Attention, Ce cahier comporte tous les documents de 4ème Par conséquent, il comporte des cours que vous n avez pas encore vus. Les cours de 3ème sont indiqués par un dans le sommaire. et correspondent à des pages vides dans ce cahier Je précise d ailleurs que ce sommaire est cliquable. Il vous suffit donc de cliquer sur la partie du cours qui vous intéresse pour la voir s afficher aussitôt. 1 Année scolaire 2009/2010 1 2 Documents de 4ème Valeur exacte, valeur approchée - Égalité de nombres 6 7 8 9 9 10 12 13 Définitions 17 Documents de 3 ème Liste des théorèmes et propriétés Notations Codages Verbes de consigne Écritures des nombres RÈGLES DE CALCUL SUR : ................................................................................................. P 31 Règles de calculs sur les relatifs 31 I - Additions de relatifs 31 II - Soustraction de nombres relatifs 31 III - Succession d’additions et de soustractions de nombres relatifs 31 Multiplication et division des nombres relatifs 32 Cas des multiplications successives 32 Inverse d’un nombre relatif 33 Regles de calculs sur les fractions Règles de calculs sur les puissances Règles de calculs sur les puissances de 10 34 36 37 I. Définition. 37 II. Règles de calcul. 37 III. Multiplication par une puissance de 10 37 IV. Notation scientifique d’un nombre 37 Règles de calcul sur les lettres 38 Simplification d’écriture 38 Règles de suppressions de parenthèses 38 Distributivité 38 Double distributivité 39 Règles de calcul sur les égalités et opérations Règles de calculs sur les inégalités Les identités remarquables Règles de calculs sur les radicaux 41 42 43 44 3 COMMENT CALCULER : ...................................................................................................... P 49 49 51 Comment calculer une suite de calculs Comment calculer une longueur Propriété de la droite des milieux : 51 Theoreme de pythagore 51 Comment calculer une longueur avec le "petit" théorème de THALES 52 le théorème de Thalès Trigonométrie dans un triangle rectangle 53 54 56 Comment calculer un angle Propriété du triangle inscrit dans un cercle 56 Avec la trigonométrie Propriété des angles inscrits dans un cercle 56 57 59 Comment calculer une expression littérale Comment factoriser une expression 60 62 Comment calculer un nombre inconnu Comment calculer les solutions d’une équation du type a b = 0 et X Comment calculer deux nombres inconnus dans un système Comment calculer les solutions dans une inéquation 2 Comment calculer dans une situation de proportionnalité Comment calculer une 4 ème proportionnelle Comment calculer avec les pourcentages Comment calculer une vitesse, une distance, un temps =a 63 64 65 66 66 67 69 Pour calculer une vitesse 69 Pour calculer une distance 69 Pour calculer un temps 69 Comment calculer un effectif – une fréquence Comment calculer une moyenne pondérée 70 70 Comment calculer une étendue, une médiane 71 Calcul de la médiane : Erreur ! Signet non défini. Calcul de l’étendue : Erreur ! Signet non défini. Comment calculer une probablité Comment calculer un quartile Comment calculer une aire Comment calculer un volume Comment calculer le pgcd de deux nombres entiers Comment calculer une expression avec des racines carrées 4 72 73 74 75 76 77 COMMENT UTILISER LA CALCULATRICE : ........................................................................ P 79 Comment utiliser la calculatrice avec le théorème de Pythagore 79 80 80 81 82 Comment utiliser ma calculatrice pour faire des calculs avec sinus, cosinus et tangente 83 Comment utiliser la calculatrice avec les nombres relatifs Comment utiliser la calculatrice avec les fractions Comment utiliser la calculatrice avec les fractions Comment utiliser calculatrice avec des puissances COMMENT CONSTRUIRE : .................................................................................................. P 87 Comment construire les droites remarquables d’un triangle Comment construire le cercle circonscrit à un triangle rectangle Comment construire un patron de cône Comment construire un patron de pyramide Comment construire une section de solide Comment construire une tangente à un cercle Comment construire un polygone régulier Comment construire la représentation graphique d’une fonction affine ou lineaire 87 89 90 90 91 92 93 94 COMMENT DÉMONTRER QUE : ........................................................................................... P 99 Comment démontrer qu’un quadrilatère est un parallelogramme Comment démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle Comment démontrer qu’un quadrilatère est un losange Comment démontrer qu’un quadrilatère est un carré Comment démontrer que deux droites sont parallèles 99 100 101 102 103 Parallèles et perpendiculaires 103 Propriété de la droite des milieux 103 la réciproque du théorème de Thalès 104 Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires Parallèles et perpendiculaires Comment démontrer qu’un triangle est rectangle 105 105 106 La réciproque du théorème de Pythagore: 106 Propriété du triangle inscrit dans un cercle 107 Comment démontrer qu’un point est le milieu d’un segment Réciproque de la propriété de la droite des milieux 109 109 Comment démontrer que deux quotients sont égaux 111 Comment démontrer qu’une fraction est irréductible 113 COMMENT FAIRE UNE DÉMONSTRATION :......................................................................... P 118 C’est quoi un démonstration Choix des propriétés Critères de réussite d’une démonstration Démonstrations de résultats du cours – exemples de démonstration 118 119 120 121 5 DOCUMENTS DE 4ÈME Algèbre 6 Géométrie DOCUMENTS DE 3ÈME Algèbre Géométrie 7 LISTE DES THÉORÈMES ET PROPRIÉTÉS 8 NOTATIONS Droite : A CODAGES Droites parallèles, droites perpendiculaires : B (D) A Les droites (d) et (AB) sont parallèles. (d) On écrit (d) // (AB). (AB) ou (D) désigne la droite passant par A et B. Segment : Les droites (d) et ()sont perpendiculaires. // A A B B On écrit (d) () A O Longueurs égales : Les segments [EF] et [EG] ont la même longueur. F [AB] désigne le segment d’extrémités A et B. Milieu : On écrit : EF = EG. Le point O est le milieu du segment [AB] E G On note : O = m [AB]. B Angle : O = m[AB] A B O OA = OB Angles de même mesure, angle droit : A x C O C BÆ AC désigne l’angle codé. Ç (s’il n’y a qu’un seul angle de sommet A). On le note aussi A Æ xÆ Oy et BCD B ont la même mesure. Ç On écrit xÆ Oy = C y D Æ est un angle droit. TUC Æ = 90° TUC T U C 9 Verbes de consigne 1/2 calculer : ........................................................................................................................................................ citer : .............................................................................................................................................................. coder : ........................................................................................................................................................... comparer : ..................................................................................................................................................... compléter : .................................................................................................................................................... conclure : ....................................................................................................................................................... construire : ................................................................................................................................................... décoder : ........................................................................................................................................................ déduire : ......................................................................................................................................................... démontrer : ................................................................................................................................................... déterminer : .................................................................................................................................................. encadrer : ...................................................................................................................................................... énoncer : ........................................................................................................................................................ expliquer : ...................................................................................................................................................... exprimer (en fonction de) : ...................................................................................................................... 10 Verbes de consigne 2/2 faire une figure : .......................................................................................................................................... justifier : ........................................................................................................................................................ marquer : ....................................................................................................................................................... montrer : ....................................................................................................................................................... nommer : ........................................................................................................................................................ placer : ............................................................................................................................................................ prouver : ......................................................................................................................................................... rédiger : .......................................................................................................................................................... réduire : .......................................................................................................................................................... reproduire : ................................................................................................................................................... résoudre : ...................................................................................................................................................... simplifier : ...................................................................................................................................................... tracer : ........................................................................................................................................................... traduire : ....................................................................................................................................................... vérifier : .......................................................................................................................................................... 11 ÉCRITURES DES NOMBRES Il y a plusieurs façons d'écrire les nombres : en chiffres, en lettres. Parmi les écritures en chiffres, il y a plusieurs types d'écriture : écriture entière écriture décimale écriture fractionnaire écriture puissance Certains nombres peuvent s'écrire de toutes ces façons. Exemple : 9 = écriture entière 18 2 9, 0 = écriture décimale = écriture fractionnaire 3² écriture puissanc e Certains nombres n'ont pas d'écriture entière. Exemple : 3, 7 n'a pas d'écriture entière. Certains nombres n'ont pas d'écriture décimale. Exemple : 1 n'a pas d'écriture décimale. 3 Certains nombres n'ont pas d'écriture entière, ni décimale, ni fractionnaire. Exemple : n'a pas d'écriture entière, décimale ou fractionnaire 12 VALEUR EXACTE, VALEUR APPROCHÉE - ÉGALITÉ DE NOMBRES Un nombre a une seule valeur exacte, mais peut avoir plusieurs valeurs approchées On donne souvent des valeurs approchées en écritures décimales. L’arrondi d’un nombre est une valeur approchée de ce nombre. Arrondi au 1/10ème près (0,1 près) Pour arrondir le résultat d’un calcul au 1/10 près, il faut connaître et regarder les 2 premières décimales du résultat. exemples : 15 3,8729 … or, … < 3,87 < ... 1/10 d’écart mais 3,87 est plus près de ………… que de ………… donc 15 ………… au 1/10 près 19 1,3571 … or … … < 1,35 < … 14 mais 1,35 est plus près de ………… que de ………… donc, 19 ………… au 1/10 près. 14 55 7,41 … or … … < 7,41 < … mais 7,41 est plus près de ………… que de ………… donc, 55 …………… au 1/10 près De façon générale, pour arrondir au 1/10ème près, si le chiffre des centièmes est : a) 0, 1, 2, 3 ou 4 alors on arrondit au-dessous. b) 5, 6, 7, 8 ou 9 alors on arrondit au-dessus. Il y a égalité entre 2 nombres quand leurs valeurs exactes sont égales. 13 14 15 16 DÉFINITIONS Adjacent (côté) Dans un triangle rectangle, on appelle côté adjacent d’un angle aigu, le côté de l’angle qui n’est pas l’hypoténuse . C T A R A Ç Côté adjacent à A B Agrandissement: Une figure A est un agrandissement d’une figure B si elle a la même forme et si toutes les longueurs de la figure B sont celles de A multipliées par un même nombre k >1. Ce cylindre est un agrandissement du cylindre 1 ce cylindre n’est pas un agrandissement du cylindre 1. B Angle inscrit A, B, C désignent trois points d’un cercle C On dit que Æ A BC est un angle inscrit dans le cercle C A C Æ est un angle inscrit dans le cercle C . ABC Antécédent Si une fonction f est définie par f : x x(x+1) x est l antécedent de x(x+1) par la fonction f Dans le tableau de valeur suivant : x -3 1 f(x) 6 2 L antécédent de 2 est 1, on note f(1) = 2 L antécédent de 12 est 3, on note f(3) = 12 O Bissectrice La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui sépare cet angle en 2 angles de même mesure. Les bissectrices d’un triangle se coupent au centre du cercle inscrit dans le triangle. x y 3 12 [Oz) est la bissectrice Æ de l’angle xOy z 17 Boule Une boule de centre O et de rayon r est constituée de tous les points de l espace situés à une distance inférieure ou ègale à r du centre O. Centre de gravité centre de gravité Le centre de gravité d’un triangle est le point de concours de ses médianes. pas de cercle circonscrit Cercle circonscrit On appelle cercle circonscrit à une figure, le cercle qui passe par tous les sommets de la figure. Toutes les figures n’ont pas de cercle circonscrit. cercle circonscrit Cercle inscrit On appelle cercle inscrit dans une figure, le cercle intérieur à cette figure et tangent aux côtés de la figure. Toutes les figures n’ont pas de cercle inscrit Cône Conclusion Résultat de l’exercice démontré ou calculé 18 cercle inscrit cône de révolution : sa hauteur passe par le centre de sa base. pas de cercle inscrit Conjecture Supposition, quelque chose dont on n’est pas sûr mais qui a l’air vrai. Après démonstration, la conjecture devient conclusion. B Cosinus d’un angle aigu Dans le triangle ABC rectangle en A Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le quotient des longueurs du côté adjacent de l’angle par l’hypoténuse. Ç Ç = côté adjacent à B = AB Cos B hypoténuse BC Dispersion 4 C A 4 2 1 1 2 9 11 13 18 3 9 11 14 19 Ces deux séries ont la même moyenne, la même étendue mais la deuxième est plus dispersée. Distance d’un point à une droite On appelle distance d’un point à une droite la plus courte des distances de ce point à n’importe quel point de la droite. Cette distance est obtenue perpendiculairement à la droite. AH est la plus courte distance entre A et la droite (D) ; c’est donc la distance du point A à la droite (D). H (D) A Donnée Ce que l’on sait, information donnée dans l’énoncé de l’exercice (texte, codages sur la figure) Diviseur Soient a et b deux nombres entiers. On dit que b est un diviseur de a si a divisé par b est un nombre entier. Exemples : 42 7 = 6 187 17 = 11 154 8 = 19,25 7 est un diviseur de 42. 