Khôlles MPSI. Logique

mpsi
Khôlles MPSI. Logique - Ensembles. Sujet A
Correction
1Démontrer la propriété suivante :
Soit n∈, n2pair =⇒npair .
La contraposée de la proposition est : si nest impair, alors n2est impair
Démontrons cela.
Si nest impair, alors il s’écrit 2k+ 1 où kest un autre entier.
alors n2= (2k+ 1)2= 4k2+ 4k+ 1 = 2(2k2+ 2k)
|{z }
+1 et est donc impair.
Par le principe de contraposition, on a démontré la proposition de l’énoncé.
2Dire si les implications suivantes sont vraies ou fausses :
Indication : Si Pet Qsont des propositions,
la proposition (P=⇒Q) est vraie seulement dans l’un des cas suivants :
Pet Qsont vraies, ou bien Pest fausse.
Remarque : (P=⇒Q) est vraie si et seulement si (non P)ou Qest vraie
2 est impair =⇒3 est positif
Implication vraie car Pest fausse (2 est pair).
−1 est négatif =⇒3 est pair
Implication fausse car Pest vraie mais Qest fausse.
−2 est positif =⇒3 est négatif
Implication vraie car Pest fausse.
3 est impair =⇒3 est impair
Implication vraie car Pet Qsont vraies.
2 est impair =⇒2 est impair
Implication vraie car Pest fausse.
2 est pair =⇒3 est pair
Implication fausse car Pest vraie mais Qest fausse.
3Compléter les propositions suivantes pour qu’elles soient vraies :
∃x∈, x > 0
∀x∈, x26=−1
∃!x∈+;x2= 5
∃x∈;x2=−1
4Calculer la somme suivante :
n
X
k=1
ln k
Indication : ∀a > 0,∀b > 0 ln a+ ln b= ln(a.b)
n
X
k=1
ln k= ln n
Y
k=1
k!= ln (n!)
5Soient A,B,C trois ensembles. Montrer que A∩C=A∪B
si, et seulement si, B⊂A⊂C.
•Si A∩C=A∪B, alors :
B⊂A∪B=A∩C⊂Aet A⊂A∪B=A∩C⊂C
A∩C=A∪B=⇒B⊂A⊂C
•Si B⊂A⊂C, alors :
B⊂A⊂C=⇒A∩C=A=A∪B

mpsi
Khôlles MPSI. Logique - Ensembles. Sujet B
Correction
1Calculer la somme suivante :
n
X
k=1
ln k
k+ 1
Indication : ∀a > 0,∀b > 0 ln a+ ln b= ln(a.b)
n
X
k=1
ln k
k+ 1= ln n
Y
k=1
k
k+ 1!= ln 1
✁
2×✁
2
3×...×n n+ 1= ln 1 n+ 1
2Soient les quatre assertions suivantes :
(a) ∃x∈,∀y∈x+y > 0 ;
(b) ∀x∈,∃y∈x+y > 0 ;
(c) ∀x∈,∀y∈x+y > 0 ;
(d) ∃x∈,∀y∈y2> x.
1. Les assertions a,b,c,d sont-elles vraies ou fausses ?
2. Donner leur négation.
(a) est fausse car sa négation qui est ∀x∈,∃y∈x+y60 est vraie.
Étant donné x∈il existe toujours un y∈tel que x+y60, par exemple
on peut prendre y=−(x+ 1) et alors x+y=x−x−1 = −160.
(b) est vraie pour un xdonné, on peut prendre (par exemple) y=−x+1
et alors x+y= 1 >0.
La négation de (b) est ∃x∈,∀y∈x+y60.
(c) est fausse par exemple x=−1,y = 0.
La négation est ∃x∈,∃y∈x+y60
(d) est vraie on peut prendre (par exemple) x=−1.
La négation est ∀x∈,∃y∈y26x.
3Démontrer la propriété suivante :
Soit n∈, n2impair =⇒nimpair .
La contraposée de la proposition est : si nest pair, alors n2est pair
Démontrons cela.
Si nest pair, alors il s’écrit 2koù kest un autre entier.
alors n2= (2k)2= 4k2=2(2k2)
|{z}
et est donc pair.
Par le principe de contraposition, on a démontré la proposition de l’énoncé.
4Dire si les implications suivantes sont vraies ou fausses :
Indication : Si Pet Qsont des propositions,
la proposition (P=⇒Q) est vraie seulement dans l’un des cas suivants :
Pet Qsont vraies, ou bien Pest fausse.
Remarque : (P=⇒Q) est vraie si et seulement si (non P)ou Qest vraie
5 est impair =⇒3 est négatif
Implication fausse car Pest vraie mais Qest fausse.
−1 est négatif =⇒3 est impair
Implication vraie car Pet Qsont vraies.
−2 est positif =⇒3 est négatif
Implication vraie car Pest fausse.
3 est pair =⇒3 est impair
Implication vraie car Pest fausse.
2 est impair =⇒2 est impair
Implication vraie car Pest fausse.
4 est pair =⇒5 est pair
Implication fausse car Pest vraie mais Qest fausse.
5Que dire de deux ensembles Aet Btels que A∩B=A∪B?
On a toujours A∩B⊂A∪B
Si de plus A∪B⊂A∩Bon a alors :
A⊂A∪B⊂A∩B⊂Bet B⊂A∪B⊂A∩B⊂A
ce qui donne A=B

