Mon fabuleux livre - Université Nice Sophia Antipolis

UNIVERSITÉ NICE SOPHIA-ANTIPOLIS - UFR Sciences
École Doctorale de Sciences Fondamentales et Appliquées
THÈSE
pour obtenir le titre de
Docteur en Sciences
Universite de Nice-Sophia Antipolis
Spécialité :
Mathématiques
Présentée et soutenue par
SAMER ALLOUCH
Classification des Catégories finies
Thèse dirigée par
CARLOS SIMPSON
soutenue le (22/03/2011)
Jury :
Tom LEINSTER
Fellow et Reader, University of Glasgow
Rapporteur
Ludmil KATZARKOV
Professeur, Université de Vienne
Rapporteur
Carlos SIMPSON
DR1 CNRS, Université de Nice
Directeur
André HIRSCHOWITZ
Professeur, Université de Nice
Examinateur
Clemens BERGER
HDR, Université de Nice
Examinateur
Abdelkrim ALIOUCHE
HDR, Université de Larbi Ben M'Hidi
Examinateur
Table des matières
1 Introduction
2
2 Rappels sur les catégories nies et les matrices positives
10
2.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2
Dénition d'une catégorie nie et sa matrice
11
2.3
Matrices carrées positives et leurs sous-Matrices
2.4
Propriétés algébriques des catégories nies
2.5
Techniques de construction des catégories nies
2.6
Une variété ane des modules sur une catégorie nie
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
15
. . . . . . . . . . .
16
. . . . . . . .
. . . . .
3 catégorie associée à matrice carrée positive
18
21
22
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2
Dénition des catégories associées à M et
. . . . . . .
23
3.3
Quelques propriétés sur Cat(M) . . . . . . . . . . . . . . . . .
a,b
Etude de Cat(M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.4
3.5
Caractéristique d'Euler de catégorie
. . . . . . . . . . . . . .
29
Cat(M)
4.2
28
3.5.1
Inversion de Möbuis
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.5.2
Caractéristique d'Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.5.3
Série de caractéristique d'Euler
34
. . . . . . . . . . . . .
4 Partitions de Matrice
4.1
22
37
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Constriction d'une relation d'équivalence sur l'ensemble d'objets d'une catégorie nie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.3
Les catégories avec une nouvelle notation . . . . . . . . . . . .
40
4.4
Blocs des matrices
42
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 réduite des catégories et des matrices
5.1
Dénition d'une catégorie réduite et d'une matrice réduite
5.2
Théorème de matrice réduite
5.3
44
. .
44
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Réduction et classication des matrices . . . . . . . . . . . . .
48
1
TABLE DES MATIÈRES
6 Classication des matrices strictement positives
50
6.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Classication des Matrices carrées doubles strictement posi-
6.3
50
tives
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
6.2.1
Classication
des
Matrices
strictement
positives
0
d ordre 2 à un seul coecient diagonale unité . . . . .
51
6.2.2
Classication générale des Matrices strictement posi0
tives d ordre 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Classication des matrices triples strictement positives
. . . .
6.3.1
Classication des matrices triples à un seul coecient
6.3.2
Classication des matrices carrées générales stricte-
diagonale unité
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ment positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Classication des matrices positives
59
59
73
79
4
7.1
Classication d'une matrice d'ordre
à un seul bloc zéro
. . .
79
7.2
Dénition d'une matrice acceptable . . . . . . . . . . . . . . .
86
7.3
Classication d'une matrice réduite d'ordre
n
. . . . . . . . .
8 Classication de Monoïde
88
103
8.1
Dénition d'un Monoïde
8.2
Classication d'un Monoïde (2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
. . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.3
Classication d'un Monoïde (3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9 Classication des matrices 2 d'ordre n
n
109
9.1
Dénition d'une Matrice 2 d'ordre
9.2
Classication des catégories d'une matrice
9.3
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3
. . . . 124
n
Les bornes de Card(M2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
9.4
2
. . . . . . . . . . . . . . 109
2
d'ordre
2
. . . . 114
Remerciements...
Je tiens à exprimer ma gratitude, ma reconnaissance et mes profonds
remerciements àmon directeur de thése Carlos SIMPSON. Je le remercie
chaleureusement pour sa conance, ses conseils précieux et pour le temps
qu'il m'a accordé malgré son emploi de temps surchargé avec la direction de
l'équipe.
Carlos,
j'ai
apprécié
chez
vous
la
qualité
d'un
grand
chercheur
plein
d'optimisme, le sens de la rigueur et les qualités humaines ; bonne humeur
agrémentée de larges sourires, sympathie couronnée d'une énorme modestie,
et soutien.
Je voudrais bien remercier le Jury , Messieurs les Professeurs : Tom LEINSTER, Ludmil KATZARKOV, André HIRSCHOWITZ, Clemens BERGER,
Abdelkrim ALIOUCHE pour leur acceptation de vouloir être membre de ce
Jury.
Accompagnée
de
chaque
réussite,
il
y
a
une
femme
que,
je
voudrais
remercier à fond mon amour et ma femme Nouha pour tout eort et tout
encouragement qu'elles m'ont donné, en espérant pour ma petite famille, en
ajoutant mon petit Zayd au panier, le bonheur et la croyance.
Je n'oublie jamais le grand rôle de mes parents, mes frères, mes soeurs
et mes amis pour faire le point de terminer ce travail qui n'a pas un point nal.
Je voudrais écrire un dernier mot aux gens qui meurent en défendant
la dignité du peuple arabe contre la dictature, le tort, l'ignorance, la
Les Martyres des Révolutions Arabes...
pauvreté, la maladie, la folie....
1
Chapitre 1
Introduction
Milliers d'études depuis l'antiquité se basent fondamentalement sur "les
mathématiques" qui ont été développées avant l'apparition de l'écriture.
La géométrie algébrique est un domaine des mathématiques qui attire
les mathématiciens et ceci, plutôt depuis plus d'un siècle. Particulièrement,
la théorie des catégories est une branche des mathématiques qui a été introduite dans les années 1940 par les mathématiciens Samuel Eilenberg et
Saunders Mac Lane, puis développée et appliquée à la géométrie algébrique
par Alexandre Grothendieck, et à la géométrie diérentielle par Charles
Ehresmann, durant les années 1960. Elle permet de généraliser le concept
de structures algébriques et d'applications conservant cette structure, qu'il
s'agisse d'espaces vectoriels et d'applications linéaires ou de groupes et de
leurs homomorphismes. Cette théorie abstraite, fruit du travail de nombreux
mathématiciens, est devenue un outil indispensable dans les mathématiques
théoriques modernes, notamment en algébre, en géométrie algébrique, en topologie algébrique, et méme en informatique et en physique théorique. Mais
les categories qui rentrent habituellement en jeu dans les sujets tels que la
géometrie algébrique, sont innies.
D'autre part, pour certaines structures comme les groupes, l'étude des
objets nis a donné lieu à un grand nombre des travaux. Cette derniére
est observée dans la classication des groupes nis simples principalement
publiée entre 1955 et 1983, qui a pour but de classer tous les groupes simples
nis. En tout, le travail comprend des dizaines de milliers de pages dans 500
articles par beaucoup d'auteurs comme Walter Feit, John Thompson, Michael Aschbacher, Daniel Gorenstein, Richard Lyons et Ronald Solomon. En
revanche, pour les categories nies, jusqu'à présent peu de mathematiciens
les ont étudiés, cependant recemment Tom Leinster a commencé l'étude
de leur caractéristique d'Euler, et les travaux de Leinster ont donné lieu a
d'autres voir [13] [4] [7] [8].
2
L'objectif du présent travail est d'étudier les correspondances entre
n
les catégories nies d'ordre
et les matrices carrées de taille
n.
Cette
correspondance gure dans plusieurs papiers comme celles de Leinster et
Berger [13] [4] , le papier de Kapranov [12] et les papiers de Fiore, Lück et
Sauer [7][8]. La question abordée ici est de savoir, pour une matrice donnée
M,
A
s'il existe une catégorie
Une catégorie nie
A
associé à
M
ou non.
veut dire que les ensembles
Ob(A)
et
Hom(A)
sont nis, en plus la catégorie est dite ordonnée s'il y a une relation d'ordre
Ob(A)
ordonnée sur
dénie par :
xi < xj ⇔ i < j .
A d'ordre n dont les objets sont {x1 , ..., xn }
M = mij d'ordre n si mij = |A(xi , xj )|∀ i et
notée MA .
Une catégorie nie ordonnée
est associée à la matrice carrée
j,
cette matrice associée est
Nos études concernent la question de connaître l'état de l'ensemble
Cat(M ),
Cat(M )
M.
si elle est vide ou non, où
nies qui sont associées la matrice
est l'ensemble des catégories
Donc nous avons donné toutes les dénitions des : catégories nies, nies
ordonnées, matrice
M = MA
associée à
A,
et
Cat(M ).
La matrice
MA
a
plusieurs propriétés, on les démontrera dans le chapitre (2). Parmi ces propriétés :
A, B sont
MA = MB .
1. Si
2. Si
B
est une sous-catégorie pleine de
régulière de
3.
deux catégories nies ordonnées telles que
A,
alors
MB
A∼
= B,
alors
est une sous-matrice
MA
t
MAop = MA .
Ensuite, dans ce chapitre, on observe l'eet des catégories nies dans la géometrie algébrique sous les constructions suivantes :
Étant donné une catégorie
A,
b1 , ..., bn ∈ N,
et on xe
donnee d'un foncteur :
/
φ: A
on considère alors la
vectk
f
b
/ xj ) est une application lineaire de k bi vers
tel que φ(xi ) = k i et φ( xi
k bj qui est determinée par une matrice Φ(f
bi × bj .
Q) d'ordre
Q
bi bj
L'ensemble de ces donnees est donc Y =
.
i,j
f ∈A(xi ,xj ) k
On note Y une variété ane c'est l'espace ane d'une certaine dimension
dim(Y ) =
P
i,j
M (i, j)bi bj
où
M (i, j) = |A(xi , xj )|.
3
D'autre part, il y a des équations pour que ceci dénit un foncteur,
tout
xi
f
xi
pour tout
g
/ xj
on exige que
/ xk
on exige que
Φ(1xi ) = 1bi ×bi .
Φ(g) ◦ Φ(f ) = Φ(gf ),
et pour
Ces équations sont des équations
polynomiales sur les coordonnées de Y, donc dénissent une sous-variété
b
fermée Z ⊂ Y qui est donc une variété ane, avec Z = Hom (A, vectk ).
Donc le chapitre
2
sera démontré un exemple intéressant de la construc-
MA .
Cat(M ),
tion d'une variété ane, et il a donné plusieurs propriétés de la matrice
En plus, c'est plus logique aussi de trouver les propriétés liées à
l'exipication détaillé de ces propriétés se trouve dans le chapitre
3 nous avons
démontré :
Cat(M) 6= ∅ si et seulement si Cat( t M) 6= ∅.
2. Soient M ∈ Mn (N) et NI une sous-matrice régulier de M avec I =
{i1 , ..., im } ⊆ {1, ..., n}. Si on a Cat(N ) = ∅ alors Cat(M) = ∅
Ensuite on rappelle les dénitions de base données par Leinster [13] : si A est
une catégorie nie, on a sa matrice MA (notée ζ(A) dans [13]). S'il existe, un
inverse de Möbius c'est un inverse µA à la matrice MA . Donc
X
µA (i, j)MA (j, k) = δ(i, k)
1.
j
où
δ(i, k) = 1
si
i=k
et
0
sinon.
Par exemple si
a b
c d
MA =
alors
1
µA =
ad − bc
Dans ce cas,
Si
MA
MA
,
d −b
−c a
.
admet l'inversion de Möbius si et seulement si
ad − bc 6= 0.
admet l'inversion de Möbius, alors d'après [13] le caractéristique
d'Euler est donné par
χ(A) =
X
µA (i, j).
i,j
Notons qu'une catégorie peut admettre un caractéristique d'Euler dans le
sens de Leinster, sans qu'elle admette l'inversion de Möbius. Dans ce cas
χ(A)
est dénie par les notions de pondération et co-pondération.
Dans le cas
n=2
avec
MA =
χ(A) =
a b
c d
, si le déterminant est
a+d−b−c
.
ad − bc
4
6= 0
alors
Lemme 1.0.1
objets tels que
Supposons que A est une catégorie ordonnée réduite avec deux
1 b
c d
MA =
.
Si b > 0 et c > 0 alors A admet l'inversion de Möbius, et on a χ(A) > 0.
A une catégorie nie ordonnée. Dans le chapitre 4, on construira une
relation d'équivalence sur Ob(A) dénie par :

 HomA (xi , xj ) 6= ∅
et
xi Rxj ⇐⇒

HomA (xj , xi ) 6= ∅
Soit
Cette relation est une rélation équivalence, ce qui donne une partition de
Ob(A).
Ensuite à travers de cette relation, on peut partager la matrice
MA
en plu-
sieurs blocs par exemple :
Soit
M
une matrice dénie par :

1
 1
M=
 0
0
1
4
0
0
1
2
1
2

2
9 
,
1 
5
Cat(M) 6= ∅. Donc il existe une catégorie A associée à M tel que
Ob(A)/R = {λ, β} et Ob(A) = {λ0 , λ1 , β 0 , β 1 }.
1 1
1 2
est un bloc associé à λ,
est un bloc associé à λ vers β .
1 4
2 9
1 1
0 0
est un bloc associé à β ,
est un bloc associé à β vers λ.
2 5
0 0
On a
Dans la chapitre
5
pour facilite l'étude de
et après la partition d'une matrice en plusieurs blocs
Cat(M ),
on va dénir une catégorie nie réduite :
Dénition 1.0.2
: Une categorie A nie d'ordre n dont les objets sont
{x1 , . . . , xn } est dit non-réduite s'il existe deux objets distincts xi et xj (i 6= j )
qui sont isomorphes. On dira que A est réduite si deux objets distincts sont
toujours non-isomorphes. On dira qu'une matrice M est non-réduite s'il
existe i 6= j tel que
∀k, Mki = Mkj
5
et
∀k, Mik = Mjk ,
cela veut dire que la ligne i égale à la ligne j et la colonne i égale à la colonne
j.
nous disons qu'une matrice M est réduite si elle n'est pas non-réduite.
Ensuite et après cette dénition nous démontrons le théorème de réduction
suivant :
Théorème 1.0.3
: Si M est une matrice non réduite, on peut réduire M
en une sous-matrice N réduite telle que Cat(M) 6= ∅ si et seulement si
Cat(N ) 6= ∅.
D'après ce qui précède nous pouvons étudier l'état de
matrice
M
Cat(M )
pour une
carrée positive.
Les démonstrations de résultats se trouvent dans le chapitre
6 et 7. Voici une
résume de ces résultats :
Soit
M = (mij ) ∈ Mn (N)
est une matrice réduite, alors nous avons deux
cas :
1. Si
M
mij > 0∀i, j , alors il y a deux cas :
Cat(M) 6= ∅ d'après le théorème du
est strictement positive c.à.d
(a) Si
mii > 1∀ ≤ i ≤ n,
alors
Leinster.
(b) S'il existe au moins une
i0
tel que
mi0 i0 = 1
dans ce cas on a deux
possibilités :
i. si
i0
le seul indice que
mi0 i0 = 1,
alors
Cat(M) 6= ∅
si et seulement si
mii > mi1 m1i
mij ≥ mi1 m1j
∀ i>1
∀ i, j > 1
{i1 , i2 , ....ect} diérents de i0 tel que ;
= ... = 1 alors Cat(M) = ∅.
ii. s'il existe d'autres indices
m i1 i1 = m i2 i2
2. D'abord, nous allons dénir l'acceptabilité d'une matrice :
Dénition 1.0.4
: Soient M = (mij )1≤i,j≤n ) ∈ Mn (N), et A une catégorie nie dont les objets sont {x1 , ..., xn }. On dénit deux relations
sur Ob(A) par rapport à M par :
(a) xi GM xj si mij > 0.
(b) xi RM xj si xi GM xj et xj GM xi .
Nous disons que M est acceptable si et seulemnt si la relation GM
est à la fois réexive et transitive et la relation RM est une relation
d'équivalence.
6
M est acceptable alors, les classes d'equivalence de RM
λ, µ, . . .. et les objets dans ces classes seront notes λi . . ..
Si
seront notes
D'autre part, on dénit la relation d'ordre sur les classes d'equivalence
par :
λ≥µ
On note
Après
λi GM µj pour
λ ≥ µ et λ 6= µ.
si et seulement si
λ>µ
cette
si
dénition
et
la
tous
partition
λi ∈ λ
de
la
et
µj ∈ µ.
matrice
en
classes
d'equivalence, nous pouvons énoncer le résultat suivant :
Si
M
est une matrice positive alors :

M



i
i

M (λ , λ ) ≥




M
 (λi , λj ) ≥
M (λi , µj ) ≥
Cat(M ) 6= ∅ ⇔


M (λi , µj ) ≥




M (λi , µj ) ≥



acceptable
i
i
a(λ )b(λ ) + 1
a(λi )b(λj )
M (λi , µ0 )
M (λ0 , µj )
M (λ0 , µj ) + M (λi , µ0 )
−M (λ0 , µ0 )
∀λ ∈ U, i ≥ 1
∀λ ∈ U
∀λ > µ, µ ∈ U
∀λ > µ, λ ∈ U
∀λ ≥ µ ∈ U
a(λi ) := M (λi , λ0 ) et b(λj ) := M (λ0 , λj )
D'autre part, si M est une matrice non-réduite, on utilise le théorème de
réduction pour obtenir la matrice réduite N de M , ce qui donne que Cat(M )
et Cat(N ) ont le même état. Alors, on a maintenant une matrice réduite N
Avec
donc on peut l'étudier d'après le précédant.
Dans la théorie des catégories il est bien connu et utilisé par certaines
mathématiciens comme par exemple Tom Leinster et Nicolas Tabareau,
qu'une catégorie avec un unique objet est simplement un monoïde.
M = (n), avec M la matrice
chapitre 8, on va classier les matrices
Nous essayons classier les catégories de
monoïde d'ordre
n.
Mais Dans le
monoïedes d'ordre 2 et 3 sous les propiétés suivants :
Cat((2)) = Cat12 ∪ Cat22 , Avec ;
Cat12 ={A catégorie monoïde / Hom(A) = {idx , f } avec
Cat22 ={A catégorie monoïde / Hom(A) = {idx , f } avec
f 2 = idx }
f2 = f }
et
Cat((3)) =
11
P
11
Cati3 = Cat13 ∪ Cat23 ∪ Cat33 ∪ Cat43 ∪ Cat73 ∪ Cat10
3 ∪ Cat3 .
i=1
7
Avec ;
Cat13 =
Cat33 =
Cat43 =
Cat53 =
Cat63 =
Cat73 =
Cat83 =
Cat93 =
Cat10
=
3
Cat11
=
3
Cat23 =
n
o
A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = g 2 = g, f 2 = 1
n
o
A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = f, g 2 = f 2 = g
n
o
A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = g 2 = g, f 2 = g
n
o
2
2
A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = f = f, g = 1
n
o
Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g} , gf = f g = f 2 = g 2 = f
n
o
Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = g 2 = g, gf = f 2 = f
n
o
2
2
Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = f = f, g = g
n
o
Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = g, g 2 = f 2 = f
n
o
Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = g 2 = g, f 2 = f
n
o
Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = g 2 = g, f g = f 2 = f
n
o
A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = 1, g 2 = f, f 2 = g .
D'autre part, ceratins chercheurs qui ont travaillé les monoides jusqu'au
l'ordre
10,
comme Andreas Distler et Tom Kelsey voir [15].
On travaille dans le dernier chapitre autour de la matrice
2
d'ordre
n.
Dénition 1.0.5
: On veut dire une M = (mij) = M2n est une matrice 2
d'ordre n est une matrice n × n telle que mij = 2 pour tout i, j ∈ {1, ..., n}.
Par exemple la matrice
M23
est dénie par :


2 2 2
M32 =  2 2 2  .
2 2 2
2
3
On arrive à classier les catégories qui sont associées à M2 et à M2 , ensuite
n
n
pour la matrice générale M2 nous allons borner l'ensemble Card(M2 , r) des
catégories réduites par :
3
3
2[n/3] /n! ≤ Card(M2n , r) ≤ 18Cn .
Dans cette introduction, nous avons expliqué les idées générales correspendant à chaque chapitre, en commenéant par l'étude de l'état de Cat(M )
n
et en nissant par borner le Card(M2 , r). Ce chemin du recherche peut continuer avec des nouvelles idées par exemple :
8
1. Essayer de trouver la borne supérieure de l'ensemble
M
Card(M, r)
avec
une matrice positive donnée.
2. Calculer
σ
ou du moins de prouver des bornes plus rapprochees.
avec
log(Card(M2n , r))
.
n→∞
n3
Essayer de trouver la dimension de Z , la variété ane
b
au-dessus par :Z = Hom (A, vectk ).
σ := lim Sup
3.
4. Classier les catégories de la matrice
9
M2n .
qui est dénie
Chapitre 2
Rappels sur les catégories nies et
les matrices positives
2.1 Introduction
Étant donnée
A
une catégorie nie a
considérer la matrice de
n à coecients
1 ≤ i, j ≤ n.
dans
N
A,
qui note
MA
n
objets
x1 , ..., xn ,
nous allons
c'est une matrice carrée d'ordre
qui sont dénis par
mij = |A(xi , xj )|
pour toutes
Dans ce chapitre on va étudier quelques propriétés algébriques sur
A
MA , par exemple si on a une catégorie A nie et on a
B , nous démontrons que MAop = t MA et on trouve que
sous-matrice régulière de MA .
et sur sa matrice
sous-catégorie plein
MB
est une
D'autre part, on peut construire une variété algébrique au travers de la
catégorie nie
A;
espaces vectorieles
nous utilisons la foncteur
F
de
A
vers la catégorie des
vectK .
L'importance dans cette partie, c'est la notion d'ajouter d'une morphisme
sur n'importe quel couple de morphismes pour avancer de sémi-catégorie à
une sémi-catégorie un peu plus grande par une seule morphisme. Ensuite on
peut arriver à une catégorie avec l'ajout des identités qui sont manquantes.
10
Dénition d'une catégorie nie et sa matrice
2.2 Dénition d'une catégorie nie et sa matrice
Dénition 2.2.1
: Une catégorie A, est la donnée de quatre éléments :
•
d'une classe Ob(A) dont les éléments sont appelés objets,
•
d'un ensemble , Hom(A,B)=A(A, B) chaque paire des objets A et, B
dont les éléments sont appelés morphismes (ou èches) entre A et B,
et sont parfois notés f : A
/B,
•
d'un morphisme idA : A
sur A,
•
d'un morphisme g ◦ f : A
/ C pour toute paire de morphismes
/ B et g : B
/ C , appelé composée de f et g, tel que :
f :A
/ A , pour chaque objet a, appelée identité
• la composition est associative : A f / B g / C h / D ,
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ),
• les identités sont des éléments neutres de la composition
/B,
f :A
idB ◦ f = f = f ◦ idA .
À
partir de la catégorie
A
, on peut dénir une autre catégorie
Aop ,
dite
opposée ou duale, en prenant les mêmes objets, mais en inversant le sens
des èches.
Plus précisément :HomAop (x,y)=HomA (y,x) , et la composition de deux
op
èches opposées est l'opposé de leur composition :f
◦ g op = (g ◦ f )op .
D'autre part, la dénition de sémi-catégorie est obtenue de la dénition de catégorie en supprimant la troisiéme et la sixième clause.
U ⊂ Ob(A) tel que ∃idx pour x ∈ U
que A est partiellement unitaire.
S'il existe un ensemble non-vide
@idx
pour
x 6∈ U ,
alors on dit
Dénition 2.2.2
: Un foncteur F : C
catégorie B est la donnée :
/
mais
D d'une catégorie C dans une
•
d'une fonction qui, à tout objet A de C , associe un objet F(A) de D,
•
d'une fonction qui, à tout morphisme f : A
morphisme F(f ) : F(A)
/
F(B) de D,
qui
11
/
B de C , associe un
Dénition d'une catégorie nie et sa matrice
respectent les identités : pour tout objet A de C ,
F(idA ) = idF (A)
•
respectent la composition : pour tous objets A, B et C et morphismes
/ B et g : B
/ C de C ,F(g ◦ f ) = F(g) ◦ F(f )
f :A
On dit que F est dèle (plein, pleinement dèle), si pour tout A,B∈ Ob(C)
/ D(F(A), F(B)) est injective (surjective, bil'application F : C(A, B)
jective).
Un foncteur contravariant d'une catégorie C dans une catégorie D est un
foncteur de C op 1 dans D . Pour souligner le fait qu'il ne soit pas contravariant un foncteur est parfois appelé foncteur covariant.
•
Exemple 2.2.3
:
Le foncteur identité d'une catégorie
C,
souvent noté
I:C
/
C
, qui laisse
les objets et les morphismes de la catégorie invariants.
Dénition 2.2.4
Soit C et D deux catégories, F et G deux foncteurs covariants de C dans D.
On dénit alors la transformation naturelle η de F vers G comme la donnée
/ G(x) de D tel que le
pour tout objet x de C d'un morphisme ηx : F(x)
diagramme suivant soit commutatif pour tout f ∈ Hom(x, y) :
F(x)
ηx
F (f )
G(x)
G(f )
/ F(y)
/
ηy
G(y)
On peut de même dénir la notion de transformation naturelle entre deux
foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des èches horizontales du diagramme ci-dessus.
Si pour tout objet x de C , ηx est un isomorphisme, on dit que η est une
équivalence naturelle ou un isomorphisme naturel.
Dénition 2.2.5
: Soit A une catégorie, on dit que A est une catégorie
nie d'ordre n si et seulemnt si les ensembles Ob(A) et Hom(A,B) sont nis
pour tout A,B ∈ Ob(A), c.à.d :
• Il existe une bijection δ : Ob(A)
a
/
1. La duale de C
12
/
{1, ..., n}
δ(a) = i,
Dénition d'une catégorie nie et sa matrice
on note a par xi et l'ensemble des objets devient ObA = {x1 , ..., xn }.
• Pour tout A,B ∈ Ob(A), il existe m ∈ N et une bijection tels que,
λ : Hom(A, B)
p
/
/
{1, ..., m}
λ(p) = i,
on note p par fi , et l'ensemble des morphismes de A vers B devient
Hom(A, B) = {f1 , ..., fm }.
Autrement dit A une catégorie nie dont les objets sont {x1 , ..., xn }, et pour
tout xi , xj ∈ Ob(A) on a HomA (xi , xj ) = {f1 , ..., fmij }.
Dénition 2.2.6
: Une catégorie nie ordonnée A est une catégorie nie,
munie d'une relation d'ordre total (c.à.d linéaire) sur l'ensemble des objets.
Si A est une catégorie nie ordonnée d'ordre n, alors il existe une unique
numérotation Ob(A) = {x1 , .., xn } compatible avec l'ordre c.à.d xi < xj ⇔
i < j.
Remarque 2.2.7
:Une sous-catégorie de A est une catégorie dont les objets
sont les objets de A et dont les èches sont des èches (mais pas nécessairement toutes les èches) de A entre deux objets de la sous-catégorie.
On dit que la sous-catégorie B de A est pleine si B(x, y) = A(x, y) pour tout
(x, y) ∈ B × B.
Exemple 2.2.8
:
1. vectk (l'ensemble des K-especes vectoriels)est une catégorie dont les
objets sont les K-especes Vectoriels, et les morphismes sont les applications linéaires, avec la composition usuelle.
f
vectk (l'ensemble des K-especes vectoriels des dimensions nies) est une
sous-catégorie de vectk .
2. Soit
vect≤n
k
la catégorie dont les objets sont
0, k, k 2 , ..., k n ,
avec mor-
phisme de corps et la loi de composition usuell.
≤n
On remarque vectk
est équivalent à la catégorie vectk de dimension
≤ n.
≤n
Si k est un corps ni alors vectk
est une categorie nie.
3. Pour tout anneau commutatif
A,
la catégorie
M odA
dont les objets
A − modules et dont les morphismes sont les morphismes de
A − modules, avec la composition usuelle.
libre,≤n
On dénit la sous-catégorie plein M odA
de M odA dont les objets
2
n
sont de la form 0, A, A , ..., A (ce sont les A-modules libres de rang
sont les
13
Dénition d'une catégorie nie et sa matrice
≤ n).
libre,≤n
si A est un anneau ni alors M odA
est une categorie nie, car
i
j
chaque A et A ont deux bases nies et ce qui donne il y a des mor2
phismes nies entre les deux objets, par exemple on prend A = k[e]/e
où k est un corps ni.
A et B deux catégories, on dénit la catégorie des foncteurs F onct(A, B) ainsi : l'ensemble d'objets Ob(F onct(A, B)) est l'ensemble des foncteurs F : A → B ; et si F, G sont deux foncteurs,
HomF onct(A,B) (F, G) est l'ensemble des transformations naturelles de
F vers G . L'opération de composition de la catégorie F onct(A, B) est
4. Soient
la composition des transformations naturelles.
5. Le groupe symétrique
Sn
est une catégorie nie dont l'objet est le sin-
gleton {(1,2,...,n)} et les morphismes sont les applications bijectives
{σ1 , σ2 , ..., σn! }
avec la loi de composition
◦
usuelle.
Théorème 2.2.9
: Soient A et B sont deux catégories nies, alors la catégorie F onct(A, B) 2 est une catégorie nie.
Preuve :
F : A → B , en eet pour
F il sut de spécier F(x) ∈ Ob(B) pour chaque x ∈ Ob(A), et
F(u) ∈ HomB (F(x), F(y)) pour chaque èche u ∈ HomA (x, y). Comme il
n'y a qu'un nombre ni d'objets x, qu'un nombre ni de èches u, et pour
chacun un nombre ni de choix car Ob(B) et HomB (F(x), F(y)) sont nis,
(1) Il n'y a qu'un nombre ni de foncteurs
spécier
alors l'ensemble des foncteurs à égalité près est ni.
F, G : A → B , l'ensemble de transformations naturelles de F vers G est ni. En eet, pour specier une
transformation naturelle η : F → G il faut spécier pour chaque x ∈ Ob(A)
une èche ηx ∈ HomB (F(x), G(x)). Il n'y a qu'un nombre ni d'objets x et
un nombre ni de choix HomB (F(x), G(x)) pour chaque x, donc l'ensemble
(2)
Étant donné deux foncteurs
des transformations naturelles est ni.
(1) et (2) donnent
F onct(A, B)
est une catégorie nie.
Dénition 2.2.10
: Soit A une catégorie nie ordonnée d'ordre n dont
les objets sont {x1 , x2 , ..., xn } et soit M = (aij )1≤i,j≤n ∈ Mn (N) 3 , on dit
que M est une matrice de A ou matrice associée à A si et seulement si
aij = |A(xi , xj )| pour tout i, j ∈ {1, 2, ..., n}.
2. La catégorie des foncteurs de A vers B
3. l'ensemble des matrices carrées de taille n × n à coecients des entiers naturels
14
Matrices carrées positives et leurs sous-Matrices
Remarque 2.2.11
: La matrice de la catégorie nie A est unique (c'est
clair), et on la note par MA .
Exemple 2.2.12
:
A une catégorie nie d'ordre n ∈ N∗ dont les objets
{x1 , x2 , ..., xn } et les morphismes sont dénis par : |A(xi , xj )| = 1
tout i, j ∈ {1, 2, ..., n}, alors la matrice de A est dénie par :


1 ··· ··· 1
 .. . . . . . . .. 
. 
 .
MA =  . .
. 
.
..
. 
 .. . .
.
1. soit
1 ···
S3
2. la catégorie
la matrice de
M = (n!)
d'ordre
S3
1
··· 1
groupe symétrique dont l'objet est
est M=(3 !)=(6), La matrice de
∗
pour tout n
sont
pour
Sn
4
{(1, 2, 3)},
est dénie par
∈N
2.3 Matrices carrées positives et leurs sousMatrices
Dénition 2.3.1
: Soit M = (aij )1≤i,j≤n une matrice dans Mn (N), et
soient I,J deux ensembles non vides dans {1, ..., n}, on veut dire que NI×J (M )
une sous-matrice de M c'est la matrice dont les coecients sont les intersections des lignes I avec les colonnes J.
On s'appelle la matrice NI×I une sous-matrice régulière de M et notée par
NI .
Exemple 2.3.2

Soient
:
1
 3
M = 
 11
1
1
5
8
4
3
3
3
1

7
8 
 , I = {1, 3, 4}, J = {2, 3, 4}
9 
2
4. groupe symétrique d'indice n
15
et
k = {2, 4}
alors :
Propriétés algébriques des catégories nies

NI×J



1 3 7
1 3 7
3
3
8
=  8 3 9  , NI =  11 3 9  , Nk×I =
sont
1 1 2
4 1 2
1 1 2
sous-matrices de
des
M.
Dénition 2.3.3
: La matrice transposée (on dit aussi la transposée) d'une
matrice A ∈ Mn,m (N) 5 est la matrice notée t A ∈ Mm,n (N), obtenue en
échangeant les lignes et les colonnes de A.
Si B= t A, alors bi,j = aj,i ∀(i, j) ∈ [1, m] × [1, n]
2.4 Propriétés algébriques des catégories nies
Dénition 2.4.1
: Soient A et B deux catégories nies de même ordre n,
/ B tel
on dit que A et B sont isomorphes s'il existe un Foncteur F : A
que :
•
L'application F : Ob(A)
/ Ob(B) est bijictive,
Le foncteur F est pleinement dèle.
Si A isomorphe à B , on note A ∼
= B.
Si A et B sont ordonnées, on dit isomorphisme ordonné entre A et B . Ceci
est un isomorphisme qui preserve la relation d'ordre sur les ensembles Ob(A)
et Ob(B) (c.à.d ∀x, y ∈ Ob(A) on a x < y si et seulement si F(x) < F(y)).
•
Remarque 2.4.2 : Soient A et B deux catégories nies qui ont les mêmes
objets, on dit que A = B si HomA (x, y) = HomB (x, y) pour tout x, y ∈
Ob(A) = Ob(B).
Lemme 2.4.3
: Soient A et B deux catégories nies ordonnées ayant le
même ordre, si on a A ∼
= B d'une manière qui respecte les ordres, alors
MA = MB .
Preuve :
On pose
A ≈ B,
alors il exite un foncteur
F :A
/
B
tel que :
5. l'ensemble des matrices de taille n × m à coecients des entiers naturelle
16
Propriétés algébriques des catégories nies
/ Ob(B) est bijective ce qui donne pour
F : Ob(A)
xi ∈ Ob(A) on a un seul objet yi ∈ Ob(A) tel que F(xi ) = yi ,
1. L'application
tout
2.
F est
pleinement dèle,
xi , xj ∈ Ob(A) comme F est pleinement déle alors
/ B(F(xi ), F(xj )) = B(yi , yj ) est bijective
F : A(xi , xj )
l'application
donc |A(xi , xj )| = aij = |B(yi , yj )| = bij pour tout i, j ∈ {1, 2, ..., n}, alors
MA = MB .
D'autre part, soient
Théorème 2.4.4
: Soit B une catégorie nie, et soit B une sous-catégorie
pleine de A alors la matrice MB est une sous-matrice régulière de MA .
Preuve : Soit B une sous-catégorie pleine de A alors Ob(B) ⊆ Ob(A) et
HomB (A, B) = HomA (A, B) pour tout A,B deux objets dans Ob(B).
On pose Ob(A) = {x1 , ..., xn }, comme Ob(B) ⊆ Ob(A) alors Ob(B) =
{xi1 , ..., xim } indices ordonnés croissement avec m≤ n et ij ∈ [1, n] pour
tout j∈ [1, m], alors :
MB = (bi,j )1≤i,j≤m = (B(xis , xit ))1≤s,t≤m
= (A(xis , xit ))1≤s,t≤m
= N{i1 ,...,im } .
Donc
MB = N{i1 ,...,im }
Lemme 2.4.5
est une sous-matrice régulier de
: Soit A une catégorie nie d'ordre n, alors MAop = t MA
Preuve :
MAop = (bi,j )≤i,j≤n = (Aop (xi , xj ))1≤i,j≤n
= (A(xj , xi ))1≤i,j≤n
= (aj,i )≤i,j≤n
= t MA .
Donc
MA .
MAop = t MA .
17
Techniques de construction des catégories nies
2.5 Techniques de construction des catégories
nies
On prend
(Ai )1≤i≤N
une famille des catégories avec
N ∈ N∗
Dénition 2.5.1
Soient A et B deux catégories, on dénit la somme A + B
par trois éléments :
S
- Ob(A + B) = Ob(A) Ob(B).
- Soit a, b ∈ Ob(A + B) alors,

si (a, b) ou (b, a) ∈ Ob(A) × Ob(B)
 ∅
HomA+B (a, b) = HomA (a, b) si a, b ∈ Ob(A)