17 est un diviseur de 187 8 n’est pas un diviseur de 154 19 exemples : 3 5 6 758 000 = 758 10 = 7,58 10 = 0,758 10 Ecriture scientifique d’un nombre L’écriture scientifique d’un nombre est une écriture du nombre avec des puissances de 10. C’est celle qui est de la forme : n a 10 avec 1 a < 10 et n entier relatif écriture scientifique Effectif (cumulé) nombre de frères et sœurs effectifs effectifs cumulés croissants 0 8 8 + 1 2 3 4 Total 7+ 6 3 1 25 15 21 24 25 Equation Une équation est une égalité avec des nombres et des opérations dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus et recherchés. exemples : 3x–4=2x+5 4x–2y=5 21 familles ont au plus 2 enfants x est le nombre inconnu x et y sont les inconnues Résoudre une équation c’est chercher toutes les valeurs possibles de ce ou ces nombres pour que l’égalité soit vraie. Etendue : Exemple : L’étendue d’une série statistique est la différence entre Voici les notes obtenues par des élèves à un devoir : 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 15, 16, 16, 16, la plus grande et la plus petite valeur de cette série. 17, 17, 18, 18, 18, 19, 19. Les notes obtenues sont comprises entre 6 et 19. 19 – 6 = 13 L’étendue de cette série est 13. Evènement : Exemple : A partir d’une expérience aléatoire on peut définir ce Lorqu'on lance un dé à 6 façes numérotées de 1 à 6 qu'on appelle des évènements qui sont des ensembles de "Obtenir un nombre pair" est un évènement constitué par les résultats résultats appelée aussi issues. (issues) 2, 4 ou 6 20 Expérience aléatoire : Exemple : Une expérience est dite aléatoire si elle vérifie 2 conditions : Lorsque on lance une pièce de monnaie et on regarde sur quelle face elle tombe, on effectue une expérience aléatoire puisque on connait les résultats possibles (issues) « pile » ou « face » mais on ne peut pas savoir à l’avance sur quelle face elle va tomber - Elle conduit à des résultats possibles connus - On ne sait pas à l’avance lequel de ces résultats va se produire Exposant 3 -5 Dans l’écriture 25 , 3 est l’exposant. Dans l’écriture 10 , -5 est l’exposant. Fonction affine : Soient a et b deux nombres relatifs. On appelle fonction affine le procédé qui à tout nombre x associe le nombre ax b ; c’est à dire que l’on multiplie x par a puis on ajoute b. Notation : on note: x ax b ou f ( x) ax b Exemples : Fraction irréductible : Exemples : Une fraction est dite irréductible lorsqu’elle est simplifiée au maximum. - La fraction x 2x 3 1 sont des fonctions affines g ( x) x 4 5 2 i( x) x n’est pas une fonction affine. Remarque : Si b = 0, alors la fonction est de la forme x 2 x est une fonction linéaire. x ax et est appelée fonction linéaire. 11 est irréductible. 15 39 - La fraction n’est pas irréductible. On peut la simplifier en divisant 91 le numérateur et le dénominateur par 13. 39 3 13 3 = = . 91 7 13 7 Fréquence (cumulée) nombre de frères et sœurs 0 fréquences (en %) 32 fréquences cumulées croissantes 1 28 + 32 2 3 4 Total 24 12 4 100 84 96 100 + 60 60% des familles interrogées ont moins de 2 enfants 21 Hauteur hauteur issue de A A Une hauteur dans un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et coupe le côté opposé perpendiculairement. B M Hypoténuse Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le plus grand côté ; c’est aussi le côté opposé à l’angle droit. Le côté le plus long d’un triangle qui n’est pas rectangle n’a pas de nom. Image d’un nombre par une fonction Si une fonction f est définie par f : x x(x+1) x(x+1) est l’image de x par la fonction f On note f (x) = x(x + 1) A hypoténuse hypoténuse Dans le tableau de valeur suivant : x f(x) -3 6 1 2 L image de -3 est 6, on note f(-3) = 6 L image de 3 est 12, on note f(3) = 12 Inverse On appelle inverse d’un nombre relatif a (a 0) 1 le quotient . Il se note aussi a-1 . a conséquence : le produit de deux nombres inverses est 1, en effet on a : 1 a 1 ou a a 1 1 a Médiane Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. exemples : 1 0,2 5 1 l’inverse de 7 est (pas d’écriture décimale exacte) 7 1 2 l’inverse de –0,5 est 0,5 l’inverse de 5 est A M 22 C I médiane issue de M I 3 12 Médiane statistique : Exemple : La médiane d’une série statistique est la valeur qui sépare la série en deux moitiés. 8, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11 11, 11, 12, 12, 13, 14 7 notes Médiatrice La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire au segment en son milieu. C’est aussi l’ensemble de tous les points qui sont à la même distance des extrémités du segment. Une médiatrice d’un triangle est une médiatrice d’un côté du triangle. A 7 notes Médiane médiatrice du médiatrice du segment [AI] segment [AI] A I M I Moyenne (pondérée) A l’examen de passage en seconde année de l’école de musique, Pauline a obtenu : Coefficient 2 solfège 3 note 10 12 histoire de la musique instrument 6 14,5 moyenne pondérée = 10 2 12 3 14,5 6 13 23 6 Exemples : - Les diviseurs de 15 sont {1 ; 3 ; 5 ; 15} et ceux de 22 sont Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est {1 ; 2 ; 11 ; 22 }. 1 est le seul diviseur commun aux deux nombres, égal à 1. donc 15 et 22 sont premiers entre eux. - 27 et 42 ne sont pas premiers entre eux car 3 est un diviseur commun aux deux nombres. Nombres premiers entre eux : Opposé L’opposé d’un nombre relatif est le nombre qui a la même distance à zéro et le signe contraire. exemples : -5 -3 0 1 3 5 l’opposé de 3 est –3 ; l’opposé de –5 est 5. 23 Orthocentre orthocentre L’orthocentre d’un triangle est le point de concours des hauteurs de ce triangle. Exemple : Voici la liste des diviseurs de 24 : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24} et C’est le Plus Grand Commun Diviseur à deux nombres la liste de ceux de 36 : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36}. entiers. Les diviseurs communs à 24 et 36 sont donc {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ;12} Le plus grand de ces diviseurs communs est 12 : c’est le PGCD de 24 et de 36. PGCD : Polygone Un polygone est une figure à plusieurs côtés. Il est dit régulier si tous les côtés ont la même longueur et s’il a un cercle circonscrit. Polygone quelconque rectangle hexagone régulier. Exemple : La probabilité d’un évènement A représente les chances Quand on joue à pile ou façe avec une pièce bien équilibrée, on a une chance sur deux d’obtenir « pile ». On pose donc P(Pile) = 0,5. que cet évènement se réalise lors d’une expérience aléatoire. Cette probabilité est noté P(A) : c’est un nombre compris entre 0 et 1 Probabilité Propriété Règle connue (vraie, démontrée ou admise, écrite dans le cahier de cours) présentée souvent sous la forme « Si ….. Alors ….. » exemple : 5 x 5 x 5 x 5 s’appelle 5 à la puissance 4 Puissance 4 et se note 5 . Une puissance d’un nombre est une multiplication de ce nombre par lui même plusieurs fois . 