Structure des points rationnels des groupes réductifs

G(k)G
k
k
k k
l/k
X= Spec(A)k
k l
Xl= Spec(Akl)
X= Spec(A)l l A
k A k AkA=
Akkl Xk= Spec(Ak)k X X
k
Z X
J=J(Z)A Jk=JAkZ
k J =JkA Z k J =JkA
V l k Z
k V
Z k
k[Z]kl
k(Z)kl
k k
k
l/k Γ =
Gal(l/k)
R k
Γl R kl
γ·(fλ) = fγ(λ)γΓfRλl
γR:RklRkl γ
Γl
B k BΓB
Γk B
V k k
A R k R =k
VΓV(R)
γ·g=γRgγ1
A
l A kl
X k Y
X Y k Y l
YΓ
G
k
GRu(Gk)
Ru(G)
Gk
k
GRu(G)
Ru(G)
k
p k kp
kΓ = Gal(k/kp) Γ
Ru(G)k kp
Ru(G)k k
k p > 0J=J(Ru(G)kp)
k[G]kkpJ
fλ λ
kpnkpnNRu(G)
kpNNN
Gm
T X(T) = Homgralg(T, Gm)
X(T) = Homgralg (Gm, T )
X(T)X(T)Z
T k
k X(G)kk[G]k
k T
k X(G)k
k=R Gm,RRSO(2)R
R R
Gm,C
k
k
T G G
T
gGAd : Sgl(g)
g
g=M
αX(T)
gαgα={Xg,tTAd(t)(X) = α(t)X}
G T α
X(T)\{0}gαΦ(G, T )
T G k H
G T
H k
H k
(HT)kΦ(H, T ) Γ
G
P G
G/P P
G
B G/B
Φ(G, T )
T G
k
k
G k
G(k)
G(k)G
V k k(V)
k
V k k
V k V (k)V
k G k
k k
k
G
k
G
k
G(k)G
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