Euclide, Pythagore, Thalès et Archimède: un héritage qui perdure

Euclide, Pythagore, Thalès et Archimède: un héritage qui perdure
Journée des Mathématiques de la Zone Ibérique
Filipe Oliveira
Les Éléments d’Euclide (300 a.v. J-C)
Oeuvre constituée par 13 livres, qui présente une première
Théorie (axiomatique) de la Géométrie.
Comment Euclide construit-il une telle Théorie?
1. Il établit des «Définitions», en y incluant les «Objets Primitifs» de la Théorie.
Exemples
«Le point est ce dont la partie est nulle.»
«Une ligne est une longueur sans largeur.»
«La ligne droite est celle qui est également placée entre ses points.»
«Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan, et
étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté
ni de l'autre.»
Les Éléments d’Euclide (300 a.v. J-C)
Oeuvre constituée par 13 livres, qui présente une première
Théorie (axiomatique) de la Géométrie.
Comment Euclide construit-il une telle Théorie?
2. Il demande la validité de 5 «Notions Communes».
Exemples
«Des grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles.»
«Si l'on retranche des grandeurs égales à des grandeurs égales, les restes
demeurent égaux.»
Les Éléments d’Euclide (300 a.v. J-C)
Oeuvre constituée par 13 livres, qui présente une première
Théorie (axiomatique) de la Géométrie.
Comment Euclide construit-il une telle Théorie?
3. Il établit 5 «Postulats». (propositions vraies qui n’ont pas besoin d’être
démontrées)
1. Deux points quelconques peuvent être unis par une ligne droite.
2. Il est toujours possible de prolonger un segment de droite en une droite.
3. Il est toujours possible de tracer un cercle de centre et rayon donné.
4. Tous les angles droits sont égaux.
5. Si deux droites sont sécantes avec une troisième de telle façon que la
somme des angles intérieurs d’un côté est inférieure à deux angles droits,
alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.
Les Éléments d’Euclide (300 a.v. J-C)
Oeuvre constituée par 13 livres, qui présente une première
Théorie (axiomatique) de la Géométrie.
Avec ces outils, Euclide démontre ensuite les
«Propositions» (les Théorèmes), en particulier tous les
résultats de Géométrie connus à l’Époque.
Les Éléments d’Euclide (300 a.v. J-C)
Les trois cas d’égalité de triangles
Deux triangles sont égaux s’ils peuvent être “superposés”, c’est à dire, s’il
est possible de les faire coincider par un déplacement rigide.
(Idée moderne de figures isométriques).
Cas [CAC] (Proposition 4 du Livre I)
La démonstration donnée par Euclide n’en est pas vraiment une...
Ce résultat peut, en vérité, être considéré comme un axiome.
Les Éléments d’Euclide (300 a.v. J-C)
Les trois cas d’égalité de triangles
Deux triangles sont égaux s’ils peuvent être “superposés”, c’est à dire, s’il
est possible de les faire coincider par un déplacement rigide.
(Idée moderne de figures isométriques).
Cas [CCC] (Proposition 8 du Livre I)
Ce résultat peut aussi être considéré comme un axiome. La
démonstration donnée par Euclide possède les mêmes ambiguités du cas
[CAC].
Les Éléments d’Euclide (300 a.v. J-C)
Les trois cas d’égalité de triangles
Deux triangles sont égaux s’ils peuvent être “superposés”, c’est à dire, s’il
est possible de les faire coincider par un déplacement rigide.
(Idée moderne de figures isométriques).
Cas [ACA] (Proposition 26 du Livre I)
Ce résultat peut être démontré correctement.
Dans le Programme Portugais
Des propriétés “axiomatiques” ou très immédiates sur les angles.
Voici quelques unes:
Angles Verticalment Opposés
Angles Correspondants
$
$=&
! et " sont parallèles ⟺ $ = &
&
(cf. Notion Commune d’Euclide)
Angles Internes Alternés
(cf. 5ème postulat d’Euclide)
$
!
! et " sont parallèles ⟺ $ = &
Conséquence immédiate des
deux points précédents
&
"
$
&
!
"
Dans le Programme Portugais
Les trois cas d’egalité de triangles
Les critères [CCC], [CAC] et [ACA] sont introduits comme des conséquences du
critère suivant d’égalité d’angles:
Les angles $ et &, de sommets ' et '’, sont égaux si et seulement si en choisissant
des points ), +, )’-.+’sur leurs côtés respectifs,
') = '/ )/ -.'+ = '/ + / ⇒ )+ = )/ +′
Dans le Programme Portugais
Les trois cas d’egalité de triangles
Les critères [CCC], [CAC] et [ACA] sont introduits comme des conséquences du
critère suivant d’égalité d’angles:
Les angles $ et &, de sommets ' et '’, sont égaux si et seulement si en choisissant
des points ), +, )’-.+’sur leurs côtés respectifs,
') = '/ )/ -.'+ = '/ + / ⇒ )+ = )/ +′
Quelques exemples de démonstrations:
• La somme des angles internes d’un triangle est égale à un angle plat.
• Les côtés opposés d’un parallèlogramme sont égaux.
• Le Théorème de Thalès
- D’ abord, le cas ! = 2;
- Puis, le cas d’ un rapport rationnel quelconque.
Un dernier mot sur la similitude de triangles
Un critère de similitude pour des polygones convexes
Deux polygones 4 et 4 / ayant le même nombre de sommets sont semblables s’il existe
une constante ! > 0 et une correspondance entre leurs sommets ( 4 = [)8 … ): ]et
4′ = [$% ′ … $' ′])tels que pour tous + ≠ -, $/ $0 = 1$/ ′$′0 .
