annales de DS - Haut Mathelin

2 Automath – Probabilités - Annales de sujets
Tous les exercices suivants ont été posés en évaluation …
Exercice 1
Une urne contient une boule numérotée 1, deux boules numérotées 2 et trois boules numérotées 3.
On tire au hasard une boule de l’urne. On note son numéro.
1) Proposer une loi de probabilité adaptée à la situation
2) Donner la probabilité des événements suivants :
A : « la boule tirée a un numéro impair »
B : « la boule tirée a un numéro inférieur ou égal à 2 »
3) Calculer la probabilité des événements A  B et A  B .
Exercice 2
Dans un club de danse plusieurs styles sont proposés dont le hip-hop et la salsa.
Sur les 120 inscrits, 50 pratiquent le hip-hop et 32 la salsa.
53 adhérents ne pratiquent aucune de ces deux danses.
On tire au sort un adhérent.
a) Quelle est la probabilité qu’il pratique la salsa ? le hip-hop ?
b) Compléter le tableau à double entrée ci-dessous :
Hip-Hop
Non Hip-Hop
Total
Salsa
Non Salsa
Total
120
c) Un membre est qualifié de bon danseur s’il pratique au moins l’une de ces deux danses.
Quelle est la probabilité que ce soit un bon danseur ?
Exercice 3
Une urne contient des boules. On tire une boule au hasard.
A désigne l’événement « la boule est noire » et B désigne l’événement « la boule a un numéro ».
Décrire en français, ce que représentent dans la situation, les événements :
𝐴∩𝐵
𝐴∩𝐵
𝐴∪𝐵
𝐴∪𝐵
𝐴∩𝐵
Exercice 4
A et B sont deux événements tels que : 𝑝(𝐴) = 0,2 ; 𝑝(𝐵) = 0,5
;
Déterminer 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑝(𝐴 ∪ 𝐵)
𝑝(𝐴 ∪ 𝐵)
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,1
𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
Exercice 5
D’un jeu de cartes, on ne conserve que la dame de trèfle, le valet de trèfle, la dame de coeur, valet de pique et le
valet de cœur.
1) On tire une carte au hasard parmi ces 5 cartes.
On considère l’événement A : « la carte est une dame » et l’événement B : « la carte est noire ».
Pour chacun des événements 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴̅, 𝐴̅ ∪ 𝐵̅ , 𝐴̅ ∩ 𝐵
a) Indiquer les issues qui les réalisent
b) Donner leur probabilité.
2) On tire simultanément deux cartes parmi les cinq. On compte le nombre de valets dans la paire tirée. Donner la
loi de probabilité.
Exercice 6
On lance deux dés cubiques équilibrés numérotés de 1 à 6. On note alors le plus petit des deux numéros sortis.
Etablir la loi de probabilité de l’expérience. Pour fournir les explications attendues, on pourra s’appuyer sur un
tableau à double entrée.
Exercice 7
Une Campagne de prévention routière s’intéresse aux défauts constatés sur le freinage et sur l’éclairage de 400
véhicules :
 60 des 400 véhicules présentent un défaut de freinage.
 140 des 400 véhicules présentent un défaut d’éclairage.
 45 véhicules présentent à la fois un défaut de freinage et un défaut d’éclairage.
On choisit un véhicule au hasard parmi ceux qui ont été examinés. On assimile les probabilités aux fréquences. On
considère les événements :
𝐴 : »𝑙𝑒 𝑣éℎ𝑖𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑟é𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑑é𝑓𝑎𝑢𝑡 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑒𝑖𝑛𝑎𝑔𝑒 »
𝐵: "𝑙𝑒 𝑣éℎ𝑖𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑝𝑟é𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑑é𝑓𝑎𝑢𝑡 𝑑′é𝑐𝑙𝑎𝑖𝑟𝑎𝑔𝑒"
Ecrire chacun des événements suivant en fonction de 𝐴 et 𝐵 puis calculer leur probabilité :
a) Le véhicule ne présente pas de défaut d’éclairage
b) Le véhicule présente au moins un des deux défauts ?
c) Le véhicule présente un défaut de freinage mais pas de défaut d’éclairage ?
d) Le véhicule présente un défaut d’éclairage mais pas de défaut de freinage ?
e) Le véhicule ne présente aucun des deux défauts ?
