Khôlles MPSI. Logique

3
Khôlles MPSI. Logique - Ensembles. Sujet A
mpsi
Correction
1
R,
∀ x ∈ R,
∃! x ∈ R+ ;
∃ x ∈ C;
∃x∈
Démontrer la propriété suivante :
Soit n ∈
N,
x>0
x2 6= −1
x2 = 5
x2 = −1
n2 pair =⇒ n pair .
La contraposée de la proposition est :
si n est impair, alors n2 est impair
Démontrons cela.
Si n est impair, alors il s’écrit 2k + 1 où k est un autre entier.
alors n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2 (2k2 + 2k) +1 et est donc impair.
|
{z
}
Par le principe de contraposition, on a démontré la proposition de l’énoncé.
2
Dire si les implications suivantes sont vraies ou fausses :
Indication : Si P et Q sont des propositions,
la proposition (P =⇒ Q) est vraie seulement dans l’un des cas suivants :
P et Q sont vraies,
4
Calculer la somme suivante :
n
X
ln k
k=1
Indication : ∀a > 0,∀b > 0
n
X
k=1
ln k = ln
n
Y
k=1
k
!
ln a + ln b = ln(a.b)
= ln (n!)
ou bien P est fausse.
Remarque : (P =⇒ Q) est vraie si et seulement si (non P ) ou Q est vraie
2 est impair =⇒ 3 est positif
Implication vraie car P est fausse (2 est pair).
−1 est négatif =⇒ 3 est pair
Implication fausse car P est vraie mais Q est fausse.
−2 est positif =⇒ 3 est négatif
Implication vraie car P est fausse.
3 est impair =⇒ 3 est impair
Implication vraie car P et Q sont vraies.
2 est impair =⇒ 2 est impair
Implication vraie car P est fausse.
2 est pair
Implication
Compléter les propositions suivantes pour qu’elles soient vraies :
=⇒ 3 est pair
fausse car P est vraie mais Q est fausse.
5
Soient A,B,C trois ensembles. Montrer que A ∩ C = A ∪ B
si, et seulement si, B ⊂ A ⊂ C.
• Si A ∩ C = A ∪ B, alors :
B ⊂ A ∪ B = A ∩ C ⊂ A et A ⊂ A ∪ B = A ∩ C ⊂ C
A ∩ C = A ∪ B =⇒ B ⊂ A ⊂ C
• Si B ⊂ A ⊂ C, alors :
B ⊂ A ⊂ C =⇒ A ∩ C = A = A ∪ B
3
Khôlles MPSI. Logique - Ensembles. Sujet B
Soit n ∈
mpsi
Correction
n
X
ln
k=1
k
k+1
N,
n2 impair =⇒ n impair .
La contraposée de la proposition est :
si n est pair, alors n2 est pair
Démontrons cela.
Si n est pair, alors il s’écrit 2k où k est un autre entier.
alors n2 = (2k)2 = 4k2 = 2 (2k2 ) et est donc pair.
| {z }
Calculer la somme suivante :
1
Démontrer la propriété suivante :
Par le principe de contraposition, on a démontré la proposition de l’énoncé.
Indication : ∀a > 0,∀b > 0
4
Dire si les implications suivantes sont vraies ou fausses :
Indication : Si P et Q sont des propositions,
la proposition (P =⇒ Q) est vraie seulement dans l’un des cas suivants :
ln a + ln b = ln(a.b)
P et Q sont vraies,
n
X
ln
k=1
k
k+1
= ln
n
Y
k
k+1
k=1
!
= ln
n
1 2✁
× × ... ×
2✁ 3
n+1
= ln
1
n+1
R, ∀y ∈ R
∀x ∈ R, ∃y ∈ R
R, ∀y ∈ R
∃x ∈ R, ∀y ∈ R
Remarque : (P =⇒ Q) est vraie si et seulement si (non P ) ou Q est vraie
5 est impair =⇒ 3 est négatif
Implication fausse car P est vraie mais Q est fausse.
−1 est négatif =⇒ 3 est impair
Implication vraie car P et Q sont vraies.
Soient les quatre assertions suivantes :
2
ou bien P est fausse.
(a) ∃x ∈
x + y > 0;
(c) ∀x ∈
x+ y > 0;
(b)
x + y > 0;
(d)
y 2 > x.
1. Les assertions a,b,c,d sont-elles vraies ou fausses ?
2. Donner leur négation.
R, ∃y ∈ R x + y 6 0 est vraie.
Étant donné x ∈ R il existe toujours un y ∈ R tel que x+y 6 0, par exemple
(a) est fausse car sa négation qui est ∀x ∈
−2 est positif =⇒ 3 est négatif
Implication vraie car P est fausse.
3 est pair
Implication
=⇒ 3 est impair
vraie car P est fausse.
2 est impair =⇒ 2 est impair
Implication vraie car P est fausse.
on peut prendre y = −(x + 1) et alors x + y = x − x − 1 = −1 6 0.
4 est pair =⇒ 5 est pair
(b) est vraie pour un x donné, on peut prendre (par exemple) y = −x + 1 Implication fausse car P est vraie mais Q est fausse.
et alors x + y = 1 > 0.
5
Que dire de deux ensembles A et B tels que A ∩ B = A ∪ B ?
La négation de (b) est ∃x ∈ , ∀y ∈
x + y 6 0.
