Algèbre de base

Algèbre de base
Pierron Théo
ENS Ker Lann

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Table des matières
I Anneaux et modules 1
0 Rappels 3
0.1 Relations d’équivalence et quotients ............... 3
0.2 Loi internes compatibles ..................... 5
0.3 Cas des groupes .......................... 5
1 Théorie générale des anneaux et modules 9
1.1 Anneaux .............................. 9
1.2 Quelques exemples d’anneaux .................. 11
1.2.1 Anneaux de polynômes .................. 11
1.2.2 Anneaux et matrices ................... 12
1.2.3 Produit d’anneaux, anneaux de fonctions ........ 12
1.2.4 Espaces Lpet Lpavec p>1.............. 13
1.3 Idéaux ............................... 13
1.4 Idéaux des anneaux commutatifs ................ 16
1.5 Modules .............................. 18
1.6 Algèbres .............................. 21
2 Modules libres de type fini 23
2.1 Modules libres ........................... 23
2.2 Modules libres de type fini .................... 24
2.3 Calcul matriciel sur Acommutatif ................ 25
3 Anneaux factoriels et principaux 29
3.1 Anneaux nœthériens ....................... 29
3.2 Divisibilité, anneaux factoriels .................. 29
3.3 Anneaux principaux et euclidiens ................ 32
4 Modules sur les anneaux principaux 35
4.1 Opérations élémentaires sur les matrices et forme de Smith . . 35
4.2 Modules de type fini sur un anneau principal .......... 37
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ii TABLE DES MATIÈRES
4.3 Application à la réduction des endomorphismes ........ 39
II Théorie de Galois 43
5 Extensions de corps 47
6 Clôture algébrique 53
7 Corps finis 55
7.1 Dérivation ............................. 55
7.2 Groupes cycliques ......................... 55
7.3 Racines de l’unité ......................... 56
7.4 Corps finis ............................. 57
8 Extensions normales et séparables 61
9 Correspondance de Galois 67
10 Applications 73
10.1 Généralités ............................ 73
10.2 Constructions à la règle et au compas .............. 75
10.2.1 Problèmes classiques ................... 76

Première partie
Anneaux et modules
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