’un ensemble.
Les crochets [ ] sont utilisés pour représenter ___________________________________
__________ compris entre deux bornes.
En d’autres mots, l’ensemble A comprend deux éléments; l’élément 2 et l’élément 3.
L’ensemble B comprend une __________________ d’éléments.
Le symbole  signifie qu’une valeur appartient à un ensemble. Par exemple, on peut
écrire _____________________, ou encore ______________________.
Le symbole _____ représente un ensemble vide.
Exercice
Vrai ou faux?
a) 7 5, 8, 11
b) 3  10, 3
c) 19,22  20,21
5
Chapitre 1 – Section 1.4
Les opérations sur les ensembles
L’union de deux ensembles A et B, notée __________, est l’ensemble des éléments qui
appartiennent soit à A, soit à B, soit aux deux.
A  B  x | x  A ______ x  B
L’intersection de deux ensembles A et B, notée __________, est l’ensemble des éléments
qui appartiennent à la fois à A et à B.
A  B  x | x  A ______ x  B
La différence de deux ensembles A et B, notée __________, est l’ensemble des éléments
de A qui n’appartiennent pas à B.
A B  x | x  A et x  B
Exemples
1. Soit les ensembles A et B suivants.
a) A  B 
B
A
1
-1
b) A  B 
2
3
4
c)
3
4
 1,2
2. Exprimer l’ensemble
ensembles.
1,2
2,4
4, 
comme une différence de deux
Chapitre 1 – Sections 1.5.1, 1.5.3, 1.5.4
Les opérations sur les nombres réels
Lorsque nous écrivons une chaîne d’opérations mathématiques, tout comme lorsque nous
écrivons une phrase en français, nous devons respecter les priorités des opérations cidessous afin se s’assurer de bien se faire comprendre ou de bien comprendre la chaîne en
question.
1.
Effectuer les opérations à l’intérieur des parenthèses ;
2.
Évaluer les exposants ;
3.
Effectuer les multiplications et les divisions de gauche à droite ;
4.
Effectuer les additions et les soustractions de gauche à droite.
*Note : On peut diviser 0 par un nombre non nul, mais on ne peut jamais diviser par 0 .
Exemples
Effectuer les opérations suivantes :
a)
3  4  62
c)
24  15
6 5
b)
d)
2 3  6 2  5
3  4  23  8
 9  3  4
7
Chapitre 1 – Section 1.5.2
Les propriétés des exposants entiers
Une certaine espèce de bactérie se divise en deux à chaque minute. Nous nous s’intéressons à la
population de bactéries après un certain temps. Voici comment nous pourrions illustrer la
situation :
Au départ :
1 bactérie
0 minute
Après 1 min
___ bactéries
Après 2 min
___ bactéries
Après 3 min
___ bactéries
Après 4 min
___ bactéries
Après 1 hre ???
___ bactéries
Nous remarquons qu’à chaque minute, la population de bactéries _____________. Pour trouver la
population de bactéries après une heure, il suffirait que nous multipliions 1 par 2 soixante fois.
Par contre, cette méthode n’est pas très efficace. Nous pourrions plutôt effectuer le calcul
suivant : _______. Donc, après une heure, il y aurait ____________________________________
bactéries.
De façon générale,
an 
où a est appelé la ___________________, n est appelé l’__________________________ et
est appelé la ________________________________________.
an
Exemples

Dans l’expression
35 
, la base est ______, l’exposant est _____ et _____
est la cinquième puissance de 3.

Dans l’expression
 5
4

, la base est ______, l’exposant est _____ et
______ est la quatrième puissance de (-5).

Décomposer 4 725 en facteurs premiers, à l’aide de la notation exponentielle.


