Attention,

 Attention, 
Ce cahier comporte tous les documents de 4ème
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et correspondent à des pages vides dans ce cahier
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1
Année scolaire 2009/2010
1
2
Documents de 4ème
Valeur exacte, valeur approchée - Égalité de nombres
6
7
8
9
9
10
12
13
Définitions
17
Documents de 3
ème
Liste des théorèmes et propriétés
Notations
Codages
Verbes de consigne
Écritures des nombres
RÈGLES DE CALCUL SUR : ................................................................................................. P 31
Règles de calculs sur les relatifs
31
I - Additions de relatifs
31
II - Soustraction de nombres relatifs
31
III - Succession d’additions et de soustractions de nombres relatifs
31
Multiplication et division des nombres relatifs
32
Cas des multiplications successives
32
Inverse d’un nombre relatif
33
Regles de calculs sur les fractions
Règles de calculs sur les puissances
Règles de calculs sur les puissances de 10
34
36
37
I. Définition.
37
II. Règles de calcul.
37
III. Multiplication par une puissance de 10
37
IV. Notation scientifique d’un nombre
37
Règles de calcul sur les lettres
38
Simplification d’écriture
38
Règles de suppressions de parenthèses
38
Distributivité
38
Double distributivité
39
Règles de calcul sur les égalités et opérations
Règles de calculs sur les inégalités
 Les identités remarquables
Règles de calculs sur les radicaux
41
42
43
44
3
COMMENT CALCULER : ...................................................................................................... P 49
49
51
Comment calculer une suite de calculs
Comment calculer une longueur
Propriété de la droite des milieux :
51
Theoreme de pythagore
51
Comment calculer une longueur avec le "petit" théorème de THALES
52
 le théorème de Thalès
 Trigonométrie dans un triangle rectangle
53
54
56
Comment calculer un angle
Propriété du triangle inscrit dans un cercle
56
 Avec la trigonométrie
 Propriété des angles inscrits dans un cercle
56
57
59
Comment calculer une expression littérale
 Comment factoriser une expression
60
62
Comment calculer un nombre inconnu
 Comment calculer les solutions d’une équation du type a  b = 0 et X
 Comment calculer deux nombres inconnus dans un système
 Comment calculer les solutions dans une inéquation
2
Comment calculer dans une situation de proportionnalité
Comment calculer une 4
ème
proportionnelle
Comment calculer avec les pourcentages
Comment calculer une vitesse, une distance, un temps
=a
63
64
65
66
66
67
69
Pour calculer une vitesse
69
Pour calculer une distance
69
Pour calculer un temps
69
Comment calculer un effectif – une fréquence
Comment calculer une moyenne pondérée
70
70
 Comment calculer une étendue, une médiane
71
Calcul de la médiane :
Erreur ! Signet non défini.
Calcul de l’étendue :
Erreur ! Signet non défini.
 Comment calculer une probablité
 Comment calculer un quartile
Comment calculer une aire
Comment calculer un volume
 Comment calculer le pgcd de deux nombres entiers
 Comment calculer une expression avec des racines carrées
4
72
73
74
75
76
77
COMMENT UTILISER LA CALCULATRICE : ........................................................................ P 79
Comment utiliser la calculatrice avec le théorème de Pythagore
79
80
80
81
82
 Comment utiliser ma calculatrice pour faire des calculs avec sinus, cosinus et tangente
83
Comment utiliser la calculatrice avec les nombres relatifs
Comment utiliser la calculatrice avec les fractions
Comment utiliser la calculatrice avec les fractions
Comment utiliser calculatrice avec des puissances
COMMENT CONSTRUIRE : .................................................................................................. P 87
Comment construire les droites remarquables d’un triangle
Comment construire le cercle circonscrit à un triangle rectangle
Comment construire un patron de cône
Comment construire un patron de pyramide
 Comment construire une section de solide
Comment construire une tangente à un cercle
 Comment construire un polygone régulier
 Comment construire la représentation graphique d’une fonction affine ou lineaire
87
89
90
90
91
92
93
94
COMMENT DÉMONTRER QUE : ........................................................................................... P 99
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un parallelogramme
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un losange
Comment démontrer qu’un quadrilatère est un carré
Comment démontrer que deux droites sont parallèles
99
100
101
102
103
Parallèles et perpendiculaires
103
Propriété de la droite des milieux
103
 la réciproque du théorème de Thalès
104
Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires
Parallèles et perpendiculaires
Comment démontrer qu’un triangle est rectangle
105
105
106
La réciproque du théorème de Pythagore:
106
Propriété du triangle inscrit dans un cercle
107
Comment démontrer qu’un point est le milieu d’un segment
Réciproque de la propriété de la droite des milieux
109
109
Comment démontrer que deux quotients sont égaux
111
 Comment démontrer qu’une fraction est irréductible
113
COMMENT FAIRE UNE DÉMONSTRATION :......................................................................... P 118
C’est quoi un démonstration
Choix des propriétés
Critères de réussite d’une démonstration
Démonstrations de résultats du cours – exemples de démonstration
118
119
120
121
5
DOCUMENTS DE 4ÈME
Algèbre
6
Géométrie
DOCUMENTS DE 3ÈME
Algèbre
Géométrie
7
LISTE DES THÉORÈMES ET PROPRIÉTÉS
8
NOTATIONS
Droite :
A
CODAGES
Droites parallèles, droites perpendiculaires :
B
(D)
A
Les droites (d) et (AB) sont parallèles.
(d)

On écrit (d) // (AB).
(AB) ou (D) désigne la droite passant par A et B.
Segment :
Les droites (d) et ()sont
perpendiculaires.
//
A
A
B
B
On écrit (d)  ()
A
O
Longueurs égales :
Les segments [EF] et [EG] ont la même longueur.
F
[AB] désigne le segment d’extrémités A et B.
Milieu :
On écrit : EF = EG.
Le point O est le milieu du segment [AB]
E
G
On note : O = m [AB].
B
Angle :
O = m[AB]
A
B
O
OA = OB
Angles de même mesure, angle droit :
A
x
C
O
C
BÆ
AC désigne l’angle codé.
Ç (s’il n’y a qu’un seul angle de sommet A).
On le note aussi A
Æ
xÆ
Oy et BCD
B
ont la même mesure.
Ç
On écrit xÆ
Oy = C
y
D
Æ est un angle droit.
TUC
Æ = 90°
TUC
T
U
C
9
Verbes de consigne
1/2
calculer : ........................................................................................................................................................
citer : ..............................................................................................................................................................
coder : ...........................................................................................................................................................
comparer : .....................................................................................................................................................
compléter : ....................................................................................................................................................
conclure : .......................................................................................................................................................
construire : ...................................................................................................................................................
décoder : ........................................................................................................................................................
déduire : .........................................................................................................................................................
démontrer : ...................................................................................................................................................
déterminer : ..................................................................................................................................................
encadrer : ......................................................................................................................................................
énoncer : ........................................................................................................................................................
expliquer : ......................................................................................................................................................
exprimer (en fonction de) : ......................................................................................................................
10
Verbes de consigne
2/2
faire une figure : ..........................................................................................................................................
justifier : ........................................................................................................................................................
marquer : .......................................................................................................................................................
montrer : .......................................................................................................................................................
nommer : ........................................................................................................................................................
placer : ............................................................................................................................................................
prouver : .........................................................................................................................................................
rédiger : ..........................................................................................................................................................
réduire : ..........................................................................................................................................................
reproduire : ...................................................................................................................................................
résoudre : ......................................................................................................................................................
simplifier : ......................................................................................................................................................
tracer : ...........................................................................................................................................................
traduire : .......................................................................................................................................................
vérifier : ..........................................................................................................................................................
11
ÉCRITURES DES NOMBRES
Il y a plusieurs façons d'écrire les nombres : en chiffres, en lettres.
Parmi les écritures en chiffres, il y a plusieurs types d'écriture :
écriture entière
écriture décimale
écriture fractionnaire
écriture puissance
Certains nombres peuvent s'écrire de toutes ces façons.
Exemple :
9 =
écriture
entière
18
2
9, 0 =
écriture
décimale
=
écriture
fractionnaire
3²
écriture
puissanc
e
Certains nombres n'ont pas d'écriture entière.
Exemple :
3, 7 n'a pas d'écriture entière.
Certains nombres n'ont pas d'écriture décimale.
Exemple :
1
n'a pas d'écriture décimale.
3
Certains nombres n'ont pas d'écriture entière, ni décimale, ni
fractionnaire.
Exemple :
 n'a pas d'écriture entière, décimale ou fractionnaire
12
VALEUR EXACTE, VALEUR APPROCHÉE - ÉGALITÉ DE NOMBRES
Un nombre a une seule valeur exacte, mais peut avoir plusieurs valeurs
approchées
On donne souvent des valeurs approchées en écritures décimales.
 L’arrondi d’un nombre est une valeur approchée de ce nombre.
 Arrondi au 1/10ème près (0,1 près)
Pour arrondir le résultat d’un calcul au 1/10 près, il faut connaître et regarder
les 2 premières décimales du résultat.
exemples :
15  3,8729 …