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Khôlles MPSI. Logique - Ensembles. Sujet C
Correction
1Compléter les propositions suivantes pour qu’elles soient vraies :
∃x∈, x > 0
∀x∈, x26=−2
∃!x∈+;x2= 4
∃x∈;x2=−1
2Soient les quatre assertions suivantes :
(a) ∃x∈,∀y∈x+y > 0 ;
(b) ∀x∈,∃y∈x+y > 0 ;
(c) ∀x∈,∀y∈x+y > 0 ;
(d) ∃x∈,∀y∈y2> x.
1. Les assertions a,b,c,d sont-elles vraies ou fausses ?
2. Donner leur négation.
(a) est fausse car sa négation qui est ∀x∈,∃y∈x+y60 est vraie.
Étant donné x∈il existe toujours un y∈tel que x+y60, par exemple
on peut prendre y=−(x+ 1) et alors x+y=x−x−1 = −160.
(b) est vraie pour un xdonné, on peut prendre (par exemple) y=−x+1
et alors x+y= 1 >0.
La négation de (b) est ∃x∈,∀y∈x+y60.
(c) est fausse par exemple x=−1,y = 0.
La négation est ∃x∈,∃y∈x+y60
(d) est vraie on peut prendre (par exemple) x=−1.
La négation est ∀x∈,∃y∈y26x.
3⋆Soit a∈. Démontrer les deux implications suivantes.
①∀ǫ > 0,|a|< ǫ =⇒a= 0
Cette assertion est équivalente à
a6= 0 =⇒ ∃ǫ > 0,|a|>ǫ
Cette implication est vraie ; en effet il suffit de prendre ǫ=|a|
②∀ǫ > 0,|a|6ǫ=⇒a= 0
Cette assertion est équivalente à
a6= 0 =⇒ ∃ǫ > 0,|a|> ǫ
Cette implication est vraie ; en effet il suffit de prendre ǫ=|a|
2
4Soit A,B deux ensembles, montrer :
∁(A∪B) = ∁A∩∁Bet ∁(A∩B) = ∁A∪∁B
•x∈∁(A∪B)⇐⇒ x /∈A∪B
⇐⇒ x /∈Aet x /∈B
⇐⇒ x∈∁Aet x∈∁B
⇐⇒ x∈∁A∩∁B
∁(A∪B) = ∁A∩∁B
•x∈∁(A∩B)⇐⇒ x /∈A∩B
⇐⇒ x /∈Aou x /∈B
⇐⇒ x∈∁Aou x∈∁B
⇐⇒ x∈∁A∪∁B
∁(A∩B) = ∁A∪∁B
5Calculer la somme suivante :
n
X
k=1
ln k
k+ 1
Indication : ∀a > 0,∀b > 0 ln a+ ln b= ln(a.b)
n
X
k=1
ln k
k+ 1= ln n
Y
k=1
k
k+ 1!= ln 1
✁
2×✁
2
3×...×n n+ 1= ln 1 n+ 1

mpsi
Khôlles MPSI. Logique - Ensembles. Bonus
Correction
1Calculer le produit suivant :
n
Y
k=1
(exp k)
Indication : ∀a∈,∀b∈exp a×exp b= exp(a+b)
n
Y
k=1
(exp k) = exp n
X
k=1
k!= exp n(n+ 1)
2
2Montrer que les assertions P=⇒Qet ¬P∨Qsont équivalentes.
Indication : On montre qu’elles ont même table de vérité.
P Q ¬P¬P∨Q P =⇒Q
V V F V V
V F F F F
F V V V V
F F V V V
3Montrer que les assertions A∨(B∧C), et (A∨B)∧(A∨C)sont équivalentes.
Indication : On montre qu’elles ont même table de vérité.
Soient A,Bet Ctrois parties d’un ensemble E, démontrer la distributivité de la
réunion sur l’intersection c’est démontrer :
∀x∈E, (x∈A∨(B∧C)) ⇐⇒ (x∈(A∨B)∧(A∨C))
On considère un xquelconque dans E, on peut alors montrer l’équivalence avec
une table de vérité.
x∈A x ∈B x ∈C x ∈A∨(B∧C)x∈(A∨B)∧(A∨C)
V V V V V
V V F V V
V F V V V
V F F V V
F V V V V
F V F F F
F F V F F
F F F F F