HomB (a, b) si a, b ∈ Ob(B)
- Soit f, g ∈ Hom(A + B) tel que : f : x
/ y et g : y
a) Si x, y, z ∈ A on dénit g ◦A+B f = g ◦A f .
b) Si x, y, z ∈ B on dénit g ◦A+B f = g ◦B f .
/z.
Lemme 2.5.2
: La somme A + B est une catégorie qui s'appelle catégorie
somme de A et B .
Si A est une catégorie nie d'ordre n avec MA = (aij )1≤i,j≤n et si B est
une catégorie nie d'ordre m avec MB = (bij )1≤i,j≤m , alors A + B est nie
d'ordre n + m. La matrice MA+B est la somme directe des matrices MA et
MB .
En eet : Soit f, g, h ∈ Hom(A + B) tel que :
x
alors l'ensemble
-
h
{x, y, z, t} ⊆ A
/
ou
Si
x, y, z, t ∈ A
alors,
◦A+B = ◦A
Si
x, y, z, t ∈ B
alors,
◦A+B = ◦B
Donc
alors
g
y
B
/z
f
/
t
donc on a deux cas :
ce qui donne l'associativité.
d'où l'associativité.
A + B est une catégorie, en plus si les deux
A + B est nie c'est facile à démontrer.
Dénition 2.5.3
catégories
A, B
sont nies
: Soient A et B deux catégories non vides, on dénit la
produit A × B par trois éléments :
n
o
Ob(A × B) = (a, b)/a ∈ Ob(A) et b ∈ Ob(B)
18
Techniques de construction des catégories nies
h
i
n
o
HomA×B (a, b), (c, d) = (f, g)/f ∈ HomA (a, c) et g ∈ HomB (b, d)
avec (a, b), (c, d) ∈ Ob(A × B),
(f, g) ◦A×B (h, k) = (f ◦A h, g ◦B k) avec (f, h) ∈ A(b, c) × A(a, b) et
(g, k) ∈ B(y, z) × B(x, y).
Si l'une de deux égale à vide, alors il est évidament la catégorie produit A×B
est vide en plus elle devient nie.
Lemme 2.5.4
: La produit A × B est une catégorie qui s'appelle catégorie
produit de A dans B .
D'autre part, si A est une catégorie nie non vide d'ordre n avec MA =
(aij )1≤i,j≤n et si B est une catégorie nie non vide d'ordre m avec MB =
(bij )1≤i,j≤m , alors A × B est nie d'ordre n × m.
Si A = ∅ ou B = ∅ alors A × B = ∅ c.à.d est nie.
La matrice MA×B est MA ⊗ MB où (MA ⊗ MB )(i,k),(j,l) := aij bkl .
Preuve : On a déni les objets et les morphismes, il reste à démontrer
◦A×B est associative.
Soient (f, g), (h, k) et (t, p) dans Hom(A × B) alors,
h
i
(f, g) ◦A×B (h, k) ◦A×B (t, p) = (f ◦A h, g ◦B k) ◦A×B (t, p)
h
i
= (f ◦A h) ◦A t, (g ◦B k) ◦B p
h
i
= f ◦A (h ◦A t), g ◦B (k ◦B p)
que la loi
◦A ,◦B
associatives
= (f, g) ◦A×B (h ◦A t, k ◦B p)
h
i
= (f, g) ◦A×B (h, k) ◦A×B (t, p) .
◦A×B est associative, ce qui donne que A × B est une catégorie.
B sont nies avec Ob(A) = {x1 , ..., xn } et Ob(B) = {y1 , ..., ym }, on
note (xi , yj ) = zm(i−1)+j , donc MA×B = {z1 , ..., znm } ce qui donne l'ensemble
Ob(A × B) est nie.
Soient (xi , yj ) et (xi0 , yj 0 ) deux objets, alors ;
h
i n
o
Donc
Si
A
et
Hom (xi , yj ), (xi0 , yj 0 ) = (f, g)/f ∈ HomA (xi , xi0 ), g ∈ HomB (yj , yj 0 ) , ce
h
i
qui donne Hom (xi , yj ), (xi0 , yj 0 ) = aii0 bjj 0 donc Hom(A × B) est nie.
Alors A × B est une catégorie nie.
P
Q
Théorème 2.5.5 : Soient Ai des catégories nonvides ; (A)i et Ai sont
deux catégories nies si et seulement si Ai est une catégorie nie pour tout
i.
Preuve : D'après les lemmes (2.5.2) et (2.5.4).
19
Techniques de construction des catégories nies
Dénition 2.5.6
: Étant donnée une famille (xi )i∈I des objets de la catégo-
rie A.
La somme de la famille (xi )i∈I , est la donnée d'un objet x de A et pour tout
i d'une èche φi : xi
/ x vériant la propriété universelle :
xO A
AA f
AA
AA
A
fi
/y
xi
φi
quels que soient l'objet y et les èches fi : xi
f
/
y de A il existe une unique
èche f : x f / y telle que pour tout i le diagramme soit commutatif. C'est
à dire que fi = f ◦ φi .
Le produit de la famille (xi )i∈I est la donnée d'un objetx de A et pour tout i
d'une èche πi : x
/ xi vériant la propriété universelle :
>x
f ~~~
~
y
~~
~~ fi
πi
/ xi
quels que soient l'objet y et les èches fi : y
/ xi de A il existe une unique
èche f : y
/ x telle que pour tout i le diagramme soit commutatif. C'est
à dire que fi = πi ◦ f .
S'ils existent, les sommes et les produits sont uniques aux isomorphismes
près.
Lemme 2.5.7
: Soit A une sémi-catégorie, et soit u ∈ A(x, y) avec x, y ∈
Ob(A), alors on peut ajouter un morphisme u0 sur A(x, y) tel que u0 6= u,
donc on aura une nouvelle
sémi-catégorie A0 avec Ob(A) = Ob(A0 ) et
S
Hom(A) = Hom(A0 ) {u0 }.
D'autre part, on peut ajouter aussi les identités manquantes dans Ob(A) pour
obtenir une catégorie B.
Preuve :Soit u ∈ A(x, y) alors on dénit le morphisme u0 de A(x, y) au
travers de u par :
u0 ◦ v = u ◦ v
et
w ◦ u0 = w ◦ u.
soit (f, g) ∈ A(y, z) × A(y, z) alors :
(gf )u0 = (gf )u
= g(f u)
= g(f u0 ).
20
Une variété ane des modules sur une catégorie nie
(gf )u0 = g(f u0 ), La même pour les autres équations (hu0 )k = h(u0 k) et
(po)u0 = p(ou0 ), avec (h, k) ∈ A(z, x) × A(y, t) et (p, o) ∈ A(z, t) × A(t, x).
0
Pour les identités évidantes si on les ajoute, on aura une catégorie A .
Donc
Notation :
M
Cat(M)
Soit
une matrice carrée d'ordre
et
B
A
par
sémi-catégorie de
A
n
Cat(M) 6= ∅, et soient A ∈
{idxi1 , ..., idxie } 6⊂ Hom(B).
tel que
avec
B + ids.
D'autre part, on note MB+ids = MB + Iids− tel que :

 0 si i 6= j
0 si i = j 6∈ {i1 , ..., ie }
Iids− = (aij )1≤i,j≤n avec
aij =

1 si i = j ∈ {i1 , ..., ie }
On note
2.6 Une variété ane des modules sur une catégorie nie
Théorème 2.6.1
: Au traverse d'une catégorie nie on peut construire une
variété ane.
En eet : Étant donnée une catégorie A, et on xe b1 , ..., bn ∈ N, alors
la donnée d'un foncteur :
/
φ: A
vectk
f
b
/ xj ) est une application linéaire de k bi vers
tel que φ(xi ) = k i et φ( xi
k bj qui détermine par une matrice d'ordreQbi ×Qbj .
bi bj
L'ensemble de ces données est donc Y =
, on note Y est
i,j
f ∈A(x ,x ) k
i
j
une variété ane c'est l'espace ane d'une certaine dimension
P
i,j M (i, j)bi bj
où
dim(Y ) =
M (i, j) = |A(xi , xj )|.
D'autre part, il y a des équations pour que ceci dénisse un foncteur, pour
tout
tout
f
xi
xi on
/ xj
g
/ xk
demande que
on demande que
Φ(1xi ) = 1bi ×bi .
Φ(g) ◦ Φ(f ) = Φ(gf ),
et pour
Ces équations sont des équations
polynomiales sur les coordonnées de Y, donc elles dénissent une sous-variété
b
fermée X ⊂ Y qui est donc une variété ane, avec X = Hom (A, vectk ).
21
Chapitre 3
catégorie associée à matrice
carrée positive
3.1 Introduction
Soit
M
une matrice carrée d'ordre
n,
on dénit
des catégories dont leur matrice est la matrice
M,
Cat(M ) ;
c'est l'ensemble
par exemple on prend la
matrice triangulaire supérieure suivante :

1! 1!C12 · · ·

 0
 .
M =
 ..
 .
 ..
0
Nous dénissons la catégorie
1 ≤ i ≤ n, et les
trouver An ∈ Cat(M ).
avec
···
2!
..
.
..
..
.
..
.
..
.
..
.
···
0
.
···
An
1!C1n
.
.
.
.
.
.
(n − 1)!Cn−1
n
n!




.



dont les objets sont les ensembles
{1, 2, ..., i}
morphismes sont les applications injectives. On va
Dans ce chapitre on va étudier quelques propriétés algébriques sur
Cat(M ),
par exemple le théorème (3.3.3) qui dit si on a une matrice
on a une sous-matrice régulière
M
et
alors :
Cat(M ) 6= ∅ ⇒ Cat(N ) 6= ∅.
σ
σ
Encore une grande propriétés sur Cat, si A ∈ Cat(M ) alors A ∈ Cat(M )
avec σ ∈ Sn , Sn l'ensemble des permutations sur {1, .., i} et n l'ordre de M .
Si
Cat(N ) = ∅ ⇒ Cat(M ) = ∅
N
c.à.d si
22
Dénition des catégories associées à M et Cat(M)
Nous encore étudions dans une section l'état de
M
On va trouver si
1<a≤b
a,b
alors
=
a b
1 1
Cat(M a,b )
avec :
.
Cat(M a,b ) = ∅.
Dans la suite, on tourne autour de la caractéristique d'Euler et le séries
de caractéristique d'Euler.
3.2 Dénition des catégories associées à M et
Cat(M)
Soit
M ∈ Mn (N)
dénie par :

m11 m12 · · · m1n
 m21 m22 . . . m2n

M =  ..
.
.
..
.
.
 .
.
.
.
mn1 mn2 · · · mnn





Dénition 3.2.1
: Soit A une catégorie nie d'ordre n dont les objets sont
{x1 , . . . , xn } ; on dit que A est une catégorie associée à M si :
|Hom(xi , xj )| = mij , ∀ i,j ∈ {1, . . . , n}.
Exemple 3.2.2
:
1. La catégorie
A
dont les objets sont
{1, . . . , n}
et les morphismes sont
les identités,
1
0
···
0

 0
I= .
 ..
1
..
.
.
.
.
.
..
.
0 ···
0

alors
A
associée à
..



.
0 
1
∈ N∗ , et soit Anb une catégorie dont l'ensemble des objets
o
dénie par Ob(A) =
xi = {1, . . . , i}/i ∈ N et 1 ≤ i ≤ n et
2. Soit n
est
les
morphismes sont les applications bijectives avec la loi de composition
23
Dénition des catégories associées à M et Cat(M)
usuelle.
On remarque |HomA (xi , xj )|
=
i!
0
si i=j
si
i 6= j
,∀
∈ {1, . . . , n}.
i,j
En eet :
xi = {1, . . . , i} et {1, . . . , i, i + 1, . . . , j}
donc il n'y a aucune bijection entre xi et xj alors |HomA (xi , xj )| = 0.
1
Si i=j alors |HomA (xi , xj )| = |HomA (xi , xi )| = |Si | = i!,


1! 0 · · · 0
. 
..

.
.
. 
 0 2!
donc A est une catégorie associée à M = 
.
.
 .. . . . . . . 0 
0 · · · 0 n!
si
i 6= j ,
on pose
i<j
alors
3. On prend la catégorie précédente
Ab ,
mais les morphismes sont les
applications injectives, alors on aura une nouvelle catégorie notée par
Ai
et :

 i!
i!Cij
|HomA (xi , xj )| =

0
si i=j
si
si
i < j ,∀
i>j
i,j
∈ {1, . . . , n},

donc A
4. Soit
que
est une catégorie associée à
1! 1!C12 · · ·

 0
 .
M=
 ..
 .
 ..
0
···
2!
..
.
..
..
.
..
.
.
..
.
···
0
.
..
···
1!C1n
.
.
.
.
.
.
(n − 1)!Cn−1
n
n!
n ∈ N∗ et soit A une catégorie dont les objets sont {N, M } tels
N = {1, ..., n} et M = {2, ..., n + 1}, et les morphismes dénis par
le diagramme suivant :
f (x)=x+1
id
8Nl
g(y)=y−1
,
Mi
alors A
est une catégorie associée à
1. L'ensemble des permutations sur {1, .., i}
24
M=
id
1 1
1 1
.




.



Quelques propriétés sur Cat(M)
n
C at(A)= A
On veut dire
catégorie nie d'ordre
n/A
associée à
o
M .
3.3 Quelques propriétés sur Cat(M)
Soit
M ∈ Mn (N)
Exemple 3.3.1
Soit I2 =
Preuve
1 2
2 1
alors peut-être
:
Cat(M) = ∅.
, alors Cat(I2 ) = ∅.
: par l'absurde, on pose
Cat(M) 6= ∅
alors il existe au moins une
catégorie nie d'ordre deux dont les objets sont
{x1 , x2 }
et les morphismes
sont dénis par :
HomA (x1 , x1 ) = {idx1 }, HomA (x1 , x2 ) = {f1 , f2 }
avec
f1 6= f2 .
et
HomA (x2 , x2 ) = {idx2 }, HomA (x2 , x1 ) = {g1 , g2 } avec g1 6= g2 .
On remarque fi gj = idx2 et gj fi = idx1 pour tout i,j ∈ {1, 2} alors :
g1 (f1 g2 ) = g1 idx2 = g1 = (g1 f1 )g2 = idx1 g2 = g2 contradiction
n'existe pas alors Cat(M) = ∅.
Lemme 3.3.2
Cat( t M) 6= ∅.
donc
A
: Soit M ∈ Mn (N) alors Cat(M) 6= ∅ si et seulement si
En eet :
⇒)
Cat(M) 6= ∅ alors il existe une catégorie nie d'ordre n A
t
associée à M alors Aop est une catégorie associée à M voir le lemme (2.4.5),
t
donc Cat( M) 6= ∅
⇐) La même démonstration, on utilise t ( t M) = M.
On pose
Théorème 3.3.3
: Soit M ∈ Mn (N) et soit NI une sous-matrice régulière
de M avec I = {i1 , ..., im } ⊆ {1, ..., n} , si on a Cat(N ) = ∅ alors Cat(M) =
∅.
D'autre sens, on peut dire si on a Cat(M) 6= ∅ alors Cat(N ) 6= ∅.
25
Quelques propriétés sur Cat(M)
Preuve : Soit Cat(N ) = ∅, on pose que Cat(N ) 6= ∅ alors il existe A une
{x1 , ..., xn }.
Soit C une catégorie d'ordre m dont les objets sont {xi1 , ..., xim } et les morphismes dénis par HomB (xi , xj ) = HomA (xi , xj ) avec la même loi de composition, on trouve que B est une sous-catégorie pleine de A associée à NI ,
parce que nij = HomA (xi , xj ) = HomB (xi , xj ) pour tout i, j ∈ {i1 , ..., im },
ce qui donne Cat(M) 6= ∅ contradiction donc Cat(M) = ∅.
Autrement dit si Cat(M) 6= ∅ alors Cat(N ) 6= ∅.
catégorie nie d'ordre
Exemple 3.3.4

Soit



M=


I2 =
1 2
2 1
n
associée à
M
dont les objets sont
a1n
a2n
a33

:
1
2 a13 · · ·
2
1 a23 · · ·
a31 a32 a33 · · ·
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
an1 an2 an3 · · ·



,


alors
Cat(M) = ∅
car la matrice
ann
est une sous-matrice régulière de
M,
et
Cat(MI2 ) = ∅
voir l'exemple (3.3.1).
Dénition 3.3.5
(mij )1≤i,j≤n
: Soit A une catégorie nie d'ordre n et M
∈ Mn (N), et soit σ ∈ Sn on veut dire :
=
•
Aσ la catégorie dont les objets sont les mêmes objets de A et les morphismes dénis par HomAσ (xi , xj ) = HomA (xσ(i) , xσ(j) ) pour tout i,j
∈ {1, ..., n}, avec la loi de composition de A.
•
Mσ = (mσ(i)σ(j) )1≤i,j≤n ∈ Mn (N).
: Soit A une catégorie associée à M ∈ Mn (N), alors Aσ est
une catégorie associée à Mσ , et Mσ la matrice de Aσ .
Lemme 3.3.6
Soient i,j ∈ {1, ..., n}, on a HomAσ (xi , xj ) = HomA (xσ(i) , xσ(j) ) =
HomA (xσ(i) , xσ(j) ) = mσ(i)σ(j) , donc Aσ est une catégorie associée à Mσ .
Preuve :
Corollaire 3.3.7
: Soit M = (aij )1≤i,j≤n ∈ Mn (N) et soit σ ∈ Sn , alors les
deux ensembles Cat(M) et Cat(Mσ ) sont isomorphes.
En eet
: On pose que
σ
Cat(M ) sont isomorphes
Soit F dénie par :
F : Cat(M)
A
Cat(M) 6= ∅
entre eux.
/
on va démontrer que
/
Cat(Mσ )
F(A) = Aσ
26
Cat(M)
et
Quelques propriétés sur Cat(M)
D sont deux catégories dans Cat(M) tel que C = D alors
F(C) = C = Dσ = F(D), donc F est une application.
b) Soient C et D sont deux catégories dans Cat(M) tel que F(C) = F(D)
a) Soient
C
et
σ
alors :
HomC (xi , xj ) =
=
=
=
=
=
HomC (xσσ−1 (i) , xσσ−1 (j) )
HomC (xσ(σ−1 (i)) , xσ(σ−1 (j)) )
HomC σ (xσ−1 (i) , xσ−1 (j) )
HomDσ (xσ−1 (i) , xσ−1 (j) )
HomD (xσσ−1 (i) , xσσ−1 (j) )
HomD (xi , xj ).
(car
C σ = Dσ )
HomC (xi , xj ) = HomD (xi , xj ) pour tout i, j ∈ {1, ..., n}, alors C = D,
donc F est injective.
σ
c) Soit B ∈ Cat(M ), on dénit la catégorie A dont les objets sont les mêmes
objets de B tel que HomA (xi , xj ) = HomB (xσ −1 (i) , xσ −1 (j) ) pour tout i,j, donc
Donc
on a :
HomA (xi , xj ) = HomB (xσ−1 (i) , xσ−1 (j) )
= mσ(σ−1 (i)) σ(σ−1 (j))
= mij .
Alors
A ∈ Cat(M)
Cat(M)
et
B ∈ Cat(Mσ )
F(A) = B , donc F est surjective.
F est une application bijective, donc
Cat(Mσ ) sont isomorphes.
avec
a)+b)+c) donnent que
sembles
(car
les deux en-
Exemple 3.3.8


1 2 5
1
2
3
Soit M =  2 1 1  , et soit σ =
∈ S3 alors ;
2 3 1
7 3 8


1 1 2
Mσ =  3 8 7  , et Cat(M) = Cat(Mσ ) = ∅.
2 5 1
En eet : On a la matrice I2 est une sous-matrice de M et Mσ , et Cat(I2 ) =
∅
alors,
Cat(M) = Cat(Mσ ) = ∅.
27
Etude de Cat(Ma,b )
3.4 Etude de Cat(Ma,b)
Dénition 3.4.1
: On dénit la matrice Ma,b ∈ M2 (N) par :
a b
a,b
M =
.
1 1
Théorème 3.4.2
: Soit a,b ∈ N tel que 1 < a ≤ b alors, Cat(Ma,b ) = ∅.
Preuve : On suppose que Cat(Ma,b ) 6= ∅, alors il existe au moins une catégorie
A
nie d'ordre
2
associée à
Ma,b ,
dont les objets sont
{x1 , x2 }
et les
morphismes dénis par :
HomA (x2 , x2 ) = {1x2 },
HomA (x2 , x1 ) = { h },
HomA (x1 , x1 ) = {1x1 , e1 , ..., ea−1 },
HomA (x1 , x2 ) = {f1 , f2 , f3 , ..., fb }.
Pour les équations d'associative sont :
ei h = h, pour tout i dans {1, ....., (a − 1)},
fi h = 1x2 , pour tout i dans {1, ..., (b − 1), b},
hfi ∈ {1x1 , e1 , ....., e(a−1) }, pour tout i,j ∈ {1, ....., (a − 1)},
ei ej ∈ {1x1 , e1 , ....., e(a−1) }, pour tout i,j ∈ {1, ....., (a − 1)},
fi ej ∈ {f1 , ....., f(b−1) , fb }, pour tout (i,j) ∈ {1, ....., (a − 1)} × {1, ...., b}.
On dénit l'application T par :
T : {1, ..., b}
s
/
/
{1, e1 , ..., ea−1 }
T (s) = hfs
1x1 ∈ Im(T ), alors il existe s tel que hfs = 1x1 .
Donc, on aura : e1 = e1 (hfs ) = (e1 h)fs = hfs = 1x1 contradiction, ce qui
donne 1x1 ∈Im(T ).
D'autre part, Comme b ≥ a et 1x1 ∈Im(T ), alors il existe au moins s, t ∈
{1, ..., b} tel que s 6= t et hfs = hft .
On pose que
par ailleurs :
f1 (hfs ) = f1 (hft ) ⇒ (f1 h)fs = (f1 h)ft
⇒ (1x2 )fs = (1x2 )ft
⇒ fs = ft .
Contradicition donc
A
n'existe pas, alors
28
Cat(Ma,b ) = ∅.
Caractéristique d'Euler de catégorie
Lemme 3.4.3
"
Cat
a b
1 1
:
#
"
= Cat
a 1
b 1
#
"
= Cat
1 1
b a
#
"
= Cat
1 b
1 a
#
= ∅,
pour tout 2 ≤ a ≤ b.
Preuve :
On a
a 1
b 1
= t (Ma,b ),
alors
Cat[ t (Ma,b )] = Cat(Ma,b ) = ∅,
voir le lemme (3.3.2)
"
#
1 1
Cat
= (Ma,b )σ , alors Cat[(Ma,b )σ ] = Cat(Ma,b ) = ∅, voir le corollaire
b a
1
2
avec σ =
∈ S2 .
2
1
"
#
h
i
1 b
a,b σ σ
a,b σ σ
Cat
= [(M ) ] , alors Cat [(M ) ] = Cat[(Ma,b )σ ] = ∅.
1 a
Lemme 3.4.4
: Soit M une matrice dénie par :
1 a
M=
.
b 1
Avec a,b ∈ N∗ , alors Cat(M) = ∅ si a>1 ou b>1.
Preuve : voir l'exemple (3.3.1).
3.5 Caractéristique d'Euler de catégorie
3.5.1 Inversion de Möbuis
Dénition 3.5.1
: Soit A une catégorie nie, on note par R(A) le Q−alg
/ Q , avec plus ponctuelle et la multiplication
`ebre de fonctions A × A
scalaire, multiplication dénie par :
X
(θφ)(a, c) =
θ(a, b)φ(b, c)
b∈A
(θ, φ ∈ R(A), a, c ∈ Ob(A)) avec δ l'unité.
La fonction ζA = ζ ∈ R(A) est dénie par ζ(a, b) = |A(a, b)|. Si ζ est
29
(3.3.7)
Caractéristique d'Euler de catégorie
inversible dans R(A) alors on dit que A admet une inversion de Möbius, et
l'inverse µ = ζ −1 ∈ R(A) est s'appelle la fonction Möbius de A, donc on
peut dire :
X
X
ζ(a, b)µ(b, c) = δ(a, c) =
µ(a, b)ζ(b, c).
b
Exemple 3.5.2
1. Soit
A
b
:
une catégorie monoïde avec sa matrice est
admet une inversion de Möbius inversible
et
ζ,
tel qua
M = (n), alors A
ζ(a, a) = |M| = n
µ(a, a) = 1/n.
2. si
MA =
alors
1
µA =
ad − bc
Dans ce cas,
a b
c d
,
d −b
−c a
.
MA admet l'inversion de Möbius si et seulement si ad−bc 6=
0.
Dénition 3.5.3
: Soit n ≥ 0, soit A une catégorie , et soit a, b ∈ Ob(A),
un n-chemin de a vers b est un diagramme déni par :
a = a0
f1
f2
/ a1
/
...
fn
/
an = b
(3.1)
Il est circuit, si a = b.
Lemme 3.5.4
: Les conditions suivantes sur une catégorie nie A sont équi-
valentes :
1. chaque idempotent 2 dans A est une identité
2. Tout endomorphisme de A est un automorphisme
3. chaque circuit dans un composé exclusivement sont des isomorphismes.
Preuve : La démonstration est dans la papier de Leinster voir [13].
Théorème 3.5.5 [13] :Soit A une catégorie nie dans laquelle les idempo-
tents seulement sont des identités. Alors A admet une inversion de Möbius
donnée par :
X
µ(a, b) =
(−1)n /|Aut(a0 )|...|Aut(an )|
où Aut(a) est le groupe des automorphismes de a ∈ A et la somme porte sur
tous les n ≥ 0 et chemins (3.1) pour lesquels a0 , ..., an sont toutes distinctes.
2. On dit que f est idempotent si f 2 = f
30
Caractéristique d'Euler de catégorie
Dénition 3.5.6
:
- En théorie des catégories, un épimorphisme (aussi appelé epi) est un
f
/ y qui est simpliable à droite de la manière suimorphisme x
vante :
/z.
g1 ◦ f = g2 ◦ f implique g1 = g2 pour tout morphisme g1 , g2 : y
f
x
/
y
g1 , g2
//
z
- Un épi-système (ε, M ) sur la catégorie A se compose d'une classe ε
des épimorphismes de A et d'une M , une classe des morphismes dans
A, satisfaisant les axiomes [FK].Les axiomes impliquent que ∀f morphisme dans A alors il existe (e, m) ∈ (ε, M ) tel que f = me, et s'il
existe (e0 , m0 ) ∈ (ε, M ) tel que f = m0 e0 alors e0 = ie et mi−1 avec i est
un isomorphisme dans A.
Théorème 3.5.7
:Soit A une catégorie nie avec un epi-système (ε, M ).
Alors A a une inversion de Möbius donnée par :
X
µ(a, b) =
(−1)n /|Aut(a0 )|...|Aut(an )|
où la somme porte sur toutes les 0 ≤ r ≤ n et n-chemin (3.1) tel que a0 , ..., ar
sont distinctes et ar , ..., an sont distinctes,f0 , ..., fr sont distinctes et fr , ..., fn
sont distinctes.
Preuve : Les objets de A et les èches ε déterminent une sous-catégorie
de
A,
E
a une inversion de Möbius
aussi notée
E,
qui vérie les hypothèses du théorème (3.5.5) et donc
ζE ,
La même chose pour
M
qui admet une
inversion de Möbius ζM .
Ob(A)
α∈Q
donne lieu à un élément de R(A) également noté α
Ob(A)
et déni par α(a, b) = δ(a, b)α(b). La morphisme résultant de Q
à R(A)
Ob(A)
préserve multiplication (où la multiplication des Q
est ponctuelle). Nous
Ob(A)
avons éléments |Aut| et 1/|Aut| Q
de A, où, par exemple, |Aut|(a) =
1
.ζM , donc A a une
|Aut(a)|. Par la propriété de l'épi-système, ζA = ζE . |Aut|
1
fonction Möbius donne par µA = µE .
.µ , et le théorème (3.5.5) donne
|Aut| M
Tout élément
la formule.
Dénition 3.5.8
: Soit A une catégorie nie, une pondération sur A est
une fonction :
/ Q tel que pour tout a ∈ Ob(A),
k∗ : A
X
ζ(a, b)k b = 1.
b
31
Caractéristique d'Euler de catégorie
Une copondération k∗ sur A est une pondération sur Aop .
On remarque si A admet une inversion de Möbius si et seulement si elle a
une pondération unique, si et seulement si elle a un copondération unique,
qui sont donnés par :
X
X
ka =
µ(a, b),
kb =
µ(a, b).
a
b
Étant donné une catégorie A ordonnée d'ordre n. Une pondération w∗ sur A,
est une couple(w1 , ..., wm ) ∈ Qm qui donne :

  
w1
1
 ..   .. 
ZA  .  =  . 
wm
1
Une copondération w∗ sur A, est une couple(w1 , ..., wm ) ∈ Qm qui donne :
(w1 ...wm )ZA = (1...1)
Exemple 3.5.9
:
A une catégorie monoïde dont l'objet est x,et sa matrice M = (m)
x
alors A a une pondération unique k = 1/|M | = 1/m.
1. Soit
2. Soit
A
une catégorie dénie par le diagramme suivant :
b1
?




a?
??
??
??
b2
On a
k∗
est unique sur
A
déni par
(k a , k b1 , k b2 ) = (−1, 1, 1).
En eet :
k b1 = µ(b1 , a)
k b2 = µ(b2 , a)
a
+ µ(b1 , b1 ) + µ(b2 , b2 ) = 0 + (−1)0 /1 + 0 = 1
+ µ(b2 , b2 ) + µ(b2 , b1 ) = 0 + (−1)0 /1 + 0 = 1.
k = µ(a, a) + µ(a, b1 ) + µ(a, b2 ) = (−1)0 /1 + (−1)/1 + (−1)/1 = −1.
Lemme 3.5.10
alors :
: Soit (Ai )1≤i≤n une famille des catégories nies avec n ≥ 0,
32
Caractéristique d'Euler de catégorie
P
1. Si Ai admet une ki∗ pour toute 1 ≤ i ≤ n alors
i Ai admet une
∗
a
a
pondération l dénie par l = P
ki avec a ∈ Ai .Si chaque Ai a une
inversion de Möbius alors encore i Ai admet une inversion de Möbius
qui dénit par :
µAi (a, b) si i = j
µ(a, b) =
0
si non
Q
2. Si chaque Ai a une pondération ki∗ alors i Ai a une pondération l∗
1 ,...,an )
dénie par l(aQ
= k1a1 ...knan .Si chaque ai admet une inversion de
Möbius alors i Ai a une inversion de Möbius qui est dénie par :
µ((a1 , ..., an ), (b1 , ..., bn )) = µ1 (a1 , b1 )...µn (an , bn ).
3.5.2 Caractéristique d'Euler
Lemme 3.5.11
: Soit A une catégorie
nie, k ∗ une pondération de A, et k∗
P a P
une copondération de A alors a k = a ka .
Preuve :
X
kb =
XX
b
X
X X
ka .
ζ(a, b)k b =
ka
ka ζ(a, b) k b =
a
a
b
b
a
Dénition 3.5.12
: Une catégorie nie A a Caratéristique d'Euler si elle
admet à la fois pondération et copondération. Le caractéristique d'Euler dénie par :
X
X
ka .
ka =
X (A) =
a
a
Pour toute pondération k et copondération k∗ .
Si A est une catégorie P
nie avec inversion de Möbius et admet de caractéristique d'Euler, χ(A) = a,b µ(a, b).
∗
Exemple 3.5.13
Soit
A
:
une catégorie monoïde d'ordre
Lemme 3.5.14
n
alors
X (A) = 1/n.
: Soit M une matrice carrée d'ordre 2 dénie par :
a b
MA =
c d
, si le déterminant est 6= 0 alors
χ(A) =
a+d−b−c
.
ad − bc
33
Caractéristique d'Euler de catégorie
Lemme 3.5.15
: Supposons que A est une catégorie ordonnée réduite avec
deux objets telle que :
1 b
MA =
.
c d
Si b > 0 et c > 0 alors A admet l'inversion de Möbius, et on a χ(A) > 0.
On a
A
est une catégorie ordonnée réduite associée à
6
On va démontrer ça dans le chapitre
det(M ) 6= 0
A
alors
MA
alors
d ≥ bc + 1.
voir le théorème (6.2.2), ce qui donne
admet l'inversion de Möbius.
D'autre part, le lemme (3.5.14) donne :
χ(A) =
1+d−b−c
.
d − bc
On a :
1 + d − b − c ≥ 2 + bc − b − c = (b − 1)(c − 1) + 1 > 0.
et
d − bc > 0
alors
χ(A) > 0.
Proposition 3.5.16
: Soient n ∈ N et A1 , ..., An des catégories
nies
Q telles
P
que chaqu'une admette une caractéristique d'Euler.Alors i Ai et i Ai a
caractéristique d'Euler,
X
X
Y
Y
χ(
Ai ) =
χ(Ai ),
χ( Ai ) =
χ(Ai ).
i
i
i
i
Preuve : Voir le lemme (3.5.10).
Un cas particulier important est quand
ZA
est inversible. Alors
A
est dit
inversion Möbius, il y a une pondération unique et une copondération unique,
−1
et χ(A) est la somme des entrées de (ZA ) .
3.5.3 Série de caractéristique d'Euler
Dénition 3.5.17
: Étant donnée une catégorie nie c, notons c0 l'esemble
de ses objets , c1 l'esemble de ses morphismes, c2 l'ensemble de ses couples
de morphismes composables et cn l'esemble de ses n-uples composables :
(c1 , ..., cn ) avec α(ci ) = β(ci+1 ).
où α et β désignent les applications source et but.
On obtient alors un ensemble appelé le nerf de c note par N (c) :les applications de face sont données par la composition de deux morphismes successifs
et par la suppression du premier ou du dernier morphisme, les applications
de dégénérescence sont données en insérant des morphismes identiques.
34
Caractéristique d'Euler de catégorie
Soit
m ∈ N,
matrice
et soit s :
M ∈ Mn (N)
/
Mn (N)
N avec s(M ) =
P
i,j
on a adjoint de la matrice notée par
mij .
Pour chaque
adj(M )
avec,
adj(M ) × M = M × adj(M ) = det(M ) × I.
Étant donné un ensemble simplicial X avec seulement un nombre ni de simplexes de chaque dimension, soit
P
n
et fx (t) =
n∈N cn t ∈ Q[[t]].
Soit
A
cn
le nombre de
n-simplexes non dégénérés,
une catégorie nie avec la chaine non-dégénée suivante :
φ1
x0
On note
/ x1
φ2
/
···
φn
/ xn
.
(3.2)
fA = fN (A) ∈ Q[[t]].
Théorème 3.5.18
(dans Q).
: Pour toute catégorie nie A, la série fA est rationnelle
Preuve : On ordonne les objets de A par a1 , ..., am , soit ZA la matrice
de
A;
pour chaque
i
et
j,
le nombre de non-identité èches de
ai
vers
aj .
Le
nombre n-simplexes non-dégénérée(3.2) à partir de ai et se terminant à aj
n
est ((ZA i − I) )ij D'où, le total cn nombre de n-simplexes non dégénérées est
n
s((ZA i − I) ), d'où le resultat.
S
Comme
fA
est rationnel alors,
fA (−1) ∈ Q {∞}
Dénition 3.5.19
: une catégorie A nie a séries caractéristique d'Euler si
fA (−1) ∈ Q, dans ce cas, cette série caractéristique d'Euler est χP (A) =
fA (−1).
Avec ,
s(adj(I − (ZA − I)t))
.
fA (t) =
det(I − (ZA − I)t
Voir cette notation dans [Berger et Leinster [4]].
Exemple 3.5.20
: Si A est une catégorie Monoïde d'ordre n, alors χP =
1/n.
Un changement de variable sera utile,
gA (u) =
Donc
fA (t) = (1 − u)gA (u)
u = 1 + 1/t
alors,
s(adj(ZA − uI))
∈ Q(u)
det(ZA − uI)
ce qui donne
35
χP (A) = gA (0)
Caractéristique d'Euler de catégorie
Théorème 3.5.21
: Soient A une catégorie nie à pondération et copondération, et ZA est une matrice diagonalisable, alors A a série de caractéristique
d'Euler.
Preuve :Puisque ZA est diagonisable alors il existe une matrice inversible
P et une matrice diagonale D sur (λ1 , ..., λm ) les vecteurs propres telle que :
ZA = P DP − 1, et on suppose A a pondération w∗
Pour tout n ∈ N,
X
X
s((ZA − I)n ) =
Pij (λj − 1)n (P −1 )jk =
pj p0j (λj − 1)n .
j∈m
i,j,k∈m
pj
Avec
de
P
0
la somme de j-ème colonne de
P , et p0j
est la somme de le j-ème ligne
alors,
fA (t) =
X
cn tn =
n∈N
X
s((ZA − I)n )tn =
XX
pj p0j (λj − 1)n tn
n∈N j∈m
n∈N
=
X
=
X
pj p0j
j∈m
X
[(λj − 1)t]n
n∈N
pj p0j ×
j∈m
1
1 − (λj − 1)t
pj p0j
=
1 − (λj − 1)t
j∈m
X
Il sut de prouver que
j-ème colonne de
P
pj p0j = 0
pour tous les j tels que
λj = 0 ,
alors,
pj = (1....1)Pj = w∗ ZA Pj = w∗ λj Pj = 0.
Donc :
χ (A) = fA (−1) =
P
X pj p0j
j∈m
36
λj
.
ensuite
Pj
Chapitre 4
Partitions de Matrice
4.1 Introduction
Étant donné
la relation
R
A une catégorie nie ordonnée a n objets x1 , ..., xn ,On dénit
sur l'ensemble des objets par :
xi Rxj
si et seulemnt si
|A(xi , xj )| > 0
et
|A(xj , xi )| > 0.
R est une relation d'équivalence, donc on aura
Ob(A)/R = {u1 , ..., uq , v1 , ..., vp } avec chaque ui qui est une classe des objet
qui contient au moins une onbjet x tel que |A(x, x)| = 1, et chaque vi est
une classe des objets y tel que |A(y, y)| > 1.
Nous
vérions
que
u1 = {λ0 , ..., λ|u1 | }
v1 = {φ1 , ..., φ|v1 | }
.
.
.
et
.
.
.
uq = {α0 , ..., α|uq | }
alors
vp = {ϕ1 , ..., ϕ|up | }
Ob(A) = {λ0 , λ1 , ..., α0 , α1 , ..., φ1 , φ2 , ..., ϕ1 , ϕ2 , ...}.
Soit
M = (mij )
une matrice associée à
matrice à travers de la relation
R
A,
alors nous pouvons diviser la
en plusieurs blocs par exemple :
37
Constriction d'une relation d'équivalence sur l'ensemble d'objets d'une
catégorie nie
M une matrice dénie par :


1 b c d a
 e f k l n 



M=
 0 0 1 x 0  , avec Cat(M) 6= ∅,
 0 0 q m 0 
r y z t s
Soit
Comme
Cat(M) 6= ∅
et les lettres sont diérents de zéro.
alors, il existe une catégorie
A
associée à
M
telle que :
Ob(A)/R = {λ, β} et Ob(A) = {λ0 , λ1 , λ2 , β 0 , β 1 }.




