Mathématiques L1

Première partie
Bases
ans cette partie, nous rappelons les connaissances acquises dans les classes secondaires
en insistant en particulier sur la trigonométrie, les techniques d’étude de fonctions, les
fonctions dites élémentaires (exp, ln, sin, cos, tan, ch, sh), les propriétés des nombres
complexes, les techniques de manipulation des sommes et produits finis et enfin la géométrie
dans le plan.
Comme nous l’avons déjà indiqué dans l’avant-propos, le but de cette partie de révision
est double. D’une part, il est indispensable de mettre au point les bases sur lesquelles se fonde
l’intuition développée durant les première années de l’apprentissage mathématique, et d’autre
part il est primordial de souligner de manière claire les imperfections de cette construction
mathématique préliminaire. Nous allons dans cette introduction mettre l’accent sur quelquesunes de ces insuffisances, et montrer dans quelle mesure nous pourrons les corriger dans cet
ouvrage, et dans la suite du cycle L.
D
Les nombres. La notion de nombre repose tout d’abord sur l’idée intuitive d’entier naturel.
À toute collection d’objets concrets, de livres ou d’assiettes par exemple, nous apprenons
depuis l’enfance à associer un symbole, le nombre d’objets contenus dans cette collection. Ce
nombre permet de comparer la taille de deux collections distinctes, sans tenir compte de la
nature des objets qui les constituent. Nous apprenons très vite à faire des opérations sur ces
nombres : addition, soustraction, multiplication et division. Cette notion de nombre entier sera
aussi à la base de toute notre construction dans ce cours, et nous devons souligner que nous ne
pourrons pas aller beaucoup plus loin dans sa mise en forme, ceci dépasserait en effet le cadre de
cet ouvrage. Nous admettrons qu’il existe un ensemble d’entiers naturels N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}
muni d’une addition notée +, d’une multiplication notée ×, et d’une relation d’ordre notée ≤,
vérifiant un certain nombre de propriétés que nous préciserons. Nous ne chercherons pas à
définir ce qu’est un ensemble, ni à aller plus avant dans les problèmes de logique qu’une telle
notion pose d’emblée. La donnée de cet ensemble N et de ses propriétés, ainsi que l’approche
naïve de la théorie des ensembles que nous adopterons, permettent cependant de donner un
sens satisfaisant à toutes les notions que nous rencontrerons par la suite.
En particulier, il devient alors possible de construire l’ensemble Z des entiers relatifs et
l’ensemble Q des nombres rationnels, ainsi que les opérations +, × et la relation ≤ dont ils sont
munis, par des procédés algébriques bien établis. Un entier relatif est simplement un ensemble
de couples d’entiers naturels, tels que la différence du premier et du deuxième éléments d’un
couple soit constante pour tout couple dans cet ensemble. Il est ensuite possible de définir les
opérations sur les entiers et la relation d’ordre de manière très simple à partir de celles de N.
L’ensemble Q des rationnels peut alors être construit à partir de Z par un procédé analogue.
Le passage de l’ensemble des rationnels Q à celui des nombres réels R est en revanche
d’une tout autre nature et n’est qu’effleuré dans les programmes du secondaire, bien que la
manipulation des nombres réels soit permanente. Nous consacrerons les chapitres 21, 22 et 23
de cet ouvrage à familiariser le lecteur avec la construction de la droite réelle, et à explorer
ses conséquences les plus importantes. En particulier, la représentation familière des nombres
au moyen d’un développement décimal illimité sera complètement élucidée.
La droite, le plan, l’espace. Ces notions sont intimement liées à notre expérience quotidienne, et c’est aussi sur cette expérience que repose leur introduction dans les classes secondaires. La construction de la droite réelle nous permet d’aller beaucoup plus loin dans
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Partie I. Bases
2
la formalisation de ces idées, en permettant de donner des modèles pour ces objets, dont les
premiers sont les espaces vectoriels réels de dimension 1, 2 ou 3. Bien entendu, la portée de
l’algèbre linéaire ne se limite pas à une telle formalisation : il est par exemple possible de
définir des espaces de toutes dimensions, et d’étudier certaines de leurs transformations. Il est
toujours possible de fixer une base dans un espace vectoriel, finie si la dimension de l’espace
est finie, et de repérer les éléments de cet espace vectoriel par leurs coordonnées dans cette
base. À quelques nuances près 1 on peut ainsi considérer que le cadre général de ce que nous
appelons habituellement « géométrie » sera fermement établi, à l’exception cependant de la
définition des distances et longueurs, sur lesquelles nous allons revenir.
Distance entre deux points, longueurs de segments. Lorsqu’on se donne un repère
orthonormé dans le plan, et que l’on représente les points par leurs coordonnées dans ce repère,
il est possible de définir la distance entre le point A de coordonnées (x, y) et le point B de
coordonnées (x , y ) au moyen de l’expression
d(A, B) = (x − x )2 + (y − y )2 .
(D)
Mais la notion de repère orthonormé n’est pas clairement définie, on fait en général de nouveau
appel à l’intuition en figurant un tel repère au tableau par un couple de vecteurs issus d’un
point et faisant entre eux un « angle droit ». La distance calculée au moyen de l’expression (D)
correspond alors à la distance usuelle, mesurée au moyen de règles, ce qui traduit simplement
le théorème de Pythagore.
La formalisation complète de ces notions sera donnée dans le cours de L2 , elle fait partie
de ce que l’on appelle la géométrie euclidienne. Nous nous limiterons ici, lorsque nous aurons
à parler de distance entre deux points du plan ou de l’espace, aux modèles donnés par les
espaces vectoriels R2 et R3 (que nous appellerons canoniques), dans lesquels les éléments sont
des couples et des triplets, et nous définirons la distance entre ces éléments au moyen de
l’expression (D) ou de sa version tridimensionnelle.
La longueur des courbes du plan. Le plan sera donc maintenant représenté par le
modèle de l’espace vectoriel canonique R2 , et la distance entre deux éléments du plan sera
définie par (D). On se pose alors le problème de mesurer la longueur des courbes du plan. Il
est donc d’abord nécessaire de définir ce que nous entendons par « courbe ». Il s’agit d’une
notion assez difficile à mettre au point complètement, cela ne pourra être fait convenablement
qu’au chapitre 30. Pour l’instant, limitons-nous à l’idée intuitive que l’on peut se faire d’un
tel objet, fondée sur des exemples. Une droite du plan est certainement une courbe, la plus
simple d’entre elles, de même que le cercle, ou que l’ellipse, ou qu’un arc de cercle, ou que des
arcs de cercles joints bout à bout.
Comment définir convenablement la longueur d’un tel objet ? Pour un segment de droite,
c’est simplement la distance entre les points extrêmes. Dans les autres cas, il est clairement
nécessaire d’introduire une définition nouvelle, qui sera fondée sur la définition préalable de la
notion de courbe et que nous ne donnerons donc pas encore (voir les chapitres 27 et 30). Nous
nous limiterons ici à tenter de faire sentir qu’il serait risqué de se satisfaire de l’idée intuitive
de cette notion sans la formaliser précisément.
Nous allons considérer dans le plan un segment S de longueur 2, et noterons O son milieu.
Puisqu’on connaît la notion de distance entre deux points, il est possible de considérer un
demi-cercle C de centre O et de rayon 1, dont les points extrêmes A et B sont les deux
1. Le modèle le plus adéquat pour la notion d’espace est en fait celui d’espace affine, que nous verrons
dans le cours de L2 .
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extrêmités du segment S. On sait depuis les classes primaires que la « longueur » de C est
égale à π, mais on ne connaît pas le sens exact du mot longueur. Nous n’en aurons pas besoin
ici. Nous supposerons seulement que si est la longueur du demi-cercle C, alors un demi-cercle
dont le diamètre est de longueur a (ce qui est bien défini) a pour longueur a × /2.
Considérons maintenant la figure suivante, dans laquelle nous avons tracé une famille de
courbes (Cn ). La courbe C0 est par définition le demi-cercle C. La courbe C1 s’obtient en
mettant bout à bout deux demi-cercles de rayon 1/2, centrés aux points milieux de AO et
OB. De même la courbe C2 s’obient en mettant bout à bout quatre demi-cercles, et ainsi de
suite.
−1
− 12
0
1
2
1
Figure 1. La suite des courbes Cn
On obtient ainsi une suite de courbes, qui s’aplatissent sur le segment S, comme le montre
l’exemple de la courbe C5 .
Figure 2. La courbe C5
Quelle est la longueur de la courbe Cn ? On voit que pour obtenir C1 , on a juxtaposé deux
demi-cercles de longueur /2, donc la longueur de C1 doit être . De même, pour construire
C2 , on a juxtaposé 4 demi-cercles de longueur /4, on en déduit que la longueur de C2 est .
On se convainc ainsi que la longueur de Cn est toujours égale à .
Mais une autre intuition nous dit que comme Cn s’aplatit sur S à mesure que n grandit,
sa longueur doit être de plus en plus proche de celle de S. On en déduit donc que = 2. Or est la longueur de C, dont nous avons depuis longtemps admis qu’elle était égale à π. Et nous
avons aussi appris que π = 3, 14159 . . . Il y a donc là certainement un problème.