or, … < 3,87 < ...
1/10 d’écart
mais 3,87 est plus près de ………… que de …………
donc

15  ………… au 1/10 près
19
 1,3571 … or … … < 1,35 < …
14
mais 1,35 est plus près de ………… que de …………
donc,
19
 ………… au 1/10 près.
14
55  7,41 … or … … < 7,41 < …

mais 7,41 est plus près de ………… que de …………
donc,
55  …………… au 1/10 près
De façon générale, pour arrondir au 1/10ème près, si le chiffre des
centièmes est :
a) 0, 1, 2, 3 ou 4
alors
on arrondit au-dessous.
b) 5, 6, 7, 8 ou 9
alors
on arrondit au-dessus.
Il y a égalité entre 2 nombres
quand leurs valeurs exactes sont égales.
13
14
15
16
DÉFINITIONS
Adjacent (côté)
Dans un triangle rectangle, on appelle côté adjacent d’un
angle aigu, le côté de l’angle
qui n’est pas l’hypoténuse .
C
T
A
R
A
Ç
Côté adjacent à A
B
Agrandissement:
Une figure A est un agrandissement d’une figure B si
elle a la même forme et si toutes les longueurs de la
figure B sont celles de A multipliées par un même
nombre k >1.
Ce cylindre est un
agrandissement
du cylindre 1
ce cylindre n’est
pas un agrandissement
du cylindre 1.
B
Angle inscrit
A, B, C désignent trois points d’un cercle C On dit que
Æ
A
BC est un angle inscrit dans le cercle C
A
C
Æ est un angle inscrit dans le cercle C .
ABC
Antécédent
Si une fonction f est définie par f : x
x(x+1)
x est l antécedent de x(x+1) par la fonction f
Dans le tableau de valeur suivant :
x
-3
1
f(x)
6
2
L antécédent de 2 est 1, on note f(1) = 2
L antécédent de 12 est 3, on note f(3) = 12
O
Bissectrice
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui sépare
cet angle en 2 angles de même mesure.
Les bissectrices d’un triangle se coupent au centre du
cercle inscrit dans le triangle.
x
y
3
12
[Oz) est la bissectrice
Æ
de l’angle xOy
z
17
Boule
Une boule de centre O et de rayon r est constituée de
tous les points de l espace situés à une distance
inférieure ou ègale à r du centre O.
Centre de gravité
centre de gravité
Le centre de gravité d’un triangle est le point
de concours de ses médianes.
pas de
cercle
circonscrit
Cercle circonscrit
On appelle cercle circonscrit à une figure, le cercle qui
passe par tous les sommets de la figure.
Toutes les figures n’ont pas de cercle circonscrit.
cercle
circonscrit
Cercle inscrit
On appelle cercle inscrit dans une figure,
le cercle intérieur à cette figure et tangent
aux côtés de la figure.
Toutes les figures n’ont pas de cercle inscrit
Cône
Conclusion
Résultat de l’exercice démontré ou calculé
18
cercle
inscrit
cône de révolution :
sa hauteur passe par le centre de sa base.
pas de
cercle
inscrit
Conjecture
Supposition, quelque chose dont on n’est pas sûr mais qui a l’air vrai.
Après démonstration, la conjecture devient conclusion.
B
Cosinus d’un angle aigu
Dans le triangle ABC rectangle en A
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu
est le quotient des longueurs du côté adjacent de
l’angle par l’hypoténuse.
Ç
Ç = côté adjacent à B = AB
Cos B
hypoténuse
BC
Dispersion
4
C
A
4
2
1
1
2
9
11
13
18
3
9
11
14
19
Ces deux séries ont la même moyenne, la même étendue mais la deuxième est plus dispersée.
Distance d’un point à une droite
On appelle distance d’un point à une droite la plus
courte des distances de ce point à n’importe quel point
de la droite.
Cette distance est obtenue perpendiculairement à la
droite.
AH est la plus courte distance entre A
et la droite (D) ; c’est donc la distance
du point A à la droite (D).
H
(D)
A
Donnée
Ce que l’on sait, information donnée dans l’énoncé de
l’exercice (texte, codages sur la figure)
Diviseur
Soient a et b deux nombres entiers. On dit que b est
un diviseur de a si a divisé par b est un nombre
entier.
Exemples :
42  7 = 6
187  17 = 11
154  8 = 19,25
7 est un diviseur de 42.
17 est un diviseur de 187
8 n’est pas un diviseur de 154
19
exemples :
3
5
6
758 000 = 758  10 = 7,58  10 = 0,758  10
Ecriture scientifique d’un nombre
L’écriture scientifique d’un nombre est une écriture du
nombre avec des puissances de 10.
C’est celle qui est de la forme :
n
a  10
avec 1  a < 10 et n entier relatif
écriture scientifique
Effectif (cumulé)
nombre de frères et
sœurs
effectifs
effectifs cumulés
croissants
0
8
8
+
1
2
3
4
Total
7+
6
3
1
25
15
21
24
25
Equation
Une équation est une égalité avec des nombres et des
opérations dans laquelle un ou plusieurs nombres sont
inconnus et recherchés.
exemples :
3x–4=2x+5
4x–2y=5
21 familles ont au plus 2 enfants
x est le nombre inconnu
x et y sont les inconnues
Résoudre une équation c’est chercher toutes les valeurs
possibles de ce ou ces nombres pour que l’égalité soit
vraie.
Etendue :
Exemple :
L’étendue d’une série statistique est la différence entre Voici les notes obtenues par des élèves à un devoir :
6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 15, 16, 16, 16,
la plus grande et la plus petite valeur de cette série.
17, 17, 18, 18, 18, 19, 19.
Les notes obtenues sont comprises entre 6 et 19.
19 – 6 = 13
L’étendue de cette série est 13.
Evènement :
Exemple :
A partir d’une expérience aléatoire on peut définir ce Lorqu'on lance un dé à 6 façes numérotées de 1 à 6
qu'on appelle des évènements qui sont des ensembles de
"Obtenir un nombre pair" est un évènement constitué par les résultats
résultats appelée aussi issues.
(issues) 2, 4 ou 6
20
Expérience aléatoire :
Exemple :
Une expérience est dite aléatoire si elle vérifie 2
conditions :
Lorsque on lance une pièce de monnaie et on regarde sur quelle face
elle tombe, on effectue une expérience aléatoire puisque on connait les
résultats possibles (issues) « pile » ou « face » mais on ne peut pas
savoir à l’avance sur quelle face elle va tomber
-
Elle conduit à des résultats possibles connus
-
On ne sait pas à l’avance lequel de ces résultats
va se produire
Exposant
3
-5
Dans l’écriture 25 , 3 est l’exposant.
Dans l’écriture 10 , -5 est l’exposant.
Fonction affine :
Soient a et b deux nombres relatifs. On appelle fonction
affine le procédé qui à tout nombre x associe le nombre
ax  b ; c’est à dire que l’on multiplie x par a puis on
ajoute b.
Notation : on note: x  ax  b ou f ( x)  ax  b
Exemples :
Fraction irréductible :
Exemples :
Une fraction est dite irréductible lorsqu’elle est
simplifiée au maximum.
- La fraction
x  2x  3