1 b a
c d
 e f n  est une bloc associé à λ,  k l  est une bloc associé à λ vers β .
r y s
z t
1 x
0 0 0
est une bloc associé à β ,
est une bloc associé à β vers λ.
q m
0 0 0
4.2 Constriction d'une relation d'équivalence
sur l'ensemble d'objets d'une catégorie nie
∈ N∗ , et A une catégorie associée à M dont les objets sont Ob(A) = {x1 , ...., xn } et
HomA = A(xi , xj ) = {f1 , ..., faij } avec fs : xi 7−→ xj .
Soient
M=(aij )1≤i,j≤n
∈ Mn (N)
tel
que
n
Dénition 4.2.1
: On considère une relation R sur Ob(A) dénnie par :
soient xi , xj ∈ Ob(A). Alors ;


 HomA (xi , xj ) 6= ∅
 |HomA (xi , xj )| = aij > 0
et
et
xi Rxj ⇐⇒
=


HomA (xj , xi ) 6= ∅
|HomA (xj , xi )| = aji > 0
Lemme 4.2.2
: R est une relation d'équivalence sur Ob(A).
Preuve :
38
Constriction d'une relation d'équivalence sur l'ensemble d'objets d'une
catégorie nie
xi ∈ Ob(A), comme idxi ∈ Hom(xi , xi )
aij > 0 et xi R xi , donc R est réexive.
1. Soit
alors
|HomA (xi , xj )| =
(xi , xj ) ∈ [Ob(A)]2 tel que xi R xj , alors :


 HomA (xi , xj ) 6= ∅
 HomA (xj , xi ) 6= ∅
et
et
xi Rxj ⇐⇒
=
⇐⇒ xj Rxi ,


HomA (xj , xi ) 6= ∅
HomA (xi , xj ) 6= ∅
2. soient
donc
R
est symétrique.
(xi , xj , xk ) ∈ [Ob(A)]3 , tel que xi Rxj et xj Rxk alors,
HomA (xi , xj ) 6= ∅ et HomA (xj , xk ) 6= ∅.
Comme HomA (xi , xj ) 6= ∅ et HomA (xj , xk ) 6= ∅ alors, il existe au
moins deux morphismes f ∈ HomA (xi , xj ) et g ∈ HomA (xj , xk ), donc
le morphisme g ◦ f ∈ HomA (xi , xk ) ce qui donne xi Rxk .
De la même façon, on trouve un morphisme dans HomA (xk , xi ) ce qui
donne xi Rxk .
Alors R est transitive.
3. soient
Donc
R
est une relation équivalence.
Lemme 4.2.3
M = MA .
: La relation d'équivalence R ne dépend que de la matrice
Preuve : D'après la dénition.
Exemple 4.2.4
:
1. La catégorie
A
dont les objets sont
n
o
xi = {1, ..., i}/i ∈ N∗ , i ≤ n ,
et
les morphismes sont les applications bijectives avec la loi de composition
usuelle, et sa matrice est
Pour tout
i, j ∈ {1, ..., n}
M
voir l'exemple (2).
tel que
i 6= j ,
on a
x i R xj .
2. La même catégorie précédent mais les morphismes sont les applications
M voir l'exemple (3).
i, j ∈ {1, ..., n} tel que i 6= j , on a xi R xj .
injectives,et sa matirce
Pour tout
Lemme 4.2.5
: Soient M ∈ Mn (N) une matrice triangulaire supérieure ou
inférieure telle que Cat(M) 6= ∅, et A une catégorie d'ordre n associée à M,
alors xi R xj pour tout xi 6= xj sont des objets de A.
On peut savoir si Cat(M) = ∅ ou non quand M est triangulaire supérieure
voir le théorème (7.2.3) et le corollaire (7.2.4).
Ce cas des matrices triangulaires superieures est bien sûr un corollaire du
théorème (7.3.1).
39
Les catégories avec une nouvelle notation
En eet :
On suppose que
a
M
est une matrice triangulaire supérieure c.à.d
∀i > j
on
aij = 0.
D'autre part, soient
xi , xj ∈ Ob(A)
tel que
i 6= j ,
alors il y a deux cas :
1. si
i>j
alors
aij = |Hom(xi , xj )| = 0,
donc
xi R xj
2. si
i<j
alors
aji = |Hom(xj , xi )| = 0,
donc
xi R xj .
D'où
x i R xj
pour tout
i 6= j .
4.3 Les catégories avec une nouvelle notation
Théorème 4.3.1
: Soit A une catégorie nie d'ordre n. On peut partitionner
l'ensemble des objets en plusieurs classes pour la relation R et ces classes sont
de deux types (voir ci-dessous).
Preuve :On considère la relation R sur Ob(A) voir la dénition (4.2.1),
R(xi ) = {xj ∈ Ob(A)/xi Rxj }.
R est une relation d'équivalence voir (4.2.1), alors on a l'ensemble
quotient Ob(A)/R = {R(xi )/xi ∈ Ob(A)}={U1 , .....Up , V1 , ....., Vq } qui représente un partition de l'ensemble des objets, avec Ui les classes qui contiennent
au moins xj tel que |HomA (xi , xi )| = 1 pour tout i ∈ {1, ..., p}, et Vj les
classes qui ne contiennent aucun xs tel que |HomA (xs , xs )| = 1 pour tout
i ∈ {1, ..., q}.
Donc on peut partager l'esemble Ob(A) en classes Ui et Vj qui sont des élé1
ments dans P(Ob(A)).
et on note
Comme
Exemple 4.3.2
:
A la catégorie associée à M voir la partie
eet R(xi ) = {xi } pour tout i ∈ {1, ..., n}.
Soit
Preuve :
Par l'absurde, soit
existe
xj ∈ R(xi )
(3) dans l'exemple (3.2.2), en
xi ∈ Ob(A) tel que R(xi ) n'est pas singleton c.à.d il
i 6= j (on pose i < j ), alors xi Rxj ce qui donne
avec
1. L'ensemble des parties de Ob(A)
40
Les catégories avec une nouvelle notation
|HomA (xi , xj )| > 0
et
|HomA (xj , xi )| > 0,
donc il existe au moins deux
applications injectives :
/ {1, ..., j} et G : {1, ..., j}
F : {1, ..., i}
G est injective ce qui donne j ≤ i une contradicition
pour tout i ∈ {1, ..., n}.
/
, donc
{1, ..., i} ,
R(xi ) = {xi }
Dénition 4.3.3
: Soit A une catégorie nie d'ordre n, on considère la
relation R sur A avec Ob(A)/R = {U1 , ..., Up , V1 , ..., Vq } = U ∪ V avec U =
{U1 , ..., Up } et V = {V1 , ..., Vq }.
Soit λ ∈ Ob(A)/R, on dénit la nouvelle notation de l'objet par :
i
- λ avec 0 ≤ i ≤ |λ| si λ ∈ U .
i
- λ avec 1 ≤ i ≤ |λ| si λ ∈ V , les objets qui n'ont que l'identité comme
0
endomorphismes, sont les λ .
i j k
Ensuite, les morphismes seront notés λ µ X où X désigne une lettre majuscule, eventuellement avec un exposant
k
qui pourrait être paire.
Le choix de le lettre désignera le type de morphisme.
i j
On commence avec les notations pour les morphismes λ λ X .
i i
D'abord, pour l'identité on écrira λ λ I (pas besoin d'exposant car il n'y
i
a qu'un seul identité pour chaque objet λ ).
i j u,v
Ensuite, on aura des morphismes de la forme λ λ F
avec les conditions
suivantes : on a
i
1 ≤ u ≤ a(λ ) = |HomA (x1 , xi )|, et 1 ≤ v ≤ b(λj ) = |HomA (xj , x1 )|
0
0
(si λ ∈ U alors a(λ ) = 1 et b(λ ) = 1).
A, une catégorie MA = (mij ) :
- mii > m1i mi1 c.à.d |HomA (xi , xi )| > |HomA (x1 , xi )||HomA (xi , x1 )|,
- mij ≥ mi1 m1j c.à.d |HomA (xi , xj )| ≥ |HomA (xi , x1 )||HomA (x1 , xj )|
i j u,v
avec i 6= j , donc on peut dénir un morphisme par λ λ F
avec
i
j
1 ≤ u ≤ a(λ ), 1 ≤ v ≤ b(λ ).
Dans le chapitre (6) on va démontrer que si on a
nie, alors il y a des conditions sur les coecients de
En particulier pour
v = 1.
i = 0
il n'y a que
u = 1,
On établira la convention que
λ0 λ0 F 1,1 = λ0 λ0 I
est l'identité ; cependant pour
i>0
on a
λi λi F 1,1 6= λi λi I.
41
pour
j = 0
il n'y a que
Blocs des matrices
λ ∈ U , i = 0, etj = 0, ces morphismes sont
Pour i, j ≥ 1, et dans tous les cas λ ∈ V , on
i j k
morphismes de la forme λ λ G , pour
Pour
1 ≤ k ≤ M (λi , λj ) − a(λi )b(λj )
si
les seuls morphismes.
peut avoir en plus des
i 6= j
ou pour
1 ≤ k ≤ M (λi , λj ) − a(λi )b(λj ) − 1
si
i = j.
Ce nombre de morphismes supplémentaires peut être égal à 0. Dans ce cas, il
k
n'y en a pas. Ces G s'occupent de la technique d'ajouter des morphismes.
i j
On considère maintenant les morphismes dans le cas λ µ avec λ > µ
i
j
(c.à.d, M (λ , µ ) > 0∀i, j ), et en supposent par exemple que λ, µ ∈ U . Il y
i j k
i j k
i j k
i j k
aura les types de morphismes suivants : λ µ A , λ µ B , λ µ C , λ µ D
i j k
Pour λ µ A ,
0
0
1 ≤ k ≤ M (λ , µ ).
Pour
λi µj B k ,
1 ≤ k ≤ M (λi , µ0 ) − M (λ0 , µ0 ).
Pour
λi µj C k ,
1 ≤ k ≤ M (λ0 , µj ) − M (λ0 , µ0 ).
Pour
λi µj D k ,
1 ≤ k ≤ M (λi , µj ) − M (λi , µ0 ) − M (λ0 , µj ) + M (λ0 , µ0 ).
4.4 Blocs des matrices
Dénition 4.4.1
: Soient M une matrice carrée d'ordre n tel que Cat(M) 6=
∅, et A une catégorie associée à M soumise à la relation R et λ, β ∈
Ob(A)/R.
On dit qu'un bloc associé à λ est la sous-matrice qui consiste à des modules
de morphismes de la forme λi λj pour tout i, j ≤ |λ|, et une bloc associé à
λ vers β la sous-matrice qui consiste à des modules des morphismes de la
forme λi β j pour tout i ≤ |λ| et j ≤ |β|.
Exemple 4.4.2
:
42
Blocs des matrices
M une matrice dénie par :


1 b c d
 e f k l 

M=
 0 0 1 x  , avec Cat(M) 6= ∅
0 0 q m
1. Soit
et
b, c, d, e, f, k, l, x, q et m > 0.
Cat(M) 6= ∅ alors il existe une catégorie A associé à M tel
0
1
0
1
que Ob(A)/R = {λ, β} et Ob(A) = {λ , λ , β , β }.
1 b
c d
est un bloc associé à λ,
est un bloc associé à λ vers β .
e f
k l
1 x
0 0
est un bloc associé à β ,
est un bloc associé à β vers λ.
q m
0 0
Comme
M une matrice dénie par :


1 b c d a
 e f k l n 


 , avec Cat(M) 6= ∅,
0
0
1
x
0
M=


 0 0 q m 0 
r y z t s
2. Soit
et les lettres sont diérents de zéro.
Cat(M) 6= ∅ alors il existe une catégorie A associée à M tel
0
1
2
0
1
que Ob(A)/R = {λ, β} et Ob(A) = {λ , λ , λ , β , β }.




1 b a
c d
 e f n  est un bloc associé à λ,  k l  est un bloc associé à λ vers β .
r y s
z t
1 x
0 0 0
est un bloc associé à β ,
est un bloc associé à β vers λ.
q m
0 0 0
Comme
43
Chapitre 5
réduite des catégories et des
matrices
5.1 Dénition d'une catégorie réduite et d'une
matrice réduite
Dénition 5.1.1
: Soit A une catégorie d'ordre n dont les objets
{x1 , . . . , xn }. On dit que xi et xj sont isomorphes(xi ∼
= xj ) s'il existe deux
morphismes f ∈ HomA (xi , xj ) et g ∈ HomA (xj , xi ) tels que f g = idxj et
gf = idxi .
Remarque 5.1.2
: Soient xi ∈ Ob(A) et xj ∈ Ob(A) sont deux objets isomorphes alors, pour tout objet xk ∈ Ob(A) on a des isomorphismes d'ensembles :
HomA (xk , xi ) ∼
= HomA (xk , xj ) et HomA (xi , xk ) ∼
= HomA (xj , xk ).
∼
D'autre part, si MA = (mij ) et xi = xj alors mik = mjk et mki = mkj pour
tout k.
En eet :
xi ∼
= xj alors, il existe deux morphismes f ∈ HomA (xi , xj )
g ∈ HomA (xj , xi ) tels que f g = idxj et gf = idxi .
On pose
On dénit les applications suivantes :
F : A(xk , xi )
h
/
/
44
A(xk , xj )
F(h) = f h
et
Dénition d'une catégorie réduite et d'une matrice réduite
G : A(xk , xj )
u
Soit u∈
Alors
A(xk , xj ),
on a :
/
/
FG(u) =
=
=
=
=
F[G(u)]
F(gu)
f (gu)
(f g)u
u.
GF(h) =
=
=
=
=
G[F(h)]
G(f h)
g(f h)
(gf )h
h.
A(xk , xi )
G(u) = gu
FG = idA(xk ,xj ) .
Soit h∈
A(xk , xi ),
on a :
GF = idA(xk ,xi ) .
Donc HomA (xk , xi ) ∼
= HomA (xk , xj ).
La même HomA (xi , xk ) ∼
= HomA (xj , xk )
Alors
avec
h 7→ hg
et
u 7→ uf .
Dénition 5.1.3
:Soit A une catégorie telle qu'il existe deux objets distincts
xi et xj (i 6= j ) qui sont isomorphes, on dira que A est non-réduite. On dira
que A est réduite, sinon c'est-à-dire si deux objets distincts sont toujours
non-isomorphes. On dira qu'une matrice M est non-réduite s'il existe i 6= j
tel que
∀k, Mki = Mkj
et
∀k, Mik = Mjk ,
cela veut dire que la ligne i égale la ligne j et la colonne i égale la colonne j .
On dira qu'une matrice M est réduite si elle n'est pas non-réduite.
Exemple 5.1.4
soit
A
:
la catégorie dont les objets sont
n
{1}, {1, 2}, ..., {1, 2, ..., n}
o
et les
morphismes sont les applications injectives voir (3).
A est réduite sinon, alors il existe i 6= j (par
xi = {1, ..., i} ∼
= {1, ..., i, ..., j} = xj , ce qui donne
45
exemple
i < j ) tel que
A(x1 , xi ) et
les ensembles
Théorème de matrice réduite
A(x1 , xj ) sont isomorphes alors ils ont la même cardinale, donc |A(x1 , xi )| =
i = A(x1 , xi ) = j contradiction.
D'autre part, la matrice MA est aussi réduite.
Lemme 5.1.5
: D'après le début ci-dessus, on obtient que si A est nonréduite, alors M est non-réduite.
Donc, par contraposé si M est réduite alors A est réduite. Le contraire n'est
pas forcémment vrai.
Preuve :
mais
M est non-réduite,
on peut avoir une catégorie A d'ordre 2 dont la
2 2
2
M2 =
.
2 2
il peut exister une catégorie
A réduite,
par exemple
matrice non-réduite est
A
telle que
sont non-isomorphes et donc A réduite.
2
On parlera plus des catégories associées à la matrice M2 dans le chapitre 9.
Mais telle que les deux objets de
A
5.2 Théorème de matrice réduite
Théorème 5.2.1
: Si M une matrice non réduite, on peut réduire M en
une sous-matrice N qui est réduite telle que Cat(M) =
6 ∅ si et seulement si
Cat(N ) 6= ∅.
En eet :
Supposons que
M
est une matrice
n×n
non-réduite. On peut dénir une
rélation d'équivalence sur l'ensemble d'indices
si
∀k, Mki = Mkj
et∀k,
Mik = Mjk .
{1, . . . , n}
en disant que
i∼j
Celle-ci est symétrique, réexive et
transitive. On obtient donc une partition de l'ensemble d'indices en réunion
disjointe de sous-ensembles
{1, . . . , n} = U1 t U2 t · · · t Um
avec
Ua ∩ Ub = ∅,
telle que tous les éléments d'un ensemble
Ua
donné sont
Ua ne sont pas équivalents aux éléments de Ub
a 6= b. (Ce sont les classes d'équivalence pour la rélation d'équivalence).
Choisissons un représantant r(a) ∈ Ua pour chaque classe d'équivalence.
équivalents, et les éléments de
pour
46
Théorème de matrice réduite
Dans l'autre sens, on note par
i ∈ Uc(i) .
Ici
c(i)
c(i) ∈ {1, . . . , m}
l'unique élément tel que
est la classe d'équivalence contenant
i.
On a
c(r(a)) = a
r(c(i)) n'est pas
r(c(i)) ∼ i. On obtient
mais
toujours égale à
i
: ils sont seulement équivalents
une sous-matrice de taille
m×m
Nab := Mr(a),r(b) .
r(a) < r(b) pour a < b : on choisit
Ua par ordre
croissant à partir de leur plus petit élément. Dans ce cas N est vraiement
une sous-matrice de M. Notons que N est réduite, puisque les éléments de
Ua et Ub ne sont pas équivalents pour a 6= b. Si A est une catégorie dont la
matrice est M, on obtient une sous-catégorie pleine B ⊂ A qui consiste en
objets r(a) seulement, a = 1, . . . , m. La matrice de B est N .
On conclut que si M marche, alors N marche. L'équivalence entre i et r(c(i))
implique que pour tout k on a
Il est à noter qu'on peut faire de sorte que
r(a)
le plus petit élément de
Ua ,
et on numérote les classes
Mk,i = Mk,r(c(i)) , Mi,k = Mr(c(i)),k .
On déduit que pour tout
i, j
on a
Mi,j = Mr(c(i)),j = Mr(c(i)),r(c(j)) = Nc(i),c(j) .
Ceci indique comment aller dans l'autre sens.
Supposons que
y1 , . . . , ym
x1 , . . . , x n
B
est une catégorie dont la matrice est
les objets de
en posant
B.
On dénit une catégorie
A
N.
Notons par
avec objets notés
A(xi , xj ) ∼
= B(yc(i) , yc(j) ).
Si on veut être plus precis on pourrait dénir
A(xi , xj ) := {(i, j, β),
La composition est la même que celle de
β ∈ B(yc(i) , yc(j) )}.
B,
c.à.d
(i, j, β)(j, k, β 0 ) := (i, k, ββ 0 ).
De même pour les identités, l'associativité et les règles des identités sont
faciles à vérier. Donc
A
est une catégorie.
On a :
|A(xi , xj )| = |B(yc(i) , yc(j) )| = Nc(i),c(j) = Mi,j .
47
Réduction et classication des matrices
Donc
A
correspond à la matrice
M.
De cette discussion on conclut :
M,
Étant donnée une matrice non-réduite
tion précédente une sous-matrice
si et seulement si
N
N
on peut établir par la construc-
qui est réduite, telle que
marche. La sous-matrice
N
M
marche
est unique à permutation
d'indices près.
Exemple 5.2.2
:

Soit
M = (mij )
telle que :
1
 1
M=
 3
1
1
2
3
1
Preuve :On remarque mk1 = mk4
est réduit à
N
et
2
2
7
2

1
1 
,
3 
1
on a
m1k = m4k
Cat(M) 6= ∅.
pour tout k, alors
M
qui est dénie par :


1 1 2
N =  1 2 2 ,
3 3 7
on a
Cat(N ) 6= ∅
voir Lemme (6.3.3).
5.3 Réduction et classication des matrices
Lemme 5.3.1
: Soit M = (mij ) une matrice réduite avec mi,j > 0 pour tout
i,j et s'il existe i 6= j tels que mii = mjj = 1, alors Cat(M) = ∅.
En eet :
Cat(M) 6= ∅ alors il existe une catégorie A associée à M, et
comme M est réduite alors A est réduite.
D'autre part, on a mi,j > 0 et mji > 0 ce qui donne A(xi , xj ) > 0 et
A(xj , xi ) > 0, alors il existe f ∈ A(xi , xj ) et g ∈ A(xj , xi ) ; donc f g = idxj
et gf = idxi car |A(xi , xi )| = mii = 1 et |A(xj , xj )| = mjj = 1 alors, A est
non-réduite contradiction donc Cat(M) = ∅.
On suppose que
Théorème 5.3.2 (Berger et Leinster [4])
: Soit M = (mij )1≤i,j≤n une
matrice carrée dont les coecients sont des entiers naturels et mii ≥ 2 pour
tout 1 ≤ i ≤ n, alors Cat(M ) 6= ∅ (c.à.d il existe une catégorie associée à
M).
48
Réduction et classication des matrices
En eet :
M = (mij )
nii := mii − 1.
Soit
de taille n avec
mii ≥ 2,
nij := mij
pour
i 6= j
et
N dont les objets sont
{1, 2, ....., n}, pour tout couple (i, j) on a une èche Φij :i → j tel que Φii 6= 1ii ,
la loi de composition dénie par si f : i → j et g : j → k Φij alors gf = Φik .
Ensuite on peut dénir une catégorie B en rajoutant à A les identités, pour
tout i on a 1ii : i → i, alors la matrice de B est M donc Cat(M ) 6= ∅.
On peut dénir une semi-catégorie
A
on pose
49
associée à
Chapitre 6
Classication des matrices
strictement positives
6.1 Introduction
Soit
M = (mij ) > 0.
Cat(M ). et
Cat(M ) 6= ∅ ou non.
On va étudier l'état de
les conditions nécessaires pour vérier
nous cherchons
On utilise plusieurs étapes pour arriver à une matrice générale strictement
positive.
Dans la premiére section de ce chapitre on va étudier l'état de
M
Cat(M )
si
d'ordre 2 par exemple :
Si
avec
a, b, c, d > 0,
alors
M=
C at(M ) 6= ∅
a b
c d
si on a
,

a=b=c=d=1




ou




 d = 1, a ≥ bc + 1
ou


a = 1, d ≥ bc + 1




ou



a > 1, d > 1.
Ensuite dans la deuxième section le cas où
50
M
matrice d'ordre 3, on arrive
Classication des Matrices carrées doubles strictement positives
au résultat suivant :

Soit

z a b
M =  c n m  une
p q r
si on a
matrice triple stictement positive.
z ≥ 1,n > ac ,r > bp, m ≥ bc
et
q ≥ ap
alors
C at(M ) 6= ∅.
Dans la derniére section, on étudie le cas général de matrice strictement
positive, et nous trouvons le résultat suivant :
∗
Soit M = (mij ) ∈ Mn (N ) une matrice réduite, alors on peut savoir la valeur
de
Cat(M)
1. Si
par les études suivantes :
mii > 1∀ ≤ i ≤ n,
Cat(M) 6= ∅
alors
2. S'il existe au moins une
i
0
tel que
.
mi0 i0 = 1
dans ce cas on a deux
possibilités :
(a) si
i0
le seul indice que
mi0 i0 = 1,
alors l'étude de
Cat(M) 6= ∅
dans
le théorème (6.3.9)
{i1 , i2 , ....etc} diérents
= ... = 1 alors Cat(M) = ∅.
(b) s'ils existe d'autres indices
mi1 i1 = mi2 i2
de
i0
tels que ;
6.2 Classication des Matrices carrées doubles
strictement positives
Soit
M
une matrice carrée strictement positives dénie par :
m11 m12
m21 m22
,
avec
mij ≥ 1
pour tout
i, j ∈ 1, 2.
6.2.1 Classication des Matrices strictement positives
d0ordre 2 à un seul coecient diagonale unité
Dénition 6.2.1
: On dit que M = (mij )1≤i,j≤2 ∈ M2 (N∗ ) est une matrice
strictement positives d0 ordre 2 à un seul coecient diagonale unité, si m11 =
51
Classication des Matrices carrées doubles strictement positives
1 ou m22 = 1.
Donc on peut dénir M par :M =
1 b
c d
ou
a b
c 1
, avec a,b,c et d > 1.
Théorème 6.2.2
: Soit M une matrice strictement positives d0 ordre 2 á un
seul coecient diagonale unité dénie par :
a b
M=
,
c d

 d ≥ bc + 1 si a = 1
ou
alors Cat(M) 6= ∅ si et seulement si

a ≥ bc + 1 si d = 1
⇒ : On peut supposer qu'on est dans le cas a = 1.
On a Cat(M) 6= ∅, alors on va démontrer que d≥ bc + 1.
Soit A une catégorie associée à M ,Comme tous les coecientes de la matrice
sont strictement positifs alors il y a une seule classe équivante notée λ ∈ U
voir le théorème (4.3.1).
Donc
A
est une catégorie associée à
M
dont les objets sont
λ={λ0 , λ1 },
et
les morphismes sont dénis par :
A(λ0 λ0 ) = {idλ0 }
A(λ1 λ1 ) = {λ1 λ1 Gu,v /il
y a d morphismes}
A(λ0 λ1 ) = {λ0 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a(λ0 ) = 1, 1 ≤ v ≤ b(λ1 ) = b}
= {λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ b}
A(λ1 λ0 ) = {λ1 λ0 Gu,v /1 ≤ u ≤ a(λ1 ) = c, 1 ≤ v ≤ b(λ0 ) = 1}
= {λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c}
On a :(λ
1 0
λ Gu,1 )(λ0 λ1 G1,v )=idλ0
pour tout u,v.
D'abord on va étudier quelques remarques.
Remarque 6.2.3
: Il n'existe pas u,v telque (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )=idλ1 .
Preuve : On suppose il existe u,v tel que
(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v ) =idλ0
alors
52
(λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )=idλ1 ,
on a :
Classication des Matrices carrées doubles strictement positives
(λ0 λ1 G1,v ) = (λ0 λ1 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 )(λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v )
= (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v )
= (λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v )
ce qui donne
(λ0 λ1 G1,v ) = (λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v ).
D'autre part,
(λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 ) =
=
=
=
Ce qui donne
(λ1 λ1 Gn,m ) = idλ1
(λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )
idλ1
(λ1 λ1 Gn,m ) (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )
(λ1 λ1 Gn,m ).
contradiction donc u,v
∃.
Remarque 6.2.4
: S'il existe u,v tel que (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )=(λ1 λ1 Gn,m ),
alors (λ1 λ1 Gn,m )(λ1 λ1 Gn,m ) = (λ1 λ1 Gn,m )2 = (λ1 λ1 Gn,m )
En eet : Ona :(λ
1 0
λ Gu,1 )(λ0 λ1 G1,v )=idλ0
alors
(λ0 λ1 G1,v ) = (λ0 λ1 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 )(λ0 λ1 G1,v )
= (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ0 λ1 G1,v )
= (λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v ).
Ce qui donne
(λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v ) = (λ0 λ1 G1,v ).
D'autre part,
(λ1 λ1 Gn,m )(λ0 λ1 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 ) =
=
=
=
=
Donc
(λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )
(λ1 λ1 Gn,m )
(λ1 λ1 Gn,m ) (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )
(λ1 λ1 Gn,m )(λ1 λ1 Gn,m )
(λ1 λ1 Gn,m )2 .
(λ1 λ1 Gn,m )2 = (λ1 λ1 Gn,m ).
Remarque 6.2.5
p = v.
: Si (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )=(λ0 λ1 G1,p )(λ1 λ0 Gu,1 ), alors
53
Classication des Matrices carrées doubles strictement positives
Preuve :
0 1 1,v 1 0 u,1 0 1 1,p
(λ λ G )(λ λ G ) (λ λ G ) =
=
=
=
=
Donc
(λ0 λ1 G1,v )=(λ0 λ1 G1,p ),
Remarque 6.2.6
p = u.
(λ0 λ1 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 )(λ0 λ1 G1,p )
(λ0 λ1 G1,v )
0 1 1,p 1 0 u,1 0 1 1,p
(λ λ G )(λ λ G ) (λ λ G )
(λ0 λ1 G1,p ) (λ1 λ0 Gu,1 )(λ0 λ1 G1,p )
(λ0 λ1 G1,p ).
ce qui donne
v = p.
: Si (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )=(λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gp,1 ), alors
Preuve :
(λ1 λ0 Gp,1 )(λ0 λ1 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 ) =
=
=
=
=
=
(λ0 λ1 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 )(λ0 λ1 G1,p )
(λ1 λ0 Gu,1 )
(λ1 λ0 Gp,1 ) (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )
(λ1 λ0 Gp,1 ) (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gp,1 )
1 0 p,1 0 1 1,v 1 0 p,1
(λ λ G )(λ λ G ) (λ λ G )
(λ1 λ0 Gp,1 ).
1 0 u,1
Donc =(λ λ G
)=(λ1 λ0 Gp,1 ) , ce qui donne
p = u.
Remarque 6.2.7
: Il n'existe pas u 6= m et v 6= n tel que :
(λ λ G )(λ λ G )=(λ0 λ1 G1,n )(λ1 λ0 Gm,1 )
0 1
1,v
1 0
u,1
Preuve : par l'absurde, s'il existe u 6= m et v
(λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )=(λ0 λ1 G1,n )(λ1 λ0 Gm,1 )
6= n
tel que :
alors
1 0 m,1 0 1 1,v 1 0 u,1
(λ λ G )(λ λ G ) (λ λ G ) =
=
=
=
=
Donc
m=u
idλ0 (λ1 λ0 Gu,1 )
(λ1 λ0 Gu,1 )
(λ1 λ0 Gm,1 ) (λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )
(λ1 λ0 Gm,1 ) (λ0 λ1 G1,n )(λ1 λ0 Gm,1 )
(λ1 λ0 Gm,1 ).
contradiction.
La remarque (6.2.6) donne
d ≥ bc
et comme
54
(λ0 λ1 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) 6= idλ1
Classication des Matrices carrées doubles strictement positives
pour tout
u
et
v
voir la remarque (6.2.3), ce qui donne
d ≥ bc + 1.
⇐) Soit d ≥ bc + 1,
Pour d=bc+1
On dénit
A
on va démontrer que
d − 1 ≥ bc,
donc
Cat(M) 6= ∅.
une catégorie dont les objets sont
λ0 , λ1
et les morphismes
sont dénis par :
A(λ0 λ0 ) = {idλ0 }.
A(λ1 λ1 ) = {λ1 λ1 Gu,v /il
y a d morphismes}.
A(λ0 λ1 ) = {λ0 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a(λ0 ) = 1, 1 ≤ v ≤ b(λ1 ) = b}
= {λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ b}.
A(λ1 λ0 ) = {λ1 λ0 Gu,v /1 ≤ u ≤ a(λ1 ) = c, 1 ≤ v ≤ b(λ0 ) = 1}.
= {λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c}.
On dénit la loi de composition par :
(λj λp Gu,v )(λi λj Gn,m )=(λi λp Gn,v ) pour tout i,j,p∈
{0, 1}c.
L'associativité :
soient i,j,p,q
∈ {0, 1}
on a :
p q x,y j p u,v i j n,m
(λ λ G )(λ λ G ) (λ λ G ) = (λj λq Gu,y )(λi λj Gn,m )
= (λi λq Gn,y ).
L'autre sens
(λp λq Gx,y ) (λj λp Gu,v )(λi λj Gn,m ) = (λp λq Gx,y )(λi λp Gn,v )
= (λi λq Gn,y ).
p q x,y j p u,v i j n,m
Alors (λ λ G
)(λ λ G ) (λ λ G )=(λp λq Gx,y ) (λj λp Gu,v )(λi λj Gn,m ) ,
ce qui donne que la loi de composition est associative ; donc Cat(M) 6= ∅.
Pour d > bc + 1, alors d = bc + 1 + n.
0
0
1
On dénit une catégorie A dont les objets sont {λ , λ } et les morphismes
sont :
55
Classication des Matrices carrées doubles strictement positives
A0 (λ0 λ0 ) = {idλ0 }.
A0 (λ1 λ1 ) = {λ1 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ b et 1 ≤ v ≤ c} ∪ {λ1 λ1 K p /1 ≤ p ≤ n}.
A0 (λ0 λ1 ) = {λ0 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a(λ0 ) = 1, 1 ≤ v ≤ b(λ1 ) = b}
= {λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ b}
A0 (λ1 λ0 ) = {λ1 λ0 Gu,v /1 ≤ u ≤ a(λ1 ) = c, 1 ≤ v ≤ b(λ0 ) = 1}
= {λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c}.
La loi de composition est dénie par :
(λ1 λ1 K i )(λ0 λ1 G1,v )
(λ1 λ0 Gu,1 )(λ1 λ1 K i )
(λ1 λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K i )
(λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 Gu,v )
0
(λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 K i )
=
=
=
=
=
(λ1 λ1 G1,1 )(λ0 λ1 G1,v ) =
(λ1 λ0 Gu,1 )(λ1 λ1 Gb,c ) =
(λ1 λ1 Gu,v )(λ1 λ1 Gb,c ) =
(λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gu,v ) =
(λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gb,c ) =
(λ0 λ1 G1,1 )
(λ1 λ0 Gb,1 )
(λ1 λ1 Gb,v )
(λ1 λ1 Gu,1 )
(λ1 λ1 Gb,1 ).
On va démontrer l'associativité, par la même idée que précédemment mais il
1 1 i
reste à démontrer les équations qui sont associées au morphisme (λ λ K ).
Donc on a les 7 équations suivantes :
équation 1 :
0 0 0
(λ1 λ1 K s ) (λi λ1 Gu,v )(λx λi Gu ,v ) = (λ1 λ1 K s )(λx λ1 Gu ,v )
0
= (λ1 λ1 G1,1 )(λx λ1 Gu ,v )
0
= (λx λ1 Gu ,1 ).
D'autre part,
0 0
0 0
(λ1 λ1 K s )(λi λ1 Gu,v ) (λx λi Gu ,v ) = (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v ) (λx λi Gu ,v )
0
Donc
0
= (λi λ1 Gu,1 )(λx λi Gu ,v )
0
= (λx λ1 Gu ,1 ).
1 1 s i 1 u,v x i u0 ,v0
0 0 (λ λ K )(λ λ G ) (λ λ G ) = (λ1 λ1 K s ) (λi λ1 Gu,v )(λx λi Gu ,v ) .
équation 2 :
0 0 0 0 (λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 K s )(λj λ1 Gu ,v ) = (λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 G1,1 )(λj λ1 Gu ,v )
0
= (λ1 λi Gu,v )(λj λ1 Gu ,1 )
0
= (λj λi Gu ,v ).
56
.
Classication des Matrices carrées doubles strictement positives
D'autre part,
0 0
0 0
(λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K s ) (λj λ1 Gu ,v ) = (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 Gb,c ) (λj λ1 Gu ,v )
0
0
= (λ1 λi Gb,v )(λj λ1 Gu ,v )
0
= (λj λi Gu ,v ).
Donc
0 0 0 0
(λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 K s )(λj λ1 Gu ,v ) = (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K s ) (λj λ1 Gu ,v ).
équation 3 :
0 0
0 0
(λi λj Gu,v ) (λ1 λi Gu ,v )(λ1 λ1 K s ) = (λi λj Gu,v ) (λ1 λi Gu ,v )(λ1 λ1 Gb,c )
0
= (λi λj Gu,v )(λ1 λi Gb,v )
= (λ1 λj Gb,v ).
D'autre part,
0 0 0
(λi λj Gu,v )(λ1 λi Gu ,v ) (λ1 λ1 K s ) = (λ1 λj Gu ,v )(λ1 λ1 Gb,c )
0
Donc
= (λi λj Gu,v )(λ1 λi Gb,v )
= (λ1 λj Gb,v ).
0 0
0 0 (λi λj Gu,v ) (λ1 λi Gu ,v )(λ1 λ1 K s ) = (λi λj Gu,v )(λ1 λi Gu ,v ) (λ1 λ1 K s ).
équation 4 :
0
0 0 0 0 (λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 K s )(λi λ1 Gu ,v ) = (λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu ,v )
0
= (λ1 λ1 K s )(λi λ1 Gu ,1 )
0
= (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu ,1 )
0
= (λi λ1 Gu ,1 ).
D'autre part,
1 1 s 1 1 s0 i 1 u0 ,v0
0 0
(λ λ K )(λ λ K ) (λ λ G ) = (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gb,c ) (λi λ1 Gu ,v )
0
Donc
0
= (λ1 λ1 Gb,1 )(λi λ1 Gu ,v )
0
= (λi λ1 Gu ,1 ).
0
0 0 0 0 0
(λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 K s )(λi λ1 Gu ,v ) = (λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 K s ) (λi λ1 Gu ,v ).
équation 5 :
0 (λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K s ) = (λ1 λ1 G1,1 ) (λ1 λ1 Gu,v )(λ1 λ1 Gb,c )
= (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gb,v )
= (λ1 λ1 Gb,1 ).
57
Classication des Matrices carrées doubles strictement positives
D'autre part,
0
(λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 Gu,v ) (λ1 λ1 K s ) = (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gu,v ) (λ1 λ1 Gb,c )
Donc
= (λ1 λ1 Gu,1 )(λi λ1 Gb,c )
= (λ1 λ1 Gb,1 ).
0
0 (λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K s ) = (λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 Gu,v ) (λ1 λ1 K s ).
équation 6 :
0 (λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 K s ) = (λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gb,c )
= (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 Gb,1 )
= (λ1 λi Gb,v ).
D'autre part,
0
(λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 K s ) = (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 Gb,c ) (λ1 λ1 Gb,c )
Donc
= (λ1 λi Gb,v )(λ1 λ1 Gb,c )
= (λ1 λi Gb,v ).
0 0
(λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 K s ) = (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 K s ).
équation 7 :
0
00 (λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 K s ) = (λ1 λ1 G1,1 ) (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gb,c )
= (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gb,1 )
= (λ1 λ1 Gb,1 ).
D'autre part,
1 1 s 1 1 s0 1 1 s00
(λ λ K )(λ λ K ) (λ λ K ) = (λ1 λ1 G1,1 )(λ1 λ1 Gb,c ) (λ1 λ1 Gb,c )
Donc
= (λ1 λ1 Gc,1 )(λ1 λ1 Gb,c )
= (λ1 λ1 Gb,1 ).
0
00 0 00
(λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 K s ) = (λ1 λ1 K s )(λ1 λ1 K s ) (λ1 λ1 K s ).
6.2.2 Classication générale des Matrices strictement
positives d0ordre 2
58
Classication des matrices triples strictement positives
Proposition 6.2.8
Soit M =
a b
c d
, une matrice strictement positive d'ordre 2

a=b=c=d=1




ou




 d = 1, a ≥ bc + 1
ou
alors, C at(M) 6= ∅ si on a


a
=
1,
d ≥ bc + 1




ou



a > 1, d > 1.
Preuve :
a = b = c = d = 1, alors M devient :
1 1
, alors Cat(M) 6= ∅ car il existe une
1 1
Si on a le cas
M=
catégorie
A
associée à
M
voir l'exemple (4).
Si on a
(d = 1, a ≥ bc + 1)
ou
(a = 1, d ≥ bc + 1),
alors
Cat(M) 6= ∅
voir le
théorème (6.2.2).
Si
a>1
et
d>1
alors,
Cat(M) 6= ∅
voir le théorème (5.3.2).
6.3 Classication des matrices triples strictement positives
Dénition 6.3.1
Soit M = (mij )1≤i,j≤3 ∈ M3 (N), on dit que M une
matrice triple strictement positive si et seulemnt si mij > 0 pour tout
i, j ∈ {1, 2, 3}.
6.3.1 Classication des matrices triples à un seul coefcient diagonale unité
59
Classication des matrices triples strictement positives
Théorème 6.3.2


