Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres M ICHEL L AZARD Les zéros des fonctions analytiques d’une variable sur un corps valué complet Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 16, no 1 (1962-1963), exp. no 6, p. 1-12 <http://www.numdam.org/item?id=SD_1962-1963__16_1_A6_0> © Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1962-1963, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ Séminaire DUBREIL-PISOT .(Algèbre et Théorie 16e année, 1962/63, 6-01 nombres) des n° 6 10 décembre 19E~2 LES ZÉROS DES FONCTIONS ANALYTIQUES D’UNE VARIABLE VALUÉ SUR UN CORPS COMPLET par Michel LAZARD Cet exposé reprend, () article qui sera sous une désigné forme plus géométrique, quelques par les lettres 1. Corps valués ; corps complets No~’3 appelons ici corps valué application v : v(x) , pour trivial où cas valuation est discrète si les v(x) par et maximalement complets. corps commutatif K muni d’une vérifiant les axiomes suivants : L’ensemble des écarte-..: le résultats d’un ce ce constante, une x e K% un est sous-groupe se sous-groupe additif de un disons que la réduit à zéro. Nous groupe additif est discret nous pourrons supposer (et, quitte à que c est Z ) ~ "" dirons qu’elle (1.2) R . Nous multiplier sinon nous est dense. Soit nombre >0 . Les axiomes des valuations permettent de vérifier que les relations entre éléments x m et un de y K, sont des relations tion est discrète l’ensemble Z " ~. (m (1.201) (1) un + 1) et (disons à valeurs des v(x) et, dans ". Par (1.2.2) contre, dans (1.2.2) , il suffit de faire on si la valuation est sont essentiellement LAZARD (Michel). corps value complet. - Z ), d’équivalence. peut remplacer " dense, parcourir à > m " les relations des des Hautes Etudes M. KRASNER fait la remarque par types des fonctions analytiques d’une variable Presses universitaires de 1962 France, mathématiques, 14 ; p. sur (Institut Publications 47-75). que le théorème attribue à SCHNIRELMANN avait été prouvé antérieurement par SCHOBE. m différentes. Les zéros Paris, scientifiques, Si la valua- (1.2.3) La topologie système d’équivalence nant fondamental de comme associée à K du corps sa valuation voisinages d’un élément définit se x E K en pre- les classes (1.2.2) de x o Ces classes seront dites (fort improprement) disque "fermé" (resp. disque "ouvert") de valuation m et de centre En fait La ou sont des ce topologie parties peut être définie K de ouvertes et fermées de par une 1 , et on pose d (x , y) espace ultramétrique : (~ ~ 1.,3~ est l’inégalité triangles sont isocèles). e g 0 e Le corps définir. K est dit on Le corps K Dans un corps du s’il est complet complet, on a un &#x26; distance : =- (1.2~4) vient de K x . choisit un nombre devient alors un triangle renforcée (tous les complet pour la métrique qu’ on critère de convergence très com- mode pour les séries. ~ ~ ~~ ~.5 ~ ment si série ~n Une son s’il existe terme un n général indice (u n E K ’ corps value u tend TJers zéro, n0 v (03A3n un) = v(un0). ( l ~2 d 6 ~ propriété La K corps tions tendent ( ~ 4z a 7; est vers Cette complet peut complet + oo ~ si c v(u ) v(u ) tel que encore si toute famille de a une complet) intersection non pour se converge si et seule- v(un) ~ + tout n ~ n... ~ formuler comme disques emboités~ a De plus, alors suit 2 un dont les valua- vidéo propriété n’implique pas que toute famille de disques emboîtés ait une intersection non vide. En voici un exemple. Prenons un corps k quelet formons le corps K dont les éléments sont des séries formelles conque, est une suite x /°, indéfiniment croissante de nombres rationnels, et, ei ° > vx> = »°> ° Considérons la suite définie ; , on suppose ao à par . Les dis que s Dn de leur intersection est (1.2.8) centres x n disques emboîtés a une bien que vide, Un corps valué et de valuations K K soit non vide ; + 1) s ont emboîtés ; complet. est dit maximalement intersection n/(n complet si toute famille de Pour discrète , "complet" équivaut valuation dense (1 .2 .7) . valuation une est faux pour II. une Convergence des séries de à "maximalement Laurent ; polygones (201) Appliquons le critère de convergence (1.2.5) dont les coefficients an a n appartiennent