Polygone de Newton et théorème de préparation

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
M ICHEL L AZARD
Polygone de Newton et théorème de préparation
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 26 (1972-1973), exp. no 15,
p. 1-4
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15-01
(Algèbre)
année, 1972/73,
26e
n°
28 mai 1973
15, 4 p.
POLYGONE DE NEWTON ET THÉORÈME DE PRÉPARATION
par Michel LAZARD
exposé était surtout un aveu d’igno rance : il y a tout un domaine intéressant
l’analyse et l’arithmétique, où figurent quelques résultats classiques (théorème de
préparation de Weierstrass, lemme de Hensel, etc.) pour lequel, autant que je sache,
on n’a pas encore trouvé de fondation axiomatique simple et assez générale.
Cet
Ici
j’ai
propriétés
des
en vue
phes, dont Jean DIEUDONNE
a
d’anneaux de séries formelles "tordues" méromor-
montré l’utilité pour classer, à
groupes formels commutatifs de hauteur finie
nulle
un
A
automorphisme
Par
contre,
Autrement
on
mais
non
A. On considère l’anneau
de
f + g de
somme
(unitaire,
un anneau
sont les séries formelles
La
corps de
caractéristique
les
non
algébriquement clos ~ 1 ~.
1. - Soient
(p
sur un
isogénie près,
f
a
n
et
g
= 1 Tn
T
dit,
on
aT
pose
c ,
=
B(A , cp) ,
et
dont les éléments
A :
est définie
b
commutatif),
comme
n
~
pose
B
à coefficients dans
méromorphes
= 1 Tn
nécessairement
d’habitude.
avec
n’est pas
=
l’identité,
l’anneau
B
n’est pas commutatif. Il faut considérer des facteurs et multiples à droite et à
gauche, et on réduit de moitié le travail grâce à la proposition suivante.
PROPOSITION 1. - L’ anneau
phe à l’anneau
opposé (B(A ,
L’isomorphisme
2. - On considère maintenant
réelles
positives
fonction
applique 03A3
ou
+ ~ .
R
N
et du
de
f
fonction de Newton de
Tn
v , définie
Cela permet d’ associer à
2
de Newton. Pour cela, on considère dans
polygone
des points (n ,
lygone de Newton
La
une
~p)
de l’ anneau
une
03C6)op
a
f ; ~ ~ an~
son
l’enveloppe convexe-fermée
point à l’infini dans la direction
est la frontière de cette
sur
A , à valeurs
sur
série
est isomor-
région,
ou encore
(0 ~ 1 ~ .
le
Le p o-
graphe de la
f .
de deux
le dans
R2 :
polygones de Newton se définit à partir de l’addition vectoriel-si les polygones P et P’
limitent les régions convexes-fermées R
et
leur
somme
somme
R’ ,
P
+
Pt
limite la
région
R + R’
Cela
dit,
la
proposition suivante
est
importante
par
sa
simplicité
et
ses
consé-
.
quences :
PROPOSITION 2. - Le polygone de Newton du
la
de
somme
(non nulles)
de deux séries
produit
est
de Newton.
leurs polygones
proposition résulte
On montre facilement que cette
des axiomes suivants.
Axiomes 1
f ~ ~ Tn
effet, soit
droites d’appui,
En
celle de
E
a
n
B . Le polygone de Newton de
pente -. ~, ayant
pour
f
est défini par
le
plus petit
ses
équation :
où
Si l’ on
désigne
plus grand
alors
par
n e Z
n(f , ~,~
a
(suivant
côté)
le
premier
équivaut
des formules analogues,
Si l’on
de
a
f
en
deux séries
et g
Autrement
dit,
le
axe)
e.
du
pente - ~
polygone de
à la formule suivante :
remplaçant
v
g ,
N
et
commun
~.
(de n’importe quel
par
n .
doit vérifier :
polygone
polynôme
de Newton d’un
pente - ~, , et P(0~
3. -
du côté de
B , tout diviseur
DEFINITION. - Nous disons qu’un
et seulement si,
(i.
et le
tel que
Newton. La proposition 2
de
respectivement
l’entier % 0 ,
est la longueur
On
~,~
et
Le théorème de
abstraction faite
P
= 03A30ns
Tn
a
est
polynôme
~-isocline
~
Q
-isocline si,
n’a qu’un seul côte,
..