Pour effectuer 34, sur la calculatrice, on utilise la touche
[^] située au dessus de la touche de division.
Il y a deux touches «  »sur la calculatrice :
 L’une [  ], à droite au-dessus du [+], sert
d’opérateur pour effectuer une soustraction;
 L’autre [(-)], en-dessous du [3], sert à changer le
signe du nombre qui le suit.
 3
Attention ! L’expression
2
n’a pas la même signification que 3 . En effet, si nous
2
respectons les priorités d’opération :
9
Les propriétés des exposants nous permettrons de simplifier des expressions algébriques
parfois complexes. Par ailleurs, elles seront très utiles lorsque nous travaillerons avec les
polynômes.
Propriété 1
a0 
a0
Exemples
50 
x0 
Propriété 2
La base d’une expression peut être positive :

64 

63 
Et que se passe-t-il lorsque la base est négative?

 6 

 6 
4
3


0 
En résumé :
Si a  0 , alors
an
 0
Si a  0 , alors
an
 0
si n est un nombre pair
an
 0
si n est un nombre impair
Propriété 3
Effectuons l’opération suivante
32  34 

Que remarquez-vous?
am  an 
Exemples
Simplifier les expressions suivantes :
a)
 3
2
 26  34  3  23 

11
b)
x 2  y 2  x3 y 6 

Exercices
Simplifier les expressions suivantes.
a)
b12  b6 
 7 
b)
2
5
 73 
2
3 3
    
c)  4   4 
Propriété 4
Que se passe-t-il si nous divisons deux puissances ?
77

75

Nous pouvons alors déduire la propriété suivante :
am

an
a0
Exemples
Simplifier les expressions suivantes :
28 a 7b 4

5 4
a) 2 a b
b)
c)
x3

x3
6 w7 z10

2 wz 2
 x  1
3
 x  1
5
d)

13
Propriété 5
Quoi faire si, lors d’une division de puissances, l’exposant du numérateur est plus petit
que l’exposant du dénominateur?
53

55

Nous définissons alors les exposants entiers négatifs.
an 
a0
Exemples
Transformer chacune des expressions suivantes en expressions avec des exposants positifs :
4
a) 3x 
y2

6
y
b)
62 x3 y 6 z 8 
c)
1
d) 3 
1

e) 5
Rappel : pour multiplier deux fractions, on n’a qu’à multiplier les
numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
7 2
 
5 3
Exemple
Exemple
Simplifier l’expression suivante :
3w3 z10 32  23 w6 z 2


2 wz 6
w3 z10
Exercices
Page 18 ,
#17 a) b) c) d)
#18 a) b) c) d)
15
Propriété 6
Développons l’expression suivante :
c 
3 2



Quelle propriété pouvons-nous alors déduire?
a 
m n

Exemples
Simplifier les expressions suivantes :
a)
y 5 x8  x 3  y 5 
4


Rappel : pour diviser deux fractions, on n’a qu’à multiplier la première
fraction avec l’ ____________ de la seconde.
7 4
 
Exemple: 5 3
b)
d 8  2e 3 
2

de 2
24 d 6 e 5
 d 1 
4

Propriété 7
Développons cette expression :
 3x 
3


Quelle propriété pouvons-nous déduire ? Cette propriété s’applique-t-elle aussi au quotient ?
4
 x2 
  
 y 

17
En résumé :
 ab 
n

n
a
 
b =
b0
Attention! Cette propriété ne s’applique pas à la somme et à la différence, c’est-à-dire
 a  b
 a n  bn . Par exemple,  x  2   x  2   ____________ et c’est tout ce qu’on
peut faire comme simplification.
n
3
Exemples
Simplifier les expressions suivantes :
3
a)
 1 
  