Exercice 8
Un sac contient 20 jetons qui sont soit jaunes, soit verts, soit rouges, soit bleus. On considère l’expérience
suivante : tirer au hasard un jeton, noter sa couleur et remettre le jeton dans le sac. Chaque jeton a la même
probabilité d’être tiré.
Le professeur, qui connait la composition du sac, a simulé un très grand nombre de fois l’expérience avec une
calculatrice. Il a représenté ci-dessous la fréquence d’apparition des différentes couleurs en fonction du nombre
de tirages.
1) Proposer, en justifiant soigneusement, une loi de probabilité pour l’expérience aléatoire.
2) Expliquer comment alors simuler cette loi avec une calculatrice (formule tapée et interprétation du résultat).
Exercice 9
Une expérience aléatoire conduit à l'observation de trois événements A, B et C. On sait que :
𝑃(𝐴) = 0,15
𝑃(𝐵) = 0,3
𝑃(𝐶) = 0,4
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,42
𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 0,05
𝐵 et 𝐶 sont incompatibles
On veillera à bien citer les propriétés de cours utilisées ou éventuellement à faire un schéma.
1) Calculer P( A )
4) Calculer P(A ∩ C)
2) Calculer P(B ∪ C)
3) Calculer P(A ∩ B)
5) Soit 𝐺 l’événement “ni A, ni B ne se réalisent”. Calculer P(G)
Exercice 10
On lance un dé truqué à 6 faces.
La face 6 a la probabilité 0,3 de sortir. La face 1 a la probabilité 0,1 de sortir. Les autres faces sont équiprobables.
Donner la loi de probabilité de cette expérience aléatoire. Justifier.
Exercice 11
On lance 2 fois un dé équilibré à quatre faces, numérotées de 1 à 4.
On additionne alors les résultats des 2 lancers.
En vous appuyant sur un tableau, calculer la probabilité que la somme soit supérieure ou égale à 6 ?
Exercice 12
On tire une carte aléatoirement dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs :  ; 7, 8 ,9 ,10 ,Valet ,Dame ,Roi ,AS)
Donner la valeur des probabilités des événements suivants :
1. Obtenir un Roi
2. La probabilité d’obtenir une carte qui soit une figure (Roi ou Dame ou Valet) ou un cœur
3. La probabilité d’obtenir une figure et un cœur
4. Question à prises d’initiatives : On tire un roi de trèfle. Combien d’événements sont réalisés par cette issue ?
Exercice 13
Une urne contient trois boules rouges et une boule noire. On tire, sans remise, trois boules et on note (à chaque
tirage) la couleur de la boule obtenue.
A l’aide d’un arbre, dresser la liste de toutes les issues (on ne demande pas la probabilité des issues).
Pour se corriger
Exercice 1
Question 1
Issues
Probabilité
1
1
6
2
1
3
3
1
2
Question 2
Il y a deux issues qui réalisent A : 𝐴 = {1 ; 3}
La probabilité de 𝐴 est la somme des probabilités des événements élémentaires (les issues) qui le
1
3
4
2
compose : 𝑃(𝐴) = 𝑃({1}) + 𝑃({3}) = 6 + 6 = 6 = 3
Il y a deux issues qui réalisent B : 𝐵 = {1 ; 2}
La probabilité de 𝐵 est la somme des probabilités des événements élémentaires (les issues) qui le
1
2
3
1
compose : 𝑃(𝐵) = 𝑃({1}) + 𝑃({2}) = 6 + 6 = 6 = 2
Question 3
1
𝐴 ∩ 𝐵 = {1}
donc 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃({1}) = 6
𝐴 ∪ 𝐵 = {1 ; 2 ; 3}
donc 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 6 + 3 + 2 = 1
1
1
1
Exercice 2
Question a
On assimile les probabilités aux fréquences.