K. L’indéterminée sion valuée (2.1ol) T complète Soient x remplacée sera L un élément cela de Newton. séries de Laurent à un corps valué complet aux de x K, ou d’une exten- K. de (ou e K par complet" ; L ), v(x) = . La série de a n xn Laurent converge si et seulement si (2.1.2) phique Pour calculer les nombres v(an) ; v(an) n (2.1.3) une point ce par cherché dent (figure 1) : suivant + n on on mène comme + trace le une point droite 0394n d’abscisse An de procédé utilise le pente - ; et d’ordonnée n on gra- obtient le nombre ordonnée à l’origine de cette droite 0394 . n Il faut étudier les droites 6 "borne on inférieure" 0394 : c’est n pour tous les la droite de n E Z . Elles et pente - possè.. d’ordonnée à l’origine, Le critère (2.1.1) s’exprime suffit que la droite v(f , p) > - oo ), A ne ainsi : pour que la série converge, il faut et il soit pas rejetée à l’infini (c’est-à-dire et que les points tn) -> (2,1.4) à Pour chaque ~ ~ R nous An s’éloignent indéfiniment obtenons ainsi une droite A de A (pour (éventuellement appellerons désormais A(j~) . Si nous faisons varier p dans R l’intersection des demi-plans supérieurs limités par ces droites a pour frontière un polygone convexe : c’est le polygone de Newton de la série de Laurent f. Chaque est la droite d’appui de pente - ~ du polygone de Newton. Les abscisses des sommets du polygone sont des entiers ; si n est l’abscisse d’un sommet, est son ordonnée. La figure 2 représente le polygone que nous de Newton de la série log(l + T) (- pour p = 2 (v(2) = 1) . On voit que c’est infini ; les sommets ont pour abscisses les convexe 2i (i eN) . nombres Déf inition..- Un polynôme (2.1.5) et si polygone un de Newton est polygone son P E dit -extrémal sera de segment un P ~ Tz + 3 T + 3 (p ~ 3 ~, Exemple : K[T] pente - si P(0) ~ 0 . figure :3:) III. Les zéros des séries de Laurent. série de Laurent à coefficient dans K (value complet). Quels sont les zéros possibles de f dans les extensions valuées complètes L (3.1.) Soit f une K ? de (~ m2~~~ La dernière assertion de nissent déjà (3,~1 ~,1.~ une gone de Newton de f problème le Par en un v(f(x)) = v(a de savoir si contre, constructions géométriques four- nous seul ) + point d’abscisse n~ ; et f (0~ ~ 4 x (nécessairement n n’est donc pas zéro de sommet un (si f poly- x = 0, trivial). est polygone possède si le touche le Si la droite x alors nos réponse partielle. Soient A~~ et un c8té de pente - , nous ne savons encore rien affirmer. (~ e ~ .~.~ Définitionn" Soit formé des série entière l’intervalle de R Si f est une f une Conv(f) (2.1.2). v(x) = série de Laurent. Nous notons tels que (a n = 0 f(x) pour converge pour 0) , n nous à adjoignons Conv(f) 0 (3.1.3) L’ensemble lyse classique, Conv(f) et P et un f un Soient polynôme toujours série de Laurent converge une La division euclidienne des (3 ~~z a 1 ~ est f une un intervalle de R sur une polynômes s’étend aux en ana- "couronne"). séries de Laurent. série de Laurent à coefficients dans -extrémal (2.1.5). (comme Alors il existe une K (valué complet) série de Laurent polynôme Q_ 9 déterminés univoquement par les conditions = Pg + Q ~ deg Q deg P ~ Conv(f) , v~~ ~ v(f ~ ~~ g [Pour la Le lemme c’est le démonstration, cf. ZFA, n° 2 , (3.2.1) nous permet de parler lemme . de reste de la division de f P : par polynôme Q . problème soulevé en (3.1) est résolu HENSEL, au moins pour l’essentiel) : Le à 2.] (3.2.2) La valuation d’un corps valué par les deux assertions suivantes K complet (dues prolonge d’une manière, se seule, à la clôture algébrique K a de K . Il en résulte, d’après (2.1.5) (3.1.1), qu’un polynôme -extrémal (~ K[T]) se décompose en facteurs linéaires et d’une et Ka (T) , dans (3e2.3) toutes Soit f racines ses n8me ce -extrémal côté. Alors P la valuation série de Laurent. Si une appelons n(f ~ ~) l’extrémité de ayant et f les abscisses de est divisible (au sens degré N(f, ) - n(f , ) , de Le théorème de (3.2.3), (3,.~.z)’ peut n° cf. de côté de a un et de l’origine (3.2.1)) par un de telle sorte que, si D’après (~. ~ . ~ ) et le polygone de g n’ait pas de côté de pente ~. ~ . la série f possède donc N(f ~ ~) .. zéros dans multiplicités). [Pour la preuve de Newton polygone son N(f ~ ~) . polyf = Pg, (3 ~2 .2 ) ~ K a (compte tenu des . 