24 2 2,1 2,1 = 2,1 ; (-4) (-4) (-4) = (-4) 3 Pyramide Une pyramide c’est : Quartile Le premier quartile d’une série statistique est la plus petite valeur telle que au moins 25% (le quart) des valeurs lui sont inférieures ou égales Une pyramide ce n’est pas : Exemple : Dans la série de 14 notes suivante (rangée dans l’ordre croissant) 8, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11 11, 11, 12, 12, 13, 14 er ème Le troisième quartile d’une série statistique est la plus Le quart de 14 est 3,5, le 1 quartile est la 4 valeur c'est-à-dire 9 petite valeur telle que au moins 75% (les trois quarts) Les trois quarts de 14 correspondent à 10,5, le 3ème quartile est la 11ème des valeurs lui sont inférieures ou égales valeur c’est à dire 12. Racine carrée Exemples : La racine carrée d’un nombre positif b , notée b , est le nombre positif : 81 = 9 car 9 9 = 81 et 9 > 0. - qui multiplié par lui même est égal à b b b b - dont le carré est égal à b. 2 ( b) = b Réduction: Une figure A est une réduction d’une figure B si elle a la même forme et si toutes les longueurs de la figure B sont celles de A multipliées par un même nombre k avec 0< k <1. Cette croix est une réduction de la croix 1 cette croix n’est pas une réduction de la croix 1 Section : La section d’un solide est la surface obtenue lorsqu’on coupe ce solide par un plan . 25 Sinus d’un angle aigu: Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est le quotient des longueurs du côté opposé à l’angle par l’hypoténuse. Dans le triangle EFG rectangle en F, Ç = côté opposé à l’angle = EF Sin G hypoténuse EG Sphère Une sphère de centre O et de rayon r est constituée de tous les points de l espace situés à la distance r du centre O. L intérieur de la sphère s appelle une boule F E r O G M P OM = OP = r Tangente à un cercle C’est une droite qui a un unique point d’intersection avec ce cercle. tangente C Tangente d’un angle aigu : Dans le triangle ABC rectangle en B Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu Ç = côté opposé à l’angle = AB est le quotient des longueurs du côté opposé et du côté Tan C côté adjacent à l’angle BC adjacent de l’angle aigu. A B Valeur approchée - exacte 7 3 . 0,75 est la valeur exacte du nombre . une valeur approchée de 10 est 3,1622 3 4 3,1 est sa troncature et 3,2 est la valeur arrondie. La valeur exacte de 36 est 6. 2,3 est une valeur approchée du nombre remarque : la valeur affichée par la calculatrice n’est pas toujours la valeur exacte. 26 27 28 29 30 RÈGLES DE CALCULS SUR LES RELATIFS I - ADDITIONS DE RELATIFS Règles : - Pour ajouter deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs distances à zéro et on garde le signe commun. ; (+10) + (+4,5) = + 14,5 ; -9 12,5 = - 21,5 Exemples : (-3) + (-5,1) = -8,1 - Pour ajouter deux nombres relatifs de signes différents, on soustrait leurs distances à zéro et on garde le signe de la plus grande distance à zéro. Exemples : (-7) + (+5) = -2 ; (+14) + (-6) = +8 ; -6 + 10 = 4 ; -95 + 10 = -85 II - SOUSTRACTION DE NOMBRES RELATIFS Règle : Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé. Exemples : (+4) – (+6) = (+4) + (-6) = -2 en écriture simplifiée, cela donne 4 – 6 = -2 (-8) – (+2) = (-8) + (-2) = -10 en écriture simplifiée, cela donne -8 –2 = -10 (-6) – (-1) = (-6) + (+1) = -5 en écriture simplifiée, cela donne -6 – (-1) = - 6+1 = -5 III - SUCCESSION D’ADDITIONS ET DE SOUSTRACTIONS DE NOMBRES RELATIFS Technique : On transforme toutes les soustractions en additions (en utilisant II), puis on regroupe et on calcule ensemble tous les termes positifs d’un côté et tous les termes négatifs de l’autre. Il ne reste plus qu’à ajouter les deux nombres relatifs obtenus. Exemples : A = (-3) + (-7) – (+4) – (-1) + (+10) B = -18 + 24 + 30 – 5 – 11 + 3 = (-3) + (-7) + (-4) + (+1) + (+10) = -18 – 5 – 11 + 24 + 30 + 3 = = = (-14) + (-3) (+11) = -34 + 57 23 31 MULTIPLICATION ET DIVISION DES NOMBRES RELATIFS RÈGLES : 1. Si on multiplie .................. deux nombres positifs alors le résultat est positif. 2. Si on multiplie .................. deux nombres négatifs alors le résultat est positif. 3. Si on multiplie .................. un nombre positif et un nombre négatif alors le résultat est négatif. Exemples : (- 4) x 25 est ……………………… (règle n° ……) -54 est …………………… ( règle n° ……) ; -8 ; - 1,2 x (-2 300) est …………………… (règle n° ……) 27 est ………………………… (règle n° ……) -2,6 Conséquence sur l’écriture : (- 3) : 5 = 3 : (- 5) = - 3 : 5 -3 3 3 = =(règle 3) 5 -5 5 CAS DES MULTIPLICATIONS SUCCESSIVES 32 (-2) : (-7) = 2 : 7 -2 2 = (règles 1 et 2) -7 7 INVERSE D’UN NOMBRE RELATIF DÉFINITION : On appelle inverse d’un nombre relatif a le quotient 1 a Il se note aussi a-1. CONSÉQUENCE : 1 = 1. Ou a x a-1 = 1. a Le produit de deux nombres inverses est égal à 1 a x c’est-à-dire : Exemples : L’inverse de 5 est …………………… L’inverse de 0,5 est …… car ………………………………… . Les nombres – 10 et ………… sont des inverses car …………………………………… PROPRIÉTE L’inverse de 7 est ………… (qui n’a pas d’écriture décimale exacte) L’inverse de – 3 est …………………… (qui n’a pas d’écriture décimale exacte) : Deux nombres inverses ont le même signe. PROPRIÉTE : Pour a et b nombres relatifs, avec b 0 Diviser a par b c’est la même chose que multiplier a par l’inverse de b. a 1 a : b = = a x b b Exemples : 4 : 5 = …… x …… = …… x …… = ………… 4 : 0,5 = …… x …… = …… x …… = …… 33 REGLES DE CALCULS SUR LES FRACTIONS Égalités de fractions Propriété : Si alors Si alors a, b et k sont des nombres relatifs non nuls, a a k a : k = = b b k b : k on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même nombre on obtient une fraction égale à la première. 3 3 4 12 = = 2 24 8 Exemple : Conséquence : simplification de fractions Simplifier une fraction c’est trouver une fraction égale avec un dénominateur (et un numérateur) plus petit. 45 45 : … … 45 … … … Exemple : = = ce qui s’écrit aussi = = 35 35 : … … 35 … … … Addition - Soustraction Méthode : Exemple 1 : 1) Si les fractions ont le même dénominateur, alors j’ajoute (ou je soustrais) uniquement les numérateurs le dénominateur restant le même. 2) Si les fractions n’ont pas le même dénominateur : a. Je choisis un dénominateur commun pour toutes les fractions b. Je transforme les fractions pour les écrire toutes avec ce nouveau dénominateur c. J’ajoute (ou je soustrais) uniquement les numérateurs le dénominateur restant le même. Calcul de 3 9 – 4 4 Les fractions ont le même dénominateur : Exemple 2 : Exemple 3 : 3 9 ………… …… – = = 4 4 … …… 6 3 + 5 10 Les fractions n’ont pas le même dénominateur mais 10 est le double de 5. Je choisis …… comme dénominateur commun. 