1
 sont des fonctions affines
g ( x) 
x  4
5

2
i( x)  x n’est pas une fonction affine.
Remarque : Si b = 0, alors la fonction est de la forme x  2 x est une fonction linéaire.
x  ax et est appelée fonction linéaire.
11
est irréductible.
15
39
- La fraction
n’est pas irréductible. On peut la simplifier en divisant
91
le numérateur et le dénominateur par 13.
39 3  13 3
=
= .
91 7  13 7
Fréquence (cumulée)
nombre de frères et
sœurs
0
fréquences (en %)
32
fréquences cumulées
croissantes
1
28
+
32
2
3
4
Total
24
12
4
100
84
96
100
+
60
60% des familles interrogées ont moins de 2 enfants
21
Hauteur
hauteur
issue de A
A
Une hauteur dans un triangle est une droite qui passe par
un sommet du triangle et coupe le côté opposé
perpendiculairement.
B
M
Hypoténuse
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le plus
grand côté ; c’est aussi le côté opposé à l’angle droit.
Le côté le plus long d’un triangle qui n’est pas rectangle
n’a pas de nom.
Image d’un nombre par une fonction
Si une fonction f est définie par f : x
x(x+1)
x(x+1) est l’image de x par la fonction f
On note f (x) = x(x + 1)
A
hypoténuse
hypoténuse
Dans le tableau de valeur suivant :
x
f(x)
-3
6
1
2
L image de -3 est 6, on note f(-3) = 6
L image de 3 est 12, on note f(3) = 12
Inverse
On appelle inverse d’un nombre relatif a (a  0)
1
le quotient . Il se note aussi a-1 .
a
conséquence : le produit de deux nombres inverses
est 1, en effet on a :
1
a   1 ou a  a 1  1
a
Médiane
Dans un triangle, une médiane est une droite
qui passe par un sommet et par le milieu
du côté opposé.
exemples :
1
 0,2
5
1
l’inverse de 7 est (pas d’écriture décimale exacte)
7
1
 2
l’inverse de –0,5 est
 0,5
l’inverse de 5 est
A
M
22
C
I
médiane
issue de M
I
3
12
Médiane statistique :
Exemple :
La médiane d’une série statistique est la valeur qui
sépare la série en deux moitiés.
8, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11 11, 11, 12, 12, 13, 14
7 notes
Médiatrice
La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire
au segment en son milieu.
C’est aussi l’ensemble de tous les points qui sont
à la même distance des extrémités du segment.
Une médiatrice d’un triangle est une médiatrice d’un
côté du triangle.
A
7 notes
Médiane
médiatrice du
médiatrice
du
segment [AI]
segment
[AI]
A
I
M
I
Moyenne (pondérée)
A l’examen de passage en seconde année de l’école de musique, Pauline a obtenu :
Coefficient
2
solfège
3
note
10
12
histoire de la musique
instrument
6
14,5
moyenne pondérée =
10  2  12  3  14,5  6
 13
23 6
Exemples :
- Les diviseurs de 15 sont {1 ; 3 ; 5 ; 15} et ceux de 22 sont
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est {1 ; 2 ; 11 ; 22 }. 1 est le seul diviseur commun aux deux nombres,
égal à 1.
donc 15 et 22 sont premiers entre eux.
- 27 et 42 ne sont pas premiers entre eux car 3 est un diviseur
commun aux deux nombres.
Nombres premiers entre eux :
Opposé
L’opposé d’un nombre relatif est le nombre qui a
la même distance à zéro et le signe contraire.
exemples :
-5
-3
0 1
3
5
l’opposé de 3 est –3 ; l’opposé de –5 est 5.
23
Orthocentre
orthocentre
L’orthocentre d’un triangle est le point de concours des
hauteurs de ce triangle.
Exemple :
Voici la liste des diviseurs de 24 : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24} et
C’est le Plus Grand Commun Diviseur à deux nombres la liste de ceux de 36 : {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36}.
entiers.
Les diviseurs communs à 24 et 36 sont donc {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ;12}
Le plus grand de ces diviseurs communs est 12 : c’est le PGCD de 24
et de 36.
PGCD :
Polygone
Un polygone est une figure à plusieurs côtés.
Il est dit régulier si tous les côtés ont la même longueur
et s’il a un cercle circonscrit.
Polygone quelconque
rectangle
hexagone régulier.
Exemple :
La probabilité d’un évènement A représente les chances Quand on joue à pile ou façe avec une pièce bien équilibrée, on a une
chance sur deux d’obtenir « pile ». On pose donc P(Pile) = 0,5.
que cet évènement se réalise lors d’une expérience
aléatoire. Cette probabilité est noté P(A) : c’est un
nombre compris entre 0 et 1
Probabilité
Propriété
Règle connue (vraie, démontrée ou admise, écrite dans le cahier de cours) présentée souvent sous la forme
« Si ….. Alors ….. »
exemple : 5 x 5 x 5 x 5 s’appelle 5 à la puissance 4
Puissance
4
et se note 5 .
Une puissance d’un nombre est une multiplication de ce
nombre par lui même plusieurs fois .
24
2
2,1  2,1 = 2,1 ; (-4)  (-4)  (-4) = (-4)
3
Pyramide
Une pyramide c’est :
Quartile
Le premier quartile d’une série statistique est la plus
petite valeur telle que au moins 25% (le quart) des
valeurs lui sont inférieures ou égales
Une pyramide ce n’est pas :
Exemple : Dans la série de 14 notes suivante (rangée dans l’ordre
croissant)
8, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11 11, 11, 12, 12, 13, 14
er
ème
Le troisième quartile d’une série statistique est la plus Le quart de 14 est 3,5, le 1 quartile est la 4 valeur c'est-à-dire 9
petite valeur telle que au moins 75% (les trois quarts)
Les trois quarts de 14 correspondent à 10,5, le 3ème quartile est la 11ème
des valeurs lui sont inférieures ou égales
valeur c’est à dire 12.
Racine carrée
Exemples :
La racine carrée d’un nombre positif b , notée b , est le
nombre positif :
81 = 9 car 9  9 = 81 et 9 > 0.
- qui multiplié par lui même est égal à b b  b  b
- dont le carré est égal à b.
2
( b) = b
Réduction:
Une figure A est une réduction d’une figure B si elle a
la même forme et si toutes les longueurs de la figure B
sont celles de A multipliées par un même nombre k
avec 0< k <1.
Cette croix est une
réduction de la croix 1
cette croix n’est
pas une réduction
de la croix 1
Section :
La section d’un solide est la surface obtenue lorsqu’on
coupe ce solide par un plan .
25
Sinus d’un angle aigu:
Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est
le quotient des longueurs du côté opposé à l’angle par
l’hypoténuse.
Dans le triangle EFG rectangle en F,
Ç = côté opposé à l’angle = EF
Sin G
hypoténuse
EG
Sphère
Une sphère de centre O et de rayon r est constituée de
tous les points de l espace situés à la distance r du centre
O.
L intérieur de la sphère s appelle une boule
F
E
r
O
G
M
P
OM = OP = r
Tangente à un cercle
C’est une droite qui a un unique point d’intersection
avec ce cercle.
tangente
C
Tangente d’un angle aigu :
Dans le triangle ABC rectangle en B
Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu
Ç = côté opposé à l’angle = AB
est le quotient des longueurs du côté opposé et du côté Tan C
côté adjacent à l’angle BC
adjacent de l’angle aigu.
A
B
Valeur approchée - exacte
7
3
. 0,75 est la valeur exacte du nombre . une valeur approchée de 10 est 3,1622
3
4
3,1 est sa troncature et 3,2 est la valeur arrondie.
La valeur exacte de 36 est 6.
2,3 est une valeur approchée du nombre
remarque : la valeur affichée par la calculatrice n’est pas toujours la valeur exacte.
26
27
28
29
30
RÈGLES DE CALCULS SUR LES RELATIFS
I - ADDITIONS DE
RELATIFS
Règles :
- Pour ajouter deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs distances à zéro et on
garde le signe commun.
; (+10) + (+4,5) = + 14,5 ; -9  12,5 = - 21,5
Exemples : (-3) + (-5,1) = -8,1
- Pour ajouter deux nombres relatifs de signes différents, on soustrait leurs distances à zéro
et on garde le signe de la plus grande distance à zéro.
Exemples : (-7) + (+5) = -2
;
(+14) + (-6) = +8
;
-6 + 10 = 4
;
-95 + 10 = -85
II - SOUSTRACTION DE NOMBRES RELATIFS
Règle : Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.
Exemples : (+4) – (+6) = (+4) + (-6) = -2
en écriture simplifiée, cela donne 4 – 6 = -2
(-8) – (+2) = (-8) + (-2) = -10
en écriture simplifiée, cela donne -8 –2 = -10
(-6) – (-1) = (-6) + (+1) = -5
en écriture simplifiée, cela donne -6 – (-1) = -
6+1 = -5
III - SUCCESSION D’ADDITIONS ET DE SOUSTRACTIONS DE NOMBRES RELATIFS
Technique : On transforme toutes les soustractions en additions (en utilisant II), puis on
regroupe et on calcule ensemble tous les termes positifs d’un côté et tous les termes négatifs de
l’autre. Il ne reste plus qu’à ajouter les deux nombres relatifs obtenus.
Exemples : A = (-3) + (-7) – (+4) – (-1) + (+10)
B = -18 + 24 + 30 – 5 – 11 + 3
= (-3) + (-7) + (-4) + (+1) + (+10)
= -18 – 5 – 11 + 24 + 30 + 3
=
=
=
(-14)
+
(-3)
(+11)
=
-34
+
57
23
31
MULTIPLICATION ET DIVISION DES NOMBRES RELATIFS
RÈGLES
:
1. Si on multiplie .................. deux nombres positifs alors le résultat est positif.
2. Si on multiplie .................. deux nombres négatifs alors le résultat est positif.
3. Si on multiplie .................. un nombre positif et un nombre négatif alors le
résultat est négatif.
Exemples : (- 4) x 25 est ……………………… (règle n° ……)
-54
est …………………… ( règle n° ……) ;
-8
; - 1,2 x (-2 300) est …………………… (règle n° ……)
27
est ………………………… (règle n° ……)
-2,6
Conséquence sur l’écriture : (- 3) : 5 = 3 : (- 5) = - 3 : 5
-3 3
3
=
=(règle 3)
5 -5
5
CAS DES MULTIPLICATIONS SUCCESSIVES
32
(-2) : (-7) = 2 : 7
-2 2
=
(règles 1 et 2)
-7 7
INVERSE D’UN NOMBRE RELATIF
DÉFINITION
:
On appelle inverse d’un nombre relatif a le quotient
1
a
Il se note aussi a-1.
CONSÉQUENCE
:
1
= 1.
Ou
a x a-1 = 1.
a
Le produit de deux nombres inverses est égal à 1
a x
c’est-à-dire :
Exemples : L’inverse de 5 est ……………………
L’inverse de 0,5 est …… car ………………………………… .
Les nombres – 10 et ………… sont des inverses car ……………………………………
PROPRIÉTE
L’inverse de 7 est …………
(qui n’a pas d’écriture décimale exacte)
L’inverse de – 3 est ……………………
(qui n’a pas d’écriture décimale exacte)
:
Deux nombres inverses ont le même signe.
PROPRIÉTE
:
Pour a et b nombres relatifs, avec b  0
Diviser a par b c’est la même chose que multiplier a par l’inverse de b.
a
1
a : b = = a x
b
b
Exemples :
4 : 5 = …… x …… = …… x …… = …………
4 : 0,5 = …… x …… = …… x …… = ……
33
REGLES DE CALCULS SUR LES FRACTIONS
Égalités de fractions
Propriété :
Si
alors
Si
alors
a, b et k sont des nombres relatifs non nuls,
a
a  k a : k
=
=
b b  k b : k
on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un même
nombre
on obtient une fraction égale à la première.
3 3  4 12
=
=
2 24
8
Exemple :
Conséquence :
simplification de fractions
Simplifier une fraction c’est trouver une fraction égale avec un dénominateur (et un numérateur) plus petit.
45 45 : …
…
45
…  …
…
Exemple :
=
=
ce qui s’écrit aussi
=
=
35 35 : …
…
35
…  …
…
Addition - Soustraction
Méthode :
Exemple 1 :
1) Si les fractions ont le même dénominateur, alors j’ajoute (ou je soustrais) uniquement les
numérateurs le dénominateur restant le même.
2) Si les fractions n’ont pas le même dénominateur :
a. Je choisis un dénominateur commun pour toutes les fractions
b. Je transforme les fractions pour les écrire toutes avec ce nouveau dénominateur
c. J’ajoute (ou je soustrais) uniquement les numérateurs le dénominateur restant le même.
Calcul de
3 9
–
4 4
Les fractions ont le même dénominateur :
Exemple 2 :
Exemple 3 :
3 9 ………… ……
– =
=
4 4
…
……
6 3
+
5 10
Les fractions n’ont pas le même dénominateur mais 10 est le double de 5.
Je choisis …… comme dénominateur commun.
6 6  … ……
Je transforme la fraction =
=
5 5  … ……
6 3 …… 3 …… ……
+
=
+
=
=
5 10 10 10
…
……
-5 7
Calcul de
+
12 18
Les fractions n’ont pas le même dénominateur, il faut donc trouver un dénominateur commun.
Pour cela, j’écris la table de 12 et de 18 : 12, ……, …… , …
Calcul de
18, …… , …… , … je m’arrête dès qu’il y a le même nombre
Je transforme les fractions :
J’effectue les calculs et j’ajoute
34
-5 7 -5  …… 7  ……
+
=
+
12 18 12  …… 18  ……
=
…… …… …………… ……
+
=
=
…… ……
……
……
Multiplication
Propriété : - Si
a, b, c et d sont des nombres relatifs non nuls
a
c
a  c
alors
 =
b d b  d
- Pour multiplier deux fractions, on multiplie les dénominateurs et les numérateurs entre eux.
Exemples :
-3 5 ……  ……
……
 =
=
4 7 ……  ……
……
b) Dans certains cas, il est souhaitable de simplifier avant d’effectuer les calculs :
6 20 ……  ……
2 345
……

