Annales du BTS AEA

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sessions 2010-2014
BTS AEA 2014
BTS AEA 2013
BTS AEA 2012
BTS AEA 2011
BTS AEA 2010
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Brevet de technicien supérieur
Agencement de l’environnement architectural
session 2014
Exercice 1 (12 points)
On souhaite étudier le refroidissement du café servi par une machine initialement à une
température de 70°C. On suppose que la température ambiante de la pièce dans laquelle
se trouve le café est constante et égale à 20°C. La température (en °C) du café à l’instant
t (en min) vaut f (t ), où f est une fonction définie sur [0 ; +∞[.
On modélise le problème par la loi de refroidissement, énoncée par Isaac Newton : « la
vitesse de refroidissement d’un corps est proportionnelle à la différence de température
entre ce corps et le milieu ambiant », soit : θ ′ = k (θ − θ0 ) où θ est la température du corps
étudié, θ ′ la vitesse de refroidissement, θ0 la température ambiante et k une constante
négative propre au corps étudié.
Dans l’exemple traité ici, on estime que la fonction f vérifie alors l’équation (E ) : y ′ + 0,2y = 4.
où y est une fonction de la variable réelle t et y ′ sa dérivée première.
On note f ′ la fonction dérivée de f . Elle correspond à la vitesse de refroidissement du
café servi, en degrés par minute.
Partie A
1. Résoudre, sur [0 ; +∞[, l’équation différentielle (E 0 ) : y ′ + 0,2y = 0.
2. Trouver le réel a tel que la fonction constante g (t ) = a soit solution de l’équation (E )
sur [0 ; +∞[.
3. En déduire la solution générale de (E ) sur [0 ; +∞[.
4. Déterminer la fonction f sachant que la température initiale du café est de 70°C.
Partie B
On admet que la fonction f , dont la courbe est représentée en annexe, est définie pour
tout t ∈ [0 ; +∞[ par : f (t ) = 20 + 50e−0,2t .
Pour la suite de cet exercice, en cas de résolution par lecture graphique, on laissera sur le
document annexe une trace des traits de construction, et on explicitera la démarche.
1. Justifier la décroissance de la fonction f sur [0 ; +∞[ et l’interpréter dans le contexte
proposé.
2. Déterminer le comportement de f (t ) quand t tend vers +∞.
3. Résoudre l’équation f (t ) = 42 (arrondir à la seconde près).
4. Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [0 ; 10].
5. Calculer f ′ (0).
Partie C
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ?
Les réponses doivent être justifiées.
On pourra s’aider des résultats obtenus précédemment. En cas de résolution par lecture
graphique, on laissera sur le document annexe une trace des traits de construction, et on
explicitera la démarche.
1. La température du café finit par atteindre 19°C.
2. La vitesse de refroidissement du café à t = 0 est de 10 degrés par minutes.
3. Monsieur Lemcho n’apprécie son café que si sa température est supérieure à 42°C. Il
dispose alors de moins de 3 minutes pour déguster son café.
4. La température moyenne du café durant les 10 premières minutes est d’environ 40°C,
à un degré près.
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Exercice 2 (8 points)
Les quatre parties peuvent être traitées indépendamment
Partie A
Un sachet de café est conditionné à l’entreprise MDD par une ensacheuse.
On teste l’efficacité de l’ensacheuse sur un échantillon de 300 sachets en mesurant leur
masse. On obtient les résultats suivants :
Masse en g
[242 ; 246[
[246 ; 250[
[250 ; 254[
[254 ; 258[
[258 ; 262[
effectifs
2
8
268
21
1
La machine a besoin d’un réglage si l’une des conditions n’est pas vérifiée :
• la masse moyenne des sachets de l’échantillon est comprise entre 252 g et 254 g.
• l’écart type de la série de l’échantillon est inférieur à 1,5 g.
• la proportion de sachets ayant une masse inférieure à 250 g est inférieure à 4 %.
Cette machine doit-elle être réglée ? Justifier la réponse.
Partie B
L’entreprise Café grand Père commercialise les sachets de café. On admettra que la variable aléatoire X qui représente la masse d’un sachet suit la loi normale de moyenne
µ = 253 et d’écart type σ = 1,5.
