Corrigés d`exercices de la fiche TD d`IPE no 2

Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
IPE Math 306 Année 2006–2007
Fiche no2
Ex 1. Secrétariat
Une secrétaire un peu distraite a tapé Nlettres et préparé Nenveloppes portant les
adresses des destinataires, mais elle répartit au hasard les lettres dans les enveloppes.
Pour 1≤j≤N, on note Ajl’événement la j-ème lettre se trouve dans la bonne
enveloppe.
1) Définir un espace de probabilité (ΩN,P(ΩN), PN)associé à cette expérience aléa-
toire.
2) Calculer PN(Aj).
3) On fixe kentiers i1< i2<· · · < ikentre 1et N. Dénombrer toutes les permu-
tations σsur {1, . . . , N}telles que σ(i1) = i1,σ(i2) = i2, . . . , σ(ik) = ik. En déduire
PN(Ai1∩Ai2∩ · · · ∩ Aik).
4) On note Bl’événement au moins une des lettres est dans la bonne enveloppe.
Exprimer Bà l’aide des Aj.
5) Utiliser la formule de Poincaré pour calculer PN(B)et sa limite quand Ntend
vers l’infini.
Correction . Cet exercice nécessitait l’utilisation de la formule de Poincaré permettant
d’exprimer la probabilité d’une réunion de névènements à l’aide de probabilités d’inter-
sections. Selon cette formule, pour tout n≥2et toute famille A1, . . . , And’événements :
Pn
∪
i=1 Ai=
n
X
i=1
P(Ai)−X
1≤i1<i2≤n
P(Ai1∩Ai2) + · · ·
· · · + (−1)k+1 X
1≤i1<i2<...<ik≤n
P(Ai1∩ · · · ∩ Aik) + · · ·
· · · + (−1)n+1P(A1∩ · · · ∩ An).
1) On choisit comme ensemble ΩNdes événements élémentaires, l’ensemble des
permutations de {1, . . . , N}correspondant à la permutation des lettres : si σ∈ΩN,
alors σ(i) = jreprésente par exemple l’événement : « la lettre numérotée jest placée
dans l’enveloppe numérotée i» .
L’espace étant fini, on prend l’ensemble P(ΩN)des parties de ΩNcomme tribu des
événements observables.
Enfin, on munit (ΩN,P(ΩN)) de l’équiprobabilité : pour tout σ∈ΩN,P({σ}) =
1/N!(puisque Card(ΩN) = N!).

U.S.T. Lille I http://math.univ-lille1.fr/~ipeis U.F.R. Maths.
2) L’événement Ajpeut s’écrire :
Aj={σ∈ΩN, σ(j) = j}.
Donc, sa probabilité est donnée par :
PN(Aj) = (N−1)!
N!=1 N.
3) On fixe kentiers i1< i2<· · · < ik. L’événement Ai1∩· · ·∩Aikest l’ensemble des
permutations qui laissent fixes les kéléments i1,i2,. . ., ik. Il y en a exactement autant
que de permutations de l’ensemble {1, . . . , N} \ {i1, . . . , ik}soit (N−k)!. Bien sûr on a
compté dans ces permutations toutes celles qui laissent fixes d’autres éléments en plus
de i1, . . . , ik. La probabilité que chacune des klettres i1, . . . , ikse trouve dans la bonne
enveloppe est donc
PN(Ai1∩ · · · ∩ Aik) = (N−k)!
N!.
Notons que ce calcul reste valable dans le cas k= 1 et on retrouve dans ce cas que pour
tout j,PN(Aj) = 1/N.
4) L’événement Bs’écrit B=n ∪
j=1 Aj.
5) En appliquant la formule de Poincaré à l’union n ∪
j=1 Aj, on peut écrire
PNN
∪
i=1 Aj=
N
X
j=1
PN(Aj) +
N
X
k=2
(−1)j+1 X
1≤i1<i2<···<ik≤N
PN(Ai1∩ · · · ∩ Aik)
=
N
X
j=1
(−1)j+1
j!.
La dernière égalité provenant du fait qu’il y a Ck
Nfaçons de fixer ainsi klettres i1<
. . . < ikse trouvant dans la bonne enveloppe (autant que de parties à kéléments dans
{1, . . . , N}, car une fois choisie une telle partie, il n’y a qu’une seule façon de la ranger
dans l’ordre croissant) et donc
X
1≤i1<i2<···<ik≤N
PN(Ai1∩ · · · ∩ Aij) = Ck
N×(N−k)!
N!=1 k!.
On rappelle que la fonction x7→ exest développable en série entière avec rayon de
convergence infini et que l’on a pour tout x∈R:
ex=
+∞
X
j=0
xj
j!.(1)
En particulier,
PN(B) = 1 −
N
X
j=0
(−1)j
j!
page 2/7