=
=
=
15 18
……  ……
……  ……  ……  …… ……
a)
Inverse d’une fraction
Définition : Pour a et b deux nombres relatifs non nuls, l’inverse de la fraction
Rappel : le produit de deux nombres inverses est égal à 1 et on a bien :
Exemples :
L’inverse de
1
……
est
= ……
7
……
L’inverse de
a
b
est la fraction
b
a
a b
 =1
b a
–2
est ……
9
Division
Rappel : Pour diviser par un nombre on peut multiplier par l’inverse de ce nombre.
Propriété : - Si
alors
a, b, c et d sont des nombres relatifs non nuls
a c
a d
: = 
b d b c
a
c
a
c
- Pour diviser la fraction par la fraction , on multiplie la fraction par l’inverse de ,
b
d
b
d
a
d
c’est-à-dire, on multiplie par .
b
c
Exemples :
3 4 …… ……
: =

4 5 …… ……
……………
=
……………
……
=
……
-8
7
…… ……
b)
=

-6
…… ……
-14
a)
=
=
=
…… ……

…… ……
……  ……  ……
……  ……  ……
……
……
On transforme le quotient en produit
On applique la règle sur la multiplication de deux fractions
On transforme le quotient en produit
On détermine le signe
On calcule le produit en simplifiant avant d’effectuer les
opérations
35
RÈGLES DE CALCULS SUR LES PUISSANCES
Si n est un entier supérieur ou égal à 2,
alors : a n = a  a  …  a
n facteurs
Exemple : 25 = ……………………… = ……
Cas particuliers :
a1=a
 pour a  0, a 0 = 1
exemple :
exemple :
501 = …
350 = …
Multiplication et division de puissances :
1°) Si m et n sont deux nombres entiers relatifs,
alors : a m  a n = a m + n
2°) Si a  0 et si m et n sont des entiers relatifs,
am
alors :
= a m–n
an
3°) Si a et b sont deux nombres différents de 0 et si n est un entier relatif,
n
alors, ( a  b ) = a n  b n
Exemple : 32  35 = ……
57
= ……
56
54  24 = ( …  … )… = ……
Inverse :
Si a  0, alors le nombre a –n est l’inverse de a n
1
Autrement dit : pour a  0, a – n = n
a
Exemple :
36
12 –3 = ……
RÈGLES DE CALCULS SUR LES PUISSANCES DE 10
I. DÉFINITION.
n désigne toujours un nombre entier positif non nul.
On note 10n le produit de n facteurs tous égaux à 10.

10 n  10
 ...
 10  1 0
...0

n zeros
n facteurs
Exemples :
105 = ……………………………………… = ………………. (« 1 » puis « … zéros »)
109 = …………………………………………………… = ……………………… (« 1 » et « … zéros »)
101 = 10
Par convention

100 = 1
On note 10-n l’inverse de 10n.
10 n 
1
10
n

1
1

 0, 0
...

01

10

...

10
1
0
...0


n décimales
n facteurs
n zeros
Exemples :
1
1
10-5 =
=
=…
… …………
1
10-1 =
=…
…
( … décimales ou « 1 » précédé de « … zéros »)
II. RÈGLES DE CALCUL.
n et m sont deux nombres entiers non nuls.
PRODUIT
INVERSE
1
10 m  10 n  10 mn
10
Exemple :
102  103 = 10
… + …
n
QUOTIENT
10
 10 n
10
Exemple :
1
= ……
107
= 10…
m
7
n
 10 mn
Exemple :
10
= 10……… = 10…
104
PUISSANCE DE PUISSANCE
10 
m n
 10 mn
Exemple :
(10 –5) 2 =10 …  … = 10…
III. MULTIPLICATION PAR UNE PUISSANCE DE 10
Pour multiplier un nombre décimal par 10 (N  0), on décale la virgule de N rangs vers la droite.
N
Pour multiplier un nombre décimal par 10
-N
(N  0), on décale la virgule de N rangs vers la gauche.
IV. NOTATION SCIENTIFIQUE D’UN NOMBRE
On dit qu’un nombre est en notation scientifique lorsqu’il est écrit sous la forme « a  10n » où a est
inférieur à 10 et n est un entier positif ou négatif.
Exemple :

-1,2345  103

NOTATION SCIENTIFIQUE

0,012  10-2

N’EST PAS UNE NOTATION SCIENTIFIQUE.