6 6 … …… Je transforme la fraction = = 5 5 … …… 6 3 …… 3 …… …… + = + = = 5 10 10 10 … …… -5 7 Calcul de + 12 18 Les fractions n’ont pas le même dénominateur, il faut donc trouver un dénominateur commun. Pour cela, j’écris la table de 12 et de 18 : 12, ……, …… , … Calcul de 18, …… , …… , … je m’arrête dès qu’il y a le même nombre Je transforme les fractions : J’effectue les calculs et j’ajoute 34 -5 7 -5 …… 7 …… + = + 12 18 12 …… 18 …… = …… …… …………… …… + = = …… …… …… …… Multiplication Propriété : - Si a, b, c et d sont des nombres relatifs non nuls a c a c alors = b d b d - Pour multiplier deux fractions, on multiplie les dénominateurs et les numérateurs entre eux. Exemples : -3 5 …… …… …… = = 4 7 …… …… …… b) Dans certains cas, il est souhaitable de simplifier avant d’effectuer les calculs : 6 20 …… …… 2 345 …… = = = 15 18 …… …… …… …… …… …… …… a) Inverse d’une fraction Définition : Pour a et b deux nombres relatifs non nuls, l’inverse de la fraction Rappel : le produit de deux nombres inverses est égal à 1 et on a bien : Exemples : L’inverse de 1 …… est = …… 7 …… L’inverse de a b est la fraction b a a b =1 b a –2 est …… 9 Division Rappel : Pour diviser par un nombre on peut multiplier par l’inverse de ce nombre. Propriété : - Si alors a, b, c et d sont des nombres relatifs non nuls a c a d : = b d b c a c a c - Pour diviser la fraction par la fraction , on multiplie la fraction par l’inverse de , b d b d a d c’est-à-dire, on multiplie par . b c Exemples : 3 4 …… …… : = 4 5 …… …… …………… = …………… …… = …… -8 7 …… …… b) = -6 …… …… -14 a) = = = …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… On transforme le quotient en produit On applique la règle sur la multiplication de deux fractions On transforme le quotient en produit On détermine le signe On calcule le produit en simplifiant avant d’effectuer les opérations 35 RÈGLES DE CALCULS SUR LES PUISSANCES Si n est un entier supérieur ou égal à 2, alors : a n = a a … a n facteurs Exemple : 25 = ……………………… = …… Cas particuliers : a1=a pour a 0, a 0 = 1 exemple : exemple : 501 = … 350 = … Multiplication et division de puissances : 1°) Si m et n sont deux nombres entiers relatifs, alors : a m a n = a m + n 2°) Si a 0 et si m et n sont des entiers relatifs, am alors : = a m–n an 3°) Si a et b sont deux nombres différents de 0 et si n est un entier relatif, n alors, ( a b ) = a n b n Exemple : 32 35 = …… 57 = …… 56 54 24 = ( … … )… = …… Inverse : Si a 0, alors le nombre a –n est l’inverse de a n 1 Autrement dit : pour a 0, a – n = n a Exemple : 36 12 –3 = …… RÈGLES DE CALCULS SUR LES PUISSANCES DE 10 I. DÉFINITION. n désigne toujours un nombre entier positif non nul. On note 10n le produit de n facteurs tous égaux à 10. 10 n 10 ... 10 1 0 ...0 n zeros n facteurs Exemples : 105 = ……………………………………… = ………………. (« 1 » puis « … zéros ») 109 = …………………………………………………… = ……………………… (« 1 » et « … zéros ») 101 = 10 Par convention 100 = 1 On note 10-n l’inverse de 10n. 10 n 1 10 n 1 1 0, 0 ... 01 10 ... 10 1 0 ...0 n décimales n facteurs n zeros Exemples : 1 1 10-5 = = =… … ………… 1 10-1 = =… … ( … décimales ou « 1 » précédé de « … zéros ») II. RÈGLES DE CALCUL. n et m sont deux nombres entiers non nuls. PRODUIT INVERSE 1 10 m 10 n 10 mn 10 Exemple : 102 103 = 10 … + … n QUOTIENT 10 10 n 10 Exemple : 1 = …… 107 = 10… m 7 n 10 mn Exemple : 10 = 10……… = 10… 104 PUISSANCE DE PUISSANCE 10 m n 10 mn Exemple : (10 –5) 2 =10 … … = 10… III. MULTIPLICATION PAR UNE PUISSANCE DE 10 Pour multiplier un nombre décimal par 10 (N 0), on décale la virgule de N rangs vers la droite. N Pour multiplier un nombre décimal par 10 -N (N 0), on décale la virgule de N rangs vers la gauche. IV. NOTATION SCIENTIFIQUE D’UN NOMBRE On dit qu’un nombre est en notation scientifique lorsqu’il est écrit sous la forme « a 10n » où a est inférieur à 10 et n est un entier positif ou négatif. Exemple : -1,2345 103 NOTATION SCIENTIFIQUE 0,012 10-2 N’EST PAS UNE NOTATION SCIENTIFIQUE. 12 850 000 = 0,012 51 10-2 = de - 1 234,5 37 RÈGLES DE CALCUL SUR LES LETTRES SIMPLIFICATION D’ÉCRITURE Simplifier ou réduire une écriture signifie raccourcir cette écriture. I - Simplification d’un produit : Règles : Dans l’écriture d’une expression, le signe × peut être supprimé devant une lettre ou devant une parenthèse. Pour calculer un produit ou simplifier son écriture, on peut changer l’ordre des facteurs et les regrouper différemment. Exemples : 1 a = …… = … a b = …… 2 a = …… 2a 3b = …… a 3 = …… a a = …… 2a 3 = …… 2a 3a = …… II – Simplification d’une somme : Pour réduire certaines sommes, on peut utiliser la propriété de distributivité suivante : Règle : Quels que soient les nombres relatifs k, a et b, on a Exemples : 2a + 3a = (… + …) a = … a 2a 3a = (… …) a = … a a + a = (… + …) a = … a 3a² – 2a² = (… …) … = …… a + 3a = (… + …) … = …… RÈGLES DE SUPPRESSIONS DE PARENTHÈSES DISTRIBUTIVITÉ 38 ak + bk = (a + b) k Attention !!! on ne peut pas réduire toutes les sommes : 2 + 3a 3a – 2 3 – 2a² 4x + 5x² ne peuvent pas être simplifiées DOUBLE DISTRIBUTIVITÉ 39 40 RÈGLES DE CALCUL SUR LES ÉGALITÉS ET OPÉRATIONS Propriété (sur l’addition et la soustraction): Si on ajoute ou on soustrait un nombre aux 2 membres d’une égalité, alors on obtient une nouvelle égalité. ou Si on ajoute ou on soustrait un nombre à un membre d’une égalité, alors il faut ajouter ou soustraire le même nombre à l’autre membre pour obtenir une nouvelle égalité. ou Pour tous les nombres a, b et c relatifs : Si a = b alors a + c = b + c et a–c=b–c. Propriété (sur la multiplication et la division): Si on multiplie ou on divise les 2 membres d’une égalité par un même nombre non nul, alors on obtient une nouvelle égalité. ou Si on multiplie ou on divise un membre d’une égalité par un nombre , alors il faut multiplier ou diviser l’autre membre par le même nombre pour obtenir une nouvelle égalité. ou Pour tous les nombres a, b et c relatifs, c 0 : Si a = b alors a c = b c et a:c=b:c 41 RÈGLES DE CALCULS SUR LES INÉGALITÉS 42 LES IDENTITÉS REMARQUABLES 43 RÈGLES DE CALCULS SUR LES RADICAUX 44 45 46 47 48 COMMENT CALCULER UNE SUITE DE CALCULS Règle n°1 : Si il y a des parenthèses alors il faut commencer par les calculs entre parenthèses. Règle n°2 : Si il n’y a pas de parenthèses alors il faut commencer par les multiplications ou les divisions. Règle n°3 : Si il n’y a pas de parenthèses et qu’il n’y a que des additions ou des soustractions alors on peut faire les calculs dans l’ordre qu’on veut, en faisant attention au signe des nombres. Règle n°4 : Si il n’y a pas de parenthèses et qu’il n’y a que des multiplications et des divisions alors il faut faire les calculs de gauche à droite. Exemples : 1) A = 17 - 5 x 3 + 3 Il n’y a pas de parenthèses donc j’applique la règle …… A = 17 - ……… + 3 Il n’y a pas de parenthèses et que des additions et soustractions donc j’applique la règle …… A = ……………………… A = …… 2) B = 34 - 4 x (10 - 5 : 2) Il y a des parenthèses donc j’applique la règle …… Dans les parenthèses, j’applique la règle …… B = 34 - 4 ( ………………………) Il y a encore des parenthèses donc j’applique la règle …… B = 34 - 4 ……… Il n’y a pas de parenthèses donc j’applique la règle …… B = ……………… B = …… 3) C = - 3 + 3 5 8 :2 – 2 ATTENTION : dans ce cas, le trait de fraction remplace l’écriture suivante : (- 3 + 3 5) : (8 :2–2) Il y a des parenthèses donc j’applique la règle …… Dans les parenthèses, j’applique la règle …… ……………………… C= ……………………… Tout se passe comme s’il y avait des parenthèses donc j’applique la règle …… …… C= = …… …… 49 50 COMMENT CALCULER UNE LONGUEUR PROPRIÉTÉ DE LA DROITE DES MILIEUX : Si alors Si dans un triangle ABC, I = m[AB] et J = m[AC] Dans un triangle, le segment alors IJ = BC : 2 mesure la moitié du troisième côté. joignant les milieux de deux côtés THEOREME DE PYTHAGORE B 2 Si 2 2 Alors …… = …… + …… Si un triangle est rectangle Alors, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. C A Le théorème de Pythagore sert à calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle connaissant les 2 autres côtés. EXEMPLES : Calcul de l’hypoténuse Calcul d’un côté de l’angle droit K M P 15 cm 32 cm 63 cm I J 20 cm N Le triangle ……… est rectangle en …… Le triangle ……… est rectangle en ……. Son hypoténuse est [ … … ]. Son hypoténuse est [ … … ]. Donc, d’après le théorème de Pythagore : ……… soit D’où 2 = ……… 2 2 + ……… 2 2 = ……… + ……… 2 = ……… = ……… 2 + ……… Donc d’après le théorème de Pythagore : 2 2 ……… soit ……… 2 = ……… = = ……… D’où 2 2 = ……… + ……… 2 + ……… 2 2 + ……… 2 = ……… – ……… 2 = ……… ………… Le résultat au dixième près est = ……… 51 COMMENT CALCULER UNE LONGUEUR AVEC LE "PETIT" THÉORÈME DE THALES Dans le triangle ABC, Si D [AB], E [AC] et (BC) // (ED) B Alors, les longueurs des côtés correspondants des triangles ABC et AED sont proportionnelles. D ce qui revient à dire que, C le tableau Triangle ABC AB AC BC Triangle AED AD AE ED est un tableau de proportionnalité E ce qui revient à dire que, A // AB AC BC = = AD AE ED Méthode : 1) Vérifier que l’on est dans une situation de Thalès en écrivant les données nécessaires à l’application du théorème, puis indiquer le nom de la propriété utilisée. 