3, proposition 2.] démontrer à partir de tous les ouvrages consacrés aux corps values se (3.2.3) ; il se trouve dans ~, Développements (4.1) de f Les théorèmes sur son polygone de la fonction En fait, log(l nous ne (~. ~..1 ~ et (3.2.3) de Newton. Far T) ; + ce en produits. permettent de "voir" les zéros exemple, la figure 2 nous montre les zéros nous sont les racines des voyons que le nombre de équations (1 + = 1 0 zéros de valuation donnée. Les zéros eux-mêmes restent invisibles. (4.1,~. ) Donnons-nous a Tn entières Géométriquement, F) - un cela nombre (a E M > 0 . Considérons l’anneau K , value complet) qui convergent signifie que leur polygone de Newton exemple : ARTIN (Em.i,l) ~ .. Algebraic numbers Princeton, Princeton A~ and University, 1950/51 (multigraphié). a une des séries pour v(x) > direction algebraic fonctions. M . de (4.1.2) f ~ e à la relation appellerons "côté significatif" du polygone de Newton d’un côté de pente c’est-à.~d.ire (3.2.3) un côté qui correspond à un (4.1.3) Problème. - M . > Pouvons-nous trouver f E ~ dont les zéros de valuation soient donnés arbitrairement ? > M nous donnons nous nous infinie, donnons =0) de degré {x j1 ou nous -~ mn-extrémal m tend vers M. Pour chaque n (2~5) P (nous pouvons supposer précisément conne supposons que ait v(x)>M} (4.1~4) Nous énoncerons la ceux des polynômes en Pour cela de valuations Plus vers une > déve- M . précisément nous disons si les conditions suivantes il existe (4.2.3) par des devons gine, (2.1.3)~ problème posé définir la convergence dans nous prenons la topoA~ ; la convergence uniforme sur tous les diques "fermés" centrés à l’orinous de ~. . demandant que le diviseur Cette nouvelle formulation définit en produit logie (= A~) zéros dans le disque "ouvert" Il est naturel de chercher la solution du loppements (4.2.2) (Pn) . ~ le diviseur d’un (402) , P ? question précédente soit le produit formel AM Nous d~>0 ~ x f ~ préciser le mot "arbitrairement". infinie) de nombres pouvons polynôme un Existe-t-il nous (finie suite une Si la suite est P~(0) ~3.2.3~~ tenu de Compte g équivaut Nous des zéros de valuation de cela analytiquement, un entier n~ qu’une suite g. (= A~) sont vérifiées : pour tout tel que n ~ n,. implique la convergence d’un produit se définit limite non nulle de la suite des produits partiels £ converge m > M vers et tout À " comme la convergence f Le critère de convergence est aussi simple que peur les gent si et seulement si f tend vers 1 . (4.3) La première étape polygone de Newton toujours possible, et elle problème (4.1 ~ ~ la solution du vers truction du de la fonction cherchée est est suite (m ~ n n~. infinie, gone de Newton de ce rieurement. Cela revient à dire que un développement seurs ont des f en finis. nous est la cons- f o Cette construction f (0~ ~ 1. supposons ferons désormais. Tous les côtés du nous (4.3.1) Supposons que les degrés tion cherchée si conver- et la poly- significatifs y4. ~ .2 ~ . sont f que univoque est f des polynômes P les côtés du polygone longueurs bornées. A lor s produit ~ f soientbornés supé- d =f il e st de Newton de la fonc- impossible dont les facteurs f de trouver aient des divi- n° 5, proposi"preuve" géométrique de cette assertion tion 7). Les côtés significatifs des f n (par abus de langage, pour dire "... des. polygones de Newton des séries...") sont parallèles à ceux de f ~ et de longueur au plus égale, donc bornée. Si nous voulons que les f n aient des diviseurs finis Donnons une (c’est-à-dire aient fn au un moins un f n (0~ ~ 1 interdit de converger fn il faut qu’une infinité de côté significatif. Sans restreindre la pouvons supposer aux significatifs), nombre fini de côtés n ~ et pour tout vers nous voyons généralité, nous (figure 4) que cela L. o (4.4) Le résultat précédent montre que le problème posé ne peut pas être résolu, dans le cas générale par des développements en produits. C’est une curieuse particularité (4.4.1) de l’analyse p-adiquec contre, la même figure discrète (disons à valeurs dans Z ). jamais trouver une suite de polyn8mes Par 4 nous rend En effet, m n l’espoir dans -extrémaux ce P n