Licence http://math.univ-lille1.fr/~ipeis I.P.É. 2006–07
converge vers 1−e−1quand Ntend vers l’infini.
Ex 2. On permute au hasard les chiffres 1, 2, 3, 4. On considère les événements :
A: « 1 est avant 2 »,
B: « 3 est avant 4 ».
1) Calculer P(A).
2) Les événements Aet Bsont-ils indépendants ?
3) On permute maintenant au hasard les entiers de 1à10, et les événements Aet
Bsont toujours définis comme ci-dessus. Même question.
Correction .
1) P(A) = P(B) = 1
2.
2) Aet Bsont indépendants.
3) Les résultats ne sont pas modifiés.
Ex 3. Une inégalité injustement méconnue
Sur l’espace probabilisé (Ω,F, P ), on note Aun évènement quelconque et Bun
évènement tel que 0< P (B)<1.
1) Montrez que
|P(A∩B)−P(A)P(B)| ≤ 1
4
P(A|B)−P(A|Bc) .(2)
Indication : commencez par exprimer P(A|B)−P(A|Bc)en fonction des seules
probabilités P(A∩B),P(A),P(B).
2) Que donne l’inégalité (2) lorsque A⊂B?
3) Dans quels cas (2) est-elle une égalité ?
Ex 4. Jeu de dés
1) Deux personnes Emilie et Denis jouent au jeu de dés suivant : Emilie, qui com-
mence la partie, lance son dé. Elle gagne la partie si son adversaire obtient, en lançant
à son tour le dé, un nombre plus petit ou égal au sien. Déterminer la probabilité pque
Emilie gagne cette partie.
2) Emilie et Denis font plusieurs parties de ce type de la manière suivante. C’est
Emilie qui commence la première partie. Si elle gagne, elle commence la deuxième partie
sinon c’est Denis. Et ainsi de suite : le joueur qui gagne une partie donnée commence
la partie suivante. Pour n∈N∗, on désigne par Enl’événement “Emilie gagne la n-ème
partie” et on note un=P(En).
3) Donner la valeur de u1.
4) Montrer que la suite (un)n∈N∗vérifie la relation de récurrence :
un= (2p−1)un−1+ 1 −p(n≥2),
pétant la valeur trouvé en 1).
page 3/7