12 850 000 =

0,012 51  10-2 =
de - 1 234,5
37
RÈGLES DE CALCUL SUR LES LETTRES
SIMPLIFICATION D’ÉCRITURE
Simplifier ou réduire une écriture signifie raccourcir cette écriture.
I - Simplification d’un produit :
Règles : Dans l’écriture d’une expression, le signe × peut être supprimé devant une lettre ou devant une
parenthèse.
Pour calculer un produit ou simplifier son écriture, on peut changer l’ordre des facteurs et les
regrouper différemment.
Exemples :
1  a = …… = …
a  b = ……
2  a = ……
2a  3b = ……
a  3 = ……
a  a = ……
2a  3 = ……
2a  3a = ……
II – Simplification d’une somme :
Pour réduire certaines sommes, on peut utiliser la propriété de distributivité suivante :
Règle : Quels que soient les nombres relatifs k, a et b, on a
Exemples :
2a + 3a = (… + …) a = … a
2a 3a = (… …) a = … a
a + a = (… + …) a = … a
3a² – 2a² = (… …) … = ……
a + 3a = (… + …) … = ……
RÈGLES DE SUPPRESSIONS DE PARENTHÈSES
DISTRIBUTIVITÉ
38
ak + bk = (a + b) k
Attention !!! on ne peut pas réduire toutes les sommes :
2 + 3a
3a – 2
3 – 2a²
4x + 5x²
ne peuvent pas être simplifiées
DOUBLE DISTRIBUTIVITÉ
39
40
RÈGLES DE CALCUL SUR LES ÉGALITÉS ET OPÉRATIONS
Propriété (sur l’addition et la soustraction):
Si on ajoute ou on soustrait un nombre aux 2 membres d’une égalité,
alors on obtient une nouvelle égalité.
ou
Si on ajoute ou on soustrait un nombre à un membre d’une égalité,
alors il faut ajouter ou soustraire le même nombre à l’autre membre pour obtenir une nouvelle égalité.
ou
Pour tous les nombres a, b et c relatifs :
Si
a = b alors a + c = b + c et
a–c=b–c.
Propriété (sur la multiplication et la division):
Si on multiplie ou on divise les 2 membres d’une égalité par un même nombre non nul,
alors on obtient une nouvelle égalité.
ou
Si on multiplie ou on divise un membre d’une égalité par un nombre ,
alors il faut multiplier ou diviser l’autre membre par le même nombre pour obtenir une nouvelle égalité.
ou
Pour tous les nombres a, b et c relatifs, c  0 :
Si
a = b alors a  c = b  c et
a:c=b:c
41
RÈGLES DE CALCULS SUR LES INÉGALITÉS
42
LES IDENTITÉS REMARQUABLES
43
RÈGLES DE CALCULS SUR LES RADICAUX
44
45
46
47
48
COMMENT CALCULER UNE SUITE DE CALCULS
Règle n°1 :
Si il y a des parenthèses alors il faut commencer par les calculs entre parenthèses.
Règle n°2 :
Si il n’y a pas de parenthèses alors il faut commencer par les multiplications ou les divisions.
Règle n°3 :
Si il n’y a pas de parenthèses et qu’il n’y a que des additions ou des soustractions alors on
peut faire les calculs dans l’ordre qu’on veut, en faisant attention au signe des nombres.
Règle n°4 :
Si il n’y a pas de parenthèses et qu’il n’y a que des multiplications et des divisions alors il faut
faire les calculs de gauche à droite.
Exemples :
1)
A = 17 - 5 x 3 + 3
Il n’y a pas de parenthèses donc j’applique la règle ……
A = 17 - ……… + 3
Il n’y a pas de parenthèses et que des additions et soustractions donc j’applique la règle ……
A = ………………………
A = ……
2)
B = 34 - 4 x (10 - 5 : 2)
Il y a des parenthèses donc j’applique la règle ……
Dans les parenthèses, j’applique la règle ……
B = 34 - 4  ( ………………………)
Il y a encore des parenthèses donc j’applique la règle ……
B = 34 - 4  ………
Il n’y a pas de parenthèses donc j’applique la règle ……
B = ………………
B = ……
3)
C =
- 3 + 3  5
8 :2 – 2
ATTENTION : dans ce cas, le trait de fraction remplace l’écriture suivante : (- 3 + 3  5) : (8 :2–2)
Il y a des parenthèses donc j’applique la règle ……
Dans les parenthèses, j’applique la règle ……
………………………
C=
………………………
Tout se passe comme s’il y avait des parenthèses donc j’applique la règle ……
……
C=
= ……
……
49
50
COMMENT CALCULER UNE LONGUEUR
PROPRIÉTÉ DE LA DROITE DES MILIEUX :
Si
alors
Si dans un triangle ABC, I = m[AB]
et J = m[AC]
Dans
un
triangle,
le
segment
alors IJ = BC : 2
mesure la moitié du troisième côté.
joignant les milieux de deux côtés
THEOREME DE PYTHAGORE
B
2
Si
2
2
Alors …… = …… + ……
Si
un triangle est rectangle
Alors, le carré de l’hypoténuse est égal à la
somme des carrés des deux autres côtés.
C
A
Le théorème de Pythagore sert à calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle connaissant
les 2 autres côtés.
EXEMPLES :
Calcul de l’hypoténuse
Calcul d’un côté de l’angle droit
K
M
P
15 cm
32 cm
63 cm
I
J
20 cm
N
Le triangle ……… est rectangle en ……
Le triangle ……… est rectangle en …….
Son hypoténuse est [ … … ].
Son hypoténuse est [ … … ].
Donc, d’après le théorème de Pythagore :
………
soit
D’où
2
= ………
2
2
+ ……… 2
2
= ……… + ………
2
= ………
= ………
2
+ ………
Donc d’après le théorème de Pythagore :
2
2
………
soit
……… 2 =
……… =
= ………
D’où
2
2
= ………
+ ………
2
+ ………
2
2
+ ………
2
= ……… – ………
2
= ………
 …………
Le résultat au dixième près est
= ………
51
COMMENT CALCULER UNE LONGUEUR
AVEC LE "PETIT" THÉORÈME DE THALES
Dans le triangle ABC,
Si
D  [AB], E  [AC] et (BC) // (ED)
B
Alors, les longueurs des côtés correspondants des triangles ABC et AED
sont proportionnelles.
D
ce qui revient à dire que,
C
le tableau
Triangle ABC
AB AC
BC
Triangle AED
AD AE
ED est un tableau de proportionnalité
E
ce qui revient à dire que,
A
//
AB AC BC
=
=
AD AE ED
Méthode :
1) Vérifier que l’on est dans une situation de Thalès en écrivant les données nécessaires à l’application
du théorème, puis indiquer le nom de la propriété utilisée.
2) Trouver les côtés associés des deux triangles (faire éventuellement un tableau)
3) Écrire l’égalité des quotients
4) Remplacer les longueurs connues par leurs valeurs
5) Choisir, parmi les quotients égaux, une égalité de deux quotients faisant intervenir trois longueurs
connues et la longueur cherchée.
6) Calculer cette longueur (en utilisant la quatrième proportionnelle)
Exemple d’utilisation :
Calculer EH et IJ sachant que les droites (IJ) et (FH) sont parallèles
10,5 cm
Dans le triangle ………,
on a
…  [……] et …  [……]
1)
et
………………
F
2 cm I
EF
……
……
=
=
……
EJ
……
les points
4)
les points
……  ……
= ……
……