Le nombre π. Le problème que nous venons de signaler porte à la fois sur la mesure des
longueurs des courbes et la définition du nombre π. On pourrait aussi penser que notre intuition portant à croire que la longueur de Cn doit se rapprocher de celle de S est erronée,
et que l’on n’a pas le droit de passer à la limite quand on considère des longueurs. Mais
c’est précisément ainsi qu’Archimède a donné des évaluations assez précises du rapport de
la « longueur » du cercle à celle du diamètre (rapport noté 2π ...). Il a construit des suites
de polygones inscrits et circonscrits dans le cercle, dont il pouvait définir et calculer les longueurs puisqu’il s’agit de réunions de segments de droites, et montré que les deux suites de
longueurs ainsi obtenues semblaient se rapprocher indéfiniment. Leur « limite » commune ne
pouvait qu’être 2π.
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Introduction
3
Partie I. Bases
4
Nous n’irons pas plus loin dans ces questions ici, nous ne les avons signalées que pour mettre
en évidence plusieurs nécessités. Les longueurs sont des nombres, il faut donc en préalable
définir correctement ce qu’est un nombre. Les longueurs semblent faire intervenir ce que nous
avons appelé un passage à la limite, ce procédé doit donc être convenablement étudié. La
longueur d’une courbe n’est pas clairement définie, et il n’est même pas évident que tout ce
que nous pensons être une courbe puisse posséder une longueur ... il y a donc beaucoup de
travail avant d’espérer donner un sens précis à toutes les notions évoquées plus haut.
Une grosse partie de ce travail de fondement sera donnée dans la partie analyse de cet
ouvrage, on se reportera en particulier au chapitre 28 pour les questions concernant la longueur
des arcs de cercles. Seule l’explication du paradoxe des courbes Cn , tendant à prouver que
= π, sera remise au tome L2, elle nécessite l’étude des modes de convergence de suites de
fonctions.
Les mesures d’angles et les lignes trigonométriques. Ce qui précède montre assez le
danger de travailler sur des notions incomplètement formalisées. Nous espérons en évoquant la
difficulté inhérente à la mesure des courbes avoir fait sentir au lecteur que les notions d’angle,
telles qu’on les définit sur le cercle trigonométrique, ainsi que celles de lignes trigonométriques,
sont en fait en attente de définitions plus complètes que celles que l’on donne à titre provisoire
dans l’enseignement secondaire. On trouvera dans cet ouvrage les réponses à ces questions,
en particulier au chapitre 28.
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Chapitre 1
U N PEU DE G ÉOM ÉTRIE PLANE
es origines de la géométrie remontent aux royaumes de Babylone et d’Égypte. Née de
considérations pratiques (architecture, arts décoratifs, astronomie, etc.), la géométrie
se développe progressivement de manière autonome ; les archéologues ont trouvé la
trace de nombreux problèmes géométriques tels que les calculs d’aires sur des tablettes babyloniennes. Selon l’historien grec Herodote 1 , « la géométrie est un don du Nil » : les crues
répétées du fleuve obligèrent les arpenteurs à retracer régulièrement les limites des domaines
agricoles avoisinants, ce qui les obligea à systématiser les calculs de longueurs et d’aires. Le
Papyrus Rhind atteste le savoir-faire egyptien en matière d’aire.
L
C’est sous l’impulsion de Thalès de Milet 2 que la géométrie devient déductive : l’idée de
démonstration s’impose et repousse les limites mathématiques au-delà de la simple description. Selon Proclus, Thalès rapporta la géométrie de ses nombreux voyages en Égypte.
De nombreux savants prennent alors le relais. Pythagore de
Samos fonde une école à Crotone, La Fraternité pythagoricienne.
Puis, vers 490 avant avant J.-C., se développe l’École d’Athènes
dont la figure de proue est Eudoxe et qui comptera parmi ses
membres Anaxagoras, Hyppocrate et Hippias. Après le déclin de
la cité athénienne à l’époque hellenistique, Alexandrie devient la
nouvelle capitale intellectuelle de l’empire. L’École d’Alexandrie,
fondée vers 330 avant J.-C., marque un véritable âge d’or de la
pensée mathématique. Euclide publie les treize volumes 3 de ses
Éléments qui seront considérés pendant plus de deux mille ans
comme un ouvrage pédagogique de référence en matière de géométrie 4 . Le savant y expose les célèbres postulats sur lesquels il
fonde la géométrie et démontre à partir de ceux-ci les théorèmes
Thalès
fondamentaux. Citons également les contributions d’Archimède
de Syracuse et d’Apollonius de Perge, autres membres de l’École
d’Alexandrie. Suit alors un lent déclin de l’activité mathématique
dans le bassin méditerrranéen : l’Empire romain compte de moins
en moins de savants de premier plan, citons tout de même Pappus
au ive siècle après J.-C. L’héritage grec fut transmis après traduction aux savants arabes. Ces
derniers développèrent de nouvelles méthodes de calculs d’aires et de volumes et contribuèrent,
comme nous l’avons déjà souligné, au développement de la trigonométrie.
1. 484–425 av. J.-C.
2. 625–547 av. J.-C. On peut voir une reconstruction de la porte du marché de Milet au Pergamonmuseum
de Berlin.
3. Nous dirions de nos jours chapitres.
4. Newton lui-même écrira son célèbre ouvrage Philosophiae Naturalis Principia Mathematica dans le style
des Éléments d’Euclide.
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Partie I. Bases
I. Prérequis de géométrie plane
I.1. Avertissement
Toute théorie mathématique repose sur un certain nombre de résultats considérés comme
vrais et que l’on appelle des axiomes 5. Ce recours est inévitable : on ne peut construire une
théorie à partir de rien. Euclide fut le premier savant à proposer une axiomatisation de la
géométrie. Par exemple, le cinquième et célèbre postulat d’Euclide affirme que « par tout
point du plan passe une unique droite parallèle à une droite donnée ». Cette axiomatique
imparfaite fut retravaillée par David Hilbert à la fin du xixe siècle. De nos jours, l’approche
traditionnellement retenue est de fonder la géométrie sur la notion de vecteur. L’ambition
de ce chapitre n’est pas de définir rigoureusement les notions de points et de vecteurs mais,
à partir des notions empiriques de géométrie acquises dans le secondaire, de développer de
nouveaux outils de résolution et de calcul.
I.2. Les vecteurs du plan
La notion intuitive de vecteur du plan est supposée
connue. Rappelons simplement qu’un vecteur est dé#–
fini par la donnée d’une direction, d’un sens et d’une
v
longueur. La description d’une direction et d’un sens
#–
u
suppose la présence d’une référence par rapport à laquelle ils sont définis, par exemple un axe. Dans la
Figure 1.1. L’addition des
pratique, cette référence est laissée à l’observateur de
vecteurs
la figure géométrique. La notion de longueur suppose
#– sera appelée
en plus le choix d’une unité de référence ; la longueur définissant un vecteur u
#– et notée u.
#– On prendra garde à ce que le vecteur nul échappe à cette descripnorme de u
#–
tion – il n’a en effet aucune direction. On le notera 0 . On désigne par la lettre P l’ensemble
des vecteurs du plan.
#– + #–
u
v
Essayons de dégager les particularités de cet ensemble. P est muni d’une opération appelée
addition dont le contenu est rappelé dans la figure 1. Il est clair que l’ensemble (P, +) jouit
des propriétés suivantes.
Rappel
Propriétés de l’addition des vecteurs du plan
#–
(P, +) est un groupe dont l’élément neutre est noté 0 , c’est-à-dire que + vérifie les
propriétés suivantes :
#– #–
#– ∈ P , u
#– + ( #–
#– = ( u
#– + #–
#– ;
a . Associativité : ∀ u,
v,w
v + w)
v)+ w
#–
#– #– #– #–
#–
#–
b . le vecteur 0 est élément neutre : ∀ u ∈ P , u + 0 = 0 + u = u ;
#– ∈ P admet un opposé, ie ∀ u
#– ∈ P, il existe
c . existence d’un opposé : tout vecteur u
#–
#– + #–
#– = #–
#– ;
v ∈ P tel que u
v = #–
v+u
0 . On le note #–
v = −u
#– #–
#– + #–
#–
Le groupe (P, +) est abélien, c’est-à-dire ∀ u,
v ∈ P, u
v = #–
v + u.
5. Ou encore des postulats.
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#– employée ci-dessus a un sens car l’opposé est nécessairement
Ajoutons que la notation − u
unique (cf. le chapitre sur les structures).
Le groupe (P, +) est également muni d’une opération dite externe qui à un nombre réel λ et
#– associe le vecteur λ· u
#– (que l’on note plus simplement λ u)
#– défini naturellement :
un vecteur u
#–
#–
#–
#–
#– ; λ · u
#– de même sens
λ u est nul si λ = 0 ou u = 0 ; λ · u est de même direction que u
#–
#– Cette
si λ > 0, de sens contraire lorsque λ < 0 ; la norme de λ · u vaut |λ| fois celle de u.
opération vérifie les règles de calculs suivantes.
Rappel
Propriétés de l’opération des réels sur les vecteurs
#– #–
#– + #–
#– + λ · #–
∀ u,
v ∈ P , ∀ λ ∈ R , λ · (u
v) = λ · u
v.
#–
#–
#–
#–
∀ u ∈ P , ∀ λ, μ ∈ R , (λ + μ) · u = λ · u + μ · u.
#– ∈ P , ∀ λ, μ ∈ R , λ · (μ · u)
#– = (λμ) · u.
#–
∀u
#– ∈ P , 1 · u
#– = u.