1. Calculer p(X É 250). Donner la valeur numérique arrondie au millième.
2. Un sachet est vendu pour un poids de 250 g. Quelle est la probabilité que la masse
d’un sachet soit d’au moins 250 g ? Donner la valeur numérique arrondie au millième.
3. La société voudrait que le taux de sachet dont la masse est inférieure à 250 g soit inférieur à 1 %, sans changer la valeur de l’écart type. Quelle devrait être la valeur de la
moyenne µ ? (à 0,1 g près)
Partie C
Les sachets sont conditionnés par lots de 100. On note E l’évènement : E : « un sachet
a une masse inférieure à 250 g ». On supposera que p(E ) = 0,02 et que les sachets sont
répartis de façon indépendante dans chaque lot.
Soit Y la variable aléatoire qui compte le nombre de sachets vérifiant l’évènement E .
1. Justifier que Y suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2. En moyenne, combien y-a-t-il de sachets dont la masse est inférieure à 250 g dans un
lot ?
3. Calculer la probabilité que tous les sachets aient une masse supérieure à 250 g. Donner la valeur numérique arrondie au millième.
4. Calculer p(Y Ê 2). Donner la valeur numérique arrondie au millième.
Partie D
Un distributeur de café est installé dans l’entreprise MDD et on note qu’en moyenne il y
a 5 personnes utilisant le distributeur entre 10 h et 10 h 30 un jour de semaine.
Soit Z la variable aléatoire qui compte le nombre de personnes utilisant le distributeur
de café entre 10 h et 10 h 30 un jour de semaine. On admet que Z suit une loi de Poisson
de paramètre λ.
1. Quelle est la valeur de λ ?
2. Calculer la probabilité qu’il y ait moins de 5 personnes au distributeur de café entre
10 h et 10 h 30 un jour de semaine. Donner la valeur numérique arrondie au millième.
BTS AEA 2014
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BTS AEA 2014
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
0
0,5
1
1,5
2
Température (en ◦ C)
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Cf
5,5
6
6,5
7
7,5
8
8,5 9 9,5 10 10,5
Temps (en minutes)
Annexe 1 : Document à rendre avec la copie
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Brevet de technicien supérieur
Agencement de l’environnement architectural
session 2013
Exercice 1 (11 points)
Partie A
Une usine fabrique des plaques d’isolation phonique. Une machine de cette usine est
chargée de percer des trous dans ces plaques de 80 mm de diamètre.
La figure ci-dessous représente l’histogramme d’un échantillon de 100 diamètres de trous
choisis dans plusieurs plaques.
Exemples :
− il y a un seul trou dont le diamètre appartient à la classe [79,54 ; 79,62]
− il n’y en a aucun dans la classe [79,62 ; 79,70].
effectif
25
22
16
12
13
4
4
3
1
79,54
diamètre
79,62 79,70 79,78 79,86 79,94 80,02 80,10 80,18 80,26 80,34 80,42 80,50
=1
1. Calculer à l’aide de la calculatrice la moyenne et l’écart type de cet échantillon.
Arrondir les résultats au centième.
2. Calculer le pourcentage de trous de cet échantillon dont le diamètre est compris entre
79,86 mm et 80,18 mm.
Partie B
On considère maintenant que la variable aléatoire Z qui à chaque trou associe son diamètre suit la loi normale de moyenne m = 80 et d’écart-type σ = 0,13.
1. On considére qu’un trou est conforme si son diamètre appartient à l’intervalle [79,74 ; 80,26].
Calculer la probabilité qu’un trou soit conforme.
Donner une valeur approchée du résultat arrondie à 10−3 .
2. Calculer une nouvelle valeur de l’écart-type σ pour que la probabilité qu’un trou soit
conforme soit égale à 0,99.
Donner une valeur approchée du résultat arrondie au centième.
Partie C
On décide de contrôler la qualité des trous dans la production d’une journée.
On suppose que la probabilité qu’un trou soit défectueux est 0,05.
On note X la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 trous choisis au hasard,
associe le nombre de trous défectueux.
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La production quotidienne des plaques est suffisamment importante pour que l’on puisse
assimiler le choix des 100 trous à un tirage avec remise pour assurer l’indépendance des
choix.