32
32
4
or 120 = 15 ≈ 0,297
La fréquence des gens qui danse la salsa est de : 120
Nous prendrons comme probabilité qu’un adhérent tiré au hasard danse la salsa : 0,297
50
La fréquence des gens qui danse le hip-hop est de : 120
50
5
or 120 = 12 ≈ 0,416
Nous prendrons comme probabilité qu’un adhérent tiré au hasard danse la salsa : 0,416
Question b
Il s’agit d’un tableau d’effectifs.
Les lettres indiquent un ordre de calcul possible.
Hip-Hop
Salsa
(C )
32 − 17 = 15
Non Salsa
(B)
88 − 53 = 35
Total
50
Non Hip-Hop
(B)
70 − 53 = 17
53
(A)
Total
120 − 50 = 70
32
(A)
120 − 32 = 88
120
Question c
Il y a 53 membres qui n pratiquent ni la salsa, ni le hip-hop.
Il y a donc 120 − 53 membres, soit 67 membres sur 120, qui pratiquent au moins une des deux danses.
Comme on assimile les probabilités aux fréquences, la probabilité qu’un membre tiré au au hasard soit
un bon danseur est de :
67
120
≈ 0,558
Exercice 3
𝐴∩𝐵
Désigne l’événement « la boule est noire et n’a pas de numéro »
Dit autrement, « la boule est noire sans numéro ».
𝐴∩𝐵
Désigne l’événement « la boule n’est pas est noire et a un numéro ».
Dit autrement, « la boule est rouge avec un numéro ».
𝐴∪𝐵
Désigne l’événement « la boule est noire ou a un numéro ».
𝐴∪𝐵
Désigne l’événement « la boule n’est pas noire ou a un numéro ».
Dit autrement, « la boule est rouge ou a un numéro »
𝐴∩𝐵
Désigne l’événement « la boule n’est ni noire, ni n’a de numéro ».
Dit autrement, « la boule est rouge sans numéro »
Exercice 4
Comme 𝐴 = (𝐴 ∩ 𝐵̅ ) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)
Et que 𝐴 ∩ 𝐵̅ et 𝐴 ∩ 𝐵 sont incompatibles (intersection vide)
On a : 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵̅ ) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Donc, comme on peut le visualiser sur le schéma :
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,2 − 0,1 = 0,1
De même, 𝐵 = (𝐵 ∩ 𝐴̅) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)
Et que 𝐵 ∩ 𝐴̅ et 𝐴 ∩ 𝐵 sont incompatibles (intersection vide)
On a : 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴̅) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Donc, comme on peut le voir sur le schéma:
𝑃(𝐴̅ ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,5 − 0,1 = 0,4
D’après le cours :
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,5 + 0,2 − 0,1 = 0,6
D’après le cours :
𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 0,2 = 0,8
D’après le cours :
𝑃(𝐴̅ ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴̅) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴̅ ∩ 𝐵) = 0,8 + 0,5 − 0,4 = 0,9
𝐴̅ ∩ 𝐵̅ est l’événement contraire à l’événement 𝐴 ∪ 𝐵
D’après le cours :
𝑃(𝐴̅ ∩ 𝐵̅ ) = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1 − 0,6 = 0,4
Exercice 5
Question 1a
𝐴 = { 𝐷𝑎𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑟è𝑓𝑙𝑒, 𝐷𝑎𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑢𝑟 }
𝐵 = { 𝐷𝑎𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑟è𝑓𝑙𝑒, 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑡𝑟è𝑓𝑙𝑒, 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑞𝑢𝑒 }
𝐵̅ = { 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑢𝑟, 𝐷𝑎𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑢𝑟 }
𝐴 ∪ 𝐵 = { 𝐷𝑎𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑢𝑟, 𝐷𝑎𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑟è𝑓𝑙𝑒, 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑡𝑟è𝑓𝑙𝑒, 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑞𝑢𝑒 }
𝐴 ∩ 𝐵 = { 𝐷𝑎𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑟è𝑓𝑙𝑒 }
𝐴̅ = { 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑢𝑟, 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑡𝑟è𝑓𝑙𝑒, 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑞𝑢𝑒 }
𝐴̅ ∪ 𝐵̅ = { 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑢𝑟, 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑡𝑟è𝑓𝑙𝑒, 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑞𝑢𝑒, 𝐷𝑎𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑒𝑢𝑟 }
𝐴̅ ∩ 𝐵 = { 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑡𝑟è𝑓𝑙𝑒, 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑝𝑖𝑞𝑢𝑒 }
Question 1b
1
Chacune des cartes à la même probabilité 5 et la probabilité d’un événement est la somme des issues qui le réalise.