d’où
EI = _______________________
5) , 6) EH =
et
IJ =
EH

IJ
……  ……
……
Donc le segment [EH] mesure _________ et le segment [IJ] mesure _____________
52
4 cm
6 cm
donc, d’après ………………………………………………, on a :
2) , 3 )
H
E
J
LE THÉORÈME DE THALÈS
.
53
TRIGONOMÉTRIE DANS UN TRIANGLE RECTANGLE
54
55
COMMENT CALCULER UN ANGLE
PROPRIÉTÉ
DU TRIANGLE INSCRIT DANS UN CERCLE
A
A
Si
Alors
Si
C
B
B
AVEC LA TRIGONOMÉTRIE
56
un point C est situé sur un cercle de diamètre
[AB]
Æ
Alors, A
CB = 90°.
C
PROPRIÉTÉ DES ANGLES INSCRITS DANS UN CERCLE
57
58
COMMENT CALCULER UNE EXPRESSION LITTÉRALE
Méthode pour simplifier une écriture complexe
1. Repérer les opérations prioritaires (entre parenthèses, multiplications/divisions,
additions/soustractions)
2. Simplifier ces opérations prioritaires si c’est possible en utilisant les règles de la page ….
3. Pour les additions/soustractions, regrouper les éléments de même nature.
4. Simplifier l’expression par groupe.
Exemple :
A = 4(a + 2a) + 6 – 8a  a + 5 + a² + 3a
1) Je repère les opérations prioritaires et je les simplifie.
A = ……………………………………
2) Je simplifie la multiplication qui reste.
A = ……………………………………
3) Je regroupe les éléments de même nature.
A = ……………………………………
4) Je simplifie chaque groupe.
A = … a² + … a + …
59
COMMENT FACTORISER UNE EXPRESSION
60
61
COMMENT CALCULER UN NOMBRE INCONNU
Définitions :
 Une égalité qui comporte des calculs avec un seul nombre inconnu désigné par une lettre est appelée
« équation à une inconnue ».
 Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs de cette lettre pour lesquelles l’égalité
est vraie.
Rappels :
La résolution de l’équation « x + a = b » se fait en utilisant le fait que « x » est le nombre qu’il faut
ajouter à « a » pour trouver « b», c’est donc la différence entre « b » et « a » d’où
x = _________
La résolution de l’équation « a x = b » se fait en utilisant le fait que « x » est le nombre par lequel il
faut multiplier « a » pour trouver « b », c’est donc le quotient de « b » par « a » d’où
x=
Exemple de résolution :
Résoudre 3 x – 1 = x + 3
1) On élimine les termes contenant « x » dans le membre de droite (par exemple)
3 x – 1 _______ = x + 3 _______
2) On réduit :
__________ = 3
3) On élimine les termes du membre de gauche ne contenant pas d’« x ».
______ – 1 _____ = 3 _____
4) On réduit :
______ = ____
x=
5) On trouve :
3  ____ – 1 = ___ et ____ + 3 = ___
On vérifie :
6) On conclut :
= ____
____ est la solution de l’équation 3 x – 1 = x + 3
Mise en équation d’un problème :
1) Identifier la grandeur que l’on cherche (l’inconnue) et la désigner par une lettre
2) Traduire l’énoncé par une équation (pour ce faire, exprimer des informations de l’énoncé « en
fonction de l’inconnue »)
3) Résoudre l’équation puis contrôler que le nombre trouvé convient
4) Donner la solution du problème par une phrase, en s’assurant de la cohérence de la solution.
62
COMMENT CALCULER LES SOLUTIONS D’UNE ÉQUATION DU TYPE A  B = 0 ET X2 = a
63
COMMENT CALCULER DEUX NOMBRES INCONNUS DANS UN SYSTÈME
64
COMMENT CALCULER LES SOLUTIONS DANS UNE INÉQUATION
65
COMMENT CALCULER DANS UNE SITUATION DE PROPORTIONNALITÉ
a, b, c et d sont quatre nombres non nuls.
1)
Si
Alors
a
b
c
d
est un tableau de proportionnalité
c
d
est un tableau de proportionnalité
Si
un tableau est de proportionnalité
alors, les quotients sont égaux.
a c
=
b d
2)
Si
a
b
Si
un tableau est de proportionnalité
alors, les produits en croix sont égaux .
Alors a  d = b  c
3)
Si
a
b
c
d
est un tableau de proportionnalité
Alors il existe un nombre k tel que b = a  k
et d = c  k .
Si
un tableau est de proportionnalité
alors, il existe un coefficient multiplicateur k
pour passer d’une ligne à l’autre du tableau.
COMMENT CALCULER UNE 4ÈME PROPORTIONNELLE
On veut compléter le tableau de proportionnalité suivant
3
63
1ère méthode : en utilisant le coefficient de proportionnalité.
4
x
3
63
4
x
3
63
4
x
a) On trouve le coefficient : ………………………… = …
b) On calcule pour 4
:
……=…
2ème méthode : en utilisant les produits en croix.
On sait que le tableau est de proportionnalité,
donc les produits en croix sont égaux : ( …  … = …  … )
x=
66
…  …… ……
=
= ……
…
…
…
COMMENT CALCULER AVEC LES POURCENTAGES
67
 le coefficient qui permet d’obtenir les
nouvelles
valeurs
lors
d’une
augmentation de N %.
k=1+
 le coefficient qui permet d’obtenir les
nouvelles valeurs lors d’une diminution
de N %.
N
100
k’ = 1 –
N
100
 le taux (%) d’une augmentation ou d’une diminution
exemple 1 : déterminer le taux de l’augmentation lorsqu’un prix passe de 150 € à 180 €.
1) on calcule le coefficient de proportionnalité k =
180
= 1,2
150
N
= 1,2 et on obtient N = 20 %
100
2) on résout l’équation 1 +
ou bien on applique directement la formule
%=
valeur finale  valeur de départ
 100
valeur de départ
c’est à dire
180 150
 100 
150
3000
 20 %
150
il s’agit donc d’une augmentation de 20 %
exemple 2 : déterminer le taux de la diminution lorsqu’un prix passe de 120 € à 102 €.
1) on calcule le coefficient de proportionnalité k’ =
2) on résout l’équation 1 –
N
= 0,85 et on obtient N = 15 %
100
ou bien on applique directement la formule
%=
valeur de départ  valeur finale
 100
valeur de départ
c’est à dire
120 102
120
 100 
1800
15%
120
il s’agit donc d’une diminution de 15 %
68
102
= 0,85
120
COMMENT CALCULER UNE VITESSE, UNE DISTANCE, UN TEMPS
 On utilise la formule
V=
d
t
 On remplace les lettres par les valeurs connues (en faisant attention aux unités)
 On détermine par le calcul la grandeur inconnue.
POUR CALCULER UNE VITESSE
exemple 1 : Un train parcourt 270 km en 1 h 18 min. Quelle est sa vitesse moyenne ?
d
on a V = et on sait que d = 270 km et t = 1 h 18 min = _____ h
t
donc V =


d’où
V
La vitesse moyenne de ce train est d’environ ____________.
POUR CALCULER UNE DISTANCE
exemple 2 : Un chauffeur routier roule à la vitesse moyenne de 80 km/h pendant 1 h 12 min.
Quelle distance a-t-il parcouru ?
d
on a V = et on sait que V = 80 km/h et t = 1 h 12 min = _____ h
t
donc 80 =
d

donc
d = _________ = ________
Le routier a donc parcouru ____________.
POUR CALCULER UN TEMPS
exemple 3 : Un cycliste parcourt 55 km à la vitesse moyenne de 25 km/h.
Pendant combien de temps a-t-il roulé ?
d
on a V = et on sait que V = 25 km/h et d = 55 km
t
donc 25 =


donc
_____ × t = ______
d’où
t=

=

____ h = __ h ____ min
Le cycliste a donc roulé pendant ____________.
Remarques :
Pour l’exemple 2, on peut aussi appliquer directement la formule d = ______.
Pour l’exemple 3, on peut aussi appliquer directement la formule t =
.
69
COMMENT CALCULER UN EFFECTIF – UNE FRÉQUENCE
 On demande à des élèves leur taille, et on regroupe les résultas dans un tableau.
1,20  T < 1,30 1,30  T < 1,40 1,40  T < 1,50 1,50  T < 1,60 1,60  T < 1,70
Taille
Effectif
5
7
13
6
9
La colonne grise signifie qu’il y a 9 élèves de taille comprise entre 1,50 m et 1,60 m.
 On regroupe ces résultats par effectifs cumulés croissants :
Taille inférieure à ...
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
Effectif
5
12
25
34
40
La colonne grise signifie qu’il y a 12 élèves de taille inférieure à 1,40 m.
 On regroupe ces résultats par effectifs cumulés décroissants :
Taille supérieure ou égale à ...
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
Effectif
40
35
28
15
6
La colonne grise signifie qu’il y a 28 élèves de taille supérieure à 1,40 m
COMMENT CALCULER UNE MOYENNE PONDÉRÉE
 Un élève a obtenu les notes suivantes au bac :
Matière
Français
Mathématiques
Histoire
Anglais
Espagnol
Note
12
10
11
8
5
Coefficient
4
4
2
2
1
a) calcul de la moyenne « simple »,
on trouve :
M=
12 + 10 + 11 + 8 + 5
= 9,2
5
donc l’élève échoue
au bac !
b) calcul de la moyenne pondérée (on applique un coefficient à chaque note) on trouve :
M=
12  4  10  4 11  2  8  2  5 1 131

 10,1 donc l’élève obtient le bac !
4  4  2  2 1
13
Remarque :
 On veut calculer une approximation de la taille moyenne des élèves du groupe, mais on a regroupé les
effectifs en classes.
1,20  T < 1,30 1,30  T < 1,40 1,40  T < 1,50 1,50  T < 1,60 1,60  T < 1,70
Taille
Effectif
5
7
13
9
6
 Il faut remplacer chaque classe par son centre :
Taille
1,25
1,35
1,45
1,55
1,65
Effectif
5
7
13
9
6
Calculons maintenant la moyenne pondérée :
M=
70
1,25  5  1,35  7  1,45 13  1,55  9  1,65  6 58,4