On a toujours A ∩ B ⊂ A ∪ B
(c) est fausse par exemple x = −1,y = 0.
Si de plus A ∪ B ⊂ A ∩ B on a alors :
La négation est ∃x ∈ , ∃y ∈
x+y 60
R
R
R
R
(d) est vraie on peut prendre (par exemple) x = −1.
La négation est ∀x ∈
R, ∃y ∈ R
y2
6 x.
A ⊂ A ∪ B ⊂ A ∩ B ⊂ B et B ⊂ A ∪ B ⊂ A ∩ B ⊂ A
ce qui donne
A=B
3
Khôlles MPSI. Logique - Ensembles. Sujet C
mpsi
Correction
R
⋆
Soit a ∈ . Démontrer les deux implications suivantes.
① ∀ǫ > 0, |a| < ǫ =⇒ a = 0
Cette assertion est équivalente à
a 6= 0 =⇒ ∃ǫ > 0, |a| > ǫ
Cette implication est vraie ; en effet il suffit de prendre ǫ = |a|
② ∀ǫ > 0, |a| 6 ǫ =⇒ a = 0
Cette assertion est équivalente à
Compléter les propositions suivantes pour qu’elles soient vraies :
1
Z
∀ x ∈ R,
∃! x ∈ R+ ;
∃ x ∈ C;
a 6= 0 =⇒ ∃ǫ > 0, |a| > ǫ
∃x∈ , x>0
x2 6= −2
Cette implication est vraie ; en effet il suffit de prendre ǫ =
x2 = 4
x2 = −1
4
Soit A,B deux ensembles, montrer :
∁ (A ∪ B) = ∁A ∩ ∁B
Soient les quatre assertions suivantes :
2
R, ∀y ∈ R
∀x ∈ R, ∃y ∈ R
R, ∀y ∈ R
∃x ∈ R, ∀y ∈ R
(a) ∃x ∈
x + y > 0;
(c) ∀x ∈
x+ y > 0;
(b)
x + y > 0;
(d)
y 2 > x.
2. Donner leur négation.
R, ∃y ∈ R x + y 6 0 est vraie.
Étant donné x ∈ R il existe toujours un y ∈ R tel que x+y 6 0, par exemple
on peut prendre y = −(x + 1) et alors x + y = x − x − 1 = −1 6 0.
R
(c) est fausse par exemple x = −1,y = 0.
La négation est ∃x ∈
R, ∃y ∈ R
x+y 60
∁ (A ∩ B) = ∁A ∪ ∁B
• x ∈ ∁ (A ∩ B) ⇐⇒ x ∈
/ A∩B
⇐⇒ x ∈
/ A ou x ∈
/B
⇐⇒ x ∈ ∁A ou x ∈ ∁B
⇐⇒ x ∈ ∁A ∪ ∁B
∁ (A ∩ B) = ∁A ∪ ∁B
(a) est fausse car sa négation qui est ∀x ∈
R
et
• x ∈ ∁ (A ∪ B) ⇐⇒ x ∈
/ A∪B
⇐⇒ x ∈
/ A et x ∈
/B
⇐⇒ x ∈ ∁A et x ∈ ∁B
⇐⇒ x ∈ ∁A ∩ ∁B
∁ (A ∪ B) = ∁A ∩ ∁B
1. Les assertions a,b,c,d sont-elles vraies ou fausses ?
(b) est vraie pour un x donné, on peut prendre (par exemple) y = −x + 1
et alors x + y = 1 > 0.
La négation de (b) est ∃x ∈ , ∀y ∈
x + y 6 0.
|a|
2
5
Calculer la somme suivante :
n
X
n
X
k
ln
k+1
k=1
Indication : ∀a > 0,∀b > 0
ln a + ln b = ln(a.b)
(d) est vraie on peut prendre (par exemple) x = −1.
La négation est ∀x ∈
R, ∃y ∈ R
y 2 6 x.
k
ln
k+1
k=1
n
Y
k
= ln
k+1
k=1
!
n
1 2✁
× × ... ×
= ln
2✁ 3
n+1
1
= ln
n+1
Khôlles MPSI. Logique - Ensembles. Bonus
mpsi
Correction
1
Calculer le produit suivant :
n
Y
(exp k)
k=1
Indication : ∀a ∈
n
Y
R,∀b ∈ R
(exp k) = exp
k=1
n
X
k=1
exp a × exp b = exp(a + b)
k
!
n(n + 1)
= exp
2
2
Montrer que les assertions P =⇒ Q et ¬P ∨ Q sont équivalentes.
Indication : On montre qu’elles ont même table de vérité.
P
Q
¬P
¬P ∨ Q
P =⇒ Q
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
3
Montrer que les assertions A∨(B∧C) , et (A∨B)∧(A∨C) sont équivalentes.
Indication : On montre qu’elles ont même table de vérité.
Soient A, B et C trois parties d’un ensemble E, démontrer la distributivité de la
réunion sur l’intersection c’est démontrer :
∀x ∈ E, (x ∈ A ∨ (B ∧ C)) ⇐⇒ (x ∈ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C))
On considère un x quelconque dans E, on peut alors montrer l’équivalence avec
une table de vérité.
x∈A
x∈B
x∈C
x ∈ A ∨ (B ∧ C)
x ∈ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
F