#–
∀u
On résume l’ensemble de ces propriétés en disant que ces opérations définissent sur l’ensemble P une structure d’espace vectoriel réel. L’étude de cette structure particulière est l’objet
de l’algèbre linéaire, et plusieurs chapitres y seront consacrés. On déduit de la définition des
#– ∈ P, l’égalité λ · u
#– = #–
vecteurs que pour tous λ ∈ R et u
0 est équivalente à la proposition
#– 6
#–
λ = 0 ou u = 0 .
La description de P donnée ci-dessus est-elle complète ? Suffit-elle à caractériser les vecteurs du plan ? Quand on y réfléchit un peu, on s’aperçoit que les vecteurs de l’espace vérifient
exactement les mêmes propriétés. Il faut donc ajouter à cette description une notion qui permettrait de distinguer le plan de l’espace. Cette idée nouvelle que nous recherchons correspond
à la notion intuitive de dimension. Les vecteurs du plan sont des objets bidimensionnels. Se
pose alors le problème de la traduction mathématique de cette dimension. Quelle définition
rigoureuse en donner ? Avant d’aller plus loin, nous commencerons par rappeler quelques définitions usuelles.
#– et #–
#– et #–
Définition 1.1. (Colinéarité). Soient u
v appartenant à P. On dit que u
v sont
colinéaires si, et seulement si, l’un des deux vecteurs est nul ou s’il existe λ ∈ R tel que
#–
#–
v = λ u.
#– #–
Définition 1.2. (Combinaisons linéaires de deux vecteurs). Soient u,
v ∈ P. On
#–
#–
#–
appelle combinaison linéaire de u et v tout vecteur de P de la forme λ u + μ #–
v où λ et μ
sont des nombres réels.
La colinéarité nous permet de préciser l’idée de dimension deux : deux vecteurs non colinéaires suffisent à décrire tous les autres par combinaison linéaire. On peut considérer la
propriété suivante comme une caractérisation de la dimension deux.
6. On pourrait en fait déduire ce résultat des seules propriétés encadrées (cf. la règle 17.3).
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Ch.1. Un peu de géométrie plane
7
Partie I. Bases
8
Rappel
P est un espace vectoriel réel de dimension deux
#– #–
#– il existe
Soient ( u,
v ) un couple de vecteurs non colinéaires de P. Pour tout vecteur w,
#–
#–
#–
un unique couple de nombre réels (x, y) tel que w = x u + y v .
#– = x u
#– + y #–
w
v
y #–
v
#–
v
#–
u
#–
xu
Cette propriété motive l’introduction du vocabulaire suivant.
Définition 1.3. (Bases de P, coordonnées d’un vecteur dans une base). Un couple
#– #–
#– il
de vecteurs non colinéaires B = ( u,
v ) est appelé une base de P. Pour tout vecteur w,
#–
#–
#–
existe un unique couple de nombre réels (x, y) tel que w = x u + y v . On dit que (x, y)B sont
#– dans la base B.
les coordonnées de w
Il faut savoir calculer sans hésiter les coordonnées dans une base d’une combinaison linéaire
de vecteurs de P.
Méthode
Coordonnées d’une combinaison linéaire
#– #–
Soient B = ( u,
v ) une base de P, a#–1 et a#–2 de coordonnées (x1 , y1 )B et (x2 , y2 )B
dans B. Pour tous nombres réels λ et μ, les coordonnées du vecteur λa#–1 + μa#–2 sont
(λx1 + μx2 , λy1 + μy2 )B .
#– + y #–
#–
#–
#–
En effet, a#–1 = x1 u
1 v et a2 = x2 u + y2 v donc, d’après les règles de calcul énoncées
#–
#–
#–
v . Ainsi, par définition, les coordonnées de
ci-dessus, λa1 + μa2 = (λx1 + μx2 ) u + (λy1 + μy2 ) #–
λa#–1 + μa#–2 sont (λx1 + μx2 , λy1 + μy2 )B . On retiendra que les coordonnées d’une combinaison
linéaire de vecteurs se calcule en effectuant la même combinaison linéaire sur les coordonnées
des vecteurs en jeu. Cette règle se généralise sans peine à toute combinaison linéaire d’un
nombre fini de vecteurs, telle que λa#–1 + μa#–2 + νa#–3 .
Une unité de longueur et une orientation de P étant choisies, nous verrons dans la partie iii
de ce chapitre qu’il est possible de définir la notion de mesure des angles orientés.
#– et
Définition 1.4. (Vecteurs orthogonaux et notation ⊥). On dit que deux vecteurs u
#–
#–
#–
v sont orthogonaux lorsque l’un d’entre eux est nul ou lorsque ( u, v ) = ±π/2. On notera
#– #–
de manière condensée u⊥
v cette propriété.
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9
Une orientation du plan étant choisie (ie un sens de parcours sur les cercles, appelé sens
trigonométrique), on peut définir la notion de base directe de P.
#– #–
#– #–
Définition 1.5. (Base directe). Une base ( u,
v ) est dite directe lorsque ( u,
v ) ∈ ]0, π[
#–
#–
et indirecte lorsque ( u, v ) ∈ ] − π, 0[.
Figure 1.2. Orientation d’une base
#– #–
#– = #–
#– #–
Une base B = ( u,
v ) de P sera dite orthonormée lorsque u
v = 1 et u⊥
v . On
#–
#–
dira que B est orthonormée directe lorsque en plus ( u, v ) = +π / 2. Il faut connaître les
résultats fondamentaux suivants, qu’il faut considérer comme de véritables axiomes.
Rappel
Bases orthonormées du plan P
Le plan P admet des bases orthonormées directes 7 (et même une infinité).
#– de norme 1 peut être complété en une base orthonormée directe ( u,
#– #–
Tout vecteur u
v)
du plan vectoriel P.
On retiendra également que deux vecteurs non nuls et orthogonaux ne sont pas colinéaires
et forment donc une base de P.
I.4. Droites vectorielles
Définition 1.6. (Droites vectorielles). Soit #–
a un vecteur non nul du plan. On appelle
droite vectorielle engendrée par #–
a , l’ensemble des vecteurs colinéaires à #–
a . On le note
vect ( #–
a ). On a donc vect ( #–
a ) = {λ #–
a |λ ∈ R}. Une partie D de P est une droite vectorielle
#–
si, et seulement si, il existe #–
a ∈ P \ 0 }, tel que D = vect ( #–
a ).
#–
Soit D une droite vectorielle de P. Il est immédiat que ∀ #–
a ∈ D \ 0 }, D = vect ( #–
a ) : une
droite vectorielle est engendrée par n’importe lequel de ses éléments non nul. Une droite vectorielle est stable par combinaison linéaire, c’est-à-dire que toute combinaison linéaire de vecteurs
de D est un vecteur de D. En effet, il existe un vecteur non nul #–
a tel que D = vect ( #–
a ) ; il
#–
est clair que toute combinaison linéaire de vecteurs colinéaires à a reste colinéaire à #–
a , d’où
le résultat. D’un point de vue intuitif, une droite vectorielle est un objet de dimension un ;
d’une manière générale, on appelera espaces vectoriels de dimension un les droites vectorielles.
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Ch.1. Un peu de géométrie plane
I.3. Bases de P
Partie I. Bases
10
Anticipons un peu le mouvement du cours. Les droites vectorielles nous serviront à diriger
les droites affines (ie des droites en tant qu’ensemble de points du plan P). Ce qui se cache
derrière la notion de droite vectorielle est donc l’idée de direction.
I.5. Vecteurs et nombres complexes
#– #–
Rappelons que le choix d’une base orthonormée directe B = ( u,
v ) du plan vectoriel P
#–
permet de définir l’affixe d’un vecteur. Soit w un vecteur de coordonnées (x, y)B dans la base
#– dans B (on dit aussi « relativement à B » ) est définie par z = x + iy. On
B. L’affixe z de w
#–
#– est d’affixe z ».
écrira de manière condensée w(z)
la proposition « w
Proposition 1.7. (Règle de calcul). Pour tous vecteurs a#–1 , a#–2 d’affixes a1 , a2 et tous
réels λ , μ, l’affixe du vecteur λa#–1 + μa#–2 est λa1 + μa2 .
#– et a#– dans la base B.
Preuve. Soient (x1 , y1 )B et (x2 , y2 )B les coordonnées des vecteurs a
1
2
Puisque les coordonnées du vecteur λa#–1 + μa#–2 dans cette même base sont (λx1 + μy1 , λx2 +
μy2 )B , son affixe est égale à λx1 + μy1 + i(λx2 + μy2 ) = λa1 + μa2 .
n
Le plan vectoriel P est muni d’une base
#– #–
orthonormée directe B = ( u,
v ). Soit #–
a
un vecteur non nul de P d’affixe a. Notons
#– #–
θ = ( u,
a ). Par définition des fonctions cosinus et sinus, les coordonnées de #–
a dans B sont
( #–
a cos(θ), #–
a sin(θ))B . Ainsi
a = #–
a ( cos(θ) + i sin(θ) ) = #–
a eiθ .
On en déduit la proposition suivante.
#–
a (a)
|a|
#–
v
arg(a)
#–
u
Figure 1.3. Interprétation
géométrique du module et de
l’argument d’un vecteur
Proposition 1.8. (Coordonnées polaires d’un vecteur). Le plan vectoriel P est muni
#– #–
d’une base orthonormée directe B = ( u,
v ). Soit #–
a un vecteur non nul d’affixe a dans B.
#–
#–
#–
On a alors |a| = a et ( u, a ) ≡ arg(a)[2π].
II. Produit scalaire et déterminant
Dans ce paragraphe, nous présentons deux outils fondamentaux de la géométrie que nous
généraliserons dans la suite à des espaces vectoriels de dimension quelconque.