 1,46 m
5  7  13  9  6
40
COMMENT CALCULER UNE ÉTENDUE, UNE MÉDIANE
71
COMMENT CALCULER UNE PROBABLITÉ
72
COMMENT CALCULER UN QUARTILE
73
COMMENT CALCULER UNE AIRE
D’UN CARRÉ :
Aire =
Périmètre =
D’UN RECTANGLE :
Aire =
Périmètre =
D’UN PARALLÉLOGRAMME :
Aire =
D’UN TRIANGLE :
Aire =
D’UN TRAPÈZE :
Aire =
D’UN CERCLE :
Aire =
Périmètre =
74
COMMENT CALCULER UN VOLUME
Cube :
H
Parallélépipède :
c
l
Volume : c3
L
Volume : L  l  H
H
Prisme :
Volume : B  H
(B : aire de la base)
H
B
B
Pyramides :
H
BH
3
(B : aire de la base)
Volume :
H
B
B
Cylindre :
Cône :
H
B
BH
3
(B : aire de la base)
Volume :
Volume : B  H
(B : aire de la base)
Boule :
Volume :
4
 R3
3
75
COMMENT CALCULER LE PGCD DE DEUX NOMBRES ENTIERS
76
COMMENT CALCULER UNE EXPRESSION AVEC DES RACINES CARRÉES
77
78
COMMENT UTILISER LA CALCULATRICE AVEC LES NOMBRES RELATIFS
La touche opposé :
- Sur ma calculatrice, pour obtenir le nombre – 7,
j’utilise la séquence :
Il s’affiche :
- pour calculer –7 – (- 6),
j’utilise la séquence :
-7 – - 6
–
Il s’affiche :

Il s’affiche :
-2 -3
, il s’affiche :
1÷8
il s’affiche :
-1
- pour calculer (-2)  (-3),
j’utilise la séquence :
-7
-1
6
La touche inverse :
- Sur ma calculatrice, pour obtenir l’inverse de 8 :
1ère méthode : j’utilise la séquence :
1
÷
2ème méthode : j’utilise la touche inverse :
8
,
0.125
8
0.125
- Sur ma calculatrice, pour obtenir l’inverse de -5, j’utilise la séquence :
il s’affiche
1 ÷ -5
-0.2
ou
il s’affiche
-5
-1
-0.2
79
COMMENT UTILISER LA CALCULATRICE AVEC LES FRACTIONS
 touche(s) à utiliser :
exemple 1 :
 touche(s) à utiliser :
4
3
+
5
4
exemple 1 :
on tape
cela signifie ….
conclusion :
4
3
31
+
=
5
4
20
5
2
4
–
:
6
3 15
cela signifie ….
exemple 2 :
4
3
31
+
=
5
4
20
5
2
4
–
:
6
3 15
on tape
il s’affiche 
conclusion :
il s’affiche 
conclusion :
on tape
80
4
3
+
5
4
on tape
il s’affiche 
exemple 2 :
COMMENT UTILISER LA CALCULATRICE AVEC LES FRACTIONS
cela signifie ….
5
2
4
5
–
:
=6
3 15
3
il s’affiche 
conclusion :
cela signifie ….
5
2
4
5
–
:
=6
3 15
3
COMMENT UTILISER CALCULATRICE AVEC DES PUISSANCES
1) Calcul avec les puissances :
Pour calculer des puissances j’utilise la touche suivante (entoure celle qui apparaît sur ta calculatrice) :
x
y
y
x

^
autre : …
Pour effectuer les calculs suivants, il faut utiliser la séquence suivante :
32 : j’utilise la séquence :
Il s’affiche : ……
___ ___ ___ ___
Il s’affiche : ……
-2 5 : j’utilise la séquence : ___ ___ ___ ___ ___
5 + (-2)3 : j’utilise la séquence : ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ Il s’affiche : ……
9
- 32
-3
2) Écriture scientifique d’un nombre.
a) Affichage :
Lorsque je calcule l’opération : 25 000  4 000 000, ma calculatrice affiche : …………………………..
Ce qui correspond au nombre : ……………………………………………….
Cette notation s’appelle notation scientifique d’un nombre .
Remarque : L’écriture scientifique d’un nombre est très fréquemment utilisée. Elle permet notamment
d’écrire de très grands ou de très petits nombres.
Par exemple : la distance de la terre au soleil est de 1 500 000 000 km ; c’est à dire de 1,5  10 9 km.
b) calculs :
On veut effectuer l’opération 5  105  1,2  10-2 avec une calculatrice