En particulier, deux triangles aux côtés proportionnels sont semblables.
(Critère [LLL] de similitude de triangles).
Le Théorème de Thalès permet de montrer deux autres critères de similitude de
triangles: le critère [AA] (deux triangles ayant les mêmes angles sont semblables) et le
critère [LAL] (deux triangles qui ont un angle en commun et les côtés respectifs
proportionnels sont semblables.
Éléments d’Euclide
Livre I – Proposition 47
A1=a²
a
c
b
A2=b²
A3=c²
Théorème de Pythagore: A1+A2=A3.
Éléments d’Euclide
Livre VI – Proposition 31
A1
A2
A3
Considérons trois figures semblables, construites sur les
côtés d’un triangle rectangle. Alors A1+A2=A3.
Éléments d’Euclide
Livre VI – Proposition 31
A1
A2
A3
Considérons trois figures semblables, construites sur les
côtés d’un triangle rectangle. Alors A1+A2=A3.
Éléments d’Euclide
Livre VI – Proposition 31
A1
A2
A3
Considérons trois figures semblables, construites sur les
côtés d’un triangle rectangle. Alors A1+A2=A3.
Remarque fondamentale:
fondamentale: tous ces enoncés sont equivalents.
Les trois figures sont semblables.
6 2
$% =
$5
4
2
3
$2 =
$5
4
A1
a
b
A2
c
6
1=
4
$% + $2 = $5
1=
A3
3
4
⇔
6
4
2
2
3
$5 +
$5 = $5
4
⇔
62 + 32 = 4 2
Pour prouver le Théorème de Pythagore, nous sommes donc entièrement libres de
choisir ume famille spécifique de figures semblables..
A
A
C
H
B
Nous choisissons des copies du triangle rectangle initial..
A
C
H
B
Nous choisissons des copies du triangle rectangle initial..
A
C
B
Nous choisissons des copies du triangle rectangle initial..
A
A1
A2
A3=A1+A2
C
H
A3
B
Le Théorème de Pythagore apparait ici comme
une conséquence du
Théorème de Thalès/similitude
Thalès/similitude de triangles.
triangles
En vérité, et en un certain sens, le
Théorème de Pythagore et le
Théorème de Thalès sont le même Théorème.
En Géometrie Sphérique
9+:+; >=
> =9+:+;−=
“Excès sphérique”
Aire du triangle
$ = >@2 = (9 + : + ; − =)@2
En Géometrie Hyperbolique
9+:+; <=
> ==−9+:+;
“Défaut sphérique”
Aire du triangle
$ = >@2 = (= − 9 + : + ;)@2 ,
@=
%
CD
(E est la courbure).
En um mot,
La validité du Théorème de Thalès (et l’existence de triangles
semblables) est équivalente à la validité du Théorème de
Pytagore.
Un abordage du Théorème de Pythagore qui ne passe pas par
la notion de similitude semble donc un mauvais abordage…
A
A
3
4
C
H
H
G
6
I
J
Q
R
R
K
[ABC] et [ACH] sont semblables: J = K : MN = OP
[ABC] et [ABH] sont semblables: = : SN = OT
En aditionnant: 32 + 4 2 = 6G + 6H = 6 G + H = 62 .
B
Commensurabilité
Un premier abordage des nombres irrationnels
Définition Deux segments de droite [AB] et [CD] sont dits «commensurables» s’il
existe une unité u telle que, pour cette unité, la mesure des longueurs AB et CD est
un nombre naturel.
C
A
B
$U = V,
D
u
EW = X,
V, X ∈ ℕ.
Exemple 1
Considère deux segments de droite, [AB] et [CD], dont la mesure de la
%[
_
longueur est respectivement égale à 2 età 2 .
Montre que ces segments sont commensurables.
R: En prenant pour unité um segment de mesure ½ ,
$U = 15, EW = 7.
Exemple 2
Considère deux segments de droite, [AB] et [CD], dont la mesure de la
_
2%
longueur est respectivement égale à 5c età dc .
Montre que ces segments sont commensurables.
R: mmc (30,40)=120. EN observant que 7/30=28/120 e 21/40=63/120,
en prenant pour unité um segment de mesure 1/120,
$U = 28, EW = 63.
Exemple 3
Considère deux segments de droite, [AB] et [CD], dont la mesure de la
K
R
longueur est respectivement égale à J ∈ ℚetà j ∈ ℚ.
Montre que ces segments sont commensurables.
Conclusion fondamentale
Si l’on arrive à exhiber deux segments de droite incommensurables on
peut conclure que les nombres rationnels ne sont pas suffisants pour
mesurer toutes les distances entre points du plan.
Est-ce qu’il existe, alors, des segments de droite incommensurables?
Algorythme d’ Euclides
Élements, Livre VII, Proposition 1
Contrairement à l’algorythme d’Euclide
appliqué à des nombres entiers, ce
processus peut ne pas s’arrêter…
Par exemple, si les segments initiaux
mesurent 1 et G, tel que
les segments sont incommmensurables.
Le nombre d’or k est irrationnel.
Est-ce qu’il existe, alors, des segments de droite incommensurables?
Incommensurabilité du côté et de la diagonale d’un carré
• Les exposants de la décomposition en facteurs premiers d’un
carré parfait sont pairs.
• En particulier, pour 6, " ∈ $, l& egalité./ 0 2" / est impossible.
• Mais, par le Théorème de Thalès, il estr facile de voir que c’est cette
identité qui lie les longueurs du côté et de la diagonale d’ un carré,
d’où le résultat.