’
préparation de Weierstrass, dans sa partie "formelle"
des questions de convergence) se résume comme suit. Soit
/
f E B
holomorphe
Alors
f
est
(i.
à
égal
tel que
e.
9
0)
=0
polynôme de degré 3 multiplié par
l’anneau des séries holomorphes). Cette décomposition
(dans
respond à
u.ne
un
décomposition
somme
en
do
son
polygone
pente
( qui correspondent au polynôme)
pondent au facteur inversible).
de
0
Nous
.nous
n(f , 0)
et
série inversible
une
produit de
en
de Feston. On
ceux
= s .
de pente
sépare
.~ 0
f
cor-
les côtés
(qui
corres-
intéressons ici à l’énoncé suivant, qui entraîne le théorème de
prépa-
ration.
PROPOSITION 3. - Soient
existe
feB ,
un
~ 0 , ~,
f
P
> 0
et ~ ( f , ~,1 :
s > 0 . Alors il
degré s , et geB ,
de
tels que
f = Pg .
les premiers axiomes
ainsi que
deg Q
d’où,
l’unicité
deg P ,
P .En
cette
propriété
g’ ,
0 ,
P’
avec
= P + ~ ,
on a
Q ~ 0,
si
de
introduits,
effet, si
une
contradiction
La proposition
en
es-:; valable lorsaue
plet, autrement dit
le ~ ~ , ~~
calculant
A
est
quand les axiomes
des deux membres.
de -valuation
un anneau
suivants
com-
vérifies.
Axiomes 2
Il n’est donc pas
nécessaire
do apposer A
ni la valuation
dis-
v
crète.
Pour
démontrer la proposition ci-dessus, il suffit de modifier
nements valables dans le
exemple,
par
cas
où
A
(cf.,
est l’identité
série
f
7’ 0 , telle que &(f ,
0 seunombre fini de valeurs strictement positives
soient
Alors f est produit de r + l
’" ~ ~ ’
facteurs, à savoir un polynôme
lement pour
~1 ’
unitaire
une
=
B,
f
un
03BCi-isocline
de
degré
~)
teur
les
où 03C6
~2~]).
Considérons maintenant
de
est commutatif et
les raison-
-0153
pour
chaque
(l ~ i ~ r) ,
i
et
un
fac-
complémentaire, lui-même égal à une série inversible multipliée par un élément
A. On peut choisir n’importe comment l’ordre des
facteurs
ce choix
et,
r +
l
facteurs sont
l’ordre). L’hypothèse
niques (mais
faite
sur
f
est
ils
dépendent,
en
toujours vérifiée
général,
fait,
du choix de
si la valuation est dis-
crète.
~. - Supposons
sait alors que
B
désormais la valuation
est
un anneau
à idéaux
v
discrète
(à gauche
ou
(ou
à
à valeurs
entières).
droite) principaux.
On
15-04
soit 14
un
B-module (à
annulés par un élément
l’ensemble des élémerts de M
M
de
N
Alors
et les
exemple). Notons N l’ensemble des éléments
> 0,
non nul de A
(~ B) et, pour chaque
M
annulés par un polynôme (non nul) unitaire
gauche, par
sont des sous-modules de
M
constitue le sous-module de
torsion de
M
Ci.
M ;
e.
leur
somme
est directe, et
l’ensemble des éléments dont
st pas nul).
l’annulateurn’est
Pour
décomposer davantage
lynômes isoclines.
les éléments
Il faut alors
que les résultats que
nous avons
il faut savoir
décomposer
des hypothèses de nature très différente,
indiqués sont de nature plus générale.
de B ,
les po-
tandis
BIBLIOGRAPHIE
[1] DIEUDONNÉ (Jean). ractéristique
[2]
p
>
Groupes de Lie et hyperalgèbres de Lie sur un corps de
0 , VII, Math. Annalen, t. 134, 1957, p. 114-133.
ca-
LAZARD (Michel). - Les zéros des fonctions analytiques d’une variable sur un
corps valué complet. - Paris, Presses universitaires de France, 1962 (Institut des Hautes Etudes Scientifiques. Publications mathématiques, 14, p. 47-
76).
(Texte
Michel LAZARD
2 rue Boutarel
75004 PARIS
.
reçu le
13 octobre
1973)