II.1. Le produit scalaire sur P
#– et #–
#– = #–
Définition 1.9. (Produit scalaire sur P). Soient u
v deux vecteurs de P. Si u
0
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
ou v = 0 , on pose u · v = 0. Dans les autres cas, on pose u · v = u v cos( u, v ).
#– · #–
#– par #–
L’expression « u
v » se lit « u scalaire v » ou encore « produit scalaire de u
v » . De
la définition donnée ci-dessus de l’orthogonalité, on déduit immédiatement la caratérisation
des vecteurs orthogonaux à l’aide du produit scalaire.
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#– et #–
Proposition 1.10. (Orthogonalité et produit scalaire). Soient u
v deux vecteurs
#–
#–
#–
#–
de P. u · v = 0 si, et seulement si, u⊥ v .
Proposition 1.11. (Calculs dans une base orthonormée). P est muni d’une base
#– et #–
orthonormée B. Soient u
v deux vecteurs du plan de coordonnées respectives (x, y)B et
#– et #–
(x , y )B . Notons u = x + iy et v = x + iy les affixes de u
v relativement à B. On a
#– · #–
alors les formules suivantes u
v = e(uv) = xx + yy .
#–
Notons B = ( #–
a , b ). Écrivons u et v sous forme trigonométrique : u = |u|eiθ
#– et ϕ = ( #–
et v = |v|eiϕ . D’après la proposition 1.8, on peut choisir θ = ( #–
a , u)
a , #–
v ). On a
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
i(ϕ−θ)
donc uv = |u||v|e
. Or ϕ − θ = ( a , v ) − ( a , u) ≡ ( u, a ) + ( a , v )[2π], et , d’après la
#– #–
#– #–
relation de Chasles, ϕ − θ ≡ ( u,
v )[2π]. On a donc en particulier cos( u,
v ) = cos(ϕ − θ).
#–
#–
#–
#–
#– · #–
Puisque e(uv) = |u||v| cos(ϕ − θ), on a e(uv) = u v cos( u, v ) = u
v . Comme
#– · #–
uv = xx + yy + i(xy − x y), on a aussi u
v = e(uv) = xx + yy .
n
Preuve.
Proposition 1.12. (Propriété du produit scalaire).
1) Bilinéarité :
#– #–
#– ∈ P et ∀ λ ∈ R , u
#– ·( #–
#– = u
#– · #–
#– · w
#– et ( #–
#– · u
#– = #–
#– +μw
#– · u
#– ;
∀ u,
v,w
v +μw)
v +μ u
v +μw)
v ·u
#– #–
#– · #–
#– ;
2) symétrie : ∀ u,
v ∈ P, u
v = #–
v·u
#– ∈ P , u
#– · u
#– = u
#– 2 0 ;
3) positivité : ∀ u
#– · u
#– = u
#– d’où l’équivalence suivante
#– on a √ u
4) caractère défini : Pour tout vecteur u,
#–
#–
#–
#–
u · u = 0 si, et seulement si, u = 0 .
#– #–
#– 1) Soit
Preuve. Notons u, v et w les affixes relativement à B des vecteurs u,
v et w.
#– · ( #–
#– = e(u(v + μw)) = e(uv + μuw) = e(uv) + μ e(uw) par
μ ∈ R. On a u
v + μw)
#– · ( #–
#– = u
#– · #–
#– · w.
#– La
R-linéarité de la partie réelle, μ étant un réel. On a donc u
v + μw)
v + μu
#–
#–
deuxième partie du 1) découle de la première et de 2) qui est immédiat car u · v = e(uv) =
#– 3) u
#– · u
#– = e(uu) = e(|u|2 ) = |u|2 = u
#– 2 0.
e( uv ) = e(uv) = e(vu) = #–
v · u.
#–
#–
#–
#–
2
4) D’après le calcul précédent, u · u = u = 0 si, et seulement si, u = 0.
n
Remarque. Les propriétés 2) à 4) peuvent également être démontrées à partir de la défini#– · #–
#– #–
#– #–
tion u
v = u
v cos( u,
v ). Le recours aux nombres complexes est par contre indispensable pour le 1).
Ces règles de calcul permettent de développer (comme dans le cas de la multiplication des
nombres réels) le produit scalaire de deux combinaisons linéaires de vecteurs du plan. Par
#– et #–
exemple, pour tous vecteurs du plan P u
v,
#– + #–
#– + #–
#– + #–
#– · ( u
#– + #–
#– + #–
u
v 2 = ( u
v ) · (u
v) = u
v ) + #–
v · (u
v)
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
2
= u · u + u · v + v · u + v · v = u + 2 u · #–
v + #–
v 2 .
Cette formule est à connaître par cœur.
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Ch.1. Un peu de géométrie plane
11
Partie I. Bases
12
Méthode
Identités remarquables
#– et #–
Pour tous vecteurs u
v,
#– + #–
#– 2 + 2 u
#– · #–
u
v 2 = u
v + #–
v 2 ,
et
#– − #–
#– 2 − 2 u
#– · #–
u
v 2 = u
v + #–
v 2
#– 2 − #–
#– + #–
#– − #–
u
v 2 = ( u
v ) · (u
v ).
#– + #–
#– 2 − #–
On déduit de ce calcul élémentaire que l’annulation de u
v 2 − u
v 2 caractérise
#–
#–
l’orthogonalité de u et v ; ce résultat est connu sous le nom de « théorème de Pythagore » .
#– et #–
Proposition 1.13. (Théorème de Pythagore). Pour tous vecteurs u
v du plan P,
#– #–
u⊥
v si, et seulement si,
#– 2 + #–
#– + #–
v 2 .
u
v 2 = u
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel dont la valeur absolue est majorée
par le produit des normes des vecteurs.
#– et #–
Proposition 1.14. (Inégalité de Cauchy-Schwarz). Pour tous vecteurs u
v,
#– · #–
#– #–
|u
v | u
v .
#– · #–
#– #–
#– et #–
De plus, on a | u
v | = u
v si, et seulement si, u
v sont colinéaires.
#– ou #–
L’inégalité est immédiate lorsque u
v est nul. Dans le cas contraire, on a
#–
#–
= cos( u, v ) ∈ [ −1, 1], d’où le résultat. Le cas d’égalité est clairement équivalent à
#–
#– = #–
#– et #–
#– #–
#– #–
u
0 ou #–
v = 0 ou u
v non nuls et | cos( u,
v )| = 1 ie ( u,
v ) = 0 ou π. On a donc
#–
#–
égalité si, et seulement si, u et v sont colinéaires.
n
Preuve.
#–· #–
u
v
#– #–
u
v
#– et #–
Proposition 1.15. (Inégalité triangulaire). Pour tous vecteurs u
v , on a
#– + #–
#– + #–
u
v u
v .
Preuve. Nous donnerons deux preuves de ce résulat. 1) Choisissons une base orthonormée
#– et #–
directe B de P et notons u et v les affixes respectives de u
v relativement à B. On a alors
#–
#–
#–
#–
#–
#–
u + v = (u + v), u + v = |u + v|, u = |u| et v = |v|, l’inégalité triangulaire pour les
vecteurs est donc une simple conséquence de l’inégalité triangulaire sur C vérifiée par u et v :
|u + v| |u| + |v|.
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13
#–
v
#– + #–
u
v
Figure 1.4. L’inégalité triangulaire
#– + #–
2) Puisque les deux membres sont positifs, l’inégalité triangulaire est équivalente à u
v 2 #–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
2
2
2
2
2
( u + v ) , c’est-à-dire u + 2 u · v + v u + 2 u v + v , ou encore
#– · #–
#– #–
u
v u
v qui est acquise puisqu’il s’agit de l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
n
Test 1.2.
#– et #–
Soient u
v deux vecteurs. Développer
Test 1.1.
#– et #–
Soient u
v deux vecteurs. Établir que
2
#– 2 #–
#– · #–
v ) #–
v .
v u − ( u
1 #– #– 2
#– − #–
#– · #–
+ v − u
v 2 .
u
v = u
4
II.2. Déterminant de deux vecteurs
#– et #–
Définition 1.16. (Déterminant de deux vecteurs de P). Soient u
v deux vecteurs
#–
#–
#–
#–
#–
#–
du plan P. Si u = 0 ou v = 0 , on pose Det( u, v ) = 0. Dans tous les autres cas, on pose
#– #–
#– #–
#– #–
Det ( u,
v ) = u
v sin( u,
v ).
Le déterminant s’interprète géométriquement comme une aire algébrique.
Méthode
Déterminant et aire algébrique
#– et #–
Soient deux vecteurs non colinéaires u
v . On considère un parallélogramme construit
à partir de ces deux vecteurs :
#–
v
#–
u
#– #–
Puisque la hauteur de ce parallélogramme vaut #–
v | sin( u,
v )|, son aire est égale à
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#– #–
u v | sin( u, v )| = | Det ( u, v )|. Plus précisément, Det ( u,
v ) vaut l’aire du paral#– #–
#– #–
lélogramme lorsque ( u,
v ) est une base directe, Det ( u,
v ) vaut l’opposé de l’aire du
#– #–
parallélogramme lorsque ( u,
v ) est une base indirecte.
Le déterminant de deux vecteurs permet de caractériser la colinéarité.
#– et #–
Proposition 1.17. (Colinéarité et déterminant). Deux vecteurs u
v appartenant à
#–
#–
#– #–
P sont colinéaires si, et seulement si, Det ( u, v ) = 0. En particulier, ( u,
v ) est une base
#– #–
de P si, et seulement si, Det ( u,
v ) = 0.