2) Trouver les côtés associés des deux triangles (faire éventuellement un tableau) 3) Écrire l’égalité des quotients 4) Remplacer les longueurs connues par leurs valeurs 5) Choisir, parmi les quotients égaux, une égalité de deux quotients faisant intervenir trois longueurs connues et la longueur cherchée. 6) Calculer cette longueur (en utilisant la quatrième proportionnelle) Exemple d’utilisation : Calculer EH et IJ sachant que les droites (IJ) et (FH) sont parallèles 10,5 cm Dans le triangle ………, on a … [……] et … [……] 1) et ……………… F 2 cm I EF …… …… = = …… EJ …… les points 4) les points …… …… = …… …… d’où EI = _______________________ 5) , 6) EH = et IJ = EH IJ …… …… …… Donc le segment [EH] mesure _________ et le segment [IJ] mesure _____________ 52 4 cm 6 cm donc, d’après ………………………………………………, on a : 2) , 3 ) H E J LE THÉORÈME DE THALÈS . 53 TRIGONOMÉTRIE DANS UN TRIANGLE RECTANGLE 54 55 COMMENT CALCULER UN ANGLE PROPRIÉTÉ DU TRIANGLE INSCRIT DANS UN CERCLE A A Si Alors Si C B B AVEC LA TRIGONOMÉTRIE 56 un point C est situé sur un cercle de diamètre [AB] Æ Alors, A CB = 90°. C PROPRIÉTÉ DES ANGLES INSCRITS DANS UN CERCLE 57 58 COMMENT CALCULER UNE EXPRESSION LITTÉRALE Méthode pour simplifier une écriture complexe 1. Repérer les opérations prioritaires (entre parenthèses, multiplications/divisions, additions/soustractions) 2. Simplifier ces opérations prioritaires si c’est possible en utilisant les règles de la page …. 3. Pour les additions/soustractions, regrouper les éléments de même nature. 4. Simplifier l’expression par groupe. Exemple : A = 4(a + 2a) + 6 – 8a a + 5 + a² + 3a 1) Je repère les opérations prioritaires et je les simplifie. A = …………………………………… 2) Je simplifie la multiplication qui reste. A = …………………………………… 3) Je regroupe les éléments de même nature. A = …………………………………… 4) Je simplifie chaque groupe. A = … a² + … a + … 59 COMMENT FACTORISER UNE EXPRESSION 60 61 COMMENT CALCULER UN NOMBRE INCONNU Définitions : Une égalité qui comporte des calculs avec un seul nombre inconnu désigné par une lettre est appelée « équation à une inconnue ». Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs de cette lettre pour lesquelles l’égalité est vraie. Rappels : La résolution de l’équation « x + a = b » se fait en utilisant le fait que « x » est le nombre qu’il faut ajouter à « a » pour trouver « b», c’est donc la différence entre « b » et « a » d’où x = _________ La résolution de l’équation « a x = b » se fait en utilisant le fait que « x » est le nombre par lequel il faut multiplier « a » pour trouver « b », c’est donc le quotient de « b » par « a » d’où x= Exemple de résolution : Résoudre 3 x – 1 = x + 3 1) On élimine les termes contenant « x » dans le membre de droite (par exemple) 3 x – 1 _______ = x + 3 _______ 2) On réduit : __________ = 3 3) On élimine les termes du membre de gauche ne contenant pas d’« x ». ______ – 1 _____ = 3 _____ 4) On réduit : ______ = ____ x= 5) On trouve : 3 ____ – 1 = ___ et ____ + 3 = ___ On vérifie : 6) On conclut : = ____ ____ est la solution de l’équation 3 x – 1 = x + 3 Mise en équation d’un problème : 1) Identifier la grandeur que l’on cherche (l’inconnue) et la désigner par une lettre 2) Traduire l’énoncé par une équation (pour ce faire, exprimer des informations de l’énoncé « en fonction de l’inconnue ») 3) Résoudre l’équation puis contrôler que le nombre trouvé convient 4) Donner la solution du problème par une phrase, en s’assurant de la cohérence de la solution. 62 COMMENT CALCULER LES SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DU TYPE A B = 0 ET X2 = a 63 COMMENT CALCULER DEUX NOMBRES INCONNUS DANS UN SYSTÈME 64 COMMENT CALCULER LES SOLUTIONS DANS UNE INÉQUATION 65 COMMENT CALCULER DANS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ a, b, c et d sont quatre nombres non nuls. 1) Si Alors a b c d est un tableau de proportionnalité c d est un tableau de proportionnalité Si un tableau est de proportionnalité alors, les quotients sont égaux. a c = b d 2) Si a b Si un tableau est de proportionnalité alors, les produits en croix sont égaux . Alors a d = b c 3) Si a b c d est un tableau de proportionnalité Alors il existe un nombre k tel que b = a k et d = c k . Si un tableau est de proportionnalité alors, il existe un coefficient multiplicateur k pour passer d’une ligne à l’autre du tableau. COMMENT CALCULER UNE 4ÈME PROPORTIONNELLE On veut compléter le tableau de proportionnalité suivant 3 63 1ère méthode : en utilisant le coefficient de proportionnalité. 4 x 3 63 4 x 3 63 4 x a) On trouve le coefficient : ………………………… = … b) On calcule pour 4 : ……=… 2ème méthode : en utilisant les produits en croix. On sait que le tableau est de proportionnalité, donc les produits en croix sont égaux : ( … … = … … ) x= 66 … …… …… = = …… … … … COMMENT CALCULER AVEC LES POURCENTAGES 67 le coefficient qui permet d’obtenir les nouvelles valeurs lors d’une augmentation de N %. k=1+ le coefficient qui permet d’obtenir les nouvelles valeurs lors d’une diminution de N %. N 100 k’ = 1 – N 100 le taux (%) d’une augmentation ou d’une diminution exemple 1 : déterminer le taux de l’augmentation lorsqu’un prix passe de 150 € à 180 €. 1) on calcule le coefficient de proportionnalité k = 180 = 1,2 150 N = 1,2 et on obtient N = 20 % 100 2) on résout l’équation 1 + ou bien on applique directement la formule %= valeur finale valeur de départ 100 valeur de départ c’est à dire 180 150 100 150 3000 20 % 150 il s’agit donc d’une augmentation de 20 % exemple 2 : déterminer le taux de la diminution lorsqu’un prix passe de 120 € à 102 €. 1) on calcule le coefficient de proportionnalité k’ = 2) on résout l’équation 1 – N = 0,85 et on obtient N = 15 % 100 ou bien on applique directement la formule %= valeur de départ valeur finale 100 valeur de départ c’est à dire 120 102 120 100 1800 15% 120 il s’agit donc d’une diminution de 15 % 68 102 = 0,85 120 COMMENT CALCULER UNE VITESSE, UNE DISTANCE, UN TEMPS On utilise la formule V= d t On remplace les lettres par les valeurs connues (en faisant attention aux unités) On détermine par le calcul la grandeur inconnue. POUR CALCULER UNE VITESSE exemple 1 : Un train parcourt 270 km en 1 h 18 min. Quelle est sa vitesse moyenne ? d on a V = et on sait que d = 270 km et t = 1 h 18 min = _____ h t donc V = d’où V La vitesse moyenne de ce train est d’environ ____________. POUR CALCULER UNE DISTANCE exemple 2 : Un chauffeur routier roule à la vitesse moyenne de 80 km/h pendant 1 h 12 min. Quelle distance a-t-il parcouru ? d on a V = et on sait que V = 80 km/h et t = 1 h 12 min = _____ h t donc 80 = d donc d = _________ = ________ Le routier a donc parcouru ____________. POUR CALCULER UN TEMPS exemple 3 : Un cycliste parcourt 55 km à la vitesse moyenne de 25 km/h. Pendant combien de temps a-t-il roulé ? d on a V = et on sait que V = 25 km/h et d = 55 km t donc 25 = donc _____ × t = ______ d’où t= = ____ h = __ h ____ min Le cycliste a donc roulé pendant ____________. Remarques : Pour l’exemple 2, on peut aussi appliquer directement la formule d = ______. Pour l’exemple 3, on peut aussi appliquer directement la formule t = . 