1 a b
Soit M=  c n m  une matrice triple strictement positive avec n, r > 1.
p q r

m ≥ bc








 q ≥ ap
Si on a Cat(M) 6= ∅ alors


n ≥ ac + 1




et



r ≥ bp + 1.
En eet :
Soient
N{1,2} =
Comme
1 a
c n
Cat(M) 6= ∅
et
alors
N{1,3}
=
1 b
p r
Cat(N{1,2} ) 6= ∅
deux sous-matrices régulières de
et
Cat(N{1,3} ) 6= ∅
d'après le
théorème (3.3.3).
D'autre part,
r ≥ bp + 1
Cat(N{1,2} ) 6= ∅
donne
n ≥ ac + 1
et
Cat(N{1,3} ) 6= ∅
voir le théorème (6.2.2).
Donc il reste à démontrer que
m ≥ bc
et
q ≥ ap.
Cat(M) 6= ∅, alors il existe une catégorie A nie d'ordre 2
0
1
2
objets sont {λ , λ , λ } et les morphismes sont dénis par :
0 0
HA (λ λ )={idλ0 }
HA (λ0 λ1 )={λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ a}
HA (λ1 λ0 )={λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c}
HA (λ0 λ2 )={λ0 λ2 G1,v /1 ≤ v ≤ b}
HA (λ2 λ0 )={λ2 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ p}
HA (λ1 λ1 )={λ1 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a, 1 ≤ v ≤ c}
HA (λ2 λ2 )={λ2 λ2 Gu,v /1 ≤ u ≤ b, 1 ≤ v ≤ p}
HA (λ2 λ1 )={λ2 λ1 Gu,v / tel que il y a q morphismes}
HA (λ1 λ2 )={λ1 λ0 Gu,v / tel que il y a m morphismes}.
On suppose que m < bc, on a 3 cas :
On a
dont les
Cas (1) :
Il existe u6=
tel que :
0 2 1,v
donne
u0 ,v6= v 0 ,x
avec
1 ≤ v, v 0 ≤ b
0
1 ≤ u, u0 ≤ c
et
0
(λ λ G )(λ1 λ0 Gu,1 ) = (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 ).
60
et
1≤x≤p
M.
Classication des matrices triples strictement positives
alors ;
h
i
h
i
(λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) = (λ2 λ0 Gx,1 )(λ0 λ2 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 )
donc
= idλ0 (λ1 λ0 Gu,1 )
= (λ1 λ0 Gu,1 ),
h
i
(λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) = (λ1 λ0 Gu,1 ).
h
i
h
i
0
0
0
0
(λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 ) = (λ2 λ0 Gx,1 )(λ0 λ2 G1,v ) (λ1 λ0 Gu ,1 )
0
donc
= idλ0 (λ1 λ0 Gu ,1 )
0
= (λ1 λ0 Gu ,1 ),
h
i
0
0
0
(λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 ) = (λ1 λ0 Gu ,1 ).
D'autre part,
1 0
u,1
(λ λ G
h
i
0 2 1,v
1 0 u,1
) = (λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G )
h
i
0
0
= (λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 )
2 0
x,1
0
= (λ1 λ0 Gu ,1 ),
ce qui donne
Cas (2) :
u = u0
Il existe u,v6=
v 0 ,x
contradiction, donc ce cas n'existe pas.
avec
1 ≤ v, v 0 ≤ b
que :
0 2
et
1 ≤ u ≤ c
et
1 ≤ x ≤ p
tel
0
(λ λ G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) = (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ).
alors ;
h
0 2
1,v
1 0
u,1
(λ λ G )(λ λ G
i
h
i
0 1 1,x
0 2 1,v
1 0 u,1
0 1 1,x
) (λ λ G ) = (λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G )
= (λ0 λ2 G1,v )idλ0
= (λ0 λ2 G1,v ),
donc
h
h
0 2
1,v
1 0
u,1
(λ λ G )(λ λ G
i
) (λ0 λ1 G1,x ) = (λ0 λ2 G1,v ).
i
h
0
0
(λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ0 λ1 G1,x ) = (λ0 λ2 G1,v ) (λ1 λ0 Gu,1 )(λ0 λ1 G1,x )
0
= (λ0 λ2 G1,v )idλ0
0
= (λ0 λ2 G1,v ),
61
Classication des matrices triples strictement positives
donc
h
i
0
0
(λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ0 λ1 G1,x ) = (λ0 λ2 G1,v ).
i
i
0 1 1,x
(λ λ G ) = (λ λ G )(λ λ G ) (λ λ G )
h
i
= (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 ) (λ0 λ1 G1,x )
1 0
h
D'autre part,
v,1
0 2
1,v
1 0
u,1
0
= (λ1 λ0 Gv ,1 ),
v = v0
ce qui donne
Cas (3) :
contradiction, donc ce cas n'existe pas.
6 v 0 ,v et x avec 1 ≤ u, u0 ≤ b et 1 ≤ v ≤ q
=
0
(λ λ G )(λ1 λ0 Gu,1 ) = (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 )
Il existe u,
0 2 1,v
et
1≤x≤p
tel que :
alors ;
h
i
h
i
0 2 1,v
1 0 u,1
2 0 x,1
0 2 1,v
(λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G ) = (λ λ G )(λ λ G ) (λ1 λ0 Gu,1 )
2 0
donc
x,1
= idλ0 (λ1 λ0 Gu,1 )
= (λ1 λ0 Gu,1 ),
h
i
2 0 x,1
0 2 1,v
1 0 u,1
(λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G ) = (λ1 λ0 Gu,1 ).
h
i
h
i
0
0
(λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 ) = (λ2 λ0 Gx,1 )(λ0 λ2 G1,v ) (λ1 λ0 Gu ,1 )
0
donc
= idλ0 (λ1 λ0 Gu ,1 )
0
= (λ1 λ0 Gu ,1 ),
h
i
0
0
(λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 ) = (λ1 λ0 Gu ,1 ).
D'autre part,
h
i
0
(λ1 λ0 Gu ,1 ) = (λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu,1 )
h
i
0
= (λ2 λ0 Gx,1 ) (λ0 λ2 G1,v )(λ1 λ0 Gu ,1 )
0
= (λ1 λ0 Gu ,1 ),
ce qui donne
u = u0
contradiction, alors ce cas n'existe pas.
Dans tous les cas on est arrivé à la contradicition, donc (m
Par ailleurs on a (q
≥ ap)
≥ bc).
par la même méthode que précédemment.
62
Classication des matrices triples strictement positives
Lemme 6.3.3
:


1 a b
Soit M=  c n m  , une matrice triple strictement positive,
p q r
alors si on a n = ac + 1, r = bp + 1, m = bc, q = ap ⇒ Cat(M ) 6= ∅.
Preuve :On dénit une sémi-catégorie partiellement unitaire, avec l'idenλ0 mais que A n'a pas les identités de λ1
{λ0 , λ1 , λ2 }, et les morphismes dénis par :
tite de
sont
A(λ0 , λ0 )
A(λ0 , λ1 )
A(λ1 , λ0 )
A(λ0 , λ2 )
A(λ2 , λ0 )
A(λ2 , λ1 )
A(λ1 , λ2 )
A(λ1 , λ1 )
A(λ2 , λ2 )
=
=
=
=
=
=
=
=
=
ni de
λ2 A
dont les objets
{idλ0 }
{λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ a}
{λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c}
{ λ0 λ2 G1,v /1 ≤ v ≤ b}
{λ2 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ p}
{λ2 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ p, 1 ≤ v ≤ a}
{λ1 λ0 Gu,v /1 ≤ u ≤ c, 1 ≤ v ≤ b }
{λ1 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a, 1 ≤ v ≤ c }
{λ2 λ2 Gu,v /1 ≤ u ≤ b, 1 ≤ v ≤ p }.
On dénit la loi de composition interne par :
◦ : Hom(A) × Hom(A)
h
i
0 0
(λj λk Gu ,v ), (λi λj Gu,v )
/
/
Hom(A)
◦ est une application car on a les égalités
n = ac + 1, r = bp + 1, m = bc et q = ap.
La loi
0
0
suivantes :
D'autre part, on va vérier l'associativité :
h
00 ,v 00
(λk λs Gu
i
0 0
0 00
)(λj λk Gu ,v ) (λi λj Gu,v ) = (λj λs Gu ,v )(λi λj Gu,v )
00
= (λi , λs Gu,,v ),
00 ,v 00
(λk λs Gu
h
i
0 0
00 00
0
) (λj λk Gu ,v )(λi λj Gu,v ) = (λk λs Gu ,v )(λi λk Gu,,v )
00
= (λi , λs Gu,,v ).
hAlors
k s
00 ,v 00
(λ λ Gu
i
h
i
0 0
00 00
0 0
)(λj λk Gu ,v ) (λi λj Gu,v ) = (λk λs Gu ,v ) (λj λk Gu ,v )(λi λj Gu,v )
63
0
(λj λk Gu ,v )(λi λj Gu,v ) = (λi λk Gu,v ).
Classication des matrices triples strictement positives
pour tout
(i, j, k) ∈ {0, 1, 2}3 ,
donc la loi est associative.
Par ailleurs on dénit la catégorie
B
dont les objets sont les objets de
et les morphismes sont les mêmes morphismes que
1
1
2
2
identités idλ1 sur A(λ , λ ) et idλ2 sur A(λ , λ ).
Donc
B
est bien une catégorie associée à
M,
A,
A
mais on ajoute les
ce qui donne
Cat(M) 6= ∅.
Ajouter des morphismes sur les catégories
Dénition 6.3.4
: Soit A une catégorie ou sémi-catégorie nie d'ordre n, on
veut dire qu'on ajoute ou rajoute des morphismes sur A par le fait d'ajouter
ou rajouter des morphismes sur Hom(A).
Théorème 6.3.5
:


1 a b
Soient M=  c n m  , avec n = ac, r = bp, m = bc et q = ap,
p q r
et A la sémi-catégorie partiellement unitaire, avec l'identité de λ0 mais que
A n'a pas les identités de λ1 ni de λ2 associée à M voir la construction
de A dans la lemme (6.3.3), si on ajoute un morphisme non identité sur
HomA (λ1 , λ1 ) ou sur HomA (λ2 , λ2 ) alors il existe une sémi-catégorie B partiellement unitaire, avec l'identite de λ0 mais que A n'a pas les identités de
λ1 ni de λ2 associée à N tel que :


1
a
b
N= c n + 1 m .
p
q
r
En eet :
B partiellement unitaire, avec l'identité de λ0 ,
1
2
mais A n'a pas les identités de λ ni de λ , dont les objets sont Ob(B) = Ob(A)
On dénit la sémi-catégorie
64
Classication des matrices triples strictement positives
et les morphismes sont dénis par :
A(λ0 , λ0 )
A(λ0 , λ1 )
A(λ1 , λ0 )
A(λ0 , λ2 )
A(λ2 , λ0 )
A(λ2 , λ1 )
A(λ1 , λ2 )
A(λ2 , λ2 )
A(λ1 , λ1 )
=
=
=
=
=
=
=
=
=
{idλ0 }
{λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ a}
{λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c}
{λ0 λ2 G1,v /1 ≤ v ≤ b}
{λ2 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ p}
{λ2 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ p, 1 ≤ v ≤ a}
{λ1 λ0 Gu,v /1 ≤ u ≤ c, 1 ≤ v ≤ b }
{λ2 λ2 Gu,v /1 ≤ u ≤ b, 1 ≤ v ≤ p}
{λ1 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a, 1 ≤ v ≤ c} ∪ {λ1 λ1 K 1 }.
Avec la loi de composition interne ◦ qui est dénie par :
(λ1 λ1 K 1 )(λ1 λ1 K 1 )=(λ1 λ1 K 1 ),
0 0
0
(λj λk Gu ,v )(λi λj Gu,v ) = (λi λk Gu,v ),
(λ1 λ1 K 1 )(λi λ1 Gu,v )=(λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v )=(λi λ1 Gu,1 ),
(λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K 1 )=(λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 Ga,c )=(λ1 λi Ga,v ).
On va étudier l'associativité, dans le lemme (6.3.1) on a vérié les équations
i j u,v
qui dépendent du morphismes de la forme (λ λ G
), donc il reste à vériér
1 1 1
les équations dépendent du morphisme λ λ K qui sont cinq équations.
On a :
h
i
h
i
0 0
0 0
(λ1 λj Gu,v )(λ1 λ1 K 1 ) (λi λ1 Gu ,v ) = (λ1 λj Gu,v )(λ1 λ1 Ga,c ) (λi λ1 Gu ,v )
0
= (λ1 λj Gu,v )(λi λ1 Gu ,1 )
0
= (λi λj Gu ,v ),
d'autre part,
1 j
u,v
(λ λ G
h
i
h
i
1 1 1
i 1 u0 ,v 0
1 j u,v
1 1 1,1
i 1 u0 ,v 0
) (λ λ K )(λ λ G ) = (λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G )
0
Donc
h
0
= (λ1 λj Ga,v )(λi λ1 Gu ,v )
0
= (λi λj Gu ,v ).
h
i h
i
0 0
0 0
(λ1 λj Gu,v ) (λ1 λ1 K 1 )(λi λ1 Gu ,v ) = (λ1 λj Gu,v )(λ1 λ1 K 1 ) (λi λ1 Gu ,v ).
i
i
0 0
0 0
(λ1 λ1 K 1 )(λj λ1 Gu,v ) (λi λj Gu ,v ) = (λ1 λ1 G1,1 )(λj λ1 Gu,v ) (λi λj Gu ,v )
i
0 0
= (λ1 λ1 G1,1 )(λj λ1 Gu,v ) (λi λj Gu ,v )
0
0
= (λj λ1 Gu,1 )(λi λj Gu ,v )
0
= (λi λ1 Gu ,,1 ),
65
Classication des matrices triples strictement positives
d'autre part,
h
i
0 0
0
(λ1 λ1 K 1 ) (λj λ1 Gu,v )(λi λj Gu ,v ) = (λ1 λ1 K 1 )(λi λ1 Gu ,v )
0
Alors
h
= (λ1 λ1 K 1 )(λi λ1 Gu ,v )
0
= (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu ,v )
0
= (λi λ1 Gu ,1 ).
h
i h
i
0 0
0 0
(λ1 λ1 K 1 ) (λj λ1 Gu,v )(λi λj Gu ,v ) = (λ1 λ1 K 1 )(λj λ1 Gu,v ) (λi λj Gu ,v ).
i
h
i
0 0
0 0
(λi λi Gu,v )(λ1 λi Gu ,v ) (λ1 λ1 K 1 ) = (λi λi Gu,v )(λ1 λi Gu ,v ) (λ1 λ1 Ga,c )
0
= (λ1 λi Gu ,v )(λ1 λ1 Ga,c )
= (λ1 λi Ga,v ),
d'autre part,
i i
u,v
(λ λ G
h
i
h
i
1 i u0 ,v 0
1 1 1
i i u,v
1 i u0 ,v 0
1 1 a,c
) (λ λ G )(λ λ K ) = (λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G )
0
Donc
h
= (λi λi Gu,v )(λ1 λi Ga,v )
= (λ1 λi Ga,v ).
h
i h
i
0 0
0 0
(λi λi Gu,v ) (λ1 λi Gu ,v )(λ1 λ1 K 1 ) = (λi λi Gu,v )(λ1 λi Gu ,v ) (λ1 λ1 K 1 ).
i
(λ1 λ1 K 1 )(λ1 λ1 K 1 ) (λ1 λ1 K 1 ) = (λ1 λ1 K 1 )2 (λi λ1 Gu,v )
= (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v )
= (λi λ1 Gu,1 ),
d'autre part,
h
i
h
i
(λ1 λ1 K 1 ) (λ1 λ1 K 1 )(λi λ1 Gu,v ) = (λ1 λ1 K 1 ) (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v )
Alors
h
= (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v )
= (λ1 λ1 K 1 )(λi λ1 Gu,1 )
= (λi λ1 Gu,1 ).
h
i
(λ1 λ1 K 1 )2 (λi λ1 Gu,v ) = (λ1 λ1 K 1 ) (λ1 λ1 K 1 )(λi λ1 Gu,v ) .
i
(λi λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K 1 ) (λ1 λ1 K 1 ) = (λ1 λ1 Ga,v )(λ1 λ1 K 1 )
= (λ1 λ1 Ga,v )(λ1 λ1 K 1 )
= (λ1 λ1 Ga,v ),
66
Classication des matrices triples strictement positives
d'autre part,
h
i
(λi λ1 Gu,v ) (λ1 λ1 K 1 )(λ1 λ1 K 1 ) = (λi λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K 1 )
= (λ1 λ1 Ga,v )(λ1 λ1 K 1 )
= (λ1 λ1 Ga,v ).
h
i h
i
i 1 u,v
Donc (λ λ G
) (λ1 λ1 K 1 )(λ1 λ1 K 1 ) = (λi λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K 1 ) (λ1 λ1 K 1 ).
Finalement B est bien une sémi-catégorie associée à N .
Donc B + ids est une catégorie associée à N + ids qui est dénie par :


1
a
b
N + ids =  c n + 2 m  .
p
q
r+1
Lemme 6.3.6


1
a
b
bc  avec a,b,c,s et p> 0, alors Cat(M) 6= ∅.
Soit M=  c ac + s + 1
p
ap
bp + 1
Preuve :
0
partiellement unitaire, avec l'identite de λ
1
2
0
1
2
mais que A n'a pas les identites de λ ni de λ , dont les objets sont {λ , λ , λ }
On dénit la sémi-catégorie
A
et les morphismes sont dénis par :
A(λ0 , λ0 )
A(λ0 , λ1 )
A(λ1 , λ0 )
A(λ0 , λ2 )
A(λ2 , λ0 )
A(λ2 , λ1 )
A(λ1 , λ2 )
A(λ2 , λ2 )
A(λ1 , λ1 )
=
=
=
=
=
=
=
=
=
{idλ0 }
{λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ a}
{λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c}
{λ0 λ2 G1,v /1 ≤ v ≤ b}
{λ2 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ p}
{λ2 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ p, 1 ≤ v ≤ a}
{λ1 λ0 Gu,v /1 ≤ u ≤ c, 1 ≤ v ≤ b }
{λ2 λ2 Gu,v /1 ≤ u ≤ b, 1 ≤ v ≤ p}
{λ1 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a, 1 ≤ v ≤ c} ∪ {λ1 λ1 K 1 , ..., λ1 λ1 K s }.
La loi de composition interne est dénie par :
(λ1 λ1 K t ) (λ1 λ1 K t )
(λ1 λ1 K t ) (λ1 λ1 K r )
(λ1 λ1 K t )(λi λ1 Gu,v )
(λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K t )
0 0
(λj λk Gu ,v )(λi λj Gu,v )
=
=
=
=
=
(λ1 λ1 K t )
(λ1 λ1 Ga,1 )
(λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v )
(λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 Ga,c )
0
(λi λk Gu,v )
67
∀1 ≤ t ≤ s
∀ t 6= r et 1 ≤ r, t ≤ s
∀ 1 ≤ t ≤ s et 1 ≤ i ≤ 2
∀ 1 ≤ t ≤ s et 1 ≤ i ≤ 2
∀ 0 ≤ i, j ≤ 2 et 0 ≤ k ≤ 2.
Classication des matrices triples strictement positives
On a déjà vérié l'associativité des équations qui dépendent des formules
(λi λj Gu,v ), donc il ne reste que les équations qui dépendent de (λ1 λ1 K t ),
alors on a 4 équations à vériér :
h
i
(λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 K j ) (λi λ1 Gu,v ) = (λ1 λ1 Ga,1 )(λi λ1 Gu,v )
= (λi λ1 Gu,1 ).
D'autre part,
h
i
h
i
(λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 K j )(λi λ1 Gu,v ) = (λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v )
donc
h
= (λ1 λ1 K i )(λi λ1 Gu,1 )
= (λi λ1 Gu,1 ).
h
i
h
i
1 1 i
1 1 j
i 1 u,v
1 1 i
1 1 j
i 1 u,v
(λ λ K )(λ λ K ) (λ λ G ) =(λ λ K ) (λ λ K )(λ λ G ) .
1 i
u,v
(λ λ G
i
)(λ λ K ) (λ1 λ1 K j ) = (λ1 λi Ga,v )(λ1 λ1 K j )
1 1
i
= (λ1 λi Ga,v )(λ1 λ1 K j )
= (λ1 λi Ga,v ),
h
i
(λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 K j ) = (λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 Ga,1 )
Alors
h
= (λ1 λi Ga,v )(λ1 λ1 K j )
= (λ1 λi Ga,v ).
h
i
h
i
(λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 K j ) = (λ1 λi Gu,v ) (λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 K j ) .
1 1
i
1 1
u,v
(λ λ K )(λ λ G
i
h
i
1 1 j
1 1 1,1
1 1 u,v
) (λ λ K ) = (λ λ G )(λ λ G ) (λ1 λ1 K j )
= (λ1 λ1 Gu,1 )(λ1 λ1 K j )
= (λ1 λ1 Ga,1 ).
D'autre part,
h
i
(λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K j ) = (λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 Ga,v )
= (λ1 λ1 Gu,1 )(λ1 λ1 K j )
= (λ1 λ1 Ga,1 ).
68
Classication des matrices triples strictement positives
Donc
h
h
i
h
i
(λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 Gu,v ) (λ1 λ1 K j ) = (λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 Gu,v )(λ1 λ1 K j ) .
i
(λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 K j ) (λ1 λ1 K p ) = (λ1 λ1 Ga,1 )(λ1 λ1 K p )
= (λ1 λ1 Ga,1 ).
D'autre part,
h
i
(λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 K j )(λ1 λ1 K p ) = (λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 Ga,1 )
= (λ1 λ1 Ga,1 ).
i
h
i
(λ1 λ1 K i )(λ1 λ1 K j ) (λ1 λ1 K p )=(λ1 λ1 K i ) (λ1 λ1 K j )(λ1 λ1 K p ) .
Donc A est bien sémi-catégorie, alors A + ids est une catégorie associée à M
voir la notation (2.5.7), ce qui donne Cat(M) 6= ∅.
Alors
h
Théorème 6.3.7
:


1 a b
Soit M=  c n m  , une matrice triple strictement positive alors,
p q r
n ≥ ac + 1,r ≥ bp + 1,m ≥ bc et q ≥ ap ⇔ Cat(M) 6= ∅.
Preuve :
⇐) voir le théorème (6.3.2)
⇒) On dénit la sémi-catégorie A partiellement unitaire, avec l'identite de
λ0 mais que A n'a pas les identités de λ1 ni de λ2 , dont les objets sont
{λ0 , λ1 , λ2 }, et les morphismes sont déninis par :
A(λ0 , λ0 )
A(λ0 , λ1 )
A(λ1 , λ0 )
A(λ0 , λ2 )
A(λ2 , λ0 )
A(λ2 , λ1 )
A(λ1 , λ2 )
A(λ2 , λ2 )
A(λ1 , λ1 )
=
=
=
=
=
=
=
=
=
{idλ0 },
{λ0 λ1 G1,v /1 ≤ v ≤ a}
{λ1 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ c}
{λ0 λ2 G1,v /1 ≤ v ≤ b }
{λ2 λ0 Gu,1 /1 ≤ u ≤ p}
{λ2 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ p, 1 ≤ v ≤ a} ∪ { λ1 λ1 M 1 , ..., λ1 λ1 M (q−ap) }
{λ1 λ0 Gu,v /1 ≤ u ≤ c, 1 ≤ v ≤ b } ∪ { λ1 λ1 H 1 , ..., λ1 λ1 H (m−bc) }
{λ2 λ2 Gu,v /1 ≤ u ≤ b, 1 ≤ v ≤ p} ∪ {λ1 λ1 N 1 , ..., λ1 λ1 N (r−bp−1) }
{λ1 λ1 Gu,v /1 ≤ u ≤ a, 1 ≤ v ≤ c} ∪ {λ1 λ1 K 1 , ..., λ1 λ1 K (n−ac−1) }.
69
Classication des matrices triples strictement positives
La loi de composition interne est dénie par :
j k u0 ,v 0
i j u,v
i k u,v 0
(λ λ G
)(λ λ G
) = (λ λ G
).
Pour les morphismes qui sont ajoutés alors, on a les formules suivantes :
(λ1 λ1 K t ) (λ1 λ1 K t )
(λ1 λ1 K t ) (λ1 λ1 K r )
(λ2 λ2 N i ) (λ2 λ2 N j )
(λ2 λ2 N i ) (λ2 λ2 N i )
(λ1 λ1 K i ) (λ2 λ1 M j )
(λ2 λ1 M i ) (λ2 λ2 N j )
(λ1 λ2 H i ) (λ2 λ1 M j )
(λ2 λ1 M j ) (λ1 λ2 H i )
(λ1 λ1 K t )(λi λ1 Gu,v )
(λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 K t )
(λ2 λ2 N i )(λj λ2 Gu,v )
(λ2 λj Gu,v )(λ2 λ2 N i )
(λ2 λ1 M i )(λj λ2 Gu,v )
(λ1 λj Gu,v )(λ2 λ1 M i )
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
( λ1 λ1 K t )
(λ1 λ1 Ga,1 )
(λ2 λ2 Gb,1 )
( λ2 λ2 N i )
(λ2 λ1 Ga,1 )
(λ2 λ1 G1,p )
(λ2 λ2 Ga,1 )
(λ1 λ1 Gb,1 )
(λ1 λ1 G1,1 )(λi λ1 Gu,v )
(λ1 λi Gu,v )(λ1 λ1 Ga,c )
(λ2 λ2 G1,1 )(λj λ2 Gu,v )
(λ2 λj Gu,v )(λ2 λ2 Gb,p )
(λ2 λ1 G1,1 )(λj λ2 Gu,v )
(λ1 λj Gu,v )(λ2 λ1 Ga,p ).
Pour l'associativité on a :
h
i
0 0
0 0
(λ1 λ2 H i )(λi λ1 Gu,v ) (λj λi Gu ,v ) = (λi λ2 Gu,1 )(λj λi Gu ,v )
0
= (λj λ2 Gu ,1 ).
D'autre part :
h
i
0 0
0
(λ1 λ2 H i ) (λi λ1 Gu,v )(λj λi Gu ,v ) = (λ1 λ2 H i )(λj λ1 Gu ,v )
0
Alors
h
= (λj λ2 Gu ,1 ).
h
i
h
i
0 0
0 0
(λ1 λ2 H i )(λi λ1 Gu,v ) (λj λi Gu ,v )=(λ1 λ2 H i ) (λi λ1 Gu,v )(λj λi Gu ,v ) .
i
0 0
0 0
(λ2 λj Gu,v )(λ1 λ2 H i ) (λi λ1 Gu ,v ) = (λ1 λj Gb,v )(λi λ1 Gu ,v )
0
= (λi λj Gu ,v ).
D'autre part ;
h
i
0 0
0
(λ2 λj Gu,v ) (λ1 λ2 H i )(λi λ1 Gu ,v ) = (λ2 λj Gu,v )(λi λ2 Gu ,1 )
0
= (λi λj Gu ,v ).
70
Classication des matrices triples strictement positives
Donc
h
h
i h
i
0 0
0 0
(λ2 λj Gu,v ) (λ1 λ2 H i )(λi λ1 Gu ,v ) = (λ2 λj Gu,v )(λ1 λ2 H i ) (λi λ1 Gu ,v ).
i
0 0
0 0
(λ1 λ2 H i )(λi λ1 Gu,v ) (λj λi Gu ,v ) = (λi λ2 Gu,1 )(λj λi Gu ,v )
0
= (λj λ2 Gu ,1 ).
D'autre part ;
h
i
0 0
0
(λ1 λ2 H i ) (λi λ1 Gu,v )(λj λi Gu ,v ) = (λ1 λ2 H i )(λj λ1 Gu ,v )
0
Alors
h
= (λj λ2 Gu ,1 ).
h
i h
i
0 0
0 0
(λ1 λ2 H i ) (λi λ1 Gu,v )(λj λi Gu ,v ) = (λ1 λ2 H i )(λi λ1 Gu,v ) (λj λi Gu ,v ).
i
(λ1 λ2 H i )(λ1 λ1 K j ) (λ1 λ1 K p ) = (λ1 λ2 Ga,1 )(λ1 λ1 K p )
= (λ1 λ2 Ga,1 ).
D'autre part ;
h
i
(λ1 λ2 H i ) (λ1 λ1 K j )(λ1 λ1 K p ) = (λ1 λ2 H i )(λ1 λ1 Ga,1 )
Donc
h
= (λ1 λ2 Ga,1 ).
h
i h
i
1 2 i
1 1 j
1 1 p
1 2 i
1 1 j
(λ λ H ) (λ λ K )(λ λ K ) = (λ λ H )(λ λ K ) (λ1 λ1 K p ).
i
(λ λ H )(λ λ K ) (λi λ1 Gu,v ) = (λ1 λ2 Ga,1 )(λi λ1 Gu,v )
1 2
i
1 1
j
= (λi λ2 Gu,1 ).
D'autre part ;
h
i
1 1 j
i 1 u,v
(λ λ H ) (λ λ K )(λ λ G ) = (λ1 λ2 H i )(λi λ1 Gu,1 )
1 2
Alors
i
= (λi λ2 Gu,1 ).
h
i h
i
(λ1 λ2 H i ) (λ1 λ1 K j )(λi λ1 Gu,v ) = (λ1 λ2 H i )(λ1 λ1 K j ) (λi λ1 Gu,v ).
On a vérié l'associativités des équations qui dépendent des morphismes
1 2 i
1 1 j
ajoutés de la forme (λ λ H ) et (λ λ K ) ; on remarque la vérication des
les équations qui dépendent des autres morphismes avec les mêmes méthodes.
Donc
A + ids
est une catégorie associée à
71
M,
ce qui donne
Cat(M) 6= ∅.
Classication des matrices triples strictement positives
Corollaire 6.3.8
:


z a b
Soit M=  c n m  une matrice triple stictement positive.
p q r
Si on a
z ≥ 1,n > ac ,r > bp, m ≥ bc
et
q ≥ ap
alors
C atM =
6 ∅.
Preuve : On pose n > ac ,r > bp, m ≥ bc et q ≥ ap, alors il y a deux cas :
Si
Si
6 ∅ voir le théorème
z = 1; alors C atM =
z > 1; est une consequence édiate du
(6.3.7).
théorème de Berger et Leinster
(5.3.2).