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Ch.1. Un peu de géométrie plane
#–
u
14
#– et #–
Supposons u
v colinéaires. Si l’un des deux vecteurs est nul, alors on a
#–
#–
#– On a donc
Det ( u, v ) = 0. Dans le cas contraire, il existe un nombre réel λ tel que #–
v = λ u.
#–
#–
#–
#–
#– #–
( u, v ) = 0 ou π selon le signe de λ. Dans les deux cas, sin( u, v ) = 0 et donc Det ( u,
v ) = 0.
#–
#–
Réciproquement, supposons Det ( u, v ) = 0. Si l’un des deux vecteurs est nul, les vecteurs sont
#– #–
#– #–
#– #–
colinéaires. Dans le cas contraire, puisque u
v = 0, on a sin( u,
v ) = 0. Ainsi ( u,
v) = 0
#–
#–
ou π : les vecteurs u et v sont donc colinéaires.
n
Partie I. Bases
Preuve.
Comme le produit scalaire, le déterminant de deux vecteurs se calcule facilement à l’aide
des coordonnées dans une base orthonormée directe.
Proposition 1.18. (Calculs dans une base orthonormée). P est muni d’une base
#– et #–
orthonormée B directe. Soient u
v deux vecteurs du plan de coordonnées respectives
#– et #–
(x, y)B et (x , y )B . Notons u = x + iy et v = x + iy les affixes de u
v relativement à
#–
#–
B. On a alors les formules suivantes : Det ( u, v ) = Im(uv) = xy − x y.
#–
Notons B = ( #–
a , b ). Ecrivons u et v sous forme trigonométrique : u = |u|eiθ
#– et ϕ = ( #–
et v = |v|eiϕ . D’après la proposition 1.8, on peut choisir θ = ( #–
a , u)
a , #–
v ). On a
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
i(ϕ−θ)
donc uv = |u||v|e
. Or ϕ − θ = ( a , v ) − ( a , u) ≡ ( u, a ) + ( a , v )[2π], et , d’après la
#– #–
#– #–
relation de Chasles, ϕ − θ ≡ ( u,
v )[2π]. On a donc en particulier sin( u,
v ) = sin(ϕ − θ).
#–
#–
#–
#–
#– #–
Puisque Im(uv) = |u||v| sin(ϕ − θ), on a Im(uv) = u v sin( u, v ) = Det ( u,
v ). Comme
#– #–
uv = xx + yy + i(xy − x y), on a aussi Det ( u,
v ) = Im(uv) = xy − x y.
n
Preuve.
Cette formule motive l’adoption de la notation de Cauchy des déterminants. Nous la
généraliserons dans le cours d’algèbre linéaire.
Définition 1.19. (Notation de Cauchy). Pour tous nombres complexes x, y, x et y , on
pose
x x
y y = xy − x y.
Proposition 1.20. (Propriétés du déterminant).
#– #–
#– ∈ P et ∀λ ∈ R,
1) Bilinéarité : Pour tous vecteurs u,
v,w
#– #–
#– = Det ( u,
#– #–
#– w)
#–
Det ( u,
v + μw)
v ) + μ Det ( u,
#– u)
#– = Det ( #–
#– + μ Det (w,
#– u).
#–
et Det ( #–
v + μw,
v , u)
#– #–
#– #–
#–
2) Antisymétrie : ∀ u,
v ∈ P, Det ( u,
v ) = − Det ( #–
v , u).
#– #–
#– 1) Soit
Notons u, v et w les affixes relativement à B des vecteurs u,
v et w.
#–
#–
#–
μ ∈ R. On a Det ( u, v + μw) = Im(u(v + μw)) = Im(uv + μuw) = Im(uv) + μ Im(uw) par
#– #–
#– = Det ( u,
#– #–
R-linéarité de la partie imaginaire, μ étant un réel. On a donc Det ( u,
v +μw)
v )+
#–
#–
μ Det ( u, w). La deuxième partie du 1) découle de la première et de 2) qui est immédiat car
#– #–
#–
Det ( u,
v ) = Im(uv) = − Im( uv ) = − Im(uv) = − Im(vu) = − Det ( #–
v , u).
n
Preuve.
Remarque. Comme dans le cas du produit scalaire, la propriété 2) peut être démontrée à
#– #–
#– #–
#– #–
partir de la définition Det ( u,
v ) = u
v sin( u,
v ). Le recours aux nombres complexes
est par contre indispensable pour le 1).
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Les propriétés d’antisymétrie et de bilinéarité du déterminant sont à considérer comme des
règles de calcul ; elles permettent de développer par bilinéarité des déterminants de vecteurs
qui sont des combinaisons linéaires d’autres vecteurs.
#– et #–
#– − #–
#– + 4 #–
Exemple 1.21. Soient u
v deux vecteurs de P. Posons a#–1 = 3 u
v et a#–2 = u
v.
#–
#–
#–
#–
Calculons le déterminant Det (a1 , a2 ) en fonction de Det ( u, v ).
On a
#– + 4 Det (a#–, #–
Det (a#–1 , a#–2 ) = Det (a#–1 , u)
1 v)
#–
#– − Det ( #–
#– + 4[3 Det ( u,
#– #–
= [3 Det ( u, u)
v , u)]
v ) − Det ( #–
v , #–
v )]
#–
#–
#–
#–
#–
#–
= Det ( u, v ) + 12 Det ( u, v ) = 13 Det ( u, v ).
Le calcul entrepris dans l’exercice précédent est généralisable : il s’agit de trouver l’expression de Det (a#–1 , a#–2 ) lorsque les vecteurs a#–1 et a#–2 sont déterminés par leurs coordonnées
#– #–
(x1 , y1 )B et (x2 , y2 )B relativement à une base B = ( u,
v ) quelconque. Puisque B n’est pas
#–
#–
nécessairement orthonormée, la formule Det (a1 , a2 ) = x1 y2 − y1 x2 n’est a priori plus valable.
#– = x u
#– + y #–
#–
#–
#–
On a a
1
1
1 v et a2 = x2 u + y2 v , d’où, par bilinéarité du déterminant,
#– #–
#– #–
#– + y #–
Det (a#–1 , a#–2 ) = Det (a#–1 , x2 u
2 v ) = x2 Det (a1 , u) + y2 Det (a1 , v ).
De même,
#– = Det (x u
#– #–
#– #–
#– #–
#– + y #–
#–
Det (a#–1 , u)
1
1 v , u) = x1 Det ( u, u) + y1 Det ( v , u) = −y1 Det ( u, v )
#– #–
#– En utilisant le même type d’arguments, on
car Det ( #–
v , #–
v ) = 0 et Det ( u,
v ) = − Det ( #–
v , u).
#–
#–
#– #–
aboutit sans peine à la l’égalité Det (a1 , v ) = x1 Det ( u,
v ) et donc
#– #–
#– #–
Det (a#–1 , a#–2 ) = (x1 y2 − x2 y1 ) Det ( u,
v ).
v ) = yx11 yx22 Det ( u,
#– #–
#– #–
#– #–
B = ( u,
v ) étant
une base, Det ( u, v ) = 0, l’annulation de Det (a1 , a2 ) est donc équivalente
x1 x2 à celle de y1 y2 . On en déduit la caratérisation suivante des bases du plan vectoriel P.
Méthode
Caractérisation des bases à l’aide du déterminant
#– #–
Soient B = ( u,
v ) une base quelconque de P, a#–1 et a#–2 de coordonnées respectives
(x1 , y1 )B et (x2 , y2 )B relativement à B. Alors
x x #– #–
Det (a#–1 , a#–2 ) = 1 2 Det ( u,
v ), d’où
y1 y2
(a#–1 , a#–2 ) est une base de P si, et seulement si, Det (a#–1 , a#–2 ) = 0, ie yx11 yx22 = 0.
Test 1.3.
Test 1.4.
#– − a, a)
Soient B une base de P, a ∈ R, u(1
B
#–
et v (2, −2)B . Déterminer les valeurs de a telles
#–, #–
que ( u
v ) soit une base de P.
Soient B une base orthonormée directe de P,
#– −5) et #–
u(7,
v (3, −1)B . Calculer l’aire du paB
#– et #–
rallélogramme formé par u
v.
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Ch.1. Un peu de géométrie plane
15
Partie I. Bases
16
II.3. Application aux changements de base
Le déterminant nous permet de caractériser les bases de P. Essayons maintenant de répondre
#– #–
#– , #–
à la question suivante. Etant données deux bases B = ( u,
v ) et B = ( u
v ), comment
déterminer les coordonnées (x , y )B dans B d’un vecteur dont on ne connaît les coordonnées
(x, y)B que relativement à B ? Autrement dit, comment trouver les formules de changement
de base ? Le déterminant va s’avérer un outil puissant pour résoudre le problème. On sait que
#– = x u
#– + y #–
#– + y #–
w
v = x u
v . Ainsi, par bilinéarité du déterminant,
#– ) = x Det ( u
#– , u
#– ) + y Det ( #–
#– ) = y Det ( #–
#– )
#– + y #–
#– u
#– ) = Det (x u
v , u
v , u
v , u
Det (w,
et
#– + y #–
#– , #–
#– , #–
#– #–
v , #–
v ) = x Det ( u
v ) + y Det ( #–
v , #–
v ) = x Det ( u
v )
Det (w,
v ) = Det (x u
on a donc
#– #–
#– u
#– )
Det (w,
v )
Det (w,
et y =
.