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) =
4
5
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
1
5
3
𝑃(𝐴̅) =
4
𝑃(𝐴̅ ∪ 𝐵̅) =
5
5
2
𝑃(𝐴̅ ∩ 𝐵) =
5
Question 2
Notons V pour valet, D pour dame, t pour trèfle, p pour pique, c pour cœur. Ainsi Vc désigne le valet de cœur.
Listons toutes les 10 paires de cartes possibles. L’ordre n’a pas d’importance :
Vc Vp
Vc Vt
Vc Dc
Vc Dp
Le valet de cœur est associé aux 4 autres cartes
Vp Vt
Vp Dc
Vp Dp
Le valet de pique est associé aux 3 autres cartes
Vt Dc
Vt Dp
Le valet de trèfle est associé aux 2 autres cartes
Dc Dp
Il ne reste qu’une paire possible
Chaque paire de carte a les mêmes chances soit une probabilité de :
Les issues qui réalisent l’événement « 0 valet » : Dc Dp
1
Donc 𝑃("0 valet") = 10
1
10
Les issues qui réalisent l’événement « 1 valet » : Vc Dc
6
Donc 𝑃("1 valet") = 10
Vc Dp
Vt Dc
Les issues qui réalisent l’événement « 2 valets » : Vc Vp
1
1
1
3
Donc 𝑃("2 valets") = 10 + 10 + 10 = 10
Vpt Dp
Vc Vt
Vp Dc
Vt Vc
Comme on ne tire que deux cartes, il n’y a aucune issue qui réalise l’événement « tirer 3 valets ».
𝑃("3 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑡𝑠") = 𝑃(∅) = 0
Exercice 6
1
2
3
4
5
6
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
3
1
2
3
3
3
3
4
1
2
3
4
4
4
5
1
2
3
4
5
5
6
1
2
3
4
5
6
Chacune des 36 cases a les mêmes chances.
Issues
Probabilités
1
11
36
2
9
36
3
7
36
4
5
36
5
3
36
6
1
36
Exercice 7
Calculons les fréquences constatées par la compagnie d’assurance :
60
3
60
= 20 = 0,15
des 400 voitures ont un défaut de freinage
400
400
140
400
=
7
20
45
400
= 0,1125
= 0,35
140
400
des 400 voitures ont un défaut d’éclairage
45
400
des 400 voitures ont les deux défauts
On assimile les probabilités aux fréquences donc :
60
140
𝑃(𝐴) =
𝑃(𝐵) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
400
400
45
400
Question a
« Le véhicule ne présente pas de défaut d’éclairage » se note 𝐵̅
140
260
𝑃(𝐵̅) = 1 − 𝑃(𝐵) = 1 − 400 = 400 = 0,65
Question b
« Le véhicule présente au moins un des deux défauts « se note 𝐴 ∪ 𝐵
60
140
45
155
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 400 + 400 − 400 = 400 = 0,3875
Question c
« Le véhicule présente un défaut de freinage mais pas de défaut d’éclairage » se
note 𝐴 ∩ 𝐵̅
60
45
15
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵̅) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 400 − 400 = 400 = 0,0375
Question d
Vp Dp
« Le véhicule présente un défaut d’éclairage mais pas de défaut de freinage » se note 𝐴̅ ∩ 𝐵
140
45
95
𝑃(𝐴̅ ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) =
−
=
= 0,2375
400
400
400
Question e
« Le véhicule ne présente aucun des deux défauts » se note ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∪ 𝐵 et aussi 𝐴̅ ∩ 𝐵̅
155
245
̅̅̅̅̅̅̅
𝑃(𝐴
∪ 𝐵) = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1 − 400 = 400 = 0,6125
Autre méthode :
On calcule successivement les effectifs de :
𝐴 ∩ 𝐵̅ : 60 − 15 = 45
45 des 400 véhicules ont seulement un défaut de freinage
𝐴̅ ∩ 𝐵 : 140 − 45 = 95
95 des 400 véhicules ont seulement un défaut d’éclairage
𝐴 ∪ 𝐵 : 15 + 45 + 95 = 155
155 des 400 véhicules ont au moins un défaut
̅
̅
𝐴 ∩ 𝐵 : 400 − 155 = 245
245 des 400 véhicules n’ont aucun des deux défauts.
