Euclide, Pythagore, Thalès et Archimède: un héritage qui perdure

Euclide, Pythagore, Thalès et Archimède: un héritage qui perdure
Journée des Mathématiques de la Zone Ibérique
Filipe Oliveira

Les Éléments d’Euclide (300 a.v. J-C)
Oeuvre constituée par 13 livres, qui présente une première
Théorie (axiomatique) de la Géométrie.
Comment Euclide construit-il une telle Théorie?
1. Il établit des «Définitions», en y incluant les «Objets Primitifs» de la Théorie.
Exemples
«Le point est ce dont la partie est nulle.»
«Une ligne est une longueur sans largeur.»
«La ligne droite est celle qui est également placée entre ses points.»
«Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan, et
étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté
ni de l'autre.»

Les Éléments d’Euclide (300 a.v. J-C)
Oeuvre constituée par 13 livres, qui présente une première
Théorie (axiomatique) de la Géométrie.
Exemples
«Des grandeurs égales à une même grandeur sont égales entre elles.»
«Si l'on retranche des grandeurs égales à des grandeurs égales, les restes
demeurent égaux.»
Comment Euclide construit-il une telle Théorie?
2. Il demande la validité de 5 «Notions Communes».

Les Éléments d’Euclide (300 a.v. J-C)
Oeuvre constituée par 13 livres, qui présente une première
Théorie (axiomatique) de la Géométrie.
1. Deux points quelconques peuvent être unis par une ligne droite.
2. Il est toujours possible de prolonger un segment de droite enunedroite.
3. Il est toujours possible de tracer un cercle de centre et rayon donné.
4. Tous les angles droits sont égaux.
5. Si deux droites sont sécantes avec une troisième de telle façon que la
somme des angles intérieurs d’un côté est inférieure à deux angles droits,
alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.
Comment Euclide construit-il une telle Théorie?
3. Il établit 5 «Postulats».(propositionsvraiesqui n’ontpasbesoind’être
démontrées)

Les Éléments d’Euclide (300 a.v. J-C)
Oeuvre constituée par 13 livres, qui présente une première
Théorie (axiomatique) de la Géométrie.
Avec ces outils, Euclide démontre ensuite les
«Propositions» (les Théorèmes), en particulier tous les
résultats de Géométrie connus à l’Époque.