Soit

1 a b
M− =  c n m  , si
p q r
on a
n > ac ,r > bp, m ≥ bc
et
q ≥ ap,
alors
−
le théorème (6.3.7) donne Cat(M ) 6= ∅, donc il existe une catégorie nie
A + ids notée par A+ d'ordre 3 associée à M− voir la construction de A
(6.3.1) dans le théorème précédent.
+ 0
0
On va ajouter des élèments sur A (λ , λ ) comme on a fait déjà sur les autres
objets.
Soit
B
une catégorie dont l'ensemble des objets est
Ob(B) = Ob(A+ )
morphismes sont dénis par :
+
0 0
Hom(B) = Hom(A ) ∪ {(λ λ E 1 ), ..., (λ0 λ0 E z−1 )}.
pour l'associative :
( λ0 λ0 E i ) (λ0 λ0 E i )
( λ0 λ0 E i ) (λ0 λ0 E j )
(λ0 λ0 E j ) (λi λ0 X)
(λ0 λi X) (λ0 λ0 E j )
=
=
=
=
(λ0 λ0 E i ) ∀i
(λ0 λ0 E 1 ) ∀i 6= j
(λi λ0 X ) ∀i , j
(λi λ0 X ) ∀i , j.
On va démontrer l'associativité :
i, j, k ∈ {1, ..., z − 1} tel que i 6= j 6= k .
h
i
(λ0 λ0 E i )(λ0 λ0 E j ) (λ0 λ0 E j ) = (λ0 λ0 E 1 )(λ0 λ0 E j )
Soient
= (λ0 λ0 E 1 ).
D'autre part ;
h
i
(λ0 λ0 E i ) (λ0 λ0 E j )(λ0 λ0 E j ) = (λ0 λ0 E i )(λ0 λ0 E 1 )
= (λ0 λ0 E 1 ).
72
et les
Classication des matrices triples strictement positives
i
h
i
(λ0 λ0 E i )(λ0 λ0 E j ) (λ0 λ0 E j ) = (λ0 λ0 E i ) (λ0 λ0 E j )(λ0 λ0 E j ) .
h
i
(λ0 λ0 E i )(λ0 λ0 E j ) (λi λ0 X) = (λ0 λ0 E 1 )(λi λ0 X)
Donc
h
= (λi λ0 X).
D'autre part ;
h
i
(λ0 λ0 E i ) (λ0 λ0 E j )(λi λ0 X) = (λ0 λ0 E i )(λi λ0 X)
Alors
= (λi λ0 X).
h
i
h
i
0 0 i
0 0 j
i 0
0 0 i
0 0 j
i 0
(λ λ E )(λ λ E ) (λ λ X) = (λ λ E ) (λ λ E )(λ λ X) .
On remarque :
(λ0 λ0 E i )(λ0 λ0 E j )(λi λ0 X) = (λ0 λi X)(λ0 λ0 E i )(λ0 λ0 E j )
= (λ0 λi X).
h
i
(λ0 λ0 E i )(λi λ0 X) (λj λi X 0 ) = (λi λ0 X)(λj λi X 0 )
h
i et
i 0
j i 0
(λ λ E ) (λ λ X)(λ λ X ) = (λi λ0 X)(λj λi X 0 ).
h
i
h
i
0 0 i
i 0
j i 0
0 0 i
i 0
j i 0
Donc (λ λ E )(λ λ X) (λ λ X ) = (λ λ E ) (λ λ X)(λ λ X ) .
Alors la loi de composition est associative, donc B est une catégorie
à MB = M, donc Cat(M) 6= ∅.
0 0
i
associée
6.3.2 Classication des matrices carrées générales strictement positives
Classication des matrices carrées générales strictement positives
à un seul coecient diagonale unité
Théorème
6.3.9 :


1 m12
 m21 m22

Soit M=  ..
..
 .
.
mn1 mn2
· · · m1n
· · · m2n
..
. ···
· · · mnn


 une matrice strictement positive d'ordre n,

73
Classication des matrices triples strictement positives
tel que
mii > 1
Cat(M) 6= ∅
1 ≤ i ≤ n alors :
mii > mi1 m1i
seulement si
mij ≥ mi1 m1j
pour tout
si et
∀ i>1
∀ i, j > 1
En eet :
⇒)
Cat(M) 6= ∅ alors il existe une catégorie A nie d'ordre n,
0
1
n−1
sont {λ , λ , ..., λ
} et les morphismes sont dénis par :
On a
objets
A(λ0 , λi )
A(λi , λ0 )
A(λi , λi )
A(λi , λj )
alors il existe
et
{ ( λ0 λi G1,1 ) , ..., (λ0 λi G1,m1i )}
{ ( λi λ0 G1,1 ) , ..., (λi λ0 Gmi1 ,1 )}
{idλi , (λi λi G1 ), ..., ( λi λi Gmii )}
{ ( λi λi X 1 ) , ..., ( λi λi Gmij )}.
=
=
=
=
On pose que
dont les
mii ≤ mi1 m1i ,
i, j, k, t avec i 6= j
1 ≤ a ≤ n,
et
1 ≤ i, j ≤ mi1 , 1 ≤ k ≤ m1i , 1 ≤ t ≤ mii
tel que :
(λ0 λa G1,k )(λa λ0 Gi,1 ) = (λ0 λa G1,k )(λa λ0 Gj,1 ).
(6.1)
D'autre part ;
h
i
h
i
0 a 1,k
a 0 i,1
a 0 i,1
0 a 1,k
(λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G ) = (λ λ G )(λ λ G ) (λa λ0 Gi,1 )
a 0
i,1
= idλ0 (λa λ0 Gi,1 )
= (λa λ0 Gi,1 )
h
i
h
i
0 a 1,k
a 0 j,1
a 0 i,1
0 a 1,k
(λ λ G ) (λ λ G )(λ λ G ) = (λ λ G )(λ λ G ) (λa λ0 Gj,1 )
a 0
i,1
= idλ0 (λa λ0 Gj,1 )
= (λa λ0 Gj,1 ).
Comme
(λ0 λa G1,k )(λa λ0 Gi,1 ) = (λ0 λa G1,k )(λa λ0 Gj,1 )
voir l'équation (6.1),
alors :
h
i
(λa λ0 Gj,1 ) = (λa λ0 Gi,1 ) (λ0 λa G1,k )(λa λ0 Gj,1 )
h
i
= (λa λ0 Gi,1 ) (λ0 λa G1,k )(λa λ0 Gi,1 )
= (λa λ0 Gi,1 )
donc
i=j
mii > mi1 m1i , ∀1 < i ≤ n.
mij < mi1 m1j pour toutes i 6= j ,
contradicition, donc
Par ailleurs, on pose encore
74
alors il existe
Classication des matrices triples strictement positives
i, j, k, t
avec
1 ≤ i 6= j ≤ mi1 ,1 ≤ k 6= c ≤ m1j
,
1 ≤ t ≤ mij
et
1 ≤ x, y ≤ n
tel que :
(λ0 , λy G1,k )(λx λ0 Gi,1 ) = (λ0 , λy G1,c )(λx λ0 Gj,1 ).
(6.2)
D'autre part ;
h
i
h
i
(λ0 , λy G1,k )(λx λ0 Gi,1 ) (λ0 λx G1,a ) = (λ0 , λy G1,k ) (λx λ0 Gi,1 )(λ0 λx G1,a )
= (λ0 , λy G1,k )idλ0
= (λ0 , λy G1,k ),
h
i
h
i
(λ0 , λy G1,c )(λx λ0 Gi,1 ) (λ0 λx G1,a ) = (λ0 , λy G1,c ) (λx λ0 Gi,1 )(λ0 λx G1,a )
= (λ0 , λy G1,c )idλ0
= (λ0 , λy G1,c ).
Comme
(λ0 , λy G1,k )(λx λ0 Gi,1 ) = (λ0 , λy G1,c )(λx λ0 Gj,1 )
voir l'équation (6.2),
alors :
i
(λ0 , λy G1,c )(λx λ0 Gi,1 ) (λ0 λx G1,a )
h
i
= (λ0 , λy G1,k )(λx λ0 Gi,1 ) (λ0 λx G1,a )
(λ0 , λy G1,c ) =
h
= (λ0 , λy G1,k ).
k = c contradicition, donc mij ≥ mi1 m1j , ∀1 < i 6= j ≤ n.
mii ≥ mi1 m1i + 1 et mij ≥ mi1 m1j alors il existe si ≥ 0 et ti,j ≥ 0
Ce qui donne
⇐)
soient
tel que :
mii = mi1 m1i + 1 + si
et
mii = mi1 m1j + ti,j .
0
On dénit la sémi-catégorie partiellement unitaire, avec l'identite de λ mais
1
2
n−1
que A n'a pas les identites de λ ni de λ ,...,ni de λ
A, dont les objets
0
n−1
sont {λ , ..., λ
} et les morphismes sont dénis par :
Soient
i, j
tel que
HomA (λ0 , λ0 )
HomA (λi , λ0 )
HomA (λ0 , λj )
HomA (λi , λi )
HomA (λi , λj )
Attention :
=
=
=
=
=
i, j ≥ 1
et
i 6= j ,
{idλ0 }
{ (λi λ0 G1,1 ), ..., (λi λ0 GMi1 ,1 )}
{ (λ1 λj G1,1 ), ..., (λ1 , λj G1,M1i )}
{ (λi λi G1,1 ), ..., (λi λi GM1i ,Mi1 )}
{ (λi λj G1,1 ), ..., (λi λj GM1j ,Mi1 )}.
idλi 6∈ HomA (λi , λi )
pour tout
On dénit la loi de composition interne sur
75
i > 0.
Hom(A)
par :
Classication des matrices triples strictement positives
0
0
0
(λj λk Gu ,v )(λi λj Gu,v ) = (λi λj Gu,v ) pour toutes i, j, k ≥ 1
soient i, j, k ∈ {1, ..., n − 1} alors,
h
i
0 0
00 00
00 0
(λj λk Gu ,v )(λi λj Gu ,v ) (λk λp Gu,v ) = (λi λk Gu ,v )(λk λp Gu,v )
0
= (λk λk Gu,v )
j k
u0 ,v 0
(λ λ G
h
i et
0 0
00
i j u00 ,v 00
k p u,v
) (λ λ G
)(λ λ G ) = (λj λk Gu ,v )(λk λj Gu,v )
0
= (λk λk Gu,v ).
Ce
h qui donne :
i
h
i
0 0
00 00
0 0
00 00
(λj λk Gu ,v )(λi λj Gu ,v ) (λk λp Gu,v ) = (λj λk Gu ,v ) (λi λj Gu ,v )(λk λp Gu,v ) .
Donc A est une semi-catégorie associée à M.
On dénit une nouvelle semi-catégorie partiellement unitaire, avec l'identite
0
1
2
n−1
de λ mais que A n'a pas les identites de λ ni de λ ,...,ni de λ
B , dont
l'ensemble
B(λ0 , λ0 )
B(λi , λ0 )
B(λ0 , λj )
B (λi , λi )
B (λi , λj )
Ob(B) = Ob(A)
=
=
=
=
=
et les morphismes sont dénis par :
{idλ0 }
{ (λi λ0 G1,1 ), ..., (λi λ0 GMi1 ,1 )}
{ (λ1 λj G1,1 ), ..., (λ1 , λj G1,M1i )}
{ (λi λi G1,1 ), ..., (λi λi GM1i ,Mi1 )} ∪ {(λi λi E 1 ), ..., ( λi λi E si )}
{ (λi λj G1,1 ), ..., (λi λj GM1j ,Mi1 )} ∪ {(λi λj H 1 ), ..., (λi λj H ti,j )}.
Pour la loi de composition interne on a la même loi que
A
et on ajoute les
équations suivantes :
( λi λj H p )( λi λi E k )
( λi λi E k )( λj λi H p )
( λi λi E k )(λj λi Gu,v )
( λi λj H p )(λl λi Gu,v )
( λi λj Gu,v )(λi λi E k )
(λj λl Gu,v )(λi λj H p )
(λj λl Gu,v )(λi λj H p )
=
=
=
=
=
=
=
(λi λj G1,Mi1 )
(λj λi G1,Mi1 )
(λi λi G1,1 )(λj λi Gu,v )
(λi λj G1,1 )(λi λj Gu,v )
(λi λj Gu,v )(λi λi GM1i ,Mi1 )
(λj λl Gu,v )(λi λj GM1j ,Mi1 )
(λj λl Gu,v )(λi λj GM1j ,Mi1 ).
Pour l'associativité on a fait déjà la démonstration déja dans le théorème
(6.3.7). Donc
B une semi-catégorie associée à la matrice N
76
qui est dénie par :
Classication des matrices triples strictement positives

1
m12
···
m1n
 m21 (m22 − 1) · · ·
m2n

N =  ..
.
.
.
..
 .
.
···
mn1
mn2
· · · (mnn − 1)
B , alors
Cat(M) 6= ∅.
Si on ajoute les identitées à la sémi-catégorie
B + ids
qui est associée à
M,
donc



.

on aura une catégorie
Proposition 6.3.10
Soit M = (mij ) ∈ Mn (N)∗ une matrice réduite , alors
on peut savoir la valeur de Cat(M) par les études suivantes :
1. Si mii > 1∀ ≤ i ≤ n, alors Cat(M) 6= ∅ voir le théorème (5.3.2).
2. S'il existe au moins i0 tel que mi0 i0 = 1 dans ce cas on a deux possibilités :
(a) si i0 le seul indice que mi0 i0 = 1, alors l'étude de Cat(M) 6= ∅ dans
le théorème précédant voir (6.3.9).
(b) S'il existe d'autres indices {i1 , i2 , ....etc} diérents de i0 tel que ;
mi1 i1 = mi2 i2 = ... = 1 alors Cat(M) = ∅ car M réduite voir le
lemme (5.3.1).
Lemme 6.3.11
: Il y a un algorithme pour décider, si Cat(M) = ∅ ou non
avec M matrice strictement positive.
Preuve : on a deux possibilités :
1. Si
M
une matrice réduite, on a fait l'étude de
Cat(M)
dans la propo-
sition précédente voir (6.3.10).
M non-réduite alors on peut réduire M à une matrice réduite N voir
Cat(M) 6= ∅ ⇔ Cat(N ) 6= ∅, donc on étudie Cat(M)
au travers de l'étude Cat(N ) par revenir à la proposition précédente
2. Si
(5.2.1) tel que ;
voir (6.3.10).
Lemme 6.3.12
: Soit M = (mij )i,j ∈ Mn (N∗ ) une matrice strictement
positive, alors ;
Cat(M ) 6= ∅ si et seulement si pour toute N sous-matrice régulière d'ordre
≤ 3, Cat(N ) 6= ∅.
Preuve :⇒) voir (3.3.3).
(⇐ On pose que Cat(N ) 6= ∅, pour toute N
≤ 3.
Si M est réduite alors on a deux cas :
77
sous-matrice régulière d'ordre
Classication des matrices triples strictement positives
1. Si
mii > 1∀ ≤ i ≤ n,
alors
2. S'il existe au moins une
Cat(M) 6= ∅
i0
tel que
voir le théorème (5.3.2).
mi0 i0 = 1
dans ce cas on a deux
possibilités :
(a) Il existe une coecient unité unique, on pose
m11 = 1
voir le
corollaire (3.3.7).
Soient
i 6= j ∈ {1, ..., n},
on prend la sous-matrice régulière
N
:


1 m1i m1j
N =  mi1 mii mij  .
mj1 mji mjj
D'après l'hypothèse, on a
Cat(N ) 6= ∅ ce qui donne on a les équa-
tions suivants :
mii > mi1 m1i et mij ≥ mi1 m1j .
Donc Cat(N ) 6= ∅ voir le théorème
(b) S'ils existent des autres indices
(6.3.9).
{i1 , i2 , ....ect}
diérents de
mi1 i1 = mi2 i2 = ... = 1, alors on prend la sousrégulière N :
mi1 i1 mi1 i2
1
m i1 i2
N=
=
mi2 i1 mi2 i2
mi2 i1
1
que ;
D'après l'hypothèse, on a
M
tel
matrice
Cat(N ) 6= ∅ ce qui donne 1 > mi2 i1 mi1 i2
voir (6.2.2), impossible.
Si
i0
non-réduite, alors il existe une matrice réduite
78
M0
voir (5.2.1).
Chapitre 7
Classication des matrices
positives
7.1 Classication d'une matrice d'ordre 4 à un
seul bloc zéro
Soit M = (mij )1≤i,j≤4 une matrice
i, j ≤ 4)telle que Cat(M) 6= ∅, et soit A
Ob(A)/R = {λ1 , λ2 , ...etc}.
carrée positive
(mij ≥ 0, ∀1 ≤
M alors
une catégorie associée à
Dénition 7.1.1
: On dira que M est une matrice positive à un seul bloc
zéro si et seulement s'il existe un seul bloc de la matrice M qui est nul,
autrement dit il existe un seul couple (i, j) avec i 6= j tel que la bloc qui
associé à λi vers λj soit égale 0.
Exemple 7.1.2

Soit
1
 2
M=
 0
0
:
2
9
0
0
2
5
1
1

5
3 
 , alors M
1 
2
est une matrice à un seul bloc zéro.
79
Classication d'une matrice d'ordre 4 à un seul bloc zéro
Notations : Soit M une matrice positive à un seul bloc zéro avec Cat(M) 6=
∅
qui est dénie par :

1
 e
M=
 0
0
Soit A
0 1
∈ Cat(M),
{1 , 1 , 20 , 21 }.
alors
b
f
0
0

c d
k l 
4
4
1
1→2
=
1 x 
0
42
q m
Ob(A)/R = {1, 2}
On note les morphismes associés au bloc
A(10 , 10 )
A(10 , 11 )
A(11 , 10 )
A(11 , 11 )
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
42
par :
{id20 }
{20 21 G1,1 , ..., 2, 21 G1,x }
{21 20 G1,1 , ..., 21 20 Gq,1 }
{id20 , 21 21 G1,1 , ..., 21 21 Gx,q } ∪ {21 21 X 1 , ..., 21 21 X m−xz−1 }.
On note les morphismes associés au bloc
A(10 , 20 )
A(11 , 20 )
A(10 , 21 )
A(11 , 21 )
par :
{id10 }
{10 11 G1,1 , ..., 10 11 G1,b }
{11 10 G1,1 , ..., 11 10 Ge,1 }
{id11 , 11 11 G1,1 , ..., 11 11 Gb,e } ∪ {11 11 X 1 , ..., 11 11 X f −be−1 }.
On note les morphismes associés au bloc
A(20 , 20 )
A(20 , 21 )
A(21 , 20 )
A(21 , 21 )
41
avec l'ensemble des objets est
41→2
par :
{10 20 A1 , ..., 10 20 Ac } = A
{11 20 B 1 , ..., 11 20 B k } = B
{10 21 C 1 , ..., 10 21 C d } = C
{11 21 D1 , ..., 11 21 Dl } = D.
On note les morphismes suivantes :
10 11 G1,1 par G1 , et 11 10 G1,1 par F1 alors (11 10 G1,1 )(10 11 G1,1 ) = F1 G1
20 21 G1,1 par N1 , et 21 20 G1,1 par M1 alors (20 21 G1,1 )(21 20 G1,1 ) = M1 N1
= id10
= id20
D'autre part, on dénit les applications suivants :
gN1 : B
(11 20 B i )
gM1 : D
(11 21 Di )
/
D
gN1 (11 20 B i ) = N1 (11 20 B i ) = (20 21 G1,1 )(11 20 B i ).
/
/
/
B
gM1 (11 21 Di ) = M1 (11 21 Di ) = (21 20 G1,1 )(11 21 Di ).
80
Classication d'une matrice d'ordre 4 à un seul bloc zéro
dF1 : C
(10 21 C i )
dG1 : D
(11 21 Di )
/
D
dF1 (10 21 C i ) = (10 21 C i )F1 = (10 21 C i )(11 10 G1,1 ).
/
/
On remarque
/
gM1 ◦ gN1 = idB
C
dG1 (11 21 Di ) = (11 21 Di )G1 = (11 21 Di )(10 11 G1,1 ).
et
dF1 ◦ dG1 = idD .
En eet :
h
i
0 1 1,1
1 0 i
gM1 ◦ gN1 ((1 2 B )) = gM1 (2 2 G )(1 2 B )
h
i
= (21 20 G1,1 ) (20 21 G1,1 )(11 20 B i )
h
i
1 0 1,1
0 1 1,1
= (2 2 G )(2 2 G ) (11 20 B i )
1 0
i
= id20 (11 20 B i )
= (11 20 B i ).
Donc
gM1 ◦ gN1 = idB ,
Lemme 7.1.3
la même pour
dF1 ◦ dG1 = idD .
: Les applications gN1 et dF1 sont injectives, et on a :
gN1 (11 20 B i ) = (20 21 G1,1 )(11 20 B i ) = (11 21 Di )
et
0 1 i
dF1 (1 2 C ) = (10 21 C i )(11 10 G1,1 ) = (11 21 Di ).
Preuve : On va démontrer que gN1 est injective.
Soient
i, i0 ∈ {1, ..., k}
avec
i 6= i0 ,tel
que
On a :
h
i
h
i
(21 20 G1,1 ) gN1 (11 20 B i ) = (21 20 G1,1 ) (20 21 G1,1 )(11 20 B i )
h
i
0 1 1,1
0 1 1,1
= (2 2 G )(2 2 G ) (11 20 B i )
= id20 (11 20 B i )
= (11 20 B i ).
et
h
i
h
i
0
0
(21 20 G1,1 ) gN1 (11 20 B i ) = (21 20 G1,1 ) (20 21 G1,1 )(11 20 B i )
h
i
0
= (20 21 G1,1 )(20 21 G1,1 ) (11 20 B i )
0
= id20 (11 20 B i )
0
= (11 20 B i ).
81
0
gN1 (11 20 B i ) = gN1 (11 20 B i )
Classication d'une matrice d'ordre 4 à un seul bloc zéro
0
1 0 i
1 0 i
gN
h 1 (1 2 B ) = igN1 (1 2 B ) alors,
h
i
0
(21 20 G1,1 ) gN1 (11 20 B i ) = (21 20 G1,1 ) gN1 (11 20 B i )
Comme
i0
(11 20 B i ) = (11 20 B ) ce qui
gN1 (11 20 B i ) = (11 21 Di ) .
D'autre part, dF1 est injective.
0
0
Soient i, i ∈ {1, ..., d} avec i 6= i , tel
donne
que
que
c.à.d,
gN1
est
injective
et
0
dF1 (10 21 C i ) = dF1 (10 21 C i )
h
i
0 1 i
1 0 1,1
dF1 (1 2 C )(1 1 G ) = (1 2 C )(1 1 G ) (10 11 G1,1 )
h
i
= (10 21 C i ) (11 10 G1,1 )(10 11 G1,1 )
0 1
i
0 1
1,1
= (10 21 C i )id10
= (10 21 C i ),
et
i
(10 21 C i )(11 10 G1,1 ) (10 11 G1,1 )
h
i
0 1 i0
1 0 1,1
0 1 1,1
= (1 2 C ) (1 1 G )(1 1 G )
0
dF1 (10 21 C i )(10 11 G1,1 ) =
h
0
= (10 21 C i )id10
0
= (10 21 C i ).
0
(10 21 C i ) = (10 21 C i ),
0
dF1 (10 21 C i ) = (11 21 Di ).
Donc
ce
qui
donne
que
dF1
est
injective
et
Lemme 7.1.4
: Soit A f / B une application injective telle que A,B soient
deux ensembles nis alors :
Pour tout X, Y ⊂ A alors X ' f (X) ce qui donne Card(X)= Card(f(X) et
Card(X − Y ) = Card(X) − Card(X ∩ Y ) = Card(f (X)) − Card(f (X ∩ Y )).
En eet :
La restriction de f sur X est une application bijective donc
Card(X)=Card(f(X)) et Card(X − Y ) = Card(X) − Card(X ∩ Y ) =
Card(f (X)) − Card(f (X ∩ Y )).
Théorème 7.1.5

1
 e
Soit M = 
 0
0
b
f
0
0

c d
k l 
 , avec b,c,d,e,f,k,l,x,q et m ∈ N∗ et M réduite alors ;
1 x 
q m
82
Classication d'une matrice d'ordre 4 à un seul bloc zéro

f ≥ be + 1




m ≥ xq + 1



k, d, l ≥ c
on a Cat(M) 6= ∅ si et seulement si
l≥k




l≥d



l ≥k+d−c
⇒)
Preuve :
On pose
Cat(M) 6= ∅,
car les deux blocs
A qui est dénie
Cat(41 ) 6= ∅ et Cat(42 ) 6= ∅
alors il existe une catégorie nie
dans la notation précédente voir (7.1), et on a
41 et 42 qui sont dénis au dessus voir (7.1) sont des sousM voir le théorème (3.3.3), ces qui donne f ≥ be + 1
matrices réguliérs de
et
m ≥ xq + 1
voir le théorème (6.3.9).
Il reste à démontrer les inéquations suivantes :
k, d, l ≥ c, l ≥ k , l ≥ d et l ≥ k + d − c.
0
00
On pose k < c , alors il existe au moins p ∈ {1, ..., k} et u , u ∈ {1, ..., c}
00
avec u 6= u tel que :
0 0 u0
1 0 1,1
0 0 u00
1 0 1,1
1 0 p
(1
h 2 A )(1 1 G ) =
i (1 2 A )(1 h1 G ) = (1 2 B ), ce
i qui donne :
0 0 u0
1 0 1,1
0 1 1,1
0 0 u00
1 0 1,1
(1 2 A )(1 1 G ) (1 1 G ) = (1 2 A )(1 1 G ) (10 11 G1,1 ).
D'autre part ;
h
i
h
i
0
0
(10 20 Au )(11 10 G1,1 ) (10 11 G1,1 ) = (10 20 Au ) (11 10 G1,1 )(10 11 G1,1 )
0
= (10 20 Au )id10
0
= (10 20 Au )
h
i
00
= (10 20 Au )(11 10 G1,1 ) (10 11 G1,1 )
h
i
0 0 u00
1 0 1,1
0 1 1,1
= (1 2 A ) (1 1 G )(1 1 G )
00
= (10 20 Au )id10
00
= (10 20 Au ).
0
00
(10 20 Au ) = (10 20 Au ) ce qui donne u0 = u00 contradiction, donc k ≥ c.
Encore, nous avons d ≥ c et l ≥ c soit la même idée que précédemment.
0
00
Par ailleurs, on pose l < k , alors il existe au moins p ∈ {1, ..., l} et u , u ∈
{1, ..., k} avec u0 6= u00 tel que :
1 0 u0
0 1 1,1
1 0 u00
1 1 p
(20 21 G1,1 )(1
h 2 B ) = (2 2 G i)(1 2 B ) =h(1 2 D ), ce qui donne
i :
0
1 0 1,1
0 1 1,1
1 0 u
1 0 1,1
0 1 1,1
1 0 u00
(2 2 G ) (2 2 G )(1 2 B ) = (2 2 G ) (2 2 G )(1 2 B ) .
Alors
83
Classication d'une matrice d'ordre 4 à un seul bloc zéro
D'autre part ;
h
i
h
i
0
0 1 1,1
1 0 u0
1 0 1,1
0 1 1,1
(2 2 G ) (2 2 G )(1 2 B ) = (2 2 G )(2 2 G ) (11 20 B u )
1 0
1,1
0
= id20 (11 20 B u )
0
= (11 20 B u )
h
i
00
= (21 20 G1,1 ) (20 21 G1,1 )(11 20 B u )
h
i
00
= (21 20 G1,1 )(20 21 G1,1 ) (11 20 B u )
00
= id20 (11 20 B u )
00
= (11 20 B u ).
0
00
(11 20 B u ) = (11 20 B u ) ce qui donne u0 = u00 contradiction, donc l ≥ k .
Nous avons aussi l ≥ d la même idée que précédemment.
Il reste à démontrer l ≥ k + d − c.
D'abord on va démontrer que (C − A) ⊂ D et (B − A) ⊂ D sont disjoints
Alors
entre eux, ce qui conduit à l'inégalité.
D'après le lemme (7.1.3) on a gN1 et dF1 sont injectives avec :
gN1 (11 20 B i ) = (20 21 G1,1 )(11 20 B i ) = (11 21 Di ),
dF1 (10 21 C i ) = (10 21 C i )(11 10 G1,1 ) = (11 21 Di ).
D'autre part, soit le diagramme suivant :
A
dF1
B
où les èches verticales sont
dF1
gN1
/
gN1
/
C
dF1
D
et les eches horizontales sont
gN1 .
Le diagramme est commutatif car
dF1 gN1 (u) = dF1 (N1 .u) = N1 uF1 = gN1 dF1 (u).
Aussi les èches sont tous injectives (comme ci-dessus).
dF1 (gN1 (A)) ⊂ D et
dF1 (C) ⊂ D, noté par C.F1 ,
gN1 (B) = N1 .B ⊂ D.
On peut donc considérer
on notera cela par
N1 .A.F1 .
On a également
similairement
On peut maintenant dire plus précisément ce que l'on veut démontrer que :
( C.F1 − N1 .A.F1 ) ⊂ D
et
(N1 .B − N1 .A.F1 ) ⊂ D.
sont disjoints entre eux.
Par l'absurde, supposons qu'il existe
y ∈ (C.F1 −N1 .A.F1 )∩(N1 .B−N1 .A.F1 )
84
Classication d'une matrice d'ordre 4 à un seul bloc zéro
y ∈ (C.F1 − N1 .A.F1 ) donc il existe u ∈ (C − N1 .A) tel que y = dF1 (u) = uF1
car dF1 injectif
y ∈ (N1 .B −N1 .A.F1 ) donc il existe v ∈ (B −A.F1 ) tel que y = gN1 (v) = N1 v
car gN1 injectif
y = uF1 = N1 v
On considere alors :
gN1 .gM1 (u) =
=
=
=
=
=
N1 M1 u
N1 M1 uF1 G1
N1 M1 N1 vG1
N1 vG1
uF1 G1
u.
u ∈ (C − N1 .A) c.à.d u ∈ C alors il existe a tel que u = (10 21 C a ).
1 0 1,1
0 1 a
0 0 a
D'autre part, gM1 (u) = (2 2 G )(1 2 C ) = (1 2 A ) ce qui donne
gM1 (u) ∈ A alors gN1 .gM1 (u) = u ∈ N1 .A ; une contradiction.
On a
alternativement, de façon similaire
dF1 .dG1 (v) =
=
=
=
=
=
vG1 F1
M1 N1 vG1 F1
M1 uF1 G1 F1
M1 uF1
M1 N1 v
v
1 0 b
alors il existe b tel que v = (1 2 B ).
1 0 b
0 1 1,1
D'autre part, dG1 (v) = (1 2 B )(1 1 G ) =
v∈B
(10 20 Ab ) ce qui donne dG1 (v) ∈
dF1 .dG1 (v) = v ∈TA.F1 , encore une contradiction.
− N1 .A.F1 ) (N1 .B − N1 .A.F1 ) = ∅.
Comme gN1 et dF1 sont injectives voir le lemme (7.1.3) alors
A
alors
Donc, (C.F1
Card(N1 .A.F1 ) =
=
=
=
on a :
Card(gN1 (dF1 (A)))
Card(dF1 (A))
Card(A)
c
Card((C.F1 ) ∩ (N1 .A.F1 )) = Card(N1 .A.F1 ) = c
Card(C.F1 ) = Card(dF1 (C)) = Card(C) = d
et
85
car
(N1 .A.F1 ) ⊂ (C.F1 ).
Dénition d'une matrice acceptable
Card(N1 .B) = Card(gN1 (B)) = Card(B) = k.
D'autre part :
Card(D − N1 .A.F1 ) = Card(D) − Card((C.F1 ) ∩ (N1 .A.F1 ))
= l − c,
Card(C.F1 − N1 .A.F1 ) = Card(C.F1 ) − Card((C.F1 ) ∩ (N1 .A.F1 ))
= d − c,
et
Card(N1 .B − N1 .A.F1 ) = Card(N1 .B) − Card((N1 .B) ∩ (N1 .A.F1 ))
= k − c,
C.F1 ⊂ D
alors (C.F1
− N1 .A.F1 ) ⊂ (D − N1 .A.F1 )
(a)
et
N1 .B ⊂ D
alors (N1 .B
− N1 .A.F1 ) ⊂ (D − N1 .A.F1 )
(b)
les équations (a)+(b) donnent :
− N1 .A.F1 )+ Card(N1 .B − N1 .A.F1 )≤ Card(D − N1 .A.F1 )
(k − c) + (d − c) ≤ (l − c) donc d+k-c≤ l.
⇐) Nous verrons la démonstration en bas dans le cas général.
Card(C.F1
c.à.d
7.2 Dénition d'une matrice acceptable
Dénition 7.2.1
: Soient M = (mij )1≤i,j≤n ) ∈ Mn (N), et A une catégorie
nie dont les objets sont {x1 , ..., xn }. On dénit deux relations sur Ob(A) par
rapport à M par :
1. xi GM xj si mij > 0.
2. xi RM xj si xi GM xj et xj GM xi .
Nous disons que M est acceptable si et seulemnt si la relation GM est à la
fois réexive, transitive et la relation RM est équivalenve.
Si M est acceptable
λ, µ, . . .. et les objets
RM
λ . . . etc.
alors, les classes d'equivalence de
i
de ces classes seront notées
seront notées
D'autre part, on dénit la relation d'ordre sur les classes d'équivalence par :
86
Dénition d'une matrice acceptable
λ≥µ
λi GM µj pour
λ ≥ µ et λ 6= µ.
si et seulement si
On note
λ>µ
si
Exemple 7.2.2
tous
λi ∈ λ
et
µj ∈ µ.
:
1. Les matrices strictement positives qui ont des catégories sont des matrices acceptables.
b, c, d, e, f, k, l, x, q

1 b
 e f
matrice M = 
 0 0
0 0
2. Soient
La
≥1
et m
∈ N∗

c d
k l 
,
1 x 
q m
alors ;
est une matrice acceptable.
Théorème 7.2.3 : Soit M une matrice triangulaire supérieure, alors
Cat(M) 6= ∅ ⇔ M est acceptable.
En eet : ⇒)On démontrera ce résultat au début du théorème (7.3.1).
⇐) Soit M = (mij )1≤i,j≤n
mi,j = 1∀i ≤ j , alors M est
est une matrice triangulaire supérieure tel que
acceptable.
A a n objets {x1 , ..., xn }

 idxi si i=j
{fij } si i < j
A(xi , xj ) =

∅
si i > j
On peut considérer une catégorie
sont dénis par :
et le morphismes
la composition est dénie car il n'y a qu'un seul choix a chaque fois, donc
est associée à
A
M.
En enlevant les identites sur
M 0 = M − Idn×n .
A,
on obtient une sémi-categorie
A0
associée à
0
est une matrice acceptable et soit N := N − Idn×n , d'après la tech0
0
nique de rajouter des morphismes sur A on obtient une sémi-catégorie B
0
0
associée à N . Ensuite on pose B = B + les identites, donc on a bien
Soit
N
B ∈ Cat(N ).
Corollaire 7.2.4
: Si M est triangulaire supérieure d'ordre n avec entrées
strictement positives dans le triangle supérieure, alors Cat(M) 6= ∅.
Preuve : Soit A = {a1 , ..., an } on va étudier la relation ≤ sur A voir la
≤ dans (7.2.1).
i ∈ {1, ..., n} alors mii > 0 c.à.d ai ≤ ai donc ≤ est réeive.
Soient i, j, k ∈ {1, ..., n} tel que ai ≤ aj et aj ≤ ak alors mij > 0
dénition de
Soit
87
et
mjk > 0,
Classication d'une matrice réduite d'ordre n
i ≤ j ≤ k car M est triangulaire supérieure alors ai ≤ ak d'où
l'associativité, donc M est acceptable.
M est acceptable et triangulaire supérieure ce qui donne Cat(M) 6= ∅ voir
ce qui donne
le théorème (7.2.3).
7.3 Classication d'une matrice réduite d'ordre
n
M = (mij )1≤i,j≤n ∈ Mn (N)
tel que Cat(M) 6= ∅, et soit
i
j
dont l'ensemble des objets dénit est {λ , ..., β , ...etc}.
i
i
0
j
0
j
On pose : a(λ ) := M (λ , λ ) et b(λ ) := M (λ , λ ).
Soit
Théorème 7.3.1
: Soit M une matrice réduite d'order n

M acceptable



i
i

M
(λ
,
λ
)
≥ a(λi )b(λi ) + 1




 M (λi , λj ) ≥ a(λi )b(λj )
M (λi , µj ) ≥ M (λi , µ0 )
Cat(M ) 6= ∅ ⇔


M (λi , µj ) ≥ M (λ0 , µj )




M (λi , µj ) ≥ M (λ0 , µj ) + M (λi , µ0 )



−M (λ0 , µ0 )
A ∈ Cat(M)
alors on a :
∀λ ∈ U, i ≥ 1
∀λ ∈ U
∀λ > µ, µ ∈ U
∀λ > µ, λ ∈ U
∀λ ≥ µ ∈ U
Preuve :
⇒)
On pose
Cat(M ) 6= ∅
M
une catégorie associé à
M alors il existe A
{λ , ....., µj , ....., ........etc}
on a d'après la partition de
i
dont les objets sont
Donc M sera :
M=
[
Mλ
M[
Mµ
M[
µ∈V
λ∈U
On va démontrer que M est acceptable.
i
λ
En eet soit λ ∈ Ob(A) comme M > 0 alors
alors
≥
Mλ,µ .
λ∈U
µ∈V
|A(λi , λi )| ≥ 1
donc
λi ≥ λi
est reexive.
φk trois objets telque λi ≥ µj et µj ≥ φk .
i j
a
j k
b
alors il existe deux morphismes F=(λ µ , H ) et G=(µ φ , J ).
j k
b
i j
a
i k
c
i
k
On a K=(µ φ , J )(λ µ , H ) = (λ φ , M ) donc λ ≥ φ alors ≥ est transiPour la transitivité soient
λi ,µj
et
tive.
D'autre part, le résultat de (6.3.9) s'applique à chaque sous-matrice diagoλ
µ
λ,µ
nale à coecients strictement positifs M ,M . Pour les sous-matrices M
88
Classication d'une matrice réduite d'ordre n
quand
⇐)
λ>µ
la condition est tirée du théorème (7.1.5) ci-dessus.
Cat(M) 6= ∅.
le cas où λ, β, ... ∈ U
On va démontrer que
On travaille d'abord sur
tités, donc
M
et après on ajoutera les iden-
devient :
M=
[
λ∈U
S
Mλ
M
V
[
λ,µ∈U
S
M λ,µ
V
semi-catégorie
partiellement unitaire avec condition d'unité seulement sur les A(λ0 , λ0 )
i
j
i
j
pour λ ∈ U , et en supposant que M (λ , λ ) = a(λ )b(λ ) pour λ ∈ U .
1
1
Pour λ ∈ V on peut prendre M(λ , λ ) = 1.
i
Soit A une semi-catégorie donts les objets sont {λ avec λ ∈ A/R} et les
Comme dans [2], il sut de considérer la construction d'une
morphismes
n sont :
Ob(A)=
Ici
(λi , λj , (u, v))/λ ∈ U ∪ V
o
n
o
∪ (λi , µj , k)/λ, µ ∈ U ∪ V .
1 ≤ u ≤ a(λi ) et 1 ≤ v ≤ b(λj ), en mettant (λ1 , λ1 , (u, v)) = idλ1
Pour
λ > µ,
si
λ∈V.
on notera
|µ0 , λ0 | := {1, 2, . . . , M(µ0 , λ0 )},
|µ0 , λi | := {1, 2, . . . , M(µ0 , λi )},
mais en revanche
|µn , λ0 | := {1 + M(µ0 , λ0 ) − M(µn , λ0 ), . . . , 0, 1, 2, . . . , M(µ0 , λ0 )},
et enn
|µn , λi | := {1 + M(µ0 , λ0 ) − M(µn , λ0 ), . . . , 0, 1, 2, . . . , h},
où
h = M(µn , λi ) + M(µ0 , λ0 ) − M(µn , λ0 ).
De cette façon,
#|µ0 , λ0 | = M(µ0 , λ0 ),
#|µ0 , λi | = M(µ0 , λi ),
#|µn , λ0 | = M(µn , λ0 ),
et
#|µn , λi | = M(µn , λi ).
D'autre part,
|µ0 , λi | ∩ |µn , λ0 | = |µ0 , λ0 |.
89
Classication d'une matrice réduite d'ordre n
On notera souvent par
H 0 (µn , λi )
le complémentaire
H 0 (µn , λi ) := {M(µ0 , λi ) + 1, . . . , h}
ayant
#H 0 (µn , λi ) = M(µn , λi ) − M (µ0 , λi ) − M (µn , λ0 ) + M(µ0 , λ0 )
éléments. L'hypothèse dit que ce nombre d'éléments est ≥ 0.
n
i
Ainsi |µ , λ | est la réunion disjointe des quatre parties suivantes :
|µ0 , λ0 |
|µ0 , λi | − |µ0 , λ0 |
|µn , λ0 | − |µ0 , λ0 |
H 0 (µn , λi ).
On dénit la loi de composition interne par quatre équations :
i j
n i 0
n j
1. (λ ,µ ,k)◦(ϕ ,λ ,k )=(ϕ ,µ ,1)
(l'utilisation des symboles diérents
l'hypothèse
ϕ 6= λ 6= µ,
ϕ, λ, µ
ici cela veut dire qu'on a
une convention en rigeur partout).
i j
n i
0 0
n j
0
2. (λ ,λ ,(u,v))◦(λ ,λ ,(u , v ))=(λ ,λ ,(u , v )).
3.
(λi , λj , (u, v)) ◦ (µn , λi , k)=(µn , λj , k 0 ).
On a dans ce cas 2 possibilités :
(λi , λj , (u, v)) ◦ (µn , λi , k)=(µn , λj , 1)
(a) Si
λ∈V
alors
(b) Si
λ∈U
alors on a 2 cas :
i. Si i=0 alors,
ii. Si i6=
4.
0
(λi , λj , (u, v)) ◦ (µn , λi , k)=(µn , λj , k ).
(λi , λj , (u, v)) ◦ (µn , λi , k)=(µn , λj , k 0 ).