On assimile les probabilités aux fréquences …. Et on retrouve les mêmes réponses.
Exercice 8
Question 1
Le professeur a simulé 1000 tirages, ce qui est un très grand nombre, par rapport aux quatre issues possibles.
On peut donc penser, et les graphiques semblent le confirmer, que les fréquences des différentes couleurs
observées depuis le début des simulations se sont stabilisées autour des probabilités.
La fréquence de tirage de la couleur jaune se stabilise vers 0,5
La fréquence de tirage de la couleur vert se stabilise vers 0,25
La fréquence de tirage de la couleur rouge se stabilise vers 0,2
La fréquence de tirage de la couleur bleu se stabilise vers 0,05
On assimile les probabilités aux fréquences :
Issues
Probabilités
Question 2
Jaune
0,5
Vert
0,25
Rouge
0,2
Bleu
0,05
Première idée :
On tape 𝑅𝑎𝑛# ( en mode calcul on tape OPTN PROB Ran# ).
La calculatrice affiche un nombre entre 0 et 1 qu’on interprète ainsi :
0 ≤ 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑎𝑓𝑓𝑖𝑐ℎé < 0,5
« le jeton tiré est jaune »
0,5 ≤ 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑎𝑓𝑓𝑖𝑐ℎé < 0,75
« le jeton tiré est vert »
0,75 ≤ 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑎𝑓𝑓𝑖𝑐ℎé < 0,95
« le jeton tiré est rouge »
0,95 ≤ 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑎𝑓𝑓𝑖𝑐ℎé < 1
« le jeton tiré est bleu »
Deuxième idée :
On tape 𝐼𝑛𝑡𝑅𝑎𝑛#(0,99)
La calculatrice affiche un nombre entier entre 0 et 99 qu’on interprète ainsi :
0 ≤ 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑎𝑓𝑓𝑖𝑐ℎé < 5
« le jeton tiré est jaune »
5 ≤ 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑎𝑓𝑓𝑖𝑐ℎé < 75
« le jeton tiré est vert »
75 ≤ 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑎𝑓𝑓𝑖𝑐ℎé < 95
« le jeton tiré est rouge »
95 ≤ 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑎𝑓𝑓𝑖𝑐ℎé
« le jeton tiré est bleu »
Exercice 9
1) P( A ) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 0,15 = 0,85
2) Comme 𝐵 et 𝐶 sont incompatibles, 𝐵 ∩ 𝐶 = ∅
donc 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) = 0
P(B ∪ C) = P(B) + P(C) − P(B ∩ C) = 0,3 + 0,4 − 0 = 0,7
3) P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) = 0,15 + 0,3 − 0,42 = 0,03
4) Les événements 𝐴 ∩ 𝐶 et 𝐴 ∩ 𝐶̅ sont incompatibles.
De plus, (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶̅ ) = 𝐴
Donc 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶̅ ) = 𝑃(𝐴)
P(A ∩ C) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶) = 0,15 − 0,05 = 0,1
̅̅̅̅̅̅̅
5) 𝐺 = 𝐴̅ ∩ 𝐵̅ = ̅̅̅̅̅̅̅
𝐴 ∪ 𝐵 donc P(G) = 𝑃(𝐴̅ ∩ 𝐵̅) = 𝑃(𝐴
∪ 𝐵 ) = 1 − 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 1 − 0,42 = 0,58
Exercice 10
On pose 𝑥 = 𝑃({2})
donc 𝑥 = 𝑃({2}) = 𝑃({3}) = 𝑃({4}) = 𝑃({5})
Comme la somme des probabilités des issues vaut 1,
𝑃({1}) + 𝑃({2}) + 𝑃({3}) + 𝑃({4}) + 𝑃({5}) + 𝑃({6}) = 1
0,1 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 0,3 = 1
4𝑥 + 0,4 = 1
en ajoutant −0,4 à chaque membre
4𝑥 = 1 − 0,4
4𝑥 = 0,6
en divisant chaque membre par 4
𝑥=
0,6
4
Issues
= 0,15
1
2
3
4
5
6
Probabilités
0,1
0,15
0,15
0,15
0,15
0,3
Exercice 11
Il y a 16 issues. On choisit une loi équirépartie (les dés sont équilibrés et indépendants).