U.S.T. Lille I http://math.univ-lille1.fr/~ipeis U.F.R. Maths.
5) Pour résoudre cette relation de récurrence, on cherche une constante atelle que
la nouvelle suite vn=un−adéfinisse une suite géométrique. Quelle valeur de aconvient ?
Exprimer alors vn, pour n∈N∗, en fonction de p, de net de v1.
6) En déduire la valeur de un, pour n∈N∗, en fonction de pet de n. Comment se
comporte unquand ntends vers +∞? Commenter.
Correction .
1) Pendant une partie, si x1désigne le résultat du lancer d’Emilie et x2le résultat du
lancer de Denis, le couple (x1, x2)décrit le résultat d’une partie. On pose Ω = {1,...,6}2
l’ensemble des résultats possibles et on munit (Ω,P(Ω)) de la probabilité uniforme P1:
pour tout ω∈Ω,P(ω) = 1
36 . Soit Al’événement « Emilie gagne la partie » . Alors
A={(x1, x2)∈ {1,...,6}2,tel que x1≥x2}. Donc, p=P1(A) = P6
i=1 Pi j=1
1
36 =
P6
i=1
i
36 =21 36 . La probabilité que Emilie gagne la partie est donc p=7 12 .
2) u1=p.
3) Pour n∈N∗, décomposons Enen utilisant l’événement En−1.
un=P(En∩En−1) + P(En∩Ec
n−1)
=Pn(En|En−1)P(En−1) + P(En|Ec
n−1)P(Ec n−1)
=pun−1+ (1 −p)(1 −un−1)
Donc, pour n∈N∗,un= (2p−1)un−1+1−p. La suite définie par vn=un−1/2vérifie vn=
(2p−1)vn−1pour n∈N∗. Donc, vn= (2p−1)n−1v1et un= (u1−1/2)(2p−1)n−1+ 1/2
avec u1=p. Par conséquent, un= 1/2((2p−1)n+ 1). Pour tout n∈N∗,unest un
nombre plus grand que 1/2et qui décroit vers 1/2lorsque ntend vers +∞. Donc, celui
qui commence la première partie a toujours plus de chance de gagner les différentes
parties qui suivent que l’autre joueur, mais cet avantage diminue lorsque ncroit.
Ex 5. Déchargement de bateaux Deux bateaux A et B arrivent dans un port
la même journée. Un évènement élémentaire est un couple (ω1, ω2)où ω1représente
l’heure d’arrivée du bateau A et ω2l’heure d’arrivée du bateau B. On modélise ceci par
Ω = [0,24]2muni de la tribu borélienne Bor([0,24]2)(c’est-à-dire la tribu engendrée
par les ensembles ouverts de [0,24]2). On admettra que tout domaine de [0,24]2dont
la frontière est un polygone convexe est un élément de Bor([0,24]2). On définit alors la
probabilité uniforme Psur [0,24]2par
P(B) = λ2(B)
λ2([0,24]2),∀B∈Bor([0,24]2),
où λ2est la restriction de la mesure de Lebesgue de R2àBor([0,24]2)(on rappelle que
λ2généralise la notion d’aire).
Le bateau A met quatre heures à décharger tandis que le bateau B met deux heures
à décharger. Si un bateau arrive alors que l’autre est en cours de déchargement, il doit
attendre que cette opération soit finie pour que son déchargement commence.
On considère les quatres évènements suivants :
page 4/7

Licence http://math.univ-lille1.fr/~ipeis I.P.É. 2006–07
–E1=“A arrive avant B et B n’attend pas pour être déchargé”,
–E2=“B arrive avant A et A n’attend pas pour être déchargé”,
–F1=“A arrive avant B et B attend pour être déchargé”,
–F2=“B arrive avant A et A attend pour être déchargé”.
1) Calculer la probabilité des évènements E1,E2,F1et F2.
2) Calculer la probabilité que A soit arrivé avant B sachant qu’aucun bateau n’a
attendu pour être déchargé.
Correction .
1) Calculer la probabilité des évènements E1,E2,F1et F2.
Les événements E1,E2,F1et F2sont représentés de la manière suivante (cf figure 1) :
–E1={(ω1, ω2)∈[0,24]2;ω2> ω1+ 4},
–E2={(ω1, ω2)∈[0,24]2;ω1> ω2+ 2},
–F1={(ω1, ω2)∈[0,24]2;ω1< ω2< ω1+ 4},
–F2={(ω1, ω2)∈[0,24]2;ω2< ω1< ω2+ 2}.
ω1
ω2
1 242
1
4
24
E1
E2
F1
F2
Fig. 1 – Les évènements E1,E2,F1et F2
L’aire du triangle E1est 202
2et donc
P(E1) = 202
2.242=25 72 '0,347.
page 5/7