1. a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X (justifier votre réponse).
b. Donner les paramètres de cette loi.
2. Calculer une valeur approchée arrondie à 10−3 de la probabilité pour un tel échantillon :
a. de n’avoir aucun trou défectueux ;
b. d’avoir un seul trou défectueux ;
c. d’avoir au moins deux trous défectueux.
3. On admet que la loi suivie par X peut être approchée par une loi de Poisson notée Y .
a. Déterminer le paramètre de cette loi.
b. En utilisant cette loi de Poisson déterminer une valeur approchée à 10−3 de la probabilité de l’évènement du 2. b.
4. En comparant les résultats des questions 2. b. et 3. b., calculer le pourcentage d’erreur commis en remplaçant la variable aléatoire X par Y pour calculer la probabilité
d’avoir un seul trou défectueux.
Donner une valeur approchée à 0,1 % prés.
Exercice 2 (9 points)
Pour tester la résistance d’une plaque d’isolation phonique à la chaleur on porte en laboratoire sa température à 100° C et on étudie l’évolution de sa température en fonction
du temps t (en minutes).
Soit θ(t ) la température (en degré celsius) de la plaque à l’instant t (t exprimé en minutes).
La température ambiante du laboratoire est de 19° C et après 6 minutes la température
est redescendue à 82° C.
En exploitant ces données on peut affirmer que la fonction θ est solution de l’équation
différentielle (E) : y ′ (t ) + 0,042y(t ) = 0,798 où y est la fonction inconnue, de variable t ,
définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Partie A
1. Résoudre l’équation différentielle : y ′ (t ) + 0,042y(t ) = 0 sur l’intervalle [0 ; +∞[.
2. Trouver une solution particuliére de (E ) constante du type g (t ) = a, où a est un nombre
réel à déterminer.
3. En déduire toutes les solutions de (E ).
4. D’après l’énoncé, donner θ(0), puis déterminer la solution θ de l’équation (E ) vérifiant cette condition initiale.
Partie B
On admet que pour tout réel t de l’intervalle [0 ; +∞[ , θ(t ) = 81e−0,042t + 19.
1. Calculer la température de la plaque après 35 minutes. Vérifier ce résultat à l’aide du
graphique, en annexe, en laissant apparents les traits de construction.
2. Calculer la fonction dérivée θ ′ sur [0 ; +∞[.
En déduire le sens de variation de θ sur [0 ; +∞[.
3. Calculer le temps à partir duquel la température de la plaque est inférieure à 30° C.
Vérifier ce résultat à l’aide du graphique, en annexe, en laissant apparents les traits de
construction.
4. Déterminer la limite de θ(t ) lorsque t tend vers +∞, et interpréter ce résultat.
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Annexe : Exercice 2 – Courbe représentative de la fonction θ
degrés
100
θ
90
80
70
60
50
40
30
20
10
O
10
20
BTS AEA 2013
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
3/3
150
minutes
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Brevet de technicien supérieur
Agencement de l’environnement architectural
session 2012
Exercice 1 (9 points)
Un thermomètre de Galilée est composé d’un cylindre contenant un liquide dans lequel
sont immergées des boules de différentes masses. Lorsque la température T varie, les
boules se mettent en mouvement. On se propose d’Étudier le mouvement d’une boule
pendant un temps t dans ce type de thermomètre.
Nous admettons ici que la vitesse v en m.s−1 de cette boule, en fonction du temps, est la
k
solution de l’équation différentielle (E) : y ′ = cg − y vérifiant : v(0) = 0, où :
m
c est une constante liée aux masses volumiques du liquide et de la boule ;
g est la constante de gravitation ;
k est le coefficient de frottement du liquide sur la boule ;
m est la masse de la boule.
On donne les valeurs numériques suivantes :
m = 0,030 19 kg ;
k = 9 . 10−3 kg.s−1 ;
c = 0,001 et g = 9,81 m.s−2 .
Partie A
1. Montrer, qu’avec ces valeurs numériques, l’équation différentielle (E) s’écrit (en arrondissant les coefficients de cette équation à 10−2 près) : (E) : y ′ = 0,01 − 0,3y
2. Résoudre l’équation différentielle : (E0 ) : y ′ + 0,3y = 0 où y est une fonction de la variable t , définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ et y ′ est la fonction dérivée de la
fonction y.