#–
#–
#–
Det ( u , v )
Det ( u , #–
v )
Ces deux égalités s’appellent les formules de Cramer. Elles ne sont pas exigibles sous cette
forme mais il faut savoir les retrouver rapidement. Elles permettent de calculer les coordonnées
x et y en fonction de x et y dès que l’on connaît les coordonnées des vecteurs de la nouvelle
base B dans l’ ancienne base B.
x =
#– , #–
#–
#–
#–
Exemple 1.22. Soit B0 = ( u
0 v 0 ) une base du plan P. On note u = 2 u 0 + 3 v 0 et
#–
#–
#–
#–
#–
v = u 0 + v 0 . Prouvons que la famille B = ( u, v ) est une base de P et déterminons les
#– = 6 u
#– + 3 #–
coordonnées du vecteur w
v 0 dans la base B.
0
On a
2 1
#– #–
#– , #–
#– #–
Det ( u
Det ( u,
v ) = 0 v 0 ) = − Det ( u 0 , v 0 ) = 0.
3 1
#– #–
La famille ( u,
v ) est donc une base de P. D’après ce qui précède, on sait qu’il existe deux
#– = x u
#– + y #–
réels x et y tels que w
v . On a
#– w)
#– = Det ( u,
#– x u
#– + y #–
#– #–
Det ( u,
v ) = y Det ( u,
v ),
et
#– #–
#– + y #–
#– #–
Det (w,
v ) = Det (x u
v , #–
v ) = x Det ( u,
v ),
d’où
#– , #–
#– , #–
#– #–
#– w)
#–
6 1 Det ( u
2 6 Det ( u
Det (w,
v)
Det ( u,
0 v 0)
0 v 0)
3 1
3 3
x=
=
=
=
−3
et
y
=
#–
#–
#–
#–
#–
#– = 12.
#–
#–
2
1
2
1
Det ( u, v )
Det ( u, v )
3 1 Det ( u 0 , v 0 )
3 1 Det ( u 0 , v 0 )
Remarque. Cette méthode (et donc les formules énoncées ci-dessus) cachent en fait la
résolution d’un système linéaire. Illustrons ce propos à partir de l’exercice précédent. Puisque
B est une base, on sait qu’il existe deux réels x et y tels que
#– = x u
#– + y #–
#– + 3 #–
#– + #–
#– + (3x + y) #–
w
v = x(2 u
v ) + y( u
v ) = (2x + y) u
v .
0
0
0
0
0
0
#– , #–
#– = 6 u
#– + 3 #–
v 0 , et puisque la famille de vecteurs ( u
Or, w
0
0 v 0 ) est une base de P, l’égalité
#–
#–
#–
#–
(2x+y) u 0 +(3x+y) v 0 = 6 u 0 +3 v 0 est équivalente au système linéaire 2x + y = 6, 3x+y = 3.
On retrouve alors sans peine les valeurs x = −3 et y = 12.
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Méthode
Formules de changement de base
#– #–
#– , #–
Soient deux bases B = ( u,
v ) et B = ( u
v ). On note (x, y)B et (x , y )B les
#–
coordonnées d’un vecteur w dans les bases B et B . On dispose de deux méthodes de
changement de base.
Avec le déterminant, on retrouve les formules de Cramer.
On exploite la bilinéarité et l’antisymétrie du déterminant :
#– ) = y Det ( #–
#– )
#– u
#– ) = Det (x u
#– + y #–
v , u
Det (w,
v , u
et
#– #–
#– + y #–
#– , #–
Det (w,
v ) = Det (x u
v , #–
v ) = x Det ( u
v )
on a donc
x =
#– #–
Det (w,
v )
#–
Det ( u , #–
v )
et y =
#–
#– , w)
Det ( u
.
#–
#–
Det ( u , v )
En identifiant des coordonnées, on se ramène à un système linéaire.
#– +y #–
#– et #–
#– et #–
#– = x u
v , puis on exprime u
v en fonction de u
v , ce
On part de l’égalité w
#–
#–
#– + y #–
qui permet d’exprimer le vecteur w dans la base B. Puisque l’on a aussi w = x u
v,
on peut identifier les coordonnées précédentes avec x et y, ce qui donne un système
linéaire d’inconnues x et y permettant de les calculer.
Un cas particulier à connaître est celui où
les deux bases B et B sont orthonormées et
directes. Nous démontrerons dans le cours d’algèbre euclidienne que la base B s’obtient à partir de B par une simple rotation 8 . Notons θ
l’angle de cette rotation, de sorte que
#– + sin(θ) #–
#– = cos(θ) u
v
u
et
#–
#– + cos(θ) #–
v = − sin(θ) u
v.
#–
v
#–
v
#– u
θ
#–
u
Figure 1.5. Changement de base
orthonormée
Mettons en œuvre les deux méthodes précédentes de changement de base. On reprend les
notations définies dans l’encadré ci-dessus.
Application des formules de Cramer.
− sin(θ) #– , #–
= cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1
v ) = cos(θ)
Puisque B est orthonormée, on a Det ( u
sin(θ) cos(θ)
et
#– v#– ) = x − sin(θ) = cos(θ)x + sin(θ)y
x = Det (w,
y cos(θ)
et
#– , w)
#– = cos(θ) x = − sin(θ)x + cos(θ)y.
y = Det ( u
sin(θ) y
8. Ce résultat peut être considéré comme une évidence géométrique.
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Ch.1. Un peu de géométrie plane
17
18
Partie I. Bases
Résolution d’un système linéaire.
On a
#– + sin(θ) #–
#– + cos(θ) #–
#– + y #–
x u
v ) + y (− sin(θ) u
v)
v = x (cos(θ) u
#– + y #–
#–
#–
= (cos(θ)x − sin(θ)y ) u + (sin(θ)x + cos(θ)y ) v = x u
v
et après identification des coordonnées dans la base B, on aboutit au système suivant :
cos(θ)x − sin(θ)y = x
sin(θ)x + cos(θ)y = y.
On obtient d’abord x = cos(θ)x + sin(θ)y en écrivant l’équation cos(θ)L1 + sin(θ)L2 puis
y = − sin(θ)x + cos(θ)y par − sin(θ)L1 + cos(θ)L2 . Ceci n’est pas a priori un raisonnement
par équivalence (car il ne s’agit pas à proprement parler d’une technique de pivot) ; cependant,
il n’y a aucune réciproque à vérifier car on sait que le système admet une unique solution, ce
ne peut donc être que celle trouvée par implication.
Test 1.5.
Test 1.6.
On fait tourner une base orthonormée directe
B de π4 . Écrire les formules de changement de
base.
On fait tourner une base orthonormée directe
B d’un angle θ, on note Bθ la nouvelle base.
Soit #–
a ∈ P. Exprimer l’affixe z de #–
a dans Bθ
en fonction de l’affixe z dans B. Retrouver les
formules de changement de base.
III. Les angles et leurs mesures
La notion d’angle est délicate à définir précisément. Elle fut pourtant au
cœur des premiers développements de la géométrie – à l’époque babylonienne – principalement en raison de son utilisation lors des calculs en
astronomie. Il ne faut pas confondre un angle avec la donnée d’une de
ses mesures, car interviendrait alors le choix (arbitraire) d’une unité, et le
fait qu’un angle admet une infinité de mesures. La définition d’un angle
donnée par Euclide dans ses Éléments comme « inclinaison mutuelle de
deux droites n’ayant pas la même direction » reflète bien la difficulté soulevée. L’angle délimité par deux droites ne dépend des deux droites qu’au
travers de leur position relative ; en effet, en déplaçant de manière rigide
la figure dessinée par les deux droites, on obtient le même angle alors
que les droites ne sont plus les mêmes : on tourne en rond. Les notions
algébriques modernes qui permettent de sortir de ce cercle vicieux sont
les relations d’équivalence et la structure de groupe. En guise de première
approche, nous ne tenterons pas dans les pages qui suivent de définir ce
qu’est un angle au sens moderne, mais concentrerons nos efforts sur les
mesures d’angle, plus importantes dans les applications.
Figure 1.6.
Couples de
demi-droites
différents,
mais de
même angle
III.1. Définition des mesures d’angles orientés
Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O. C désigne dans tout le chapitre
le cercle de centre O et de rayon une unité de longueur. Il existe une infinité de chemins tracés
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sur C de M à N dans le sens trigonométrique 9 : le plus court consiste à parcourir le cercle
+ ; tous les autres chemins dans le sens
de M à N dans le sens positif, nous le noterons MN
+
direct de M à N diffèrent alors de MN
d’un nombre entier de tours de cercle dans le sens
trigonométrique (voir figure 1.7).
N
N
M
M
O
O
1
+
L’arc MN
1
−
L’arc MN
Figure 1.7. Longueur algébrique d’un arc de cercle orienté
De même, il existe une infinité de chemins tracés sur le cercle C de M à N dans le sens
indirect, le plus court consistant à parcourir le cercle de M à N dans le sens négatif, nous le
− ; tous les autres chemins dans le sens indirect de M à N diffèrent alors de MN
−
noterons MN
d’un nombre entier de tours de cercle dans le sens trigonométrique inverse.
On définit alors la longueur algébrique d’un chemin tracé sur le cercle de M à N : si ce
chemin est dans le sens direct, sa longueur algébrique est égale à sa longueur; si ce chemin est
dans le sens indirect, sa longueur algébrique est égale à l’opposé de sa longueur.