69 COMMENT CALCULER UN EFFECTIF – UNE FRÉQUENCE On demande à des élèves leur taille, et on regroupe les résultas dans un tableau. 1,20 T < 1,30 1,30 T < 1,40 1,40 T < 1,50 1,50 T < 1,60 1,60 T < 1,70 Taille Effectif 5 7 13 6 9 La colonne grise signifie qu’il y a 9 élèves de taille comprise entre 1,50 m et 1,60 m. On regroupe ces résultats par effectifs cumulés croissants : Taille inférieure à ... 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 Effectif 5 12 25 34 40 La colonne grise signifie qu’il y a 12 élèves de taille inférieure à 1,40 m. On regroupe ces résultats par effectifs cumulés décroissants : Taille supérieure ou égale à ... 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 Effectif 40 35 28 15 6 La colonne grise signifie qu’il y a 28 élèves de taille supérieure à 1,40 m COMMENT CALCULER UNE MOYENNE PONDÉRÉE Un élève a obtenu les notes suivantes au bac : Matière Français Mathématiques Histoire Anglais Espagnol Note 12 10 11 8 5 Coefficient 4 4 2 2 1 a) calcul de la moyenne « simple », on trouve : M= 12 + 10 + 11 + 8 + 5 = 9,2 5 donc l’élève échoue au bac ! b) calcul de la moyenne pondérée (on applique un coefficient à chaque note) on trouve : M= 12 4 10 4 11 2 8 2 5 1 131 10,1 donc l’élève obtient le bac ! 4 4 2 2 1 13 Remarque : On veut calculer une approximation de la taille moyenne des élèves du groupe, mais on a regroupé les effectifs en classes. 1,20 T < 1,30 1,30 T < 1,40 1,40 T < 1,50 1,50 T < 1,60 1,60 T < 1,70 Taille Effectif 5 7 13 9 6 Il faut remplacer chaque classe par son centre : Taille 1,25 1,35 1,45 1,55 1,65 Effectif 5 7 13 9 6 Calculons maintenant la moyenne pondérée : M= 70 1,25 5 1,35 7 1,45 13 1,55 9 1,65 6 58,4 1,46 m 5 7 13 9 6 40 COMMENT CALCULER UNE ÉTENDUE, UNE MÉDIANE 71 COMMENT CALCULER UNE PROBABLITÉ 72 COMMENT CALCULER UN QUARTILE 73 COMMENT CALCULER UNE AIRE D’UN CARRÉ : Aire = Périmètre = D’UN RECTANGLE : Aire = Périmètre = D’UN PARALLÉLOGRAMME : Aire = D’UN TRIANGLE : Aire = D’UN TRAPÈZE : Aire = D’UN CERCLE : Aire = Périmètre = 74 COMMENT CALCULER UN VOLUME Cube : H Parallélépipède : c l Volume : c3 L Volume : L l H H Prisme : Volume : B H (B : aire de la base) H B B Pyramides : H BH 3 (B : aire de la base) Volume : H B B Cylindre : Cône : H B BH 3 (B : aire de la base) Volume : Volume : B H (B : aire de la base) Boule : Volume : 4 R3 3 75 COMMENT CALCULER LE PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS 76 COMMENT CALCULER UNE EXPRESSION AVEC DES RACINES CARRÉES 77 78 COMMENT UTILISER LA CALCULATRICE AVEC LES NOMBRES RELATIFS La touche opposé : - Sur ma calculatrice, pour obtenir le nombre – 7, j’utilise la séquence : Il s’affiche : - pour calculer –7 – (- 6), j’utilise la séquence : -7 – - 6 – Il s’affiche : Il s’affiche : -2 -3 , il s’affiche : 1÷8 il s’affiche : -1 - pour calculer (-2) (-3), j’utilise la séquence : -7 -1 6 La touche inverse : - Sur ma calculatrice, pour obtenir l’inverse de 8 : 1ère méthode : j’utilise la séquence : 1 ÷ 2ème méthode : j’utilise la touche inverse : 8 , 0.125 8 0.125 - Sur ma calculatrice, pour obtenir l’inverse de -5, j’utilise la séquence : il s’affiche 1 ÷ -5 -0.2 ou il s’affiche -5 -1 -0.2 79 COMMENT UTILISER LA CALCULATRICE AVEC LES FRACTIONS touche(s) à utiliser : exemple 1 : touche(s) à utiliser : 4 3 + 5 4 exemple 1 : on tape cela signifie …. conclusion : 4 3 31 + = 5 4 20 5 2 4 – : 6 3 15 cela signifie …. exemple 2 : 4 3 31 + = 5 4 20 5 2 4 – : 6 3 15 on tape il s’affiche conclusion : il s’affiche conclusion : on tape 80 4 3 + 5 4 on tape il s’affiche exemple 2 : COMMENT UTILISER LA CALCULATRICE AVEC LES FRACTIONS cela signifie …. 5 2 4 5 – : =6 3 15 3 il s’affiche conclusion : cela signifie …. 5 2 4 5 – : =6 3 15 3 COMMENT UTILISER CALCULATRICE AVEC DES PUISSANCES 1) Calcul avec les puissances : Pour calculer des puissances j’utilise la touche suivante (entoure celle qui apparaît sur ta calculatrice) : x y y x ^ autre : … Pour effectuer les calculs suivants, il faut utiliser la séquence suivante : 32 : j’utilise la séquence : Il s’affiche : …… ___ ___ ___ ___ Il s’affiche : …… -2 5 : j’utilise la séquence : ___ ___ ___ ___ ___ 5 + (-2)3 : j’utilise la séquence : ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ Il s’affiche : …… 9 - 32 -3 2) Écriture scientifique d’un nombre. a) Affichage : Lorsque je calcule l’opération : 25 000 4 000 000, ma calculatrice affiche : ………………………….. Ce qui correspond au nombre : ………………………………………………. Cette notation s’appelle notation scientifique d’un nombre . Remarque : L’écriture scientifique d’un nombre est très fréquemment utilisée. Elle permet notamment d’écrire de très grands ou de très petits nombres. Par exemple : la distance de la terre au soleil est de 1 500 000 000 km ; c’est à dire de 1,5 10 9 km. b) calculs : On veut effectuer l’opération 5 105 1,2 10-2 avec une calculatrice 1ère méthode : 5 Il s’affiche : 10 ___ ___ 5 1 , 2 10 ___ ___ (-) 2 …… …… 2ème méthode : en utilisant la touche EXP ou 10x ou 5 Il s’affiche : 5 1 , 2 (-) 2 …… …… Remarque : Dès que le résultat d’un calcul dépasse la capacité d’affichage de la calculatrice, elle affiche toujours l’écriture scientifique du nombre. …… Exemple : pour 12500 250 000, elle affiche …… alors que pour 12500 2 500 000, elle affiche …… …… 81 COMMENT UTILISER LA CALCULATRICE AVEC LE THÉORÈME DE PYTHAGORE Pour calculer le carré d’une longueur : La touche « carré » : Si AB = 2,3 cm, pour obtenir AB2 : j’utilise la séquence : Il s’affiche : 2.32 5.29 par conséquent, AB2 = 5,29 Pour calculer une longueur connaissant son carré : La touche racine carrée : Si AB2 = 18, pour obtenir AB : j’utilise la séquence : par conséquent, AB 4,2 cm 82 , Il s’affiche : 18 4.242640687 COMMENT UTILISER MA CALCULATRICE POUR FAIRE DES CALCULS AVEC SINUS, COSINUS ET TANGENTE 83 84 85 86 COMMENT CONSTRUIRE LES DROITES REMARQUABLES D’UN TRIANGLE LA MÉDIATRICE D’UN SEGMENT OU D’UN CÔTÉ : A A B A B B 1 - On trace deux arcs de cercles de centre A de part et d’autre du segment 2 - En gardant le même écartement, on trace deux autres arcs de cercle de centre B LA HAUTEUR ISSUE D’UN SOMMET 3 - On obtient ainsi la médiatrice de [AB] : B B I A A C C 1- On place un des côtés de l’angle droit sur un côté du triangle 2 - On fait glisser l’équerre jusqu’à ce qu’elle passe par le sommet opposé du côté. On obtient la hauteur issue de A. I est appelé pied de la hauteur issue de A LA BISSECTRICE D’UN ANGLE : On obtient ainsi la bissectrice de l’angle LA MÉDIANE D’UN TRIANGLE : 1- On place le milieu d’un côté 2 - On trace la droite qui passe par le milieu et le sommet opposé. On obtient ainsi la médiane issue d’un sommet 87 PROPRIÉTÉS DES DROITES REMARQUABLES D’UN TRIANGLE A I. MÉDIATRICES. Les médiatrices des côtés d’un triangle sont .............................................. : Leur point de concours s’appelle le ......................................... au triangle. C B II. HAUTEURS. A Les hauteurs d’un triangle sont ................................................................... : Leur point de concours s’appelle l’ .......................................... du triangle. C B III. BISSECTRICES. A Les bissectrices des 3 angles d’un triangle sont Leur point de concours est appelé . C B IV. MÉDIANES. A Les médianes d’un triangle sont ............................................................ Leur point de concours s’appelle le ...................................................... C B CAS PARTICULIERS : a. Dans un triangle isocèle... Si un triangle est isocèle alors la hauteur issue du sommet principal est aussi médiane, médiatrice et bissectrice. (C’est l’axe de symétrie du triangle isocèle). 88 b. Dans un triangle équilatéral... Si un triangle est équilatéral alors les hauteurs, les médianes, les médiatrices et les bissectrices de chaque sommet sont confondues. (Ce sont les 3 axes de symétrie du triangle équilatéral) COMMENT CONSTRUIRE LE CERCLE CIRCONSCRIT À UN TRIANGLE RECTANGLE Si Alors Si un triangle est rectangle Alors, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse. 89 COMMENT CONSTRUIRE UN PATRON DE CÔNE COMMENT CONSTRUIRE UN PATRON DE PYRAMIDE 90 COMMENT CONSTRUIRE UNE SECTION DE SOLIDE 91 COMMENT CONSTRUIRE UNE TANGENTE À UN CERCLE 92 COMMENT CONSTRUIRE UN POLYGONE RÉGULIER 93 COMMENT CONSTRUIRE LA REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION AFFINE OU LINEAIRE 94 95 96 97 98 COMMENT DÉMONTRER QU’UN QUADRILATÈRE EST UN PARALLELOGRAMME Figure Propriété Si un quadrilatère a les diagonales qui ont même milieu, alors c’est un parallélogramme. Si un quadrilatère a les cotés opposés de même longueur, alors c’est un parallélogramme. Si un quadrilatère a les cotés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme. Si un quadrilatère a 2 cotés opposés parallèles et de même longueur, alors c’est un parallélogramme. Si un quadrilatère a les angles opposés de même mesure, alors c’est un parallélogramme. 99 COMMENT DÉMONTRER QU’UN QUADRILATÈRE EST UN RECTANGLE Figure Propriété Si un quadrilatère a 4 angles droits, alors c’est un rectangle. Si un parallélogramme a un angle droit, ABCD parallélogramme alors c’est un rectangle. Si un parallélogramme a les diagonales de même longueur, ABCD parallélogramme 100 alors c’est un rectangle. COMMENT DÉMONTRER QU’UN QUADRILATÈRE EST UN LOSANGE Figure Propriété Si un quadrilatère a 4 côtés de même longueur, alors c’est un losange. B A Si un parallélogramme a les diagonales perpendiculaires, C D ABCD parallélogramme alors c’est un losange. B A D C ABCD parallélogramme Si un parallélogramme a 2 côtés consécutifs de même longueur, alors c’est un losange. 101 COMMENT DÉMONTRER QU’UN QUADRILATÈRE EST UN CARRÉ Propriété Figure Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, ABCD est un rectangle alors c’est un carré. Si ABCD est un rectangle un rectangle a les diagonales perpendiculaires, alors c’est un carré. Si un losange a un angle droit, alors c’est un carré. ABCD est un losange Si un losange les diagonales de même longueur, alors c’est un carré. ABCD est un losange 102 COMMENT DÉMONTRER QUE DEUX DROITES SONT PARALLÈLES PARALLÈLES ET PERPENDICULAIRES (d) (d1) (d2) Si Alors, (d1) // (d2) Si (d) (d1) (d1) // (d) et (d2) // (d) (d1) (d) et (d2) (d) Alors, (d1) // (d2) Si deux droites sont parallèles à une même troisième Alors elles sont parallèles entre elles. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième Alors elles sont parallèles entre elles. (d2) PROPRIÉTÉ DE LA DROITE DES MILIEUX Si alors Si dans un triangle ABC, I = m[AB] et J = m[AC] Dans un triangle, la droite passant par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté. alors (IJ) // (BC) 103 LA RÉCIPROQUE DU THÉORÈME DE THALÈS 104 COMMENT DÉMONTRER QUE DEUX DROITES SONT PERPENDICULAIRES PARALLÈLES ET PERPENDICULAIRES (d) (d') Si (d) // (d’) et (d1) (d’) Alors, (d1) (d) Si deux droites sont parallèles Alors toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. (d1) 105 COMMENT DÉMONTRER QU’UN TRIANGLE EST RECTANGLE LA RÉCIPROQUE DU THÉORÈME DE PYTHAGORE: B 2 2 Si le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés 2 Si …… = …… + …… Alors C A Alors, ce triangle est rectangle et son hypoténuse est son plus grand côté. La réciproque du théorème de Pythagore sert à montrer si un triangle est rectangle. I EXEMPLE : 77 cm 36 cm J 85 cm K Le triangle IJK est-il rectangle ? * Le plus long côté est [ …… ] donc je calcule : 2 ……… = ……… * 2 = …………… Je calcule : 2 2 2 2 2 2 2 ……… + ……… = ……… + ……… 2 ……… + ……… = ………… + ………… ……… + ……… = …………… 2 * Je constate que = 2+ 2, donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore Comment démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle avec LE THEOREME DE PYTHAGORE E Le triangle EFG est-il rectangle ? * Le plus long côté est [ …… ] donc je calcule : 2 * ……… = ……… Je calcule : 2 2 2 7 cm 6 cm F = …………… 2 2 G 8 cm ……… + ……… = ……… + ……… = ………… + ………… = …………… * Je constate que ………2 ……… 2 + ……… 2 , (or si le triangle était rectangle le théorème de Pythagore dit que dans ce cas il y a égalité) donc 106 le triangle EFG n'est pas rectangle. PROPRIÉTÉ DU TRIANGLE INSCRIT DANS UN CERCLE Si Alors Si un triangle est inscrit dans un cercle et pour côté un diamètre de ce cercle Alors, ce triangle est rectangle et ce côté est l’hypoténuse. 107 108 COMMENT DÉMONTRER QU’UN POINT EST LE MILIEU D’UN SEGMENT RÉCIPROQUE DE LA PROPRIÉTÉ DE LA DROITE DES MILIEUX Si alors Si dans un triangle ABC, I = m[AB], J [AC]) et (IJ) // (BC alors J = m[AC] Dans un triangle, la droite qui passe par le milieu d’un côté et qui est parallèle à un autre côté coupe le troisième côté en son milieu. 109 COMMENT DÉMONTRER QU’UN TABLEAU EST DE PROPORTIONNALITÉ I – Par le calcul : a, b, c et d sont quatre nombres non nuls. Si a c = b d alors, Si Si a c b d est un tableau de proportionnalité ad = b c alors, a c b d Si il existe un nombre k tel que b = a k et d = c k alors, a c b d alors le tableau est de proportionnalité Si est un tableau de proportionnalité est un tableau de proportionnalité les _____________________ les _____________________ alors le tableau est de proportionnalité Si il existe un coefficient multiplicateur pour passer d’une ligne à l’autre du tableau alors le tableau est de proportionnalité. II – Par une représentation graphique : Si les points d’une représentation graphique sont alignés sur une droite qui passe par l’origine alors, il s’agit d’une relation de proportionnalité. 0 0 10 5 110 30 15 40 20 0 4 3 10 6 18 10 12,5 2 25 8 35 18 COMMENT DÉMONTRER QUE DEUX QUOTIENTS SONT ÉGAUX 1) En utilisant les règles de simplification : Si a, b et c sont trois nombres relatifs non nuls, a a c a : c alors = = b b c b : c Exemples : 4 10 et sont égales parce que : 6 15 4 ………………… … 10 ………………… … = = et = = 6 ………………… 3 15 ………………… 3 2 18 et ne sont pas égaux parce que : 3,5 35 2 ………………… … = = 3,5 ………………… … 2) En utilisant le « produit en croix » Pour tous les nombres relatifs non nuls a, b, c et d a c Si a d = b c alors = . b d a c Si a d b c alors . b d Exemples : 20 29 19,5 et 14,3 25,5 sont égaux car : …………… …………… = ……………… 18,7 et …………… …………… = ……………… . 6 897 et ne sont pas égales car : …… ………………… = …………………… 10 001 et …… ………………… = …………………… 3) En utilisant les écritures décimales si elles existent. Exemples : 7,5 5 7,5 5 et sont égaux car = …………… et = …………… 6 4 6 4 20 6 897 On ne peut pas comparer et avec les écritures décimales, car ces deux 29 10 001 fractions n’ont pas d’écriture décimale. 111 112 COMMENT DÉMONTRER QU’UNE FRACTION EST IRRÉDUCTIBLE 113 114 115 116 117 C’EST QUOI UN DÉMONSTRATION 118 CHOIX DES PROPRIÉTÉS 119 CRITÈRES DE RÉUSSITE D’UNE DÉMONSTRATION 120 DÉMONSTRATIONS DE RÉSULTATS DU COURS – EXEMPLES DE DÉMONSTRATION 121 122 123