 2x 

2
b)
 35 a 3b 2 

 
81
a





5
c)
1
x 5 y 2  wx 3 

 
w5 y 8  y 10 



Exercices
1. Évaluer les expressions suivantes. Essayer autant que possible de ne pas utiliser la calculatrice.
La réponse ne doit pas contenir de valeurs décimales.
5 
3 2
a)
 1
 
b)  7 
53
2
n
2. Écrire le nombre sous la forme 5 , où n ∈ ℕ.
5 
3 2
3
a) 5  5
2
1252
1
 
b)  5 
19
Chapitre 1 – Section 1.6.1
Les caractéristiques d’un polynôme
Définitions
Monôme :
produit d’une constante et de variables affectées d’un exposant
___________________________ ou ________.
Polynôme :
somme de plusieurs _____________________.
Terme :
chaque monôme d’un polynôme.
Binôme :
polynôme à _____ termes.
Trinôme :
polynôme à _____ termes.
Terme constant : terme qui ne contient pas de variable.
Coefficient : nombre qui se trouve devant les variables d’un terme.
Degré d’un terme :
somme des _______________________ de ses variables.
Degré d’un polynôme : le ____________________________________ degré des termes
composant ce polynôme.
Exemple
Soit le polynôme 3xw2  25x4 w3  5xw  26
a) Combien y a-t-il de termes dans ce polynômes ? _______
b) Quel est le degré du 1er terme ? _______
c) Quel est le terme constant ? _______
d) Quel est le coefficient du 2e terme ? _______
e) Quel est le degré du polynôme ? _______
f) Donner la valeur du polynôme lorsque x  1 et w 
3
.
2
21
Chapitre 1 – Section 1.6.2
Les opérations sur les polynômes
La somme et la différence de polynômes
Pour additionner ou soustraire deux polynômes, il faut
1. Regrouper les termes semblables (mêmes variables affectées des mêmes exposants);
2. Additionner ou soustraire les coefficients des termes semblables;
Effectuer l’opération suivante :
x
2
 2 xy  3 y  2    x 2  4 xy  2 y  6 
Puisque l’opération est une addition, les parenthèses peuvent être enlevées sans modifier
la valeur de ce qu’elles contiennent. Identifions les termes semblables et simplifions
l’expression.
x2  2 xy  3 y  2  x2  4 xy  2 y  6 =
Effectuer l’opération suivante :
y
2
 3 y  10    2 y 2  y  2 x  3
Puisque l’opération est une soustraction, les parenthèses peuvent être enlevées en
multipliant les coefficients du polynôme qui suit la soustraction par -1.
y
2
 3 y  10    2 y 2  y  2 x  3 
Question : Vrai ou faux?
 x  7  7  x
Produit de polynômes
Pour multiplier deux polynômes, il faut multiplier chaque terme du premier avec chaque
terme du second.
Effectuer les opérations suivantes :
a)
 3x   6 xy 1
b)
 2x
2
2
 3x  5   x  4 
2