si la valuation est cas, nous dont les ne pourrons degrés soient bornés. Les côtés de leurs polygones de Newton ont des.pentes rationnelle s ~ et une suite infinie de nombres rationnels ne peut pas décroître strictement vers - M (> - ~°~ sans que leurs dénominateurs croissent indéfiniment. Géométriquement, cela signifie que les côtés des polygones des P s’allongent indéfinin ment (cf. figure 2). (4.4.2) Si problème posé l’on on par de Weierstrass précise les remarques précédentes, un développement en produit du type parvient à résoudre le dire n° correctifs~ ~ des facteurs avec discrète la valuation est lorsque (cf. [ZFA], 4 , théorème 1). Ve Cas S i le c orps value complet d’une valuation dense. possède K une valuati on dense, parvient on au résul- tat suivant : (5.1) quesoient les ment problème posé en (4.1.3) et le nombre M ) il faut et Pour que le P quelques indications sur la donner la suite = m , et le coefficient ment, une il suffit s olution (quels soit’ ~maxima,le» K ’ démonstration Pour montrer que K doit être maximalement hypothèses de (4a3~1y en supposant tous les se toujours com~plet (~ d2 ~.8~ , Donoons à ait un (y ~ n n>~ zéros BM (strictement). m est a. Il est facile de a1 E K n ~ 1 , Cela revient de la fonction cherchée S ’il existe pseudo-somme de la p une 7, théorème 2). plaçons dans les complet, nous nous degrés dn égaux à une f~ avec telle série série - 03A3 résultat concernant la continuité des zéros montre que y pour tout d’un tel des n° y-1 . n~ Pluss pr cis précisé- 3~ proposition 3) 1 montrer, en généralisant l’exemple (1.2.7) pour toutes les suites (y ) que l’existence considérées équivaut à la propreté d’être maximalement complet. (5.2) série f en Il est plus difficile (provisoirement supposant K maximalement complet. peut-être) de construire la (5.2.1) Rappelons (4.3) que nous connaissens le polygone de Newton de f . Ce polygone sera noté n . Nous noterons n(r , X) le polygone déduit de n par une translation de vecteur ~r ~ À) ; r est un entier ~ 0 , et (figure 5). Un cas. important est celui où À = - rM . Le polygone n est alors translaté suivant s’éloigne sa à l’infini direction asymptotique ; quand ~ r ~ il s’enfonce dans son . intérieur, et (5.2.2) mée des La f dont le E (5.2.3) On «voit r e A ~r pour tout A(r, X) partie sur polygone la , » rM) ; 1 (pour les de Newton est démontre ou on a n dépend le nombre suit la B(r) partie par un calcul mais de n de ~ simple, non de n° doivent vérifier for- que r. 6, défini- ’ normaliser) . polygone doit étre que leur (iii) R n désignant 6, définition (6.5)) est au-dessus de ~~ . n° A~ figurer (5.2.5) on définit comme tion (6.~) ) . Les fe B(r) (i) f ~0) ~ de le reste de la division de f par au-dessus de P n ~3.2,1) t n ). doit on avoir eu est le même nombre a Si l’on peut trouver qu’en (5.2.4). f un ~ û B(r) , on vérifie que f possède tous les r zéros des P n (5~2.5~ (iii) On construit une suite de fonctions (5*2~7) problème posé. La relation le et n’en montre que les gr possède g e pas d’autres A~ vérifiant, convergent vers un (5~2~ (i) pour (ii)). et r ~0 . élément f qui résout Toute la difficulté est concentrée dans la construction des gr’ ou dans le passage d’un un (vérifiant (5~7))~ Pour r = g~ ~ prendre go == Connaissant prime g~ 1 ~ un (s ~ 0) 1 n s . plutôt 0 , on peut B (r) , avec construit, f~ = g~ . La série La relation entre fg par un fs procédé canonique, est divisible par n’est pas très une P suite pour simple. Elle s’e&#x26;- par la formule qui signifie que le polygone de Newton gones translatés de n : le de premier, 03A0(r , - est au-dessus de deux rM), est translaté suivant la poJy- direction asymptotique, donc reste à l’intérieur de il; le seconde est translaté plus loin vers la droite, mais suivant une direction située ausi bien qu’il peut sortir de l’intédessous de la direction asymtotique de rieur de de la n . La construction de démonstration Une fois de choisir n° construite, un g_. à 6, lemme partir vérifiant maximalement complet. Sinon ce f à partir 4]. suite des de (5.2.6) est le moment essentiel de (5.2.8), f 0) , il est aisé pourvu que le corps K soit choix, toujours indéterminée peut être impossible. et 6-12