k si k ∈ |µ0 , λ0 |



1 si k ∈ |µ0 , λi | − |µ0 , λ0 |
0
avec k =
k si k ∈ |µn , λ0 | − |µ0 , λ0 |



1 si k ∈ H 0 (µn , λi )
alors,
(λj , µn , k) ◦ (λi , λj , (u, v))=(λi , µn , k 0 )
On a dans ce cas 2 possibilités :
(a) Si
λ∈V
alors
(λj , µn , k) ◦ (λi , λj , (u, v))=(λi , µn , 1)
90
Classication d'une matrice réduite d'ordre n
(b) Si
λ∈U
on a 2 cas :
i. Si j=0 alors,
ii. Si j6=
0
(λj , µn , k) ◦ (λi , λj , (u, v))=(λi , µn , k).
(λj , µn , k 0 ) ◦ (λi , λj , (u, v))=(λi , µn , k 0 ),

k si k ∈ |λ0 , µ0 |



1 si k ∈ |λj , µ0 | − |λ0 , µ0 |
k0 =
k si k ∈ |λ0 , µn | − |λ0 , µ0 |



1 si k ∈ H 0 (µn , λi )
alors,
Pour l'unité partielle :
0
Comme k = k pour i = 0 voir (3(b)i) ou
i i
(λ λ (1, 1)) agit comme une l'identité.
j =0
voir(4(b)i) quand
λ ∈ U,
Pour l'associativité :
soient
λ,µ,ϕ,φ ∈ A/ ∼
alors il y a 8 formes des équations associatives :
1)
λi
/ µj
/ φt
2)
λi
/ µj
/
µt
/ φn
3)
λi
/ µj
/ φt
/ φn
4)
λi
/ λj
/
µt
/ φn
5)
λi
/ λj
/
µt
/
6)
λi
/ λj
/ λt
7)
λi
/ µj
/
8)
λi
/ λj
/ λt
Rappelons que les symboles
/
ϕn
/
µn
µn
/
µt
µn
/ λn
λ, µ, φ, ϕ
distincts représentent par convention
des classes diérentes.
Équation 1
h
i
(φt ϕn , a)(µj φt , b) (λi µj , c) = (µj ϕn , 1)(λi µj , c)
= (λi ϕn , 1).
D'autre part,
h
i
j t
i j
(φ ϕ , a) (µ φ , b)(λ µ , c) = (φt ϕn , a)(λi φt , 1)
t
n
= (λi ϕn , 1).
Donc,
h
i
h
i
(φt ϕn , a)(µj φt , b) (λi µj , c) = (φt ϕn , a) (µj φt , b)(λi µj , c)
Alors l'équation 1 est associative.
91
Classication d'une matrice réduite d'ordre n
Équation 2
t n
j
(µ φ , a)(µ µt , (1, 1))(λi µj , b)
On a 3 cas :
1. Si j=t=0, c.à.d l'identitée :
h
i
0 n
0 0
(µ φ , a)(µ µ , (1, 1)) (λi µ0 , b) = (µ0 φn , a)(λi µj , b)
= (λi φn , 1).
D'autre part,
h
i
0 0
i 0
(µ φ , a) (µ µ , (1, 1))(λ µ , b) = (µ0 φn , a)(λi µ0 , b)
0 n
= (λi φn , 1).
Donc,
h
i
h
i
i 0
0 n
0 0
i 0
(µ φ , a)(µ µ , (1, 1)) (λ µ , b) = (µ φ , a) (µ µ , (1, 1))(λ µ , b) .
0 n
0 0
µ ∈ U , et (j, t) 6= (0, 0) alors, l'équation 2 devient
(µ , φn , a)(µj µt , (u, v))(λi µj , b)
h
i
t n
j t
(µ φ , a)(µ µ , (u, v)) (λi µj , b) = (µj φn , c)(λi µj , b)
2. Si
t
= (λi φn , 1).
D'autre part,
h
i
j
t
i j
(µ φ , a) (µ , µ (1, 1))(λ µ , b) = (µt φn , a)(λi µt , d)
t n
= (λi φn , 1).
Donc,
h
i
h
i
(µt φn , a)(µj , µt , (u, v)) (λi µj , b) = (µt φn , a) (µj µt , (1, 1))(λi µj , b) .
µ ∈ V avec (j, t) 6= (0, 0) alors :
h
i
(µt φn , a)(µj µt , (u, v)) (λi µj , b) = (µj φn , 1)(λi µj , b)
3. Si
= (λi φn , 1).
D'autre part,
h
i
(µt φn , a) (µj µt , (u, v))(λi µj , b) = (φt ϕn , a)(λi µt , 1)
= (λi φn , 1).
Donc,
h
i
h
i
(µt φn , a)(µj µt , (u, v)) (λi µj , b) = (µt φn , a) (µj µt , (u, v))(λi µj , b) .
92
Classication d'une matrice réduite d'ordre n
Alors l'équation 2 est associative.
Équation 3
t n
(φ φ , (u, v))(µj φt , a)(λi µj , b)
t = n = 0,
1. Si
h
0
c.à.d pour l identité :
i
(φ0 φ0 , (1, 1))(µj φ0 , a) (λi µj , b) = (µj φ0 , c)(λi µj , b)
= (λi φ0 , 1).
D'autre part,
h
i
j 0
i j
(φ φ , (1, 1)) (µ φ , a)(λ µ , b) = (φ0 φ0 , (1, 1))(λi φ0 , 1)
0 0
= (λi φ0 , 1).
Donc,
h
i
h
i
[(φ0 φ0 , (1, 1))(µj φ0 , a) (λi µj , b) = (φ0 φ0 , (1, 1)) (µj φ0 , a)(λi µj , b) .
(t, n) 6= (0, 0) :
i
t
n
j t
(φ , φ (u, v))(µ φ , a) (λi µj , b) = (µj φn , k)(λi µj , b)
2. Si
h
φ ∈ U,
avec
= (λj φn , 1).
D'autre part,
h
i
(φt φn , (u, v)) (µj φt , a)(λi µj , b) = (φt φn , (u, v))(λi φt , 1)
= (λi φn , 1).
Donc,
h
i
h
i
i j
t n
j t
i j
(φ φ , (u, v))(µ φ , a) (λ µ , b) = (φ φ , (u, v)) (µ φ , a)(λ µ , b) .
t n
3. Si
h
φ∈V
j t
(t, n) 6= (0, 0) :
i
(φt φn , (u, v))(µj φt , a) (λi µj , b) = (µj φn , 1)(λi µj , b)
avec
= (λj φn , 1).
D'autre part,
h
i
(φt φn , (u, v)) (µj φt , a)(λi µj , b) = (φt φn , (u, v))(λi φt , 1)
= (λi φn , 1).
Donc,
h
i
h
i
(φt φn , (u, v))(µj φt , a) (λi µj , b) = (φt , φn (u, v)) (µj φt , a)(λi µj , b) .
93
Classication d'une matrice réduite d'ordre n
Alors l'équation 3 est associative.
Par ailleurs, l'équation 4 est comme l'équation 3 voir (7.3).
équation 5 :
t n
(µ µ , (a, b))(λj µt , k)(λi λj , (c, d)).
On a quatre cas :
1. Si
µ∈U
et
λ∈V.
On a 3 possibilitées :
t = n = 0,et i, j 6= 0
Q = (µ0 µ0 , (1, 1))(λj µ0 , k) (λi λj , (c, d)) = (λj µ0 , k 0 )(λi λj , (c, d))
= (λi µ0 , 1).
(a) Si
D'autre part,
Q0 = (µ0 , µ0 (1, 1)) (λj µ0 , k)(λi λj , (c, d)) = (µ0 µ0 , (1, 1))(λi µ0 , 1)
= (λi µ0 , 1).
Donc,Q
= Q0 .
i = j = 0, et t, n 6= 0
h
i
Q = (µt µn , (a, b))(λj µt , k) (λi λj , (c, d)) = (λj µn , k 0 )(λi λj , (c, d))
(b) si
= (λi µn , 1).
D'autre part,
h
i
Q0 = (µt µn , (a, b)) (λ0 µt , k)(λ0 λ0 , (1, 1)) = (µt µn , (a, b))(λi µt , 1)
= (λi µ0 , 1).
Donc,Q
= Q0 .
i, j, t et n 6= 0
h
i
Q = (µt µn , (a, b))(λ0 µt , k) (λ0 λ0 , (1, 1)) = (λ0 µn , 1)(λ0 λ0 , (1, 1))
(c) si
= (λ0 µn , 1).
D'autre part,
h
i
0 t
0 0
Q = (µ µ , (a, b)) (λ µ , k)(λ λ , (1, 1)) = (µt µn , (a, b))(λ0 µt , 1)
0
t n
= (λ0 µn , 1).
Donc,Q
= Q0 .
94
Classication d'une matrice réduite d'ordre n
2.
Si
3. Si
µ∈V
µ∈V
et
et
λ ∈ U,
ce cas est le même que le cas précédent.
λ∈V
alors, on a 2 cas ici :
(a)
t = n = 0 et i, j 6= 0
h
i
Q = (µ0 µ0 , (1, 1))(λj µ0 , k) (λi λj , (c, d)) = (λj µ0 , 1)(λi λj , (c, d))
= (λi µ0 , 1).
D'autre part,
h
i
Q0 = (µ0 µ0 , (1, 1)) (λj µ0 , k)(λi λj , (c, d)) = (µ0 µ0 , (1, 1))(λi µ0 , 1)
= (λi µ0 , 1).
Donc,Q
(b)
= Q0 .
i, j, t et n 6= 0
h
i
t n
j t
Q = (µ µ , (a, b))(λ µ , k) (λi λj , (c, d)) = (λj µn , 1)(λi λj , (c, d))
= (λi µn , 1).
D'autre part,
h
i
Q0 = (µt µn , (a, b)) (λj µt , k)(λi λj , (c, d)) = (µt µn , (a, b))(λi µt , 1)
= (λi µn , 1).
= Q0
λ∈U
Donc,Q
4. Si
µ∈U
et
On a 2 possibilités :
(a)
i = j = 0, dans ce cas on a deux possibilités :
i. t = 0
h
i
Q = (µ0 µn , (a, b))(λ0 µ0 , k) (λ0 λ0 , (1, 1)) = (λ0 µ0 , k)(λ0 λ0 , (1, 1))
= (λ0 µn , k).
D'autre part,
h
i
Q0 = (µ0 µn , (a, b)) (λ0 µ0 , k)(λ0 λ0 , (1, 1)) = (µ0 µn , (a, b))(λ0 µ0 , k)
= (λ0 µn , k).
Donc,Q
= Q0 .
95
Classication d'une matrice réduite d'ordre n
t 6= 0
h
i
Q = (µt µn , (a, b))(λ0 µt , k) (λ0 λ0 , (1, 1)) = (λ0 µn , k 0 )(λ0 λ0 , (1, 1))
ii. Si
= (λ0 µn , k 0 ).
avec

k



1
k0 =
k



1
|λ0 , µ0 |
|λ0 , µ0 | − |λ0 , µ0 |
|λ0 , µt | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λ0 , µt )
D'autre part,
h
i
Q0 = (µt µn , (a, b)) (λ0 µt , k)(λ0 λ0 , (1, 1)) = (µt µn , (a, b))(λ0 µt , k)
= (λ0 µn , k 0 ).
avec

k



1
k0 =
k



1
|λ0 , µ0 |
|λ0 , µ0 | − |λ0 , µ0 |
|λ0 , µt | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λ0 , µt )
k 0 = k sur |λ0 , µt |, ce qui donne Q = Q0 .
Si (i, j) 6= (0, 0) on prend i 6= 0, donc on a 4 possibilités sur j, t :
i. Si t = j = 0, on a
h
i
0 n
0 0
Q = (µ µ , (a, b))(λ µ , k) (λi λ0 , (c, d)) = (λ0 µn , k)(λi λ0 , (c, d))
Donc
(b)
= (λi µn , k).
D'autre part,
h
i
0 0
i 0
Q = (µ µ , (a, b)) (λ µ , k)(λ λ , (c, d)) = (µ0 µn , (a, b))(λi µ0 , k)
0
0 n
= (λi µn , k).
Q0 = Q sur |λ0 , µ0 |.
Si j = 0 et t 6= 0, on a :
h
i
Q = (µt µn , (a, b))(λ0 µt , k) (λi λ0 , (c, d)) = (λ0 µn , k 0 )(λi , λ0 , (c, d))
Donc
ii.
= (λi µn , k 0 ).
avec

k



1
k0 =
k



1
|λ0 , µ0 |
|λ0 , µt | − |λ0 , µ0 |
|λ0 , µ0 | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λ0 , µt )
96
=
k
1
|λ0 , µ0 |
|λ0 , µt | − |λ0 , µ0 |
Classication d'une matrice réduite d'ordre n
D'autre part,
h
i
0 t
i 0
Q = (µ µ , (a, b)) (λ µ , k)(λ λ , (c, d)) = (µt µn , (a, b))(λi µt , k)
0
t n
= (λi µn , k 00 ).

k



1
k 00 =
k



1
avec
Donc
Q = Q0
sur
|λ0 , µ0 |
|λ0 , µt | − |λ0 , µ0 |
|λi , µ0 | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λi , µt )
|λ0 , µt |.
j 6= 0 et t = 0, on a :
h
Q = (µ0 µn , (a, b))(λj µ0 , k) (λi λj , (c, d)) = (λj µn , k)(λi λj , (c, d))
iii. Si
= (λi µn , k 00 ),
avec

k



1
k 00 =
k



1
|λ0 , µ0 |
|λj , µ0 | − |λ0 , µ0 |
|λ0 , µn | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λj , µn )
D'autre part,
h
i
j 0
i j
Q = (µ µ , (a, b)) (λ µ , k)(λ λ , (c, d)) = (µ0 µn , (a, b))(λi µ0 , k 0 )
0
0 n
= (λi µn , k 0 ),
avec
Alors

k



1
k0 =
k



1
Q = Q0
sur
|λ0 , µ0 |
|λj , µ0 | − |λ0 , µ0 |
|λ0 , µ0 | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λj , µ0 )
=
k
1
|λ0 , µ0 |
|λj , µ0 | − |λ0 , µ0 |
|λj , µ0 |.
j, t 6= 0, on a :
h
i
t n
j t
Q = (µ µ , (a, b))(λ µ , k) (λi λj , (c, d)) = (λj µn , k)(λi λj , (c, d))
iv. Si
= (λi µn , k 00 ),
avec

k



1
k0 =
k



1
|λ0 , µ0 |
|λ0 , µt | − |λ0 , µ0 |
|λj , µ0 | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λj , µt )
97
Classication d'une matrice réduite d'ordre n
et
avec
 0
k



1
k 00 =
k0



1
|λ0 , µ0 |
|λj , µ0 | − |λ0 , µ0 |
|λ0 , µn | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λj , µn )
00
On va verier que k = 1 sur
00
0
On a k = k = 1 c'est à dire
i n
00
Alors Q = (λ µ , k )
avec
00
k =
k
1
=

k



1
1



1
|λ0 , µ0 |
|λ0 , µt | − |λ0 , µ0 |
|λj , µ0 | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λj , µt )
|λ0 , µt | − |λ0 , µ0 |
k 00 = 1 sur |λ0 , µt | − |λ0 , µ0 |
|λ0 , µ0 |
|λj , µt | − |λ0 , µ0 |
D'autre part,
h
i
Q0 = (µt µn , (a, b)) (λj µt , k)(λi λj , (c, d)) = (µt µn , (a, b))(λi µt , k 0 )
= (λi µn , k 00 ),
avec

k



1
k0 =
k



1
|λ0 , µ0 |
|λj , µ0 | − |λ0 , µ0 |
|λ0 , µt | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λj , µt )
et
avec
 0
k



1
k 00 =
k0



1
|λ0 , µ0 |
|λ0 , µt | − |λ0 , µ0 |
|λi , µ0 | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λi , µt )
=

k



1
1



1
|λ0 , µ0 |
|λ0 , µt | − |λ0 , µ0 |
|λj , µ0 | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λi , µt )
00
j
0
0
0
On va verier que k =1 sur |λ , µ | − |λ , µ |.
00
0
00
j
0
0
0
logiquement k = k ou k = 1 sur |λ , µ | − |λ , µ |
00
si k = 1 vrai.
00
0
j
0
0
0
00
0
si k = k sur |λ , µ | − |λ , µ | alors k = k = 1
00
j
0
0
0
i
n
00
alors k = 1 sur |λ , µ | − |λ , µ | ce qui donne Q'=(λ , µ , k )
avec
Donc
00
k =
Q = Q0
k
1
sur
|λ0 , µ0 |
|λj , µt | − |λ0 , µ0 |
|λj , µt |.
Donc léquation 5 est associative.
équation 6 :
t
n
j
(λ , µ , k)(λ , λt , (a, b))(λi , λj , (c, d)).
On a deux cas :
98
Classication d'une matrice réduite d'ordre n
λ ∈ V alors on a :
h
i
t n
j t
Q = (λ µ , k)(λ λ , (a, b)) (λi λj , (c, d)) = (λj µn , 1)(λi λj , (c, d))
1. Si
= (λi , µn , 1).
D'autre part ;
h
i
Q0 = (λt µn , k) (λj λt , (a, b))(λi λj , (c, d)) = (λt µn , k)(λi λt , (c, b))
= (λi , µn , 1).
Donc,
Q = Q0
λ ∈ V alors on a 4 possibilités :
(a) Si t = j = 0, alors
h
i
Q = (λ0 µn , k)(λ0 λ0 , (a, b)) (λi λ0 , (c, d)) = (λ0 µn , k)(λi λ0 , (c, d))
2. Si
= (λi µn , k).
D'autre part,
h
i
0
0
i
0
Q = (λ , µ , k) (λ , λ , (a, b))(λ , λ , (c, d)) = (λ0 , µn , k)(λi , λ0 , (c, b))
0
0
n
= (λi µn , k).
Donc
Q = Q0 .
t = 0 et j 6= 0, alors :
h
i
Q = (λ0 µn , k)(λj λ0 , (a, b)) (λi λj , (c, d)) = (λj µn , k)(λi λj , (c, d))
(b) Si
= (λi µn , k 0 ).
avec

k



1
k0 =
k



1
|λ0 , µ0 |
|λj , µ0 | − |λ0 , µ0 |
|λ0 , µn | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λj , µn )
i
n
Donc Q=(λ , µ , k) sur
|λ0 , µn |.
D'autre part,
h
i
Q0 = (λ0 µn , k) (λj λ0 , (a, b))(λi λj , (c, d)) = (λ0 µn , k)(λi λ0 , (c, b))
= (λi µn , k).
Alors
Q = Q0
sur
|λ0 , µn |.
99
Classication d'une matrice réduite d'ordre n
j = 0 et t 6= 0, alors :
h
i
Q = (λt µn , k)(λ0 λt , (a, b)) (λi λ0 , (c, d)) = (λ0 µn , k 0 )(λi λt , (c, b))
(c) Si
= (λi µn , k 0 ).
avec

k



1
k0 =
k



1
|λ0 , µ0 |
|λt , µ0 | − |λ0 , µ0 |
|λ0 , µn | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λt , µn )
h
i
Q0 = (λt µn , k) (λ0 λt , (a, b))(λi , λ0 , (c, d)) = (λt µn , k)(λi λt , (c, b))
= (λi µn , k 0 ).
avec
Donc

k



1
k0 =
k



1
|λ0 , µ0 |
|λt , µ0 | − |λ0 , µ0 |
|λ0 , µn | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λt , µn )
Q = Q0 .
t, j 6= 0 alors :
h
i
Q = (λt µn , k)(λj λt , (a, b)) (λi λj , (c, d)) = (λj µn , k 0 )(λi λj , (c, b))
(d) Si
= (λi µn , k 00 ).
avec

k



1
k0 =
 k


1
|λ0 , µ0 |
|λt , µ0 | − |λ0 , µ0 |
|λ0 , µn | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λt , µn )
et
avec
 0
k



1
k 00 =
k0



1
|λ0 , µ0 |
|λj , µ0 | − |λ0 , µ0 |
|λ0 , µn | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λj , µn )
=

k



1
k



1
|λ0 , µ0 |
|λt , µ0 | − |λ0 , µ0 |
|λ0 , µn | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λt , µn )
D'autre part,
h
i
Q0 = (λt µn , k) (λj λt , (a, b))(λi λj , (c, d)) = (λt µn , k)(λi λt , (c, b))
= (λi µn , k 0 ).
100
Classication d'une matrice réduite d'ordre n
avec
Alors

k



1
k0 =
k



1
Q = Q0
sur
|λ0 , µ0 |
|λt , µ0 | − |λ0 , µ0 |
|λ0 , µn | − |λ0 , µ0 |
H 0 (λt , µn )
|λt , µn |
Par ailleurs, on remarque que l'équation 7 est semblable à léquation 6
t
n
j
t
i
j
équation 8 :
(λ , λ , (a, b))(λ , λ , (c, d))(λ , λ , (e, f ))
h
i
Q = (λt λn , (a, b))(λj λt , (c, d)) (λi λj , (e, f )) = (λj λn , (c, b))(λi λj , (e, f ))
= (λi , λn , (e, b)).
D'autre part,
h
i
j t
i j
Q = (λ λ , (a, b)) (λ λ , (c, d))(λ λ , (e, f )) = (λt λn , (a, b))(λi λt , (e, d))
0
t n
= (λi , λn , (e, b)).
Donc
Q = Q0
On a vérié toutes les égalites de l'associativité alors,
associée à
M,
donc
A
est une catégorie
Cat(M) 6= ∅.
Théorème 7.3.2
:Soit M = (mij )1≤i,j≤n une matrice triangulaire supérieure avec mii > 0 ∀i. Alors Cat(M) 6= ∅ ⇔ M est acceptable.
En eet :
⇒) On suppose Cat(M) 6= ∅ alors M est acceptable voir le théorème (7.3.1).
⇐) On pose M est acceptable comme M est triangulaire supérieure.
Lemme 7.3.3
: Soit M = (mij )i,j ∈ Mn (N) une matrice positive, alors ;
Cat(M ) 6= ∅ si et seulement si pour toute N sous-matrice régulière d'ordre
≤ 4, Cat(N ) 6= ∅.
Preuve :⇒) voir (3.3.3).
(⇐ M
est acceptable à cause de l'hypothèse.
D'autre part, on pose que
≤ 4.
i 6= j ,
Cat(N ) 6= ∅,
pour toute
N
sous-matrice régulière
d'ordre
Soient
1. Si
alors il y a deux cas :
M >0
voir le lemme (6.3.12).
2. S'il existe au moins d'une coecient nulle, alors et d'après la partition
de la matrice
M
il existe au moins deux classes
Ici, on a deux cas sur
n
:
101
λ, µ ∈
S
.
Classication d'une matrice réduite d'ordre n
(a) Si
n ≤ 4,
(b) Si
n > 4.
alors
N

On prend,
Cat(M ) 6= ∅
voir l'hypothèse.
la sous-matrice régulière d'ordre
1
M (λ0 , λi ) M (λ0 , µ0 )
 M (λi , λ0 ) M (λi , λi ) M (λi , µ0 )
N =

0
0
1
0
0
M (µj , µ0 )
Comme
N
d'ordre
4,
alors
4
:

M (λ0 , µj )
M (λi , µj ) 
.
M (µ0 , µj ) 
M (µj , µj )
Cat(M ) 6= ∅.
La théorème (7.3.1) donne les propriétés suivants :
i.
ii.
M (λi , λi ) ≥ M (λ0 , λi )M (λi , λ0 ) + 1
M (λi , λj ) ≥ M (λ0 , λj )M (λi , λ0 )
iii.
M (λi , µj ) ≥ M (λi , µ0 )
iv.
M (λi , µj ) ≥ M (λ0 , µj )
v.
M (λi , µj ) ≥ M (λ0 , µj ) + M (λi , µ0 ) − M (λ0 , µ0 ).
Ces derniers sont vrais pour tous
i 6= j ,
(7.3.1).
102
donc
Cat(M ) 6= ∅
voir le théorème
Chapitre 8
Classication de Monoïde
8.1 Dénition d'un Monoïde
Dénition 8.1.1
: Soit A une catégorie nie, on dit que A est une catégorie
monoïde si Ob(A) est un singleton.
Par ailleurs, on dit que M ∈ Mn (N) est une matrice monoïde si n = 1, il
est évident la matrice de catégorie monoïde est une matrice monoïde.
Exemple 8.1.2
Soit
N
:
un ensemble non vide dans
objets sont
Ob(A) = {N }
N,
on prend
A
une catégorie dont les
et les morphismes sont les appliication injectives
ou surjectives ou encore bijectives avec la loi de composition usuelle, donc
A
est bien une Monoïde dans les trois cas.
Proposition 8.1.3
: Soit M = (n) une matrice monoïde avec n ∈ N∗ , alors
Cat(M) 6= ∅.
Preuve :
On dénit une sémi-catégorie partiellement unitaire, avec
0
l'identite de λ mais que A n'a pas l'identite A monoïde dont l'objet est
x
avec l'ensemble des morphismes est déni par :
Hom(A) =
n
x
fi
/X
/fi 6= idx
et
Pour la loi de composition, si on a
o
1 ≤ i ≤ (n − 1) .
deux èchess fi et fj
loi par ;
fi ◦ fj = fM in{i,j} =
Soient
fi , fj
et
fk ∈ Hom(A)
fi
fj
si
si
i<j
i≥j
alors ;
(fi ◦ fj ) ◦ fk = fM in{i,j} ◦ fk
= fM in{i,j,k} .
103
alors on dénit la
Classication d'un Monoïde (2)
D'autre part ;
fi ◦ (fj ◦ fk ) = fi ◦ fM in{j,k}
= fM in{i,j,k} .
◦ est associative, alors A est une sémi-catégorie associée à une matrice
monoïde (n − 1), ce qui donne A + idx est bien une catégorie associée à
monoïde (n) voir (2.5.7), donc Cat(M) 6= ∅.
Donc
8.2 Classication d'un Monoïde (2)
D'après la proposition (8.1.3) On a
Cat(M = (2)) 6= ∅,
alors on va
classier toutes les catégories qui sont associées à la matrice monoïde
M = (2).
Notation :On note
Cat12 ={A
Cat22 ={A
catégorie monoïde /
catégorie monoïde /
Théorème 8.2.1
En eet :
Hom(A) = {idx , f }
Hom(A) = {idx , f }
avec
avec
f 2 = idx }
f 2 = f }.
: Cat(M = (2)) = Cat12 ∪ Cat22 .
A ∈ Cat(M = (2)) alors A est une catégorie nie d'ordre 1 dont les
objets x, et l'ensemble des morphismes est {idx , f }.
2
1
2
Comme A est une catégorie alors f ∈ {idx , f }, ce qui donne A ∈ Cat2 ∪ Cat2
1
2
donc Cat(M(2)) ⊂ Cat2 ∪ Cat2 .
Soit A est une catégorie monoïde avec l'objet x et l'ensemble des morphismes
est deni {idx , f } alors on a deux cas :
2
1
1. Si f = idx , donc A ∈ Cat2 .
2
2
2. Si f = f , donc A ∈ Cat2 .
1
2
D'où Cat(M = (2)) ⊂ Cat2 ∪ Cat2 .
Soit
8.3 Classication d'un Monoïde (3)
On a
Cat(M = (3)) 6= ∅
voir la proposition (8.1.3), alors on va classier
toutes les catégories qui sont associées à la matrice monoïde
104
M = (3).
Classication d'un Monoïde (3)
Notation :On note ;
Cat13
n
o
A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = g = g, f = 1
n
o
A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = f, g 2 = f 2 = g
n
o
A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = g 2 = g, f 2 = g
n
o
2
2
A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = f = f, g = 1
n
o
Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g} , gf = f g = f 2 = g 2 = f
n
o
2
2
Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = g = g, gf = f = f
n
o
Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = f 2 = f, g 2 = g
n
o
Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = g, g 2 = f 2 = f
n
o
2
2
Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = f g = g = g, f = f
n
o
Amonoïde/Hom(A) = {1, f, g}, gf = g 2 = g, f g = f 2 = f
n
o
A monoïde/Hom(A) = {1, f, g}, f g = gf = 1, g 2 = f, f 2 = g .
=
Cat33 =
Cat43 =
Cat53 =
Cat63 =
Cat73 =
Cat83 =
Cat93 =
Cat10
=
3
Cat11
=
3
Cat23 =
2
2
On remarque :
Cat13 = Cat53 , Cat33 = Cat93
Cat43 = Cat63 , Cat83 = Cat10
3 .
Alors
11
P
11
Cati3 = Cat13 ∪ Cat23 ∪ Cat33 ∪ Cat43 ∪ Cat73 ∪ Cat10
3 ∪ Cat3 .
i=1
Théorème 8.3.1
Cat(M) =
11
P
: Soit M = (3) une matrice monoïde alors :
11
Cati3 = Cat13 ∪ Cat23 ∪ Cat33 ∪ Cat43 ∪ Cat73 ∪ Cat10
3 ∪ Cat3 .
i=1
Preuve :
⇐)
Soit
A∈
11
P
Cati3
alors
A
est une catégorie monoïde qui a trois èches,
i=1
A est bien une catégorie
A ∈ Cat(M).
11
P
Donc
Cati3 ⊆ Cat(M).
alors
associée à la matrice monoïde, ce qui donne
i=1
105
Classication d'un Monoïde (3)
⇒)
A ∈ Cat(M) alors A est une catégorie monoïde dont
est Ob(A) = {x} et les morphismes sont {idx , f, g}.
Soit
objets
l'ensemble des
Pour la loi de composition on a quatre formules dénies par le tableau suivant :
◦
f
g
f ∈ {idx , f, g}
gf ∈ {idx , f, g}
f g ∈ {idx , f, g}
g 2 ∈ {idx , f, g}
2
f
g
On va étudier les possibilitées de
2
f 2 ∈ {idx , f, g}
2
f = idx alors gf = f g = g = g
(a) si gf = idx alors :
1. Si
(gf )f =
=
=
=
=
Don
:
idx f
f
g(f 2 )
gidx
g.
f =g
contradicition, ce qui donne
gf = f
alors :
(gf )f =
=
=
=
=
f2
idx
g(f 2 )
gidx
g.
(b) Si
en eet :
gf 6= idx .
g = idx contradicition, ce qui donne gf 6∈ {idx , f } alors
gf = g ,la même idée pour démontrer que f g 6∈ {f, idx } donc il
reste f g = g .
Donc
(c) Si
g 2 = idx
g(gf ) =
=
=
=
=
alors :
g(g)
idx
(g 2 )f
idx f
f.
2
contradicition, ce qui donne g 6= idx .
2
2
2
La même idée g 6= f donc g 6∈ {idx , f } alors g = g .
Donc
f = idx
106
Classication d'un Monoïde (3)
Finalement, on va étudier les équations d'associativité avec
2
et f g = gf = g = g :
f 2 = idx
(f g)f = gf = g et f (gf ) = f g = g alors, (f g)f = f (gf ) la même
l'équation (gf )g = g(f g).
(f 2 )g = idx g = g et f (f g) = f g = g alors, (f 2 )g = f (f g)la même
2
l'équation (gf )f = g(f ).
(g 2 )f = gf = g et g(gf ) = g 2 = g alors, (g 2 )f = g(gf ) la même
2
l'équation f (g ) = (f g)g .
2
2
1
Donc si f = idx alors f g = gf = g = g ce qui donne A ∈ Cat3 .
f 2 = g alors f g = gf en eet :
gf = f 2 f = f 3 et f g = f f 2 = f 3 ,
pour
pour
pour
2. Si
ce qui donne
gf = f g ,
donc on a trois cas ;
f g = gf = idx
g = f.
(a) Si
2
Dans ce cas on a
alors
gf 2 = g 2 = (gf )f = idx f = f
f 2 = g ,g 2 = f
et
ce qui donne
f g = gf = idx ,
ensuite la loi
2
de composition est associative facile à démontrer donc A ∈ Cat3 .
2
2
2
(b) Si f g = gf = f alors gf = g = (gf )f = f = g ce qui donne
2
g = g.
2
2
Dans ce cas on a f = g = g et f g = gf = f , ensuite la loi de
3
composition est associative facile à démontrer donc A ∈ Cat3 .
2
2
(c) Si f g = gf = g alors gf = g = (gf )f = gf = g ce qui donne
g2 = g.
2
2
Dans ce cas on a f = g = g et f g = gf = g , ensuite la loi de
4
composition est associative facile à démontrer donc A ∈ Cat3 .
4
3
2
2
Alors dans le cas f = g on a A ∈ Cat3 ∪ Cat3 ∪ Cat3 , c.à.d
11
P
Cat(A) ⊆
Cati3
i=1
f 2 = f alors f g 6= idx et gf 6= idx en eet :
2
On pose f g = 1 alors idx = f g = f g = f (f g) = f contradiction donc
f g 6= idx .
2
On pose gf = idx alors idx = gf = gf = (gf )f = idx f = f contradiction donc gf 6= idx .
Alors on a deux cas sur gf :
3. Si
(a)
gf = f
i. Si
on a trois cas sur
g 2 = idx
A.
fg = g
g2
:
on a deux cas sur
alors
fg
:
f = f g 2 = (f g)g = g 2 = idx
alors ce cas n'existe pas.
107
contradiction
Classication d'un Monoïde (3)
B. Si
fg = f
alors la loi est associative facile à démontrer,
5
donc dans ce cas Cat(M) ⊆ Cat3 .
g2 = f
ii. Si
A.
on a deux cas sur
fg = g
alors
fg
:
g = f g = (gf )g = g(f g) = g 2 = f
contra-
diction alors ce cas n'existe pas.
B. Si
fg = f
alors la loi est associative facile à démontrer,
Cat(M) ⊆ Cat63 .
donc dans ce cas
g2 = g
iii. Si
A.
fg = g
alors alors la loi est associative facile à démontrer,
Cat(M) ⊆ Cat73
donc dans ce cas
B. Si
fg = f
alors la loi est associative facile à démontrer,
Cat(M) ⊆ Cat83 .
2
on a trois cas sur g :
donc dans ce cas
(b)
gf = g
i. Si
g 2 = idx
alors,
g 2 f = f = g(gf ) = g 2 = idx
contradiction,
donc ce cas n'existe pas.
ii. Si
g2 = f
A. Si
alors on a deux cas sur
fg = f
alors
fg
:
2
f = f g = g g = gg 2 = gf = g
contradic-
tion donc ce cas n'existe pas.
B. Si
fg = g
alors la loi est associative facile à démontrer,
Cat(M) ⊆ Cat93 .
donc dans ce cas
iii. Si
g2 = g
A. Si
alors on a deux cas sur
fg = g
fg
:
alors la loi est associative facile à démontrer,
Cat(M) ⊆ Cat10
3
donc dans ce cas
B. Si
fg = f
alors la loi est associative facile à démontrer,
11
donc dans ce cas A ∈ Cat3 .
Alors dans le cas
ce qui donne
f2 = f
Cat(M) ⊆
on a
11
P
11
A ∈ Cat53 ∪Cat63 ∪Cat73 ∪Cat83 ∪Cat93 ∪Cat10
3 ∪Cat3 ,
Cati3 .
i=1
Donc
Cat(M) =
11
P
Cati3 .
i=1
108
Chapitre 9
Classication des matrices 2
d'ordre n
9.1 Dénition d'une Matrice 2 d'ordre n
Dénition 9.1.1
: Soit M = (mij ) une matrice carrée d 0 ordre n, on dit
que M est une matrice 2 d0 ordre n si mij = 2, ∀1 ≤ i, j ≤ n, On note M par
Mn2 .
On note le nombre des catégories non-isomorphes qui sont associées à Mn2 par
Card(Mn2 ), et on note Card(M2n , r) comme le nombre de catégories réduites.
Card(Mn2 )≥ Card(M2n , r).
Exemple 9.1.2
:
La matrice monoïde
(2)
est une matrice 2 d'ordre
1.
Lemme 9.1.3 : Cat(Mn2 ) 6= ∅ pour tout n ∈ N.
Preuve : voir le théorème (5.3.2).
Théorème 9.1.4 : Soit A une catégorie associée à M22 dont les objets sont
{λ1 , λ2 } et les morphismes sont dénis par :
A(λ1 , λ2 )
A(λ2 , λ1 )
A(λ1 , λ1 )
A(λ2 , λ2 )
=
=
=
=
{(λ1 λ2 F 1 ), (λ1 λ2 F 2 )}
{(λ2 λ1 G1 ), (λ2 λ1 G2 )}
{idλ1 = 1, (λ1 λ1 E) = e1 }
{idλ2 = 1, (λ2 λ2 E) = e2 }.
Alors : e21 = 1 ⇔ e22 = 1.
109
Dénition d'une Matrice 2 d'ordre n
Preuve : D'abord on a deux remarques :
Remarque 9.1.5
Si e21 = 1 alors on a deux résultats :
1. (λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F j ), e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 Gj ) avec i 6= j
2. (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = (λ2 λ1 G2 )(λ2 λ2 F 2 )
6=
2 1 2
1 2 1
(λ λ G )(λ λ F ) = (λ2 λ1 G1 )(λ2 λ2 F 2 ).
En eet :
partie 1)
Si
(λ1 λ2 F 1 )e1 = (λ1 λ2 F 2 )e1 = (λ1 λ2 F 1 )
(λ1 λ2 F 2 )e21 =
=
=
=
=
par exemple alors :
(λ1 λ2 F 2 )1
(λ1 λ2 F 2 )
1 2 2 (λ λ F )e1 e1
(λ1 λ2 F 1 )e1
(λ1 λ2 F 1 ).
(λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 ) contradiction, alors (λ1 λ2 F 1 )e1 6= (λ1 λ2 F 2 )e1 .
1 2 1
1 2 1
D'autre part, si (λ λ F )e1 = (λ λ F ) alors il y a deux cas :
Donc
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = 1 alors,
2 1 1 1 2 1 (λ λ G )(λ λ F ) e1 = e1
= (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )e1
= (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 )
= 1.
1. Si
Donc
e1 = 1
contradiction.
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = e1
2 1 1 1 2 1 (λ λ G )(λ λ F ) e1 =
=
=
=
=
2. Si
Donc
e1 = 1
alors,
e21
1
(λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )e1
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 )
e1 .
contradiction.
Dans les deux cas on arrive à une contradiction, ce qui donne :
(λ1 λ2 F 1 )e1 = (λ1 λ2 F 2 ) et (λ1 λ2 F 2 )e1 = (λ1 λ2 F 1 ).
110
Dénition d'une Matrice 2 d'ordre n
La même idée pour démontrer que
partie 2)
On a deux cas sur
e1 (λ2 λ1 G) = (λ2 λ1 G0 ).
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 )
suivants :
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = 1 alors ;
2 1 1 1 2 1 (λ λ G )(λ λ F ) e1 = e1
= (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )e1
= (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ).
1. Si
Donc
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e1 6= (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 )
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = e1
2 1 1 1 2 1 (λ λ G )(λ λ F ) e1 =
=
=
=
2. Si
Donc
alors ;
e21
1
(λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )e1
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ).
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = 1 6= (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ).
2 1 1
1 2 2
2 1 1
1 2 1
Dans les deux cas on trouve que (λ λ G )(λ λ F ) 6= (λ λ G )(λ λ F ).
2 1 1
1 2 1
2 1 2
1 2 2
D'autre part, on a (λ λ G )(λ λ F ) = (λ λ G )(λ λ F ), alors il y a deux
2 1 1
1 2 1
cas sur (λ λ G )(λ λ F ) :
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = 1
2 1 1
1 2 2
2 1 2
1 2 1
alors (λ λ G )(λ λ F ) = (λ λ G )(λ λ F ) = e1
e1 (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 2 ) = (λ2 λ1 G2 ) (λ1 λ2 F 2 )2
= e1 (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 2 )
= e21
= 1.
1. Si
Donc
2. si
donc ;
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 2 )
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = e1
Dans les deux cas on arrive à
La même démonstration ci-dessus.
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 2 ).
Remarque 9.1.6
:
Si e21 = 1 alors, ∃(F, G) ∈ {F 1 , F 2 } × {G1 , G2 } tel que (λ2 λ1 G)(λ1 λ2 F ) = e1 .
Si e22 = 1 alors, ∃(F, G) ∈ {F 1 , F 2 } × {G1 , G2 } tel que (λ1 λ2 F )(λ2 λ1 G) = e2 .
111
Dénition d'une Matrice 2 d'ordre n
En eet : On pose e21 = 1.
(λ2 λ1 Gj )(λ1 λ2 F i ) = 1 pour toutes i, j ∈ {1, 2},
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = 1,
2 1 1
1 2 1
alors (λ λ G )(λ λ F ) = e1 voir la remarque ci-dessus
Si
par
exemple
(9.1.5), donc
avec l'hypothèse ce qui montre qu'il existe (F, G)
∈
1
2
2 1
1 2
{F , F } × {G , G } tel que (λ λ G)(λ λ F ) = e1 alors on peut prendre
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = e1 car F i , Gj sont des variables.
2
La même idée si e2 = 1.
On a :
contradiction
1
2
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 2 ) = e1
et
2 1
2
1 2
1
(λ λ G )(λ λ F ) = (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = 1.
D'autre part, on va démontrer que :
(λ1 λ2 F 1 )(λ2 λ1 G1 ) = e2 et (λ2 λ1 Gi )e2
1 2 1
2 1 1
On pose (λ λ F )(λ λ G ) = 1 alors,
0
= (λ2 λ1 Gi ).
2 1 1 1 2 1 2
(λ λ G )(λ λ F )
= 1
= (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )(λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )
= (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ).
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = 1
(λ λ F 1 )(λ2 λ1 G1 ) = e2 .
Donc
1 2
Contradiction avec ci-dessus, donc
Par ailleurs ;
2 1 1 1 2 1 2 1 1
(λ λ G )(λ λ F ) (λ λ G ) =
=
=
=
(λ2 λ1 G1 )e2 = (λ2 λ1 G2 ),
(λ λ G2 )e2 = (λ2 λ1 G1 ).
Donc
2 1
e1 (λ2 λ1 G1 )
(λ2 λ1 G2 )
(λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )(λ2 λ1 G1 )
(λ2 λ1 G1 )e2 .
la même méthode pour démontrer que
On revient à la démonstration pour
2
Par l'absurde, si e2 = e2 alors :
(λ2 λ1 G1 )e22 =
=
=
=
Ce qui donne
voir la remarque (9.1.5)
e22 = 1.
(λ2 λ1 G1 )e2
(λ2 λ1 G2 )
2 1 1 (λ λ G )e2 e2
(λ2 λ1 G2 )e2 = (λ2 λ1 G1 ).
(λ2 λ1 G1 ) = (λ2 λ1 G2 )
contradiction, donc
112
e22 = 1.
Dénition d'une Matrice 2 d'ordre n
Lemme 9.1.7
: Soit A une catégorie d'ordre n associée à Mn2 matrice 2
d'ordre n, avec Ob(A) = {λ1 , ..., λn } et A(λi , λi ) = {1, ei }, ∀1 ≤ i ≤ n.
Alors, s'il existe i tel que e2i = 1 alors e2j = 1 pour tout 1 ≤ j ≤ n.
Preuve : On pose e2i = 1.
j ∈ {1, ..., n} − {i}
2
qui donne ej = 1.
Soit
ce
on applique la démonstration du théorème (9.1.4),
Dénition 9.1.8
: On veut dire que (λ1 λ2 F ) et (λ2 λ1 G) sont semblables
c.à.d (λ λ F ) ≡ (λ2 λ1 G) si on a F = F i ⇔ G = Gi .
1 2
Théorème 9.1.9
: Soit A une catégorie associée à M matrice 2 d'ordre 2,
et s'il existe i tel que e2i = 1 alors A non-réduite avec i ∈ {1, 2}.
En eet :
S'il existe
i ∈ {1, 2}
tel que
e2i = 1
alors
e21 = e22 = 1
voir
la théorème (9.1.4) et d'après la remarque (9.1.6) il existe deux morphismes
F, G tel que (λ2 λ1 G)(λ1 λ2 F ) = 1.
1 2
2 1
D'autre part, on pose (λ λ F )(λ λ G) = e2 alors :
1 2
(λ λ F )(λ2 λ1 G) (λ1 λ2 F ) =
=
=
=
=
e2 (λ1 λ2 F )
(λ1 λ2 F 0 )
F 0 6= F voir
(λ1 λ2 F ) (λ2 λ1 G)(λ1 λ2 F )
(λ1 λ2 F )1
(λ1 λ2 F ).
la remarque (9.1.5)
(λ1 λ2 F ) = (λ1 λ2 F 0 ) alors F = F 0 contradicition,
1 2
2 1
2 1
1 2
d'où (λ λ F )(λ λ G) = 1 et (λ λ G)(λ λ F ) = 1, ce qui donne
1
2
objets λ et λ sont isomorphes entre eux, donc A non-réduite.
Donc
les deux
Lemme 9.1.10
Soit A une catégorie associée à M matrice 2 d'ordre n et
s'il existe ei tel que e2i = 1, alors A non-réduite avec i ∈ {1, 2, ...., n}.
Preuve :La même idée de la démonstration que de la théorème (9.1.9)
ci-dessus.
113
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2
9.2 Classication des catégories d'une matrice
2 d'ordre 2
Soit
A ∈ Cat(M22 )
dont les objets sont
{λ1 , λ2 }
et les morphismes sont
dénis par :
A(λ1 , λ2 )
A(λ2 , λ1 )
A(λ1 , λ1 )
A(λ2 , λ2 )
=
=
=
=
{(λ1 λ2 F 1 ), (λ1 λ2 F 2 )}
{(λ2 λ1 G1 ), (λ2 λ1 G2 )}
{idλ1 = 1, (λ1 λ1 E) = e1 }
{idλ2 = 1, (λ2 λ2 E) = e2 }.
Théorème 9.2.1 : Card(M22 , r) = 1.
Preuve : On pose e21 = 1 alors e22
part,
=1
voir le théorème (9.1.4) d'autre
A
devient non-réduite voir le théorème (9.1.9), donc il faut étudier
2
2
l'autre cas où e1 = e1 et e2 = e2 .
Remarque 9.2.2
: On a deux résultats :
1. Si e2 (λ λ F ) = (λ1 λ2 F i ) ou (λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 Gi ) alors,
(λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2 ∀i, j ∈ {1, 2}.
2. Si (λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F i ) ou e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 Gi ) alors,
(λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F j ) = e1 ∀i, j ∈ {1, 2}.
1 2
i
En eet : Soit (λ2 λ1 G0 )e2 = (λ2 λ1 G0 ).
(λ1 λ2 F 0 )(λ2 λ1 G0 ) = 1 alors :
1 2 0 2 1 0 (λ λ F )(λ λ G ) e2 = e2
= (λ1 λ2 F 0 ) (λ2 λ1 G0 )e2
= (λ1 λ2 F 0 )(λ2 λ1 G0 )
= 1.
On pose
Donc
e2 = 1
contradicition, ce qui donne
1 2 i
On a 3 cas sur (λ λ F )e1 :
(λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e1 .
(λ1 λ2 F )e1 = (λ1 λ2 F 0 ) avec F 6= F 0
1 2 1 (λ λ F )e1 e1 = (λ1 λ2 F 2 )e1
= (λ1 λ2 F 1 )
= (λ1 λ2 F 1 )(e21 )
= (λ1 λ2 F 1 )e1
= (λ1 λ2 F 2 ).
1. Si
Donc
(λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 )
alors :
contradiction.
114
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2
(λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F )
1 2 i
bilités sur e2 (λ λ F ) :
2. Si
(a) Si
F ∈ {F 1 , F 2 },
avec
e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 (F i )0 )
e22 (λ1 λ2 F 1 ) =
=
=
=
=
Donc
avec
F i 6= (F i )0
(λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 )
contradiction.
e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F 2 ) avec F = F 1
e2 (λ1 λ2 F 1 )e1 = e2 (λ1 λ2 F 1 )
= (λ1 λ2 F 2 )
= e2 (λ1 λ2 F 1 ) e1
= (λ1 λ2 F 2 )e1
= (λ1 λ2 F 1 ).
(λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 )
1 2
i
alors :
e2 (λ1 λ2 F 1 )
(λ1 λ2 F 2 )
e2 e2 (λ1 λ2 F 1 )
e2 (λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 1 ).
(b) Si
Donc
danc ce cas on a 4 possi-
1 2
ou
F2
alors :
contradiction.
i
(c) Si
e2 (λ λ F ) = (λ λ F )
(d) Si
e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F ).
Donc dans ce cas on peut dire :
Si
(λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F ) ⇒

 e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F i )
ou
1 2
e2 (λ λ F ) = (λ1 λ2 F ).

3. Si
Si
(λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F i )
i
on a le même résultat, donc on peut dire :
(λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F i ) ⇒

 e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F i )
ou

1 2
i
e2 (λ λ F ) = (λ1 λ2 F ).
Donc on a le résultat suivant :
(λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F i )
ou
(λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F ) ⇒

 e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F i )
ou

115
1 2
i
e2 (λ λ F ) = (λ1 λ2 F ).
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2
Sur la formule
(λ2 λ1 Gi )e2
(λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 Gi )
ou
on a la même idée donc :
(λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 G) ⇒

 e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 Gi )
ou

e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 G).
(9.2)+(9.2) donne on a 16 cas à étudier :
1. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
=
=
=
=
(λ1 λ2 F )
(λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 G)
(λ2 λ1 Gi ).
1
2
On prend par exemple F = F et G = G .
2 1 i
2 1 i
2 1 i
1 2 j
Comme e1 (λ λ G ) = (λ λ G ) alors (λ λ G )(λ λ F )
voir la remarque (9.2.2).
1 2 i
1 2 i
Encore e2 (λ λ F ) = (λ λ F ) donne
= e1 ∀(i, j)
(λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2 ∀(i, j)
voir la remarque (9.2.2).
D'autre part, on a :
(λ1 λ2 F 2 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) =
=
=
=
=
Alors
(λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 2 )e1
(λ1 λ2 F 1 )
1 2 2 2 1 1 1 2 2
(λ λ F )(λ λ G ) (λ λ F )
e2 (λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 2 ).
contradiction, alors ce cas ne marche pas.
2. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
=
=
=
=
(λ1 λ2 F )
(λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 G)
(λ2 λ1 Gi ).
On prend par exemple F
1 2 i
L'équation e2 (λ λ F ) =
= F 1 et G = G2 .
(λ1 λ2 F i ) donne (λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2 .
Voir la remarque(9.2.2).
116
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2
2 1 j
1 2 i
D'autre part, (λ λ G )(λ λ F ) = e1 ∀(i, j) sinon, alors il existe
2 1 0
1 2 0
tel que (λ λ G )(λ λ F ) = 1 on a :
G0 , F 0
2 1 0 1 2 0 2 1 1
(λ λ G )(λ λ F ) (λ λ G ) = (λ2 λ1 G1 )
= (λ2 λ1 G0 ) (λ1 λ2 F 0 )(λ2 λ1 G1 )
= (λ2 λ1 G2 ).
(λ2 λ1 G1 ) = (λ2 λ1 G2 )
e1 ∀(i, j).
Donc
contradiction, donc
(λ2 λ1 Gj )(λ1 λ2 F i ) =
Par ailleurs, on a :
1 2 1 2 1 1 1 2 2
(λ λ F )(λ λ G ) (λ λ F ) =
=
=
=
=
Ce qui donne
e2 (λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 1 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 1 )e1
(λ1 λ2 F 1 ).
(λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 )
contradiction, donc ce cas ne
marche pas.
3. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
=
=
=
=
(λ1 λ2 F )
(λ1 λ2 F )
(λ2 λ1 G)
(λ2 λ1 Gi ).
Ce cas ne marche pas car il ressemble eu cas 3).
4. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
=
=
=
=
(λ1 λ2 F )
(λ1 λ2 F )
(λ2 λ1 G)
(λ2 λ1 G).
Par exemple
F = F1
et
G = G2 .
On a :
2 1 2
(λ λ G )(λ1 λ2 F 1 ) = (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 2 ) = (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = e1 .
2 1 i
1 2 1
Soit i ∈ {1, 2} tel que (λ λ G )(λ λ F )=1 alors ;
2 1 i 1 2 1 (λ λ G )(λ λ F ) e1 = e1
= (λ2 λ1 Gi ) (λ1 λ2 F 1 )e1
= (λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F 1 )
= 1.
117
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2
Donc
tout
e1 = 1
contradiction, ce qui donne
(λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F 1 ) = e1
pour
i.
2 1
(λ λ G2 )(λ1 λ2 F 2 )=1 alors,
e1 (λ2 λ1 G2 ) (λ1 λ2 F 2 ) = e1
= (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 2 )
= 1
= e1 (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 2 )
= e1 .
Si
Donc
e1 = 1
contradiction, alors
(λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F 1 ) = e1 .
La même chose pour démontrer :
1 2 1
2 1 1
1 2 1
2 1
(λ λ F )(λ λ G ) = (λ λ F )(λ λ G2 ) = (λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G2 ) = e2
Il reste à étudier les possibilitées des formules suivantes :
(λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G1 ) et (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ).
On a 4 cas :
(a) Si
(λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G1 ) = 1
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = 1,
et
alors
A
de-
vient non-réduite, alors ce cas ne marche pas.
(λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G1 ) = 1 et (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e2 alors ;
1 2 2 2 1 1 1 2 2
(λ λ F )(λ λ G ) (λ λ F ) = (λ1 λ2 F 2 )
= (λ1 λ2 F 2 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 )
= (λ1 λ2 F 2 )e2
= (λ1 λ2 F 1 ).
(b) Si
Donc
(λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 )
contradiction, alors ce cas ne marche
pas.
(c) Si
(λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G1 ) = e1
et
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e1
la même que
précédement, ce cas ne marche encore pas.
(d) Si
λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G1 ) = e1
et
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e2
bien une catégorie.
Alors dans ce cas on a 4 catégories.
5. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
=
=
=
=
(λ1 λ2 F )
(λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )
(λ2 λ1 Gi ).
118
alors
A
est
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2
D'après la remarque (9.2.2) :
e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F i ) donne
e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 Gi ) donne
(λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2 , ∀(i, j)
(λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F j ) = e1 , ∀(i, j)
D'autre part ;
(λ1 λ2 F 1 )(λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 2 ) =
=
=
=
=
Donc
(λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 )
e2 (λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 1 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 1 )e1
(λ1 λ2 F 1 ).
contradiction, ce qui donne que ce cas ne
marche pas.
6. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
On prend
=
=
=
=
(λ1 λ2 F )
(λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )
(λ2 λ1 G).
F = F1
et
G = G2 .
D'après la remarque (9.2.2) :
e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F i ) donne
2 1 2
1 2 1
On pose (λ λ G )(λ λ F ) =
e1 (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 1 ) =
=
=
=
(λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2 , ∀(i, j)
1 alors ;
e1
e1 (λ2 λ1 G2 ) (λ1 λ2 F 1 )
(λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 1 )
1.
2 1 2
1 2 1
contradiction, ce qui donne (λ λ G )(λ λ F )
2 1 1
1 2 1
D'autre part, on a (λ λ G )(λ λ F ) = e1 , en eet :
Donc
e1 = 1
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) e1 = e1
= (λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )e1
= (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ).
D'où l'égalité.
119
= e1 .
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 )=1, alors :
1 2 1 2 1 1 1 2 2
(λ λ F )(λ λ G ) (λ λ F ) =
=
=
=
Si
e2 (λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 1 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 1 ).
1 2 1
1 2 2
Ce qui donne (λ λ F ) = (λ λ F ) contradiction,
2 1 1
1 2 2
alors (λ λ G )(λ λ F ) = e1 .
Par ailleurs ;
1 2 1 2 1 1 1 2 2
(λ λ F )(λ λ G ) (λ λ F ) =
=
=
=
=
Donc
(λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 )
e2 (λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 1 ) (λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 1 )e1
(λ1 λ2 F 1 ).
contradiction, ce qui donne ce cas ne
marche pas.
7. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
On prend
=
=
=
=
(λ1 λ2 F )
(λ1 λ2 F )
(λ2 λ1 Gi )
(λ2 λ1 Gi ).
F = F1
et
G = G2 .
D'après la remarque (9.2.2) :
(λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 Gi ) donne
e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 Gi ) donne
(λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2 , ∀(i, j)
(λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F j ) = e1 , ∀(i, j).
D'autre part ;
2 1 1 1 2 1 2 1 2
(λ λ G )(λ λ F ) (λ λ G ) =
=
=
=
=
Donc
(λ2 λ1 G1 ) = (λ2 λ1 G2 )
e1 (λ2 λ1 G2 )
(λ2 λ1 G2 )
(λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )(λ2 λ1 G2 )
(λ2 λ1 G1 )e2
(λ2 λ1 G1 ).
contradiction, alors ce cas ne permet pas
de construire une catégorie.
120
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2
8. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
On prend
=
=
=
=
(λ1 λ2 F )
(λ1 λ2 F )
(λ2 λ1 Gi )
(λ2 λ1 G).
F = F1
et
G = G2 .
D'après la remarque (9.2.2) :
(λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 Gi ) donne (λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj )
2 1 1
1 2 1
Si (λ λ G )(λ λ F ) = 1 alors,
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) e1 =
=
=
=
Donc
e1 = 1
= e2 , ∀(i, j)
e1
(λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )e1
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 )
1.
contradiction, donc
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) = e1 .
D'autre part, on a ;
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 1 ) (λ2 λ1 G1 ) =
=
=
=
=
Ce qui donne
e1 (λ2 λ1 G1 )
(λ2 λ1 G2 )
(λ2 λ1 G1 ) (λ1 λ2 F 1 )(λ2 λ1 G1 )
(λ2 λ1 G1 )e2
(λ2 λ1 G1 ).
(λ2 λ1 G1 ) = (λ2 λ1 G2 )
contradiction, alors ce cas ne
marche pas.
9. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
On prend
=
=
=
=
(λ1 λ2 F i )
(λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )
(λ2 λ1 Gi ).
F = F1
et
G = G2
D'après la remarque (9.2.2) :
(λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 Gi ) donne
(λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2 , ∀(i, j)
121
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2
e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 Gi )
donne
(λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F j ) = e1 , ∀(i, j).
D'autre part ;
1 2 1 2 1 2 1 2 2
(λ λ F )(λ λ G ) (λ λ F ) =
=
=
=
=
Donc
(λ1 λ2 F 1 ) = (λ1 λ2 F 2 )
e2 (λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 1 ) (λ2 λ1 G2 )(λ1 λ2 F 2 )
(λ1 λ2 F 1 )e1
(λ1 λ2 F 1 ).
contradiction, alors ce cas ne permet pas
de construire une catégorie.
10. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
=
=
=
=
(λ1 λ2 F i )
(λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 G)
(λ2 λ1 Gi ).
Ce cas est ressemble au cas 5), donc il ne marche pas.
11. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
=
=
=
=
(λ1 λ2 F i )
(λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 G)
(λ2 λ1 G).
Ce cas est ressemble au cas 7), donc il ne marche pas.
12. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
=
=
=
=
(λ1 λ2 F i )
(λ1 λ2 F )
(λ2 λ1 G)
(λ2 λ1 Gi ).
Ce cas est ressemble le cas 6), donc il ne marche pas.
13. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
=
=
=
=
(λ1 λ2 F i )
(λ1 λ2 F )
(λ2 λ1 G)
(λ2 λ1 G).
Ce cas est ressemble au cas 8), donc il ne marche pas.
122
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 2
14. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
=
=
=
=
(λ1 λ2 F i )
(λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )
(λ2 λ1 G).
Ce cas est ressemble au cas 5), donc il ne marche pas.
15. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
=
=
=
=
(λ1 λ2 F i )
(λ1 λ2 F )
(λ2 λ1 Gi )
(λ2 λ1 Gi ).
Ce cas est ressemble le cas 5), donc il ne marche pas.
16. Si on a :
(λ1 λ2 F i )e1
e2 (λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )e2
e1 (λ2 λ1 Gi )
=
=
=
=
(λ1 λ2 F i )
(λ1 λ2 F )
(λ2 λ1 Gi )
(λ2 λ1 G).
Ce cas est ressemble au cas 6), donc il ne marche pas. Finalement on a
4 catégories dans le cas 4) sont dénis par :
A(λ2 , λ2 )
A(λ1 , λ1 )
A(λ1 , λ2 )
A(λ2 , λ1 )
=
=
=
=
{1, (λ2 λ2 E) = e2 }
{1, (λ1 λ1 E) = e1 }
{(λ1 λ2 F 1 ), (λ1 λ2 F 2 )}
{(λ2 λ1 G1 ), (λ2 λ1 G2 )}.
La loi de composition est dènie pour toutes les catégories par :
(λ1 λ2 F i )(λ1 λ1 E)
(λ2 λ2 E)(λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )(λ2 λ2 E)
(λ1 λ1 E)(λ2 λ1 Gi )
(λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G1 )
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 )
=
=
=
=
=
=
(λ1 λ2 F )
(λ1 λ2 F )
(λ2 λ1 G)
(λ2 λ1 G)
(λ1 λ1 E)
(λ2 λ2 E).
123
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3
Catégorie 1 :
1
1
F=F ,G=G
1 2 2
2 1
(λ λ F )(λ λ G1 ) = e1
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e2
Catégorie 2 :
2
1
F=F , G=G
1 2 2
2 1
(λ λ F )(λ λ G1 ) = e1
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e2
Catégorie 3 :
1
2
F=F , G=G
1 2 2
2 1
(λ λ F )(λ λ G1 ) = e1
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e2
Catégorie 4 :
2
2
F=F , G=G
1 2 2
2 1
(λ λ F )(λ λ G1 ) = e1
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 ) = e2 .
On remarque que toutes ces catégories sont isomorphes entre elles, alors
on répresente ces catégories par la catégorie suivante :
(λ1 λ2 F i )(λ1 λ1 E)
(λ2 λ2 E)(λ1 λ2 F i )
(λ2 λ1 Gi )(λ2 λ2 E)
(λ1 λ1 E)(λ2 λ1 Gi )
(λ1 λ2 F 2 )(λ2 λ1 G1 )
(λ2 λ1 G1 )(λ1 λ2 F 2 )
=
=
=
=
=
=
F = F1
et
Avec
ou
F2
(λ1 λ2 F )
(λ1 λ2 F )
(λ2 λ1 G)
(λ2 λ1 G)
(λ1 λ1 E)
(λ2 λ2 E).
G = G1
ou
G2 ,
donc
Card(M22 , r) = 1.
9.3 Classication des catégories d'une matrice
2 d'ordre 3
Soit
M
une matrice
2
3 dénie par :


2 2 2
M32 =  2 2 2  .
2 2 2
d'ordre
124
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3
Théorème 9.3.1
Soit
A
Card(M32 , r) = 5.
une catégorie associée à
M,
dont les objets sont
{λ1 , λ2 , λ3 }
et les
morphismes sont :
1
1
1 1
A(λ , λ ) = {1, (λ λ E) = e1 }
A(λ2 , λ2 ) = {1, (λ2 λ2 E) = e2 }
A(λ3 , λ3 ) = {1, (λ3 λ3 E) = e3 }
A(λ1 , λ2 ) = {(λ1 λ2 F 1 ) , (λ1 λ2 F 2 ) }
A(λ1 , λ3 ) = {(λ1 λ3 L1 ) , (λ1 λ3 L2 ) }
A(λ2 , λ1 ) = {(λ2 λ1 G1 ), (λ2 λ1 G2 ) }
A(λ2 , λ3 ) = {(λ2 λ3 K 1 ), (λ2 λ3 K 2 ) }
A(λ3 , λ1 ) = {(λ3 λ1 M 1 ), (λ3 λ1 M 2 )}
A(λ3 , λ2 ) = {(λ3 λ2 H 1 ), (λ3 λ2 H 2 ) }
Pour la loi de composition il y a 27 formules.
On organise les formules en deux types :
i
j
(λ , λ )
(λi , λj , λk ) avec i 6= j 6= k 6= i
(λ1 , λ2 )
(λ1 , λ3 )
(λ2 , λ3 )
(λ1 , λ2 , λ3 )
e21
e23
e22
(λ3 λ1 M i )(λ2 λ3 K j )
2 1 i
3 1
i
3 2 i
(λ λ G )e2
(λ λ M )e3
(λ λ H )e3
(λ2 λ3 K i ) (λ1 λ2 F j )
(λ1 λ2 F i )e1
(λ1 λ3 Li )e1
(λ2 λ3 K i )e2
(λ1 λ2 F i ) (λ3 λ1 M j )
e2 (λ1 λ2 F i )
e3 (λ1 λ3 Li )
e3 (λ2 λ3 K i )
(λ3 λ2 H i ) (λ1 λ3 Lj )
e1 (λ2 λ1 Gi )
e1 (λ3 λ1 M j )
e2 (λ3 λ2 H i )
(λ2 λ1 Gi ) (λ3 λ2 H j )
2 1 i
1 2 j
1 3 i
3 1
j
3 2 i
2 3 j
(λ λ G )(λ λ F ) (λ λ L )(λ λ M ) (λ λ H )(λ λ K )
(λ1 λ3 Li ) (λ2 λ1 Gj )
(λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) (λ3 λ1 M i )(λ1 λ3 Lj ) (λ2 λ3 K i )(λ3 λ2 H j )
(λ1 λ3 Li ) (λ2 λ1 Gj )
2
On pose : il existe i ∈ {1, 2, 3} tel que ei = 1, alors A est une catégorie
réduite voir le lemme (9.1.10), donc on va classier les catégories dans les
2
cas où ei = ei , ∀i ∈ {1, 2, 3}.
Dans la preuve du théorème (9.2.1)on a les résultats suivants :
F ∈ {F1 , F2 }, G ∈ {G1 , G2 }, M ∈ {M1 , M2 }, L ∈ {L1 , L2 },
H ∈ {H1 , H2 } et K ∈ {K1 , K2 } tel que :
Il existe
1. Si on a :
e21 = e1
et
e22 = e2
alors

e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 G)




e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F )


 1 2 i
(λ λ F )e1 = (λ1 λ2 F )
(λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 G)




(λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F j ) = e1


 1 2 i 2 1 j
(λ λ F )(λ λ G ) = e2
125
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i, j ∈ {1, 2}
∀i, j ∈ {1, 2}.
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3
2. Si on a :
e21 = e1
et
e23 = e3
alors

e1 (λ3 λ1 M i ) = (λ3 λ1 M )




e3 (λ1 λ3 Li ) = (λ1 λ3 L)


 1 3 i
(λ λ L ) e1 = (λ1 λ3 L)
(λ3 λ1 M i )e3 = (λ3 λ1 M )




(λ3 λ1 M i )(λ1 λ3 Lj ) = e1


 1 3 i 3 1 j
(λ λ L )(λ λ M ) = e3
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i, j ∈ {1, 2}
∀i, j ∈ {1, 2}.
alors

e2 (λ3 λ2 H i ) = (λ3 λ2 H)




e3 (λ2 λ3 K i ) = (λ2 λ3 K)


 2 3 i
(λ λ K )e2 = (λ2 λ3 K)
(λ3 λ2 H i )e3 = (λ3 λ2 H)