3a  a 2  7   a3  4a 

c)  3
23
d)
w  w  4  3w  5  5w  2 
e)
 c  3d 
2
 4  c  d   4c  d 
Chapitre 1 – Section 1.7.1
Les caractéristiques d’une équation
Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs variables.
Le domaine d’une équation est l’ensemble des valeurs qu’on peut attribuer à sa ou à ses
variables. Par exemple, il faut retirer du domaine les valeurs qui font en sorte que l’on
divise par 0 puisqu’il est impossible de diviser par 0.
Les valeurs du domaine qui transforment une équation en une égalité vraie sont les
solutions de l’équation.
Exemples
a) Soit l’équation 3x  4  5x  8 . Son domaine est _____________, on peut remplacer
x par n’importe quelle valeur réelle et voir si oui ou non l’égalité est vraie.
Est-ce que x  3 est une solution de cette équation ?
x  6 est une solution de cette équation car
24
 4 x  12 . Au premier coup d’œil, on ne peut pas donner la
x2
solution de cette équation, mais on peut dire que la valeur de x n’est certainement pas
_______ (division par 0). Le domaine de cette équation est donc _______________.
b) Soit l’équation
x  0 et x  1 sont les solutions de cette équation. Nous verrons plus tard comment
résoudre une telle équation.
25
Deux équations sont équivalentes si elles ont la même solution.
Exemple
3x  4  5x  8 et 2 x  3x  6 sont des équations équivalentes car
Une équation qui est vraie pour toutes les valeurs de son domaine est une identité.
Exemple
2 x 2  3x  9
 2x  3
x 3
Chapitre 1 – Sections 1.7.2 et 1.7.3
Les propriétés d’une équation et les équations du 1er
degré à une variable
Une équation du 1er degré à une variable contient une seule variable, toujours affectée
de l’exposant 1 et n’apparaissant ni au dénominateur ni sous une racine.
La résolution d’une équation consiste à trouver la valeur de la variable qui rend l’égalité
__________________. Pour résoudre une équation, nous devons transformer cette
équation en équations équivalentes de façon à obtenir la forme x  c ou c est la solution.
On vous présente le problème suivant. Vous avez une balance en parfait équilibre
et vous devez trouver le poids exact de votre objet mystère. Cependant, vous devez
toujours maintenir votre balance en parfait équilibre. Que pouvez-vous faire ?
1
?
1
1
1
1
1
1
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Propriété 1
Pour obtenir une équation équivalente, on peut __________________________ ou
_______________________ une même quantité aux deux côtés d’une équation.
27
Que faire avec cette balance?
?
?
1
1
1
1
1
1
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
Propriété 2
Pour obtenir une équation équivalente, on peut __________________________ ou
_______________________ par une même quantité _____________________________
_______________________________________________________________________.
Évidemment, nous pouvons combiner ces propriétés. Cependant, il faut porter une
attention particulière à l’ordre dans lequel nous les utilisons.
Exemples
Résoudre les équations suivantes et vérifier la solution :
a) 3x  8  7
b) 4 x 10  2 x  6
c)
x
 5  6
4
29
Résoudre des équations contenant des fractions est aussi simple que de résoudre des
équations avec des nombres entiers, à conditions de maîtriser les opérations sur les
fractions!
Exemple
Utilisons les mêmes techniques qu’à l’exemple précédent pour résoudre l’équation
2
5
1 3
x
   x.
3
2
3 4
Pour résoudre une équation contenant des fractions, nous pouvons mettre chaque terme
sur le même dénominateur. Ensuite, il suffit de transformer cette équation en équation
équivalente en multipliant chaque côté par le ________________________________
______________________.
Exemples
Résoudre les équations suivantes en utilisant la méthode du dénominateur commun et
vérifier la solution.
2
1
a)  5 x  x  1
3
4
31
b)
x 5
 x 1
2
Chapitre 1 – Section 1.9
La résolution de problèmes contenant des équations
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Lire l’énoncé et repérer ce que l’on cherche;
Définir la variable;
Poser l’équation qui décrit l’énoncé;
Résoudre l’équation;
Répondre à la question en respectant le contexte du problème.
Vérifier la solution obtenue.
Une étape cruciale dans la résolution de problème est l’identification de la
variable. Bien souvent, la question nous permettra d’identifier correctement la variable et
ainsi poser la bonne équation.
Il est aussi très important d’effectuer la vérification de la solution avec le
contexte du problème et non avec l’équation. En effet, si nous avons posé la mauvaise
équation, la vérification sera également fausse !
Exercice #47, page 36
Exemple 1
#53, page 37
2.
Définir la variable :
3.
Équation représentant la situation :
4.
Résolution de l’équation :
5.
Réponse :
6.
Vérification :
33
Exemple 2
Trouver trois nombres impairs consécutifs dont la somme est 405.
Parfois, utiliser qu’une seule variable ne semble pas suffisant pour résoudre le problème.
Ici, l’étape de l’identification de la variable est cruciale pour poursuivre la résolution du
problème. Comment identifieriez-vous la variable?
2. Définir la variable :
3. Équation représentant la situation :
4. Résolution de l’équation :
5. Réponse :
6. Vérification :
Exemple 3
Une activité de levée de fond vous a permis d’amasser 60,25$ en pièces de 0,25$ et de
1$. S’il y a 100 pièces en tout, combien y a-t-il de pièces de chaque valeur ? Résoudre ce
problème en utilisant une seule variable.
2. Définir la variable :
3. Équation représentant la situation :
4. Résolution de l’équation :
5. Réponse :
6. Vérification :
35