Définition 1.23. (Mesure d’un angle orienté). Soit C le cercle de centre O et de rayon
#– et #–
1. Soient u
v deux vecteurs du plan non nuls et U , V les points du cercle C définis par
# – #– #–
# –
#– et #–
OU = u/ u et OV = #–
v / #–
v . On appelle mesure de l’angle orienté des vecteurs u
v
la longueur algébrique de tout chemin de U à V tracé sur le cercle C (voir figure 1.8).
#–
v
#–
u
V
U
O
1
Figure 1.8. Définition des mesures d’angles
Définition 1.24. (Le nombre π). Le nombre π désigne le demi-périmètre d’un cercle de
rayon 1.
9. C’est-à-dire dans le sens opposé des aiguilles d’une montre.
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Ch.1. Un peu de géométrie plane
19
Partie I. Bases
20
C’est le savant anglais W. Jones qui a introduit cette notation en 1706, la lettre π étant
l’abréviation du mot periphery. Les mathématiciens, d’Archimède à ceux de l’ère informatique,
n’auront de cesse de calculer π avec une précision croissante. Euler obtint, par des méthodes
que nous détaillerons dans le cours de L2
π ≈ 3 , 141592653589793238462643383279502884197169399375105820
97494459230781640628620899862803482534211706798214808651
32823066470938446
Il découle de la définition précédente qu’un angle orienté de deux vecteurs admet une
+ et UV
− , il en existe un plus court dont
infinité de mesures. Parmi les deux chemins UV
la longueur (non algébrique) est nécessairement inférieure à la longueur d’un demi-tour, qui
#– , #–
vaut π. Si cette longueur est strictement inférieure à π, on choisit de noter ( u
v ) la longueur
#– , #–
(algébrique cette fois-ci) de ce chemin. Si les chemins ont même longueur π, on pose ( u
v) =
#–
π. Soit maintenant u un vecteur non nul du plan. Étudions par exemple l’angle orienté des
#– et u.
#– Dans ce cas U = V et donc ( u,
#– u)
#– = 0. Les autres mesures de cet angle
vecteurs u
orienté sont donc toutes les longueurs algébriques des chemins tracés sur les cercle de U à U
dans le sens positif ou négatif; puisque qu’un tour de cercle est de longueur 2 π, il s’agit des
nombres réels 2πk, k ∈ Z. Insistons sur le fait que ces nombres ont en commun de mesurer le
même angle mais ne sont pas égaux (le nombre réel 2 π est différent du réel 0) : il ne faudra
pas confondre les notions d’angle et de mesures d’angle.
Proposition 1.25. (Mesure principale). On reprend les notations de la définition pré#– et #–
cédente. Il existe une unique mesure de l’angle orienté des vecteurs u
v appartenant à
#–
#–
l’intervalle ]−π, π]. Elle est appelée mesure principale et est notée ( u, v ). Les autres mesures
#– #–
de cet angle orienté sont les nombres réels de la forme ( u,
v ) + 2kπ avec k ∈ Z.
Rappel
Le cercle trigonométrique
#– #–
On note R = (O, u,
v ) un repère orthonormé direct du plan et C le cercle de centre
O et de rayon l’unité, appelé cercle trigonométrique du repère R. A désigne le point du
cercle trigonométrique de coordonnées (1, 0) dans le repère R. Rappelons que l’équation
cartésienne de R est x2 + y2 = 1, c’est-à-dire qu’un point M(x, y) appartient à C si,
et seulement si, x2 + y2 = 1. Ce cercle permet d’obtenir une représentation géométrique
commode des mesures d’angles.
Mθ
θ
O
1
A
Le cercle trigonométrique
Soit θ ∈ R. On lui associe un unique point de C noté Mθ de la manière suivante : Mθ
est l’extrémité de l’unique chemin d’origine A tracé sur le cercle trigonométrique de
longueur algébrique θ.
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Test 1.7.
Test 1.8.
On parcourt 5 demi-tours dans le sens direct, 6
quarts de tour dans le sens indirect puis 7 tiers
de tour dans le sens direct sur le cercle trigonométrique. Quelle est la longueur parcourue ?
Placer sur le cercle trigonométrique les points
Mθ pour
π
π
π
θ = −7 , 11
et 217 .
4
6
2
III.2. La notion de congruence
Commençons par rappeler une notation utile.
Rappel
La notation a + bZ
Pour tous nombres réels a et b, on note a + bZ l’ensemble des nombres réels de la forme
a + kb, où k ∈ Z. Autrement dit
a + bZ = a + kb | k ∈ Z .
L’ensemble des multiples entiers de π sera donc noté πZ, celui des multiples entiers de
2π, 2πZ, etc.
Pour des raisons de commodité, nous utiliserons cette notion de congruence dans l’ensemble
de ce chapitre. Elle permet de calculer des sommes de mesures d’angles à partir de règles
simples telles que la relation de Chasles.
Définition 1.26. (La notion de congruence). Soient a, b, ϕ trois réels. L’écriture
a ≡ b [ϕ]
signifie qu’il existe k ∈ Z tel que a = b + kϕ et se lit « a est congru à b modulo ϕ ». Les
réels a et b diffèrent donc d’un multiple entier de ϕ, soit a − b ∈ ϕZ.
Nous pouvons donc reformuler la proposition 1.25 de la sorte : θ est une mesure de l’angle
#– et #–
#– #–
orienté des vecteurs u
v (non nuls) si, et seulement si, θ ≡ ( u,
v )[2π].
Exemple 1.27. Déterminons l’unique nombre réel α appartenant à [0, 2π[ et congru à
− 157 π modulo 2π.
On remarque que − 157 π + 2π = 23
π ∈ [0, 2π[ et ainsi α = 23
π.
15
15
Les règles de calcul sur les congruences, exposées dans la proposition suivante, sont à
connaître parfaitement.
Proposition 1.28. (Règles de calcul sur les congruences). Pour tous a, a , b, b , ϕ
dans R et λ = 0,
1) a ≡ b [ϕ] et a ≡ b [ϕ] ⇒ a + a ≡ b + b [ϕ] ;
2) a ≡ b [ϕ] ⇐⇒ λa ≡ λb [λϕ].
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Ch.1. Un peu de géométrie plane
21
Partie I. Bases
22
On suppose que a ≡ b [ϕ] et a ≡ b [ϕ]. Alors il existe (k, l) ∈ Z2 tels que
a = b + kϕ et a = b + lϕ , ainsi a + a = b + b + (k + l)ϕ et donc a + a ≡ b + b [ϕ].
De même, λa = λb + kλϕ et ainsi λa ≡ λb [λϕ]. La réciproque découle de l’implication
précédente appliquée à 1/λ.
n
Preuve.
Le lecteur devra savoir passer de l’équation 7θ ≡ π/2 [π] à l’équation θ ≡ π/14 [π/7] qui
lui est équivalente, et cela sans la moindre hésitation. Ces équations, dites de congruence, sont
à manipuler avec précaution : il ne faut pas confondre les symboles ≡ et =. Rappelons encore
une fois que 2π = 0 mais 2π ≡ 0 [π].
Test 1.9.
Test 1.10.
Est-il vrai en général que
Démêler le nécessaire et le suffisant entre les
trois propositions suivantes :
a ≡ b [ϕ] ⇒ a2 ≡ b2 [ϕ] ?
a ≡ b [π]; a ≡ b [2π] et a ≡ b [π/2].
Les réels a = 0, b et ϕ étant donnés, étudions plus généralement la résolution dans R de
l’équation ax + b ≡ 0 [ϕ]. D’après les propriétés du symbole ≡ énumérées dans la proposition
précédente, cette équation est équivalente à ax ≡ −b [ϕ], puis finalement à x ≡ −b/a [ϕ/a].
On en déduit que l’ensemble des solutions est
S =
b ϕ
− b/a + kϕ/a , k ∈ Z = − + Z.
a a
Grâce au cercle trigonométrique et à l’application θ → Mθ , on peut représenter géométriquement S , c’est-à-dire dessiner sur le cercle l’ensemble des points Mθ pour θ décrivant
l’ensemble des solutions S .
Exemple 1.29. Résolvons par exemple 5θ + π/2 ≡ 0 [π].
Cette équation est équivalente à 5θ ≡ −π/2 [π], et finalement à θ ≡ −π/10 [π/5]. Puisque
10 × π/5 = 2π, la représentation géométrique de l’ensemble des solutions est réduite à 10
points : M−π/10 , M−π/10+π/5 , M−π/10+2π/5 , M−π/10+3π/5 , M−π/10+4π/5 , M−π/10+5π/5 , M−π/10+6π/5 ,
M−π/10+7π/5 , M−π/10+8π/5 , M−π/10+9π/5 , soit, après simplification, M−π/10 , Mπ/10 , M3π/10 , Mπ/2 ,
M7π/10 , M9π/10 , M11π/10 , M13π/10 , M3π/2 , M17π/10 . Nous sommes simplement partis de la
solution particulière −π/10 en ajoutant à chaque pas π/5 jusqu’à décrire un tour de cercle
complet, ce qui nécessite exactement 10 étapes car 10 × π/5 = 2π.
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Méthode
Résolution d’une équation de congruence
On peut employer trois langages différents pour représenter l’ensemble des solutions
d’une équation de congruence.
La donnée de
l’équation de
congruence
« résolue »
θ≡−
π π
.
10 5
Une écriture
condensée de
l’ensemble des
solutions S
S =−
Une
représentation
géométrique sur le
cercle
trigonométrique
π
π
+ Z.