(λ3 λ2 H i )(λ2 λ3 K j ) = e2


 2 3 i 3 2 j
(λ λ K )(λ λ H ) = e3
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i, j ∈ {1, 2}
∀i, j ∈ {1, 2}.
3. Si on a :
e22 = e2
et
e23 = e3
Notation : (F, G, L, K) ∈ {F1 , F2 } × {G1 , G2 } × {L1 , L2 } × {K1 , K2 }.
F0
0
On veut dire G
0
On veut dire L
0
On veut dire K
On veut dire
c'est l'autre morphisme
c.à.d
(si
c'est l'autre morphisme
c.à.d
(si
c'est l'autre morphisme
c.à.d
(si
c'est l'autre morphisme
c.à.d
(si
F = Fi ⇒ F 0 = Fj avec i 6= j )
G = Gi ⇒ G0 = Gj avec i 6= j )
L = Li ⇒ L0 = Lj avec i 6= j )
K = Ki ⇒ K 0 = Kj avec i 6= j ).
Donc il reste à étudier les formules qui dépendent des formes
i 6= j 6= k 6= i,
(λi , λj , λk ) avec
voir la diagramme (9.3).
Remarque 9.3.2
:
( λ2 λ3 K) (λ1 λ2 F )
( λ3 λ2 H) ( λ1 λ3 L)
(λ3 λ1 M ) (λ2 λ3 K)
( λ1 λ3 L ) (λ2 λ1 G)
( λ2 λ1 G) (λ3 λ2 H)
( λ1 λ2 F ) (λ3 λ1 M )
=
=
=
=
=
=
(λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F ) = (λ2 λ1 K)(λ1 λ2 F 0 ) = ( λ1 λ3 L )
(λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L) = (λ3 λ2 H)(λ1 λ3 L0 ) = ( λ1 λ2 F )
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K) = (λ3 λ1 M )(λ2 λ3 K 0 ) = ( λ2 λ1 G )
(λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G) = (λ1 λ3 L) (λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K)
(λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H) = (λ2 λ1 G ) (λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M )
(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M ) = (λ1 λ2 F ) (λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H).
Preuve : on a ;
2 3 0
(λ λ K )e2 ) (λ1 λ2 F ) = (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F )
= (λ2 λ3 K 0 ) e2 (λ1 λ2 F )
= (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F ).
126
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3
(λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F ) = (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F ).
Donc
D'autre part,
2 3
(λ λ K)e2 (λ1 λ2 F 0 ) = (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F 0 )
= (λ2 λ3 K) e2 (λ1 λ2 F 0 )
= (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F ).
Par ailleurs, on a ;
e3 (λ2 λ3 K) (λ1 λ2 F ) =
=
=
=
Alors,
Donc
(λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F )
e3 (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F )
e3 (λ1 λ3 Li )
(λ1 λ3 L).
(λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F ) = (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F 0 ).
(λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F ) = (λ2 λ3 K)(λ1 λ2 F 0 ) = (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F ) = (λ1 λ3 L).
Pour démontrer les autres équations on fait la même idée.
Donc il reste à chercher les égalites des formulaires suivants :
2 3 0
1 2 0
3 2 0
1 3 0
3 1
0
2 3 0
(λ λ K )(λ λ F ), (λ λ H )(λ λ L ), (λ λ M )(λ λ K )
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ), (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ), (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 )
Alors on va étudier la discussion sur les formules suivantes :
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ),(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ).
Remarque 9.3.3
:
1. On a :
si (λ λ L )(λ λ G ) = (λ λ K )
1 3
0
2 1
0
2 3
0
alors
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G)
(λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L).
2. On a :
si (λ λ F )(λ λ M ) = (λ λ H )
1 2
0
3 1
0
3 2
0
(λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M )
(λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ).
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G)
(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H).
(λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M )
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ1 K).
alors
3. On a :
si (λ λ G )(λ λ H ) = (λ λ M )
2 1
0
3 2
0
3 1
0
alors
4. On a :
si (λ λ M )(λ λ K ) = (λ λ G )
3 1
0
2 1
0
2 1
0
127
alors
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3
5. On a :
si (λ λ K )(λ λ F ) = (λ λ L )
2 3
0
1 2
0
1 3
0
(λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F )
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K).
(λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L)
(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H).
alors
6. On a :
si (λ λ H )(λ λ L ) = (λ λ F )
3 2
0
1 3
0
0
1 2
alors
En eet :
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K 0 ) alors ;
3 1 0 1 3 0 2 1 0
(λ λ M )(λ λ L ) (λ λ G ) = e1 (λ2 λ1 G0 )
= (λ2 λ1 G)
= (λ3 λ1 M 0 ) (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 )
= (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ).
On pose
Donc
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G)
D'autre part ;
1 3 0 2 1 0 1 2 0
(λ λ L )(λ λ G ) (λ λ F ) =
=
=
=
=
(λ2 λ1 K 0 )(λ1 λ2 F 0 )
(λ2 λ1 G)
(λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 )(λ1 λ2 F 0 )
(λ1 λ3 L0 )e1
(λ1 λ3 L).
(λ2 λ1 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L).
1 2 0
3 1
0
3 2 0
pose (λ λ F )(λ λ M ) = (λ λ H )
Alors
On
2 1 0 1 2 0
(λ λ G )(λ λ F )](λ3 λ1 M 0 ) =
=
=
=
Donc
alors ;
e1 (λ3 λ1 M 0 )
(λ3 λ1 M )
(λ2 λ1 G0 ) (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 )
(λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ).
(λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M )
D'autre part,
1 2 0 3 1 0 1 3 0
(λ λ F )(λ λ M ) (λ λ L ) =
=
=
=
(λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 )
(λ1 λ2 F 0 ) (λ3 λ1 M 0 )(λ1 λ3 L0 )
(λ1 λ2 F 0 )e1
(λ1 λ2 F ).
128
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3
(λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ).
3 1
0
2 3 0
2 1 0
On pose (λ λ M )(λ λ K ) = (λ λ G ) alors :
3 1 0 2 3 0 3 2 0
(λ λ M )(λ λ K ) (λ λ H ) = (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 )
= (λ3 λ1 M 0 ) (λ2 λ3 K 0 )(λ3 λ2 H 0 )
= (λ3 λ1 M 0 )e3
= (λ3 λ1 M ).
Alors
Donc
(λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ).
Par ailleurs,
1 3 0 3 1 0 2 3 0
(λ λ L )(λ λ M ) (λ λ K ) =
=
=
=
e3 (λ2 λ3 K 0 )
(λ2 λ3 K)
(λ1 λ3 L0 ) (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ).
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K).
2 1 0
3 2 0
3 1
0
On pose (λ λ G )(λ λ H ) = (λ λ M ) alors :
2 1 0 3 2 0 2 3 0
(λ λ G )(λ λ H ) (λ λ K ) = (λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
= (λ2 λ3 K)
= (λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 )(λ2 λ3 K 0 )
= (λ2 λ1 G0 )e2
= (λ2 λ1 G).
Alors
Donc
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G).
D'autre part ;
1 2 0 2 1 0 3 2 0
(λ λ F )(λ λ G ) (λ λ H ) =
=
=
=
e2 (λ3 λ2 H 0 )
(λ3 λ2 H)
(λ1 λ2 F 0 ) (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 )
(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ).
(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H 0 ).
2 3 0
1 2 0
1 3 0
On pose (λ λ K )(λ λ F ) = (λ λ L ) alors :
e2 (λ3 λ2 H 0 )(λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) = e2 (λ3 λ2 H 0 )
= (λ3 λ2 H)
= (λ3 λ2 H 0 ) (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 )
= (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ).
Alors
129
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3
Donc
(λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ3 λ2 H).
Par ailleurs ;
(λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) (λ2 λ1 G0 ) =
=
=
=
=
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 )
(λ3 λ2 H)
(λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )(λ2 λ1 G0 )
(λ2 λ3 K 0 )e2
(λ2 λ3 K).
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K).
3 2 0
1 3 0
1 2 0
On pose (λ λ H )(λ λ L ) = (λ λ F ) alors :
2 3 0 3 2 0 1 3 0
(λ λ K )(λ λ H ) (λ λ L ) = e3 (λ1 λ3 L0 )
= (λ1 λ3 L)
= (λ2 λ3 K 0 ) (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 )
= (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ).
Alors
Donc
(λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L).
D'autre part ;
3 2 0 1 3 0 3 1 0
(λ λ H )(λ λ L ) (λ λ M ) =
=
=
=
Ce qui donne,
(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 )
(λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )(λ3 λ1 M 0 )
(λ3 λ2 H 0 )e3
(λ3 λ2 H).
(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H 0 ).
D'où la démonstration de la remarque.
On a 4 cas :
Cas (λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 )
1
(λ2 λ3 K)
(λ3 λ2 H)
2
(λ2 λ3 K 0 )
(λ3 λ2 H 0 )
2 3 0
3
(λ λ K )
(λ3 λ2 H)
4
(λ2 λ3 K)
(λ3 λ2 H 0 ).
On remarque les Cas 4 et Cas 3 sont semblables entre eux.
Donc on a 3 Cas à étudier :
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K) et (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H), alors
2 3 0
1 2 0
2 1 0
3 2 0
on a 4 choix sur les formules (λ λ K )(λ λ F ) et (λ λ G )(λ λ H ).
1. Si
Ces cas sont présents dans le diagramme suivant :
130
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3
Cas (λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 )
1
(λ1 λ3 L)
2
(λ1 λ3 L0 )
3
(λ1 λ3 L0 )
4
(λ1 λ3 L)
(λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 )
(λ3 λ1 M )
(λ3 λ1 M 0 )
(λ3 λ1 M )
(λ3 λ1 M 0 )
(a) Dans le cas 1 on a 4 catégories :
3 2 0
1 3 0
1 2
1 2
(λ λ H )(λ λ L ) ∈ {(λ λ F ), (λ λ F 0 )}
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) ∈ {(λ2 λ1 G), (λ2 λ1 G0 )}
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K), (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H)
(λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L), (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ).
(b) Dans cas 2 on a 2 catégories :
(λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ),
3 1
0
2 3 0
2 1
(λ λ M )(λ λ K ) ∈ {(λ λ G), (λ2 λ1 G0 )}
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K), (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H)
(λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L0 ), (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ).
(c) Dans cas 3 on a 2 catégories :
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G),
3 2 0
1 3 0
1 2
(λ λ H )(λ λ L ) ∈ {(λ λ F ), (λ1 λ2 F 0 )}
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K), (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H)
(λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L), (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ).
(d) Dans cas 4 on a une seule catégorie :
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K), (λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H)
(λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L), (λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M )
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G), (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F )
On remarque que dans ce cas qu'il y a 4 catégories distinctes non
isomorphe entre elles, sont dénies par :
La catégorie 1 est :
( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K)
(λ1 λ2 F 0 ) (λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H)
( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L )
( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M )
(λ3 λ1 M 0 ) (λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G )
( λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ).
131
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3
La catégorie 2 est :
( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 )
( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 )
( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )
( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 )
( λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
( λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )
=
=
=
=
=
=
(λ2 λ3 K)
(λ3 λ2 H)
(λ1 λ3 L )
(λ3 λ1 M )
(λ2 λ1 G )
(λ1 λ2 F 0 ).
La catégorie 3 est :
( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 )
(λ1 λ2 F 0 ) (λ3 λ1 M 0 )
( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )
( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 )
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
(λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )
=
=
=
=
=
=
(λ2 λ3 K)
(λ3 λ2 H)
(λ1 λ3 L)
(λ3 λ1 M )
(λ2 λ1 G0 )
(λ1 λ2 F 0 ).
=
=
=
=
=
=
(λ2 λ3 K)
(λ3 λ2 H)
(λ1 λ3 L)
(λ3 λ1 M 0 )
(λ2 λ1 G)
(λ1 λ2 F 0 ).
La catégorie 4 est :
( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 )
(λ1 λ2 F 0 ) (λ3 λ1 M 0 )
( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )
( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 )
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
(λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )
2. Si
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K 0 ),(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H 0 )
alors :
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )
( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 )
( λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )
=
=
=
=
( λ2 λ1 G)
( λ1 λ3 L)
(λ3 λ1 M )
(λ1 λ2 F ).
Voir la remarque (9.3.2).
Donc on a une seule catégorie dans ce cas, mais on remarque ce catégorie est isomorphe à la catégorie 3 qui est dénie ci-dessus.
132
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3
3. Si
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K 0 ),(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H)
alors ,
3 1
(λ λ M 0 )(λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G)
et(λ
λ K 0 )(λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L)
2 1
Voir la
remarque (9.3.2).
Donc on a 4 cas :
(a) Si on a :
2 1 0
(λ λ G )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ), (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ), alors
on a une nouvelle catégorie, mais elle ressemble la catégorie 2 qui
est dénie ci-dessus voir (1d).
Donc il n'y a pas de nouvelle catégorie dans ce cas.
(b) Si on a :
2 1 0
(λ λ G )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M ), (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F 0 ),
alors on a une nouvelle catégorie, mais elle ressemble la catégorie
3 qui est dénie ci-dessus voir (1d).
Donc il n'y a pas de nouvelle catégorie dans ce cas.
(c) Si on a :
2 1 0
(λ λ G )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M 0 ), (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ),
alors on a une nouvelle catégorie, mais elle ressemble la catégorie
3 qui est dénie ci-dessus voir (1d).
Donc il n'y a pas de nouvelle catégorie dans ce cas.
(d) Si on a :
2 1 0
(λ λ G )(λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M 0 ), (λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F 0 ),
alors on aura une nouvelle catégorie qui est dénie par :
( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 )
( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 )
(λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )
(λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 )
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
(λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )
4. Si
=
=
=
=
=
=
(λ2 λ3 K 0 )
(λ3 λ2 H)
(λ1 λ3 L )
(λ3 λ1 M 0 )
( λ2 λ1 G )
(λ1 λ2 F 0 ).
(λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K),(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H 0 ),
ce cas est ressemble le cas 3, donc il n'y a pas de nouvelle catégorie.
Donc on a 5 catégories distinctes et non isomorphes entre elle, et ces catégories sont dénies par :
133
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3
Les équations communes entre les quatre catégories sont :
on a :































































( λ2 λ3 K) (λ1 λ2 F )
( λ3 λ2 H) ( λ1 λ3 L)
(λ3 λ1 M ) (λ2 λ3 K)
( λ1 λ3 L ) (λ2 λ1 G)
( λ2 λ1 G) (λ3 λ2 H)
( λ1 λ2 F ) (λ3 λ1 M )
e1 (λ2 λ1 Gi ) = (λ2 λ1 G)
e2 (λ1 λ2 F i ) = (λ1 λ2 F )
(λ1 λ2 F i )e1 = (λ1 λ2 F )
(λ2 λ1 Gi )e2 = (λ2 λ1 G)
e3 (λ1 λ3 Li ) = (λ1 λ3 L)
(λ1 λ3 Li )e1 = (λ1 λ3 L)
e2 (λ3 λ2 H i ) = (λ3 λ2 H)
e3 (λ2 λ3 K i ) = (λ2 λ3 K)
(λ2 λ3 K i )e2 = (λ2 λ3 K)
(λ3 λ2 H i )e3 = (λ3 λ2 H)
(λ3 λ1 M i )e3 = (λ3 λ1 M )
e1 (λ3 λ1 M i ) = (λ3 λ1 M )
(λ3 λ2 H i )(λ2 λ3 K j ) = e2
(λ2 λ3 K i )(λ3 λ2 H j ) = e3
(λ3 λ1 M i )(λ1 λ3 Lj ) = e1
(λ1 λ3 Li )(λ3 λ1 M j ) = e3
(λ2 λ1 Gi )(λ1 λ2 F j ) = e1
(λ1 λ2 F i )(λ2 λ1 Gj ) = e2
=
=
=
=
=
=
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i ∈ {1, 2}
∀i, j ∈ {1, 2}
∀i, j ∈ {1, 2}
∀i, j ∈ {1, 2}
∀i, j ∈ {1, 2}
∀i, j ∈ {1, 2}
∀i, j ∈ {1, 2}.
(λ2 λ3 K 0 )(λ1 λ2 F ) = (λ2 λ1 K)(λ1 λ2 F 0 ) = ( λ1 λ3 L )
(λ3 λ2 H 0 )(λ1 λ3 L) = (λ3 λ2 H)(λ1 λ3 L0 ) = ( λ1 λ2 F )
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K) = (λ3 λ1 M )(λ2 λ3 K 0 ) = ( λ2 λ1 G )
(λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G) = (λ1 λ3 L) (λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K )
(λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H) = (λ2 λ1 G ) (λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M )
(λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M ) = (λ1 λ2 F ) (λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H).
Les équations qui caractérisent la catégorie
catégories sont :
( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 ) = (λ2 λ3 K)
(λ1 λ2 F 0 ) (λ3 λ1 M 0 ) = (λ3 λ2 H)
( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 ) = (λ1 λ3 L )
( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 ) = (λ3 λ1 M )
(λ3 λ1 M 0 ) (λ2 λ3 K 0 ) = (λ2 λ1 G )
( λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 ) = (λ1 λ2 F ).
134
1 = A1
par rapport aux autres
Classication des catégories d'une matrice 2 d'ordre 3
Les équations qui caractérisent la catégorie
2 = A2
par rapport aux autres
3 = A3
par rapport aux autres
4 = A4
par rapport aux autres
5 = A5
par rapport aux autres
catégories sont :
( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 )
( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 )
( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )
( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 )
( λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
( λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )
=
=
=
=
=
=
(λ2 λ3 K)
(λ3 λ2 H)
(λ1 λ3 L )
(λ3 λ1 M )
(λ2 λ1 G )
(λ1 λ2 F 0 ).
Les équations qui caractérisent la catégorie
catégories : sont :
( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 )
(λ1 λ2 F 0 ) (λ3 λ1 M 0 )
( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )
( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 )
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
(λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )
=
=
=
=
=
=
(λ2 λ3 K)
(λ3 λ2 H)
(λ1 λ3 L)
(λ3 λ1 M )
(λ2 λ1 G0 )
(λ1 λ2 F 0 ).
Les équations qui caractérisent la catégorie
catégories : sont :
( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 )
(λ1 λ2 F 0 ) (λ3 λ1 M 0 )
( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )
( λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 )
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
(λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )
=
=
=
=
=
=
(λ2 λ3 K)
(λ3 λ2 H)
( λ1 λ3 L)
(λ3 λ1 M 0 )
( λ2 λ1 G )
(λ1 λ2 F 0 ).
Les équations qui caractérisent la catégorie
catégories sont :
( λ1 λ3 L0 ) (λ2 λ1 G0 )
( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 )
(λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )
(λ2 λ1 G0 ) (λ3 λ2 H 0 )
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
(λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )
=
=
=
=
=
=
(λ2 λ3 K 0 )
(λ3 λ2 H)
(λ1 λ3 L )
(λ3 λ1 M 0 )
( λ2 λ1 G )
(λ1 λ2 F 0 ).
135
Les bornes de Card(M2n )
Donc on a 5 possibilitées sur la catégorie
A1 , A2 , A3 ,A4
et
A qui présentent dans les catégories
A5 .
Ces catégories ne sont pas isomorphes entre elles. En eet la fonction
α
qui
sera dénie plus bas, est un invariant à permutations des objets près et leurs
fonctions
α
sont diérentes.
Dénition 9.3.4
: Soit A ∈ {A1 , A2 , A3 , A4 , A5 }, on dit A marche avec le
couple (ij) s'il existe k tel que (λk λj X 0 )(λi λk Y 0 ) = (λi λj Z 0 ), la même chose
A marche avec (ij) + (kl) c.à.d A marche avec (ij) encore avec (lk).
A1 marche avec aucun couple.
A5 marche avec (31), (12) et (23).
9.4 Les bornes de Card(M2n)
Soit
Mn2
une matrice
2
d'ordre

Mn2

=
n
avec
n≥2
2 2 ... 2
.
.
.
:

.
.
.
. 
. . . .. 
2 2 ... 2
Dénition 9.4.1
: Soient M une matrice 2 d 0 ordre n et soit A une catégorie associée à M dont les objets sont {λ1 , ..., λn }.
La composition des deux morphismes (λj λk Y b )(λi λj X a ) = (λi λk Z c ) sera dénie par une formule (c.à.d c en fonction de a et b) et l'ensemble des ces
formules peut être considéré en les classiant par couple [λi , λj , λk ].
Si (i 6= j 6= k ) on dit le couple [λi , λj , λk ] est un couple distinct.
Si (i = j = k) on dit le couple [λi , λj , λk ] = [λi ] est un couple identité.
Si (i = j 6= k ) on dit le couple [λi , λj , λk ] = [λi , λk ] est un couple semidistinct.
Exemple 9.4.2
:
on a deux couples identités et un seul couple sémi-distinct :
[λ , λ ] = n
{e21 } et [λ2 , λ2 ] = {e22 },
o
[λ1 , λ2 ] = (λ1 λ2 F )e1 , e2 (λ1 λ2 F ), e1 (λ2 λ1 G), (λ2 λ1 G)e2 , (λ2 λ1 G)(λ1 λ2 F ), (λ1 λ2 F )(λ2 λ1 G) .
Dans M22 ,
1
1
Lemme 9.4.3
: Soit A une catégorie réduite associée à Mn2 dont les objets
sont {λ , ..., λ } avec n≥ 3 alors les formules associées à des couples identités
et semi-distincts sont données par :
1
n
136
Les bornes de Card(M2n )
1. e2i = ei , ∀i ∈ {1, ..., n}
2. (λi λj X a )ei = (λi λj X)
ej (λi λj Y b ) = (λi λj Y )
(λj λi W d )(λi λj Z c ) = ei
∀ a, b, c et d ∈ {1, 2} et i 6= j ∈ {1, ..., n}
3. (λj λk Y )(λi λj X) = (λj λk Y 0 )(λi λj X) = (λj λk Y )(λi λj X 0 ) = (λi λk Z),
avec i 6= j 6= k .
Preuve :
∈ {1, ..., n} tel que e2i = 1 alors A non-réduite voir le
2
lemme (9.1.10), donc ei = ei .
Soit i 6= j ∈ {1, ..., n} on prend la sous-matrice régulière N{ i, j} ma0
i
j
trice 2 d ordre 2 donts les objets sont {λ , λ } et les morphismes sont
n
o
ei , ej , (λi λj X a ), (λi λj Y b ) alors on a les égalites de partie 2) voir (9.2.1)
soit i
Le même pour la partie 3) voir (9.3.2).
Remarque 9.4.4
: Après le lemme précédent il reste à étudier les formules
des couples distingués, et surtout les formules de la forme (λj λk Y 0 )(λi λj X 0 )
qui s'appelle chacune formule distinguée.
Voir la notation de X 0 et Y 0 dans la notation (9.3).
Donc pour dénir une catégorie associée à Mn2 il sut à dénir les formules
distinguées.
Remarque 9.4.5
: Pour faciliter la procédure on va utiliser la notation suivante :
si (λb λc X 0 )(λa λb Y 0 ) = (λa λc Z) on note cette égalite par 0
si (λb λc X 0 )(λa λb Y 0 ) = (λa λc Z 0 ) on note cette égalite par 1
Notation : Soit (λj λk Xa )(λi λj Yb ) = (i, j, k) une formule dans [λi , λj , λk ], on
dénit la foncution
α:
α
par :
n
o
(i, j, k) ∈ [λi , λj , λk ]
/
(i, j, k)
/
{0, 1}
α((i, j, k)) = 0 ou 1
α(i, j, k) = 0 si (λb λc X 0 )(λa λb Y 0 ) = (λa λc Z)
b c 0
a b 0
a c 0
et α(i, j, k) = 1 si (λ λ X )(λ λ Y ) = (λ λ Z ).
On trouve α(i, j, k) = 0 pour un triplet identité ou
avec
Exemple 9.4.6
Soit
M
:
une matrice
2
d'ordre
3,
alors :
137
semi-distingué.
Les bornes de Card(M2n )
1. La catégorie
1
devient denie par :
( λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 )
( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 )
( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )
( λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 )
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
(λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )
2. La catégorie
2
3
4
=
=
=
=
=
=
(λ2 λ3 K) = 0
(λ3 λ2 H) = 0
(λ1 λ3 L ) = 0
(λ3 λ1 M ) = 0
(λ2 λ1 G ) = 0
(λ1 λ2 F 0 ) = 1
α((2, 1, 3)) = 0
c.à.d α((3, 1, 2)) = 0
c.à.d α((1, 2, 3)) = 0
c.à.d α((3, 2, 1)) = 0
c.à.d α((2, 3, 1)) = 0
c.à.d α((1, 3, 2)) = 1.
c.à.d
devient denie par :
( λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 )
( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 )
( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )
( λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 )
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
(λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )
4. La catégorie
(λ2 λ3 K) = 0 c.à.d α((2, 1, 3)) = 0
(λ3 λ2 H) = 0 c.à.d α((3, 1, 2)) = 0
(λ1 λ3 L ) = 0 c.à.d α((1, 2, 3)) = 0
(λ3 λ1 M ) = 0 c.à.d α((3, 2, 1)) = 0
(λ2 λ1 G ) = 0 c.à.d α((2, 3, 1)) = 0
(λ1 λ2 F ) = 0 c.à.d α((1, 3, 2)) = 0.
devient denie par :
( λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 )
( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 )
( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )
( λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 )
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
(λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )
3. La catégorie
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
(λ2 λ3 K) = 0
(λ3 λ2 H) = 0
(λ1 λ3 L ) = 0
(λ3 λ1 M ) = 0
(λ2 λ1 G0 ) = 1
(λ1 λ2 F 0 ) = 1
α((2, 1, 3)) = 0
c.à.d α((3, 1, 2)) = 0
c.à.d α((1, 2, 3)) = 0
c.à.d α((3, 2, 1)) = 0
c.à.d α((2, 3, 1)) = 1
c.à.d α((1, 3, 2)) = 1.
c.à.d
devient denie par :
( λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 )
( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 )
( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )
( λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 )
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
(λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )
=
=
=
=
=
=
(λ2 λ3 K) = 0 c.à.d α((2, 1, 3)) = 0
(λ3 λ2 H) = 0 c.à.d α((3, 1, 2)) = 0
(λ1 λ3 L ) = 0 c.à.d α((1, 2, 3)) = 0
(λ3 λ1 M 0 ) = 1 c.à.d α((3, 2, 1)) = 1
(λ2 λ1 G ) = 0 c.à.d α((2, 3, 1)) = 0
(λ1 λ2 F 0 ) = 1 c.à.d α((1, 3, 2)) = 1.
138
Les bornes de Card(M2n )
5. la catégorie
5
devient denie par :
( λ1 λ3 L0 )(λ2 λ1 G0 )
( λ1 λ2 F 0 )(λ3 λ1 M 0 )
( λ2 λ3 K 0 ) (λ1 λ2 F 0 )
( λ2 λ1 G0 )(λ3 λ2 H 0 )
(λ3 λ1 M 0 )(λ2 λ3 K 0 )
(λ3 λ2 H 0 ) (λ1 λ3 L0 )
=
=
=
=
=
=
(λ2 λ3 K 0 )
(λ3 λ2 H )
(λ1 λ3 L )
(λ3 λ1 M 0 )
(λ2 λ1 G )
(λ1 λ2 F 0 )
= 1 c.à.d α((2, 1, 3)) = 1
= 0 c.à.d α((3, 1, 2)) = 0
= 0 c.à.d α((1, 2, 3)) = 0
= 1 c.à.d α((3, 2, 1)) = 1
= 0 c.à.d α((2, 3, 1)) = 0
= 1 c.à.d α((1, 3, 2)) = 1.
Théorème 9.4.7
: Si les conditions sur α sont vériées elle correspond a
une catégorie unique et toutes les catégories réduites proviennent de cela.
Donc la classication des catégories réduites est équivalente à la classication
des fonctions α qui satisfont aux conditions suivantes :
1. soit [i, j, k] une couple distingue alors on a l'expression suivante :
α((i, j, k)) = 1 alors α((i, k, j)) = 0 et α((j, i, k)) = 0.
2. Soient i, j, k, l des indices distingues alors on a l'équivalence suivante :
α((i, j, k)) = 1 et α((j, l, k)) = 1
m
α((i, j, l)) = 1 et α((i, l, k)) = 1.
En eet : La démonstration de la condition
1
est analogue a celle de la
remarque (9.3.3).
Pour la condition
⇒)
On
2
:
α((i, j, k)) = 1 et α((j, l, k)) = 1.
j l 0
i j 0
i l
pose α((i, j, l)) = 0 c.à.d (λ λ Y )(λ λ Z ) = (λ λ S) alors
h
i
(λl λk X 0 ) (λj λl Y 0 )(λi λj Z 0 ) = (λl λk X 0 )(λi λl S)
Si on a
:
= (λi λk T )
h
i
l k 0
j l 0
= (λ λ X )(λ λ Y ) (λi λj Z 0 )
= (λj λk P 0 )(λi λj Z 0 )
= (λi λk T 0 ).
Contadiction, donc
α((i, j, l)) = 1
et
α((i, j, l)) = 1.
139
Les bornes de Card(M2n )
⇐)
On
α((i, j, l)) = 1 et α((i, l, k)) = 1.
l k 0
j l 0
j k
pose α((j, l, k)) = 0 c.à.d (λ λ X )(λ λ Y ) = (λ λ P )
h
i
(λl λk X 0 ) (λj λl Y 0 )(λi λj Z 0 ) = (λl λk X 0 )(λi λl S 0 )
Si on a
alors :
= (λi λk T 0 )
h
i
= (λl λk X 0 )(λj λl Y 0 ) (λi λj Z 0 )
= (λj λk P )(λi λj Z 0 )
= (λi λk T ).
Contadiction, donc
α((j, l, k)) = 1
α((i, j, k)) = 1.
et
D'autre part, si on a les conditions on va démontrer que l'associativité
marche.
Si
α((i, j, l)) = 0
alors d'après la condition
1.
α((i, j, l)) = 1
et
α((j, l, k)) = 0
2.
α((i, j, l)) = 0
et
α((j, l, k)) = 1
3.
α((i, j, l)) = 0
et
α((j, l, k)) = 0
α((i, j, l)) = 0, α((i, j, l)) = 1
h
i
(λl λk X 0 ) (λj λl Y 0 )(λi λj Z 0 )
Si on a
et
2
on a
3
cas :
α((j, l, k)) = 0
alors,
=
(λl λk X 0 )(λi λl S)
=
(λi λk T )
d'autre part,
h
i
(λl λk X 0 )(λj λl Y 0 ) (λi λj Z 0 )
=
(λj λk P )(λi λj Z 0 )
=
(λi λk T ).
Donc,
h
i h
i
j l 0
i j 0
l k 0
j l 0
(λ λ X ) (λ λ Y )(λ λ Z ) = (λ λ X )(λ λ Y ) (λi λj Z 0 )
Si on a α((i, j, l)) = 0, α((i, j, l)) = 0 et α((j, l, k)) = 1 la
l k
0
même que précé-
dante.
Si on a
α((i, j, l)) = 0, α((i, j, l)) = 0
h
i
(λl λk X 0 ) (λj λl Y 0 )(λi λj Z 0 )
et
α((j, l, k)) = 0
alors,
=
(λl λk X 0 )(λi λl S)
=
(λi λk T )
d'autre part,
h
i
(λl λk X 0 )(λj λl Y 0 ) (λi λj Z 0 )
140
=
(λj λk P )(λi λj Z 0 )
=
(λi λk T ).
Les bornes de Card(M2n )
Donc,
h
i h
i
j l 0
i j 0
l k 0
j l 0
(λ λ X ) (λ λ Y )(λ λ Z ) = (λ λ X )(λ λ Y ) (λi λj Z 0 )
Donc dans le cas où α((i, j, l)) = 0 alors l'associative est marche.
La même preuve si α((i, l, k)) = 0.
Donc il reste à vérier si α((i, j, l)) = 1 et α((i, l, k)) = 1 alors on
la condition 2 α((i, j, k)) = 1 et α((j, l, k)) = 1 alors :
h
i
(λl λk X 0 ) (λj λl Y 0 )(λi λj Z 0 )
=
(λl λk X 0 )(λi λl S 0 )
0
l k
a d'après
(λi λk T 0 ),
=
d'autre part,
h
i
(λl λk X 0 )(λj λl Y 0 ) (λi λj Z 0 )
=
(λj λk P 0 )(λi λj Z 0 )
=
(λi λk T 0 ).
Donc,
h
i h
i
(λl λk X 0 ) (λj λl Y 0 )(λi λj Z 0 ) = (λl λk X 0 )(λj λl Y 0 ) (λi λj Z 0 )
Donc, on a bien une catégorie réduite.
Notation : On va dénit deux notations :
1. On veut dire
σ
la notation suivante :
σ := lim Sup
n→∞
log(Card(M2n , r))
.
n3
2. On note le nombre des catégories réduites a isomorphisme ordonnée
n
n
près qui sont associées à la matrice M2 par Card(M2 , r, o).
n
C3
Par exemple : on va voir dans le lemme (9.4.10) Card(M2 , r, o) ≤ 18 n ;
cette borne étant atteinte dans les cas
Lemme 9.4.8
n=2
et
n = 3.
: on a les inéglités suivantes :
(Card(M2n , r, o)/n!) ≤ Card(M2n , r) ≤ Card(M2n , r, o).
Preuve :
Grâce
à
chacune
des
dénitions
de
(9.1)
Card(M2n , r)
et
de
Card(M2n , r, o), on arrive à l'inéquation (9.1).
Théorème 9.4.9 : Le nombre de congurations de la fonction α : (i, j, k) 7→
0 ou 1 sur ce triplet [λi , λj , λk ] , est 18.
Preuve :
On peut prendre ce triplet par exemple le triplet
dans le cas de matrice
On a trouvé
5
2
d'ordre
[λ1 , λ2 , λ3 ]
3.
catégories non isomorphes entre elles associées é
théorème(9.3.1).
141
M23
voir le
Les bornes de Card(M2n )
Maintenant on a besoin de savoir combien il y a d'isomorphisme ordonne
pres, c'est a dire on ne confond pas ceux qui sont semblables. On peut les
classier par leur classe d'isomorphisme
A1
A2
1, 2, 3,
A3
: Pour que cela marche on doit choisir un couple
il y a
6
A4
distinct parmi
(ij) mais (ij) = (ji),
(ji)} , donc il y a 3 choix.
: Pour que cela marche on doit choisir un couple
{(ij)
et
: Pour que cela marche on doit choisir une suite de
3! = 6
distincts, il y a
A5 :
2
(ij)
choix.
vu que l'ensemble des réponses est
a
A1 , A2 , A3 , A4 , A5 .
: il n'y a qu'une ici.
3
éléments
choix.
c'est un cycle, qui peut aller dans un sens ou dans l'autre, donc il y
choix :
(12) + (23) + (31)
ou
(13) + (32) + (21).
A = 1 + 6 + 3 + 6 + 2 = 18
Au total on a
possibilités ; le nombre des
catégories non-réduites a isomorphisme ordonne pres est
de fonctions
α
18, et c'est le nombre
3 indices.
Card(M23 , r, o) = 18.
possible sur
Donc on peut dire aussi
Lemme 9.4.10
: Card(M2n , r, o) ≤ 18Cn .
3
[λi , λj , λk ] on a le nombre des catégories nonréduites à isomorphisme ordonne pres est 18 voir le théorème (9.4.9), alors
C3
n
C3
totalemnet on a 18 n ce qui donne Card(M2 , r, o) ≤ 18 n .
En eet : Sur chaque triplet
Corollaire 9.4.11
: La borne supérieure de Card(M2n , r) est 18Cn .
3
Preuve : le lemme (9.4.10) et le lemme (9.4.8) donnent :
3
Card(M2n , r) ≤ 18Cn
.
Notation :
objets. Soit
On considère
P3 (X)
X = {x1 , . . . , xn }
l'ensemble (ordonnée) de n
l'ensemble des parties a trois elements de
X,
et
O3 (X)
l'ensemble des triplets distincts (avec un ordre qui peut etre dierent de
142
Les bornes de Card(M2n )
l'ordre de X ). On a donc Card(O3 (X)) = 3!Card(P3 (X)) et Card(P3 (X)) =
Cn3 . Un triplet (xi , xj , xk ) ∈ O3 (X) sera noté aussi (i, j, k), on a i 6= j , j 6= k
et i 6= k .
Dénition 9.4.12
: Soit H ⊂ O3 (X) un sous-ensemble. On dit que H est
si : pour tout (i, j, k) ∈ H , il n'existe pas de (i, u, j) ∈ H ni
de (j, v, k) ∈ H .
non-interferant
Lemme 9.4.13 Si H ⊂ O3 (X) est un sous-ensemble non-interferant, alors
pour tout H 0 ⊂ H , on a H 0 aussi non-interférant.
Preuve : Soit H 0 un sous ensemble de H , on va démontrer H 0 est non-
interférant.
0
0
Soit (i, j, k) ∈ H ⊂ H comme H est non-interferant alors il n'existe
(i, u, j) ∈ H 0 ni de (j, v, k) ∈ H 0 , donc H 0 est aussi non-interférant.
pas de
Lemme 9.4.14
: Si H ⊂ O3 (X) est un sous-ensemble non-interférant, il
existe une catégorie AH ∈ M2n telle que (i, j, k) = 1 si (i, j, k) ∈ H et
(i, j, k) = 0 si (i, j, k) 6∈ H .
Preuve : On construit la catégorie B avec les conditions suivantes :
1. Si
(i, j, k) ∈ H
alors
α((i, j, k)) = 1, et si (i, j, k) 6∈ H
alors
α((i, j, k)) =
0.
i, u, j, k alors :
α((i, u, j)) = 1 ⇔ α((i, u, k)) = 1
2. Pour tout quadruplet
α((i, j, k)) = 1
et
et
α((u, j, k)) = 1,
c'est analogue a la remarque(9.3.3)
Alors
B
est bien une catégorie.
Lemme 9.4.15
: Si H ⊂ O3 (X) est un sous-ensemble non-interférant, alors
il y a une catégorie diérente (réduite) AH 0 ∈ M2n pour chaque sous-ensemble
H 0 ⊂ H . En conséquence, on a
Card(M2n , r, o) ≥ 2Card(H) .
En eet : Soit H 0 ⊂ H alors H 0 est non-interférant alors d'après le lemme
(9.4.14) alors il existe une catégorie BH 0 , bien sur
n
Card(H)
ce qui donne Card(M2 , r, o) ≥ 2
.
Théorème 9.4.16
AH 6= BH 0
car
H0 ⊂ H
et
: On peut déterminer des bornes (voir ci-dessous) pour
la cardinalité de l'ensemble Card(M2n , r, o).
143
Les bornes de Card(M2n )
Preuve :
Construction d'un sous-ensemble non-interferant : supposons
X = X1 ∪ X2 ∪ X3 est une reunion avec X1 ∩ X2 = ∅, X1 ∩ X3 = ∅, et
X2 ∩ X3 = ∅(c.à.d X est la reunion disjointe de X1 , X2 , X3 ). Alors si on
que
et
pose
H = {(i, j, k)/xi ∈ X1 , xj ∈ X2 et xk ∈ X3 }.
H ⊂ O3 (X) est non-interferant. En eet, les conditions
impliquent déjá que i 6= j , j 6= k et i 6= k , aussi qu'il ne peut pas y avoir
d'elements (i, u, j) ni de (j, v, k) dans H .
Cet ensemble a Card(H) = Card(X1 )Card(X2 )Card(X3 ).
On peut prendre par exemple Card(X1 ) = [n/3], Card(X2 ) = [n/3] et
Card(X3 ) = n − 2[n/3] ≥ [n/3]. Donc Card(H) ≥ [n/3]3 qui est de l'ordre
3
de n /27. On a la borne inférieure :
Le sous-ensemble
3
Card(M2n , r, o) ≥ 2[n/3] .
Donc
log(Card(M2n , r, o)) ≥ n3 log(2)/27.
La borne supérieure est
3
18Cn
voir le lemme (9.4.10)c.à.d :
3
Card(M2n , r, o) ≤ 18Cn .
Et
Cn3
est de l'ordre de
n3 /6,
donc
log(Card(M2n , r, o)) ≤ n3 log(18)/6.
On a donc un encadrement de
3
un ordre de croissance de n .
log(Card(M2n , r, o)) ou les deux termes ont
Lemme 9.4.17 : On peut déterminer des bornes inférieures et supérieures
(dont les valeurs ci-dessous) pour Card(M2n , r).
En eet : Le lemme (9.4.8) et le théorème (9.4.16)donnet la borne supérieur de
Card(M2n , r)
qui est :
3
2[n/3] /n! ≤ Card(M2n , r, o)/n! ≤ Card(M2n , r).
D'autre part, on a d'après le corollaire (9.4.11)
3
Card(M2n , r) ≤ 18Cn .
Donc on peut dire :
3
3
2[n/3] /n! ≤ Card(M2n , r) ≤ 18Cn .
144
Les bornes de Card(M2n )
Théorème 9.4.18
: On peut borner σ par :
log(2)
log(18)
≤σ≤
.
27
6
preuve : D'après la preuve de le théorème (9.4.16) on a le résultat suivant :
log(Card(M2n , r, o)) ≤ n3 log(18)/6.
Alors
log(Card(M2n , r, o))/n3 ≤ log(18)/6.
Le lemme (9.4.8) donne :
log(Card(M2n , r))/n3 ≤ log(Card(M2n , r, o))/n3
≤ log(18)/6.
σ ≤ log(18)/6.
[n/3]3
D'autre part, on a 2
/n! ≤ Card(M2n , r)
Donc
3
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
2[n/3] /n!
n3 /27 log(2) − log(n!)
log(2)/27 − log(n!)/n3
log(2)/27 − lim log(n!)/n3
n→∞
voir le lemme (9.4.16) alors :
≤
≤
≤
≤
Card(M2n , r)
log(Card(M2n , r))
log(Card(M2n , r))/n3
σ
log(2)/27 − 0 ≤ σ
log(2)/27 ≤ σ.
Donc,
log(18)
log(2)
≤σ≤
.
27
6
145
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An-
Classication des Catégories nies
ALLOUCH Samer
Résumé :
On étudie dans cette thèse la relation entre les catégories
nies et les matrices carrées positives, ensuite on arrive à étudier l'état de
l'ensemble
Cat(M )
: s'il est vide ou non et dérminer ses bornes si c'est
possible.
Abstract :
In this thesis we study the relationship between categories
and nite square matrices positive as a result we come to examine the state
of
Cat(M )
: if it is empty or not and determine its bounds if possible.
.....................................................................................................
Mots-clès :
Catégories
nies,
Sémi-catégorie,
Sous-matrice
régulière,
Matrice d'une catégorie, Catégories nies associées à une matrice
M,
Caractéristique d'Euler, Monoïde.
Key word : Categories nite Semi-category, Sub-regular matrix, matrix
of a class, Categories associated with a nite matrix, Euler characteristic,
Monoid.
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