Soit 𝐴 l’événement « la somme soit supérieure ou égale à 6 ».
Il y a 6 événements qui réalisent 𝐴
Comme la loi est équirépartie, 𝑃(𝐴) =
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑 ′ 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑖 𝑟é𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒𝑛𝑡 𝐴
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑’𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠
6
3
= 16 = 8
Exercice 12
La loi est équirépartie : chaque carte a la même probabilité d’être tirée.
Question 1
Soit 𝐴: « Obtenir un Roi ».
𝐴 = {𝑅𝑇𝑟è𝑓𝑙𝑒 ; 𝑅𝑃𝑖𝑞𝑢𝑒 ; 𝑅𝐶𝑜𝑒𝑢𝑟 ; 𝑅𝐶𝑎𝑟𝑟𝑒𝑎𝑢 }
Comme la loi est équirépartie, 𝑃(𝐴) =
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑 ′ 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑖 𝑟é𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒𝑛𝑡 𝐴
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑’𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠
=
4
32
=
1
8
Question 2
Soit 𝐵: « obtenir une carte qui soit une figure (Roi ou Dame ou Valet) ou un cœur »
𝐵 est réalisé par :
 Les 8 cartes de cœur
 Le valet de pique, le valet de trèfle, le valet de carreau
 La dame de pique, la dame de trèfle, la dame de carreau
 Le roi de pique, le roi de trèfle, le roi de carreau
Comme la loi est équirépartie, 𝑃(𝐵) =
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑 ′ 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑖 𝑟é𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒𝑛𝑡 𝐵
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑’𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠
17
= 32
Question 3
Soit 𝐶: « obtenir une figure et un cœur »
𝐶 = { 𝑉𝐶𝑜𝑒𝑢𝑟 ; 𝐷𝐶𝑜𝑒𝑢𝑟 ; 𝑅𝐶𝑜𝑒𝑢𝑟 }
Comme la loi est équirépartie, 𝑃(𝐶) =
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑 ′ 𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑖 𝑟é𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒𝑛𝑡 𝐶
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑’𝑖𝑠𝑠𝑢𝑒𝑠
3
= 32
Question 4 : à prises d’initiatives
Donnons quelques exemples d’événements réalisés par l’issue « 𝑅𝑜𝑖 𝑑𝑒 𝑡𝑟è𝑓𝑙𝑒 »
{ 𝑅𝑇𝑟è𝑓𝑙𝑒 ; 𝐴𝑠𝐶𝑎𝑟𝑟𝑒𝑎𝑢 ; 8𝐶𝑜𝑒𝑢𝑟 }
{ 𝑅𝑇𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒 }
{ 𝑅𝑇𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒 ; 9𝑃𝑖𝑞𝑢𝑒 }
{ 𝑅𝑇𝑟è𝑓𝑙𝑒 ; 𝐴𝑠𝐶𝑎𝑟𝑟𝑒𝑎𝑢 ; 8𝐶𝑜𝑒𝑢𝑟 ; 10𝐶𝑜𝑒𝑢𝑟 }
Il s’agit de construire un événement contenant forcément le roi de trèfle
Et pour chacune des 31 autres cartes, il y a deux possibilités soit elle réalise l’événement, soit elle ne le réalise
pas.
Le nombre d’événements réalisés par cette issue : 231 =2 147 483 648
Exercice 13
La liste des issues : { 𝑅𝑅𝑅 ; 𝑅𝑅𝑁 ; 𝑅𝑁𝑅 ; 𝑁𝑅𝑅 }