10 5
Appliquons sans plus tarder ces conventions.
Exemple 1.30. Résolvons l’équation 2θ ≡ π [2π/3].
Elle est équivalente à θ ≡ π/2 [π/3]. Puisque 6π/3 = 2π, la représentation géométrique
de l’ensemble des solutions est composé de six points :
Remarque. Nous avons
choisi ici une représentation géométrique sur le cercle. L’équation
« résolue » est θ ≡ π2 π3 et l’ensemble des solutions s’écrit S = π2 + π3 Z.
Test 1.11.
Test 1.12.
Résoudre 2θ + π ≡ 0 [π] géométriquement.
Déterminer l’ensemble S des solutions de
−2θ + π ≡ π [π/3].
III.3. Propriétés des mesures d’angles orientés
#– #–
#– est une mesure de l’angle orienté des
La proposition suivante prouve que ( u,
v ) + ( #–
v , w)
#– et w.
#– Puisque cette somme n’appartient pas nécessairement à l’intervalle ] − π, π],
vecteurs u
#– w),
#– c’est donc bien le symbole ≡ qu’il
elle n’est pas toujours égale à la mesure principale ( u,
faut utiliser.
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Ch.1. Un peu de géométrie plane
23
Partie I. Bases
24
#– #–
#– trois vecteurs non nuls du
Proposition 1.31. (Relation de Chasles). Soient u,
v,w
plan. Alors
#– #–
#– ≡ ( u,
#– w)
#– [2π].
( u,
v ) + ( #–
v , w)
Rappelons les relations bien connues suivantes, qu’un simple schéma permet d’ailleurs de
retrouver en cas d’oubli.
#– et #–
Proposition 1.32. (Propriétés des mesures d’angles orientés). Soient u
v deux
vecteurs non nuls du plan. On a alors
#– u)
#– = 0,
( u,
#– − u)
#– = π,
( u,
#– − #–
#– #–
( u,
v ) = ( u,
v ) ± π,
#– − #–
#– #–
(− u,
v ) = ( u,
v ).
III.4. Définition des angles géométriques
Définition 1.33. (Angle géométrique de deux vecteurs non nuls). Soit C le cercle
#– et #–
de centre O et de rayon 1. Soient u
v deux vecteurs du plan non nuls et U, V les points
# –
# –
#–
#– et OV
du cercle C définis par OU = u/ u
= #–
v / #–
v . On appelle angle géométrique des
#–
#–
+ et UV
−.
vecteurs u et v la plus petite des longueurs (non algébriques) des arcs de cercle UV
#–
u , #–
v ).
On le note (
L’angle géométrique de deux vecteurs non nuls appartient toujours à l’intervalle [0, π] et ne
dépend pas de l’ordre des vecteurs. Il s’agit donc d’une notion de mesure d’angle non-orienté.
#– #–
#– #–
On a bien sûr l’égalité (
u,
v ) = ±( u,
v ).
#– et
Définition 1.34. (Angles nul, plat et droit). L’angle géométrique de deux vecteurs u
#–
#–
#–
#–
#–
#–
#–
v non nuls est dit nul lorsque ( u , v )= 0, plat lorsque ( u , v )= π et droit lorsque ( u , v )= π/2.
On retiendra deux configurations angulaires particulièrement importantes en géométrie.
Définition 1.35. (Différentes configurations angulaires). Soient α et β deux angles
géométriques, c’est-à-dire deux réels appartenant à l’intervalle [0, π]. Les angles α et β
sont dits supplémentaires lorsque α + β = π, et complémentaires lorsque α + β = π2
(voir la figure 1.9).
β
β
α
Angles supplémentaires
α
Angles complémentaires
Figure 1.9. Configurations angulaires
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25
Rappel
Rappelons un peu de vocabulaire concernant les droites sécantes. Soient D1 , D2 et D3
trois droites non-concourantes et non-parallèles du plan. Quitte à permuter les indices,
on peut supposer que D3 intersecte les autres droites en deux points distincts, définissant
ainsi quatre angles géométriques décrits dans la figure ci-dessous.
D3
D1
α
β
γ
δ
D2
Les couples d’angles α, δ et β, γ sont dits alternes-internes. Les droites D1 et D2 sont parallèles si, et seulement si, les angles alternes-internes α, δ sont égaux ou si, et seulement
si, les angles alternes-internes β, γ sont égaux.
Nous pouvons maintenant introduire la notation usuelle des angles géométriques d’un
triangle ABC.
Définition 1.36. (Notation des angles). Soient A, B et C trois points distincts du plan.
# – # –
BAC
ou CAB
(voir la figure 1.10.1).
L’angle géométrique des vecteurs AB et AC est noté A,
C
C
A
A
B
La notation A
A
B
+B
+C
=π
Preuve de A
Figure 1.10. Angles géométriques
Venons-en à une célèbre propriété : la somme des angles géométriques d’un triangle est
égale à π. En guise d’esquisse de preuve, la figure 1.10 de droite rappellera au lecteur que la démonstration de cette égalité repose sur la propriété énoncée précédemment sur le parallélisme
et les angles alternes-internes.
Proposition 1.37. (Somme des angles géométriques d’un triangle). Soit ABC un
+B
+C
= π.
triangle du plan. On a alors A
On déduit sans peine de cette proposition que, si ABC est un triangle rectangle en B, les
et C
appartiennent à l’intervalle ]0, π/2[. De plus, les angles A
deux angles géométriques A
sont complémentaires.
et C
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Ch.1. Un peu de géométrie plane
Angles alternes-internes
Partie I. Bases
26
Test 1.13.
Test 1.14.
Que dire de la somme des angles au sommet
d’un quadrilatère convexe ? d’un pentagone
convexe ? d’un hexagone convexe ?
Proposer une généralisation à un polygone
convexe à n côtés.
III.5. Périmètres et aires
On admettra ici, comme le firent les géomètres de l’Antiquité, l’évidence géométrique suivante :
lorsque n tend vers l’infini, l’aire et le périmètre d’un polygône régulier à n côtés inscrit dans un
cercle tendent respectivement vers l’aire et le périmètre du cercle – c’est d’ailleurs le principe
des approximations de π obtenues par Archimède. Il est important de souligner qu’une telle
évidence ne peut en aucun cas jouer le rôle de preuve, au sens où nous l’entendons désormais.
Proposition 1.38. (Périmètre d’un cercle). Le périmètre L d’un cercle de rayon r est
donné par la formule L = 2πr.
Preuve. Un cercle de rayon r étant l’image par une homothétie de rapport r du cercle unité,
une simple règle de trois permet de conclure.
n
On généralise ce résultat à un arc de cercle quelconque, formule souvent utile en mécanique
du point, du solide et en sciences industrielles (et parfois en mathématiques).
Proposition 1.39. (Longueur d’un arc de cercle). La longueur d’un arc de cercle de
rayon r et d’ouverture θ ∈ [0, 2π[ est donnée par la formule rθ.
θ
r
Figure 1.11. Un secteur angulaire d’ouverture θ
Preuve. On utilise la même homothétie que dans la preuve précédente.
n
La version suivante de la preuve établissant la célèbre formule A = πr2 de l’aire d’un disque
est due à Johannes Kepler. Cette formule fut établie pour la première fois par Archimède à
l’aide de polygônes réguliers.
Proposition 1.40. (Aire d’un disque). L’aire d’un disque de rayon r vaut A = πr2 .
Preuve. Soient C un cercle de rayon r et n 1.
Soit Pn un polygône régulier à n côtés inscrit dans le cercle C .
On note pn son périmètre et an son aire. Nous utiliserons le fait que les suites an et pn
tendent respectivement vers A et L = 2πr lorsque n tend vers l’infini (ce qui nécessite une
vraie preuve).
On note hn la hauteur commune des n triangles formant les « secteurs » de Pn . L’aire de
la surface délimitée par Pn est la même que celle d’une frise de triangles superposables de
base pn /n et de hauteur hn . Notons [AB] la base d’une telle frise.
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A = B
A = B
C et Pn
A
L’aire de Pn
B
La frise associée
A
B
Un triangle de même aire que la frise
Figure 1.12. La démonstration de Kepler illustrée
Cette dernière a la même aire que le triangle obtenu en translatant à hauteur constante les
n sommets à la verticale du point A. La longueur hn tend vers r lorsque n tend vers l’infini.
Puisque l’aire de ce triangle vaut 12 × pn × hn , on obtient par passage à la limite que l’aire A
n
du disque vaut 12 × 2πr × r = πr2 .
Rappelons la généralisation de ce calcul à l’aire d’un secteur angulaire d’ouverture θ.
Proposition 1.41. (Aire d’un secteur de disque). L’aire d’un secteur de disque de
rayon r et d’ouverture θ ∈ [0, 2π[ est donnée par 12 θr2 .
La démonstration exposée ci-dessus peut être reprise point par point en partant
d’un secteur de disque au lieu du disque tout entier. On peut aussi invoquer la proportionnalité
de l’aire d’un secteur et de son ouverture angulaire θ, le résultat découle dans ce cas d’une
simple règle de trois.
n
Preuve.
Test 1.15.
Test 1.16.
En inscrivant le cercle trigonométrique C dans
un carré puis un carré dans le cercle C , justifier
que 2 < π < 4.
Soient C le cercle circonscrit à un triangle ABC
et d son diamètre. Établir que
d
a+b+c
.
π
© 2012 Pearson France – Mathématiques L1 – Jean-Pierre Marco, Laurent Lazzarini
Ch.1. Un peu de géométrie plane
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