1ère méthode : 5
Il s’affiche :
10 ___ ___ 5

1 , 2

10  ___ ___ (-) 2
……
……
2ème méthode : en utilisant la touche EXP ou 10x ou
5
Il s’affiche :
5  1 , 2
(-) 2
……
……
Remarque : Dès que le résultat d’un calcul dépasse la capacité d’affichage de la calculatrice, elle affiche
toujours l’écriture scientifique du nombre.
……
Exemple : pour 12500  250 000,
elle affiche
……
alors que pour 12500  2 500 000,
elle affiche
……
……
81
COMMENT UTILISER LA CALCULATRICE AVEC LE THÉORÈME DE PYTHAGORE
Pour calculer le carré d’une longueur : La touche « carré » :
Si
AB = 2,3 cm, pour obtenir AB2 :
j’utilise la séquence :
Il s’affiche :
2.32
5.29
par conséquent, AB2 = 5,29
Pour calculer une longueur connaissant son carré : La touche racine carrée :
Si AB2 = 18, pour obtenir AB :
j’utilise la séquence :
par conséquent, AB  4,2 cm
82
,
Il s’affiche :
18
4.242640687
COMMENT UTILISER MA CALCULATRICE
POUR FAIRE DES CALCULS AVEC SINUS, COSINUS ET TANGENTE
83
84
85
86
COMMENT CONSTRUIRE LES DROITES REMARQUABLES D’UN TRIANGLE
LA MÉDIATRICE D’UN SEGMENT OU D’UN CÔTÉ :
A
A
B
A
B
B
1 - On trace deux arcs de cercles
de centre A de part et d’autre
du segment
2 - En gardant le même écartement,
on trace deux autres arcs de cercle
de centre B
LA HAUTEUR ISSUE D’UN SOMMET
3 - On obtient ainsi la
médiatrice de [AB]
:
B
B
I
A
A
C
C
1- On place un des côtés de l’angle
droit sur un côté du triangle
2 - On fait glisser l’équerre jusqu’à ce qu’elle
passe par le sommet opposé du côté.
On obtient la hauteur issue de A.
I est appelé pied de la hauteur issue de A
LA BISSECTRICE D’UN ANGLE
:
On obtient ainsi la bissectrice de l’angle
LA MÉDIANE D’UN TRIANGLE :
1- On place le milieu
d’un côté
2 - On trace la droite
qui passe par le milieu
et le sommet opposé.
On obtient ainsi la médiane issue d’un sommet
87
PROPRIÉTÉS DES DROITES REMARQUABLES D’UN TRIANGLE
A
I. MÉDIATRICES.
Les médiatrices des côtés d’un triangle sont .............................................. :
Leur point de concours s’appelle le ......................................... au triangle.
C
B
II. HAUTEURS.
A
Les hauteurs d’un triangle sont ................................................................... :
Leur point de concours s’appelle l’ .......................................... du triangle.
C
B
III. BISSECTRICES.
A
Les bissectrices des 3 angles d’un triangle sont
Leur point de concours est appelé
.
C
B
IV. MÉDIANES.
A
Les médianes d’un triangle sont ............................................................
Leur point de concours s’appelle le ......................................................
C
B
CAS PARTICULIERS :
a. Dans un triangle isocèle...
Si un triangle est isocèle alors la hauteur
issue du sommet principal est aussi médiane,
médiatrice et bissectrice.
(C’est l’axe de symétrie du triangle
isocèle).
88
b. Dans un triangle équilatéral...
Si un triangle est équilatéral alors les
hauteurs, les médianes, les médiatrices et les
bissectrices de chaque sommet sont confondues.
(Ce sont les 3 axes de symétrie du triangle
équilatéral)
COMMENT CONSTRUIRE LE CERCLE CIRCONSCRIT À UN TRIANGLE RECTANGLE
Si
Alors
Si
un triangle est rectangle
Alors, le centre du cercle circonscrit est le milieu de
l’hypoténuse.
89
COMMENT CONSTRUIRE UN PATRON DE CÔNE
COMMENT CONSTRUIRE UN PATRON DE PYRAMIDE
90
COMMENT CONSTRUIRE UNE SECTION DE SOLIDE
91
COMMENT CONSTRUIRE UNE TANGENTE À UN CERCLE
92
COMMENT CONSTRUIRE UN POLYGONE RÉGULIER
93
COMMENT CONSTRUIRE LA REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION AFFINE OU LINEAIRE
94
95
96
97
98
COMMENT DÉMONTRER QU’UN QUADRILATÈRE EST UN PARALLELOGRAMME
Figure
Propriété
Si un quadrilatère a les diagonales qui ont
même milieu,
alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a les cotés opposés de
même longueur,
alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a les cotés opposés
parallèles,
alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a 2 cotés opposés
parallèles et de même longueur,
alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a les angles opposés de
même mesure,
alors c’est un parallélogramme.
99
COMMENT DÉMONTRER QU’UN QUADRILATÈRE EST UN RECTANGLE
Figure
Propriété
Si un quadrilatère a 4 angles droits,
alors c’est un rectangle.
Si un parallélogramme a un angle
droit,
ABCD parallélogramme
alors c’est un rectangle.
Si un parallélogramme a les
diagonales de même longueur,
ABCD parallélogramme
100
alors c’est un rectangle.
COMMENT DÉMONTRER QU’UN QUADRILATÈRE EST UN LOSANGE
Figure
Propriété
Si un quadrilatère a 4 côtés de
même longueur,
alors c’est un losange.
B
A
Si un parallélogramme a les
diagonales perpendiculaires,
C
D
ABCD parallélogramme
alors c’est un losange.
B
A
D
C
ABCD parallélogramme
Si un parallélogramme a 2
côtés consécutifs de même
longueur,
alors c’est un losange.
101
COMMENT DÉMONTRER QU’UN QUADRILATÈRE EST UN CARRÉ
Propriété
Figure
Si un rectangle a deux côtés consécutifs
de même longueur,
ABCD est un rectangle
alors c’est un carré.
Si
ABCD est un rectangle
un rectangle a les diagonales
perpendiculaires,
alors c’est un carré.
Si un losange a un angle droit,
alors c’est un carré.
ABCD est un losange
Si un losange les diagonales de même
longueur,
alors c’est un carré.
ABCD est un losange
102
COMMENT DÉMONTRER QUE DEUX DROITES SONT PARALLÈLES
PARALLÈLES ET PERPENDICULAIRES
(d)
(d1)
(d2)
Si
Alors, (d1) // (d2)
Si
(d)
(d1)
(d1) // (d) et (d2) // (d)
(d1)  (d) et (d2)  (d)
Alors, (d1) // (d2)
Si
deux droites sont parallèles à une
même troisième
Alors elles sont parallèles entre elles.
Si
deux droites sont perpendiculaires à
une même troisième
Alors elles sont parallèles entre elles.
(d2)
PROPRIÉTÉ DE LA DROITE DES MILIEUX
Si
alors
Si dans un triangle ABC,
I = m[AB]
et J = m[AC]
Dans un triangle, la droite passant
par les milieux de deux côtés est
parallèle au troisième côté.
alors (IJ) // (BC)
103
LA RÉCIPROQUE DU THÉORÈME DE THALÈS
104
COMMENT DÉMONTRER QUE DEUX DROITES SONT PERPENDICULAIRES
PARALLÈLES ET PERPENDICULAIRES
(d)
(d')
Si
(d) // (d’) et (d1)  (d’)
Alors, (d1)  (d)
Si
deux droites sont parallèles
Alors toute perpendiculaire à l’une est
perpendiculaire à l’autre.
(d1)
105
COMMENT DÉMONTRER QU’UN TRIANGLE EST RECTANGLE
LA RÉCIPROQUE DU THÉORÈME DE PYTHAGORE:
B
2
2
Si
le carré du plus long côté est égal à la
somme des carrés des deux autres côtés
2
Si …… = …… + …… Alors
C
A
Alors, ce triangle est rectangle et son
hypoténuse est son plus grand côté.
La réciproque du théorème de Pythagore sert à montrer si un triangle est rectangle.
I
EXEMPLE :
77 cm
36 cm
J
85 cm
K
Le triangle IJK est-il rectangle ?
*
Le plus long côté est [ …… ] donc je calcule :
2
……… = ………
*
2
= ……………
Je calcule :
2
2
2
2
2
2
2
……… + ……… = ……… + ………
2
……… + ……… = ………… + …………
……… + ……… = ……………
2
* Je constate que
= 2+ 2,
donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore
Comment démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle
avec LE THEOREME DE PYTHAGORE
E
Le triangle EFG est-il rectangle ?
*
Le plus long côté est [ …… ] donc je calcule :
2
*
……… = ………
Je calcule :
2
2
2
7 cm
6 cm
F
= ……………
2
2
G
8 cm
……… + ……… = ……… + ……… = ………… + ………… = ……………
* Je constate que ………2  ……… 2 + ……… 2 ,
(or si le triangle était rectangle le théorème de Pythagore dit que dans ce cas il y a égalité)
donc
106
le triangle EFG n'est pas rectangle.
PROPRIÉTÉ DU TRIANGLE INSCRIT DANS UN CERCLE
Si
Alors
Si
un triangle est inscrit dans un cercle et pour
côté un diamètre de ce cercle
Alors, ce triangle est rectangle et ce côté est
l’hypoténuse.
107
108
COMMENT DÉMONTRER QU’UN POINT EST LE MILIEU D’UN SEGMENT
RÉCIPROQUE DE LA PROPRIÉTÉ DE LA DROITE DES MILIEUX
Si
alors
Si dans un triangle ABC,
I = m[AB], J  [AC])
et (IJ) // (BC
alors J = m[AC]
Dans un triangle, la droite qui passe
par le milieu d’un côté et qui est
parallèle à un autre côté coupe le
troisième côté en son milieu.
109
COMMENT DÉMONTRER QU’UN TABLEAU EST DE PROPORTIONNALITÉ
I – Par le calcul :
a, b, c et d sont quatre nombres non nuls.
Si
a c
=
b d
alors,
Si
Si
a
c
b
d
est un tableau de proportionnalité
ad = b c
alors,
a
c
b
d
Si il existe un nombre k tel que b = a  k et d = c  k
alors,
a
c
b
d
alors le tableau est de proportionnalité
Si
est un tableau de proportionnalité
est un tableau de proportionnalité
les _____________________
les _____________________
alors le tableau est de proportionnalité
Si il existe un coefficient multiplicateur
pour passer d’une ligne à l’autre du tableau
alors le tableau est de proportionnalité.
II – Par une représentation graphique :
Si
les points d’une représentation graphique sont alignés sur une droite qui passe par l’origine
alors, il s’agit d’une relation de proportionnalité.
0
0
10
5
110
30
15
40
20
0
4
3
10
6
18
10
12,5
2
25
8
35
18
COMMENT DÉMONTRER QUE DEUX QUOTIENTS SONT ÉGAUX
1) En utilisant les règles de simplification :
Si a, b et c sont trois nombres relatifs non nuls,
a
a  c
a : c
alors
=
=
b b  c b : c
Exemples :
4
10
et
sont égales parce que :
6
15
4 ………………… …
10 ………………… …
=
=
et
=
=
6 ………………… 3
15 ………………… 3


2
18
et
ne sont pas égaux parce que :
3,5
35
2
………………… …
=
=
3,5 ………………… …
2) En utilisant le « produit en croix »
Pour tous les nombres relatifs non nuls a, b, c et d
a c
Si a  d = b  c
alors
= .
b d
a c
Si a  d  b  c alors
 .
b d
Exemples :


20
29
19,5
et
14,3
25,5
sont égaux car :
……………  …………… = ………………
18,7
et ……………  …………… = ……………… .
6 897
et
ne sont pas égales car : ……  ………………… = ……………………
10 001
et
……  ………………… = ……………………
3) En utilisant les écritures décimales si elles existent.
Exemples :
7,5
5
7,5
5
et
sont égaux car
= ……………
et
= ……………
6
4
6
4
20
6 897
 On ne peut pas comparer
et
avec les écritures décimales, car ces deux
29
10 001
fractions n’ont pas d’écriture décimale.

111
112
COMMENT DÉMONTRER QU’UNE FRACTION EST IRRÉDUCTIBLE
113
114
115
116
117
C’EST QUOI UN DÉMONSTRATION
118
CHOIX DES PROPRIÉTÉS
119
CRITÈRES DE RÉUSSITE D’UNE DÉMONSTRATION
120
DÉMONSTRATIONS DE RÉSULTATS DU COURS – EXEMPLES DE DÉMONSTRATION
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