1
est solution particulière de l’équation (E).
30
4. En déduire la solution générale de l’équation différentielle (E) sur l’intervalle [0 ; +∞[.
3. Vérifier que la fonction h(t ) =
5. Déterminer la fonction v solution de l’équation différentielle (E) sur l’intervalle [0 ; +∞[
telle que v(0) = 0.
Partie B
¢
1 ¡
1 − e−0,3t .
30
1. Montrer que la fonction dérivée v ′ de sur [0 ; +∞[ est définie par : v ′ (t ) = 0,01e−0,3t
On admet que pour tout t dans [0 ; +∞[ : v(t ) =
puis en déduire le sens de variation de v sur son ensemble de définition.
¡ − →
¢
2. Tracer la courbe représentative de v dans un repère orthogonal O ; →
ı , − pour des
valeurs de t comprises entre 0 et 10 s, sur le document annexe.
(Unités graphiques : 1 cm représente 0,5 s sur l’axe des abscisses et 1 cm représente
0,003 m.s−1 sur l’axe des ordonnées.).
3. Déterminer la limite v l , de la vitesse.
4. À l’aide du graphique puis par le calcul, déterminer à partir de quelle valeur de t la
vitesse de la boule est égale à 90 % de v l , (arrondir la réponse à 0,1 seconde près).
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Exercice 2 (11 points)
La fabrication d’une boule d’un thermomètre de Galilée requiert une certaine précision,
dans la mesure où les masses des différentes boules diffèrent de peu.
Une machine produit des boules dont la masse volumique idéale doit être 900,92kg/m3 .
Préliminaire
Déterminer, au centième près, la masse volumique d’une boule sachant que le rayon de
4
cette boule est de 0,02 m et de masse 0,030 19 kg. Le volume est rappelé : V = πR 3 .
3
Partie A
On prélève, au hasard, un échantillon de 250 boules, dont on calcule les masses volumiques. On obtient la série suivante :
Masse volumique en kg/m3 [900,9 ; 900,91[ [900,91 ; 900,915[ [900,915 ; 900,92[ [900,92 ; 900,925[ [900,925 ; 900,93[ [900,93 ; 900,94]
Effectif
2
8
125
105
9
1
1. À l’aide de la calculatrice déterminer la masse volumique moyenne, arrondie au centième, et l’écart-type, arrondi au millième, de cette série.
2. Une boule est retenue si sa masse volumique appartient à l’intervalle : [900,915 ;900,925[.
Quel est le pourcentage de boules retenues dans cet échantillon ?
Partie B
On note X la variable aléatoire qui, à une boule prise au hasard dans la production, associe sa masse volumique et on admet que X suit une loi normale de moyenne m = 900,92
et d’écart type σ = 0,002 2.
1. Calculer, à 10−2 près, la probabilité P (900,915 É X É 900,925).
2. En déduire la probabilité, toujours à 10−2 près, qu’une boule, prise au hasard dans la
production, ne soit pas retenue.
Partie C
Ces boules sont conditionnées par lots de 200. On considère que le nombre de boules
produites est suffisamment important pour permettre d’assimiler un lot à un tirage de
200 boules choisies au hasard et avec remise.
On suppose désormais que la probabilité qu’une boule, prise au hasard dans la production, ne soit pas retenue est 0,02.
On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque lot de 200 boules, associe le nombre
de boules non retenues.
1. Justifier le fait que la variable Y suit une loi binomiale et en donner les paramètres.
2. Calculer, à 10−3 près, les probabilités P (Y = 0) et P (Y ) > 1).
Partie D
On décide d’approcher la loi de probabilité de Y par une loi de Poisson notée Z .
1. Quel est le paramètre de cette loi ?
2. Quelle est la probabilité que, dans un lot de 200 boules, il y ait exactement 2 boules
non retenues ?
3. Quelle est la probabilité que, dans un lot de 200 boules, il y ait au moins 4 boules non
retenues ?
BTS AEA 2012
2/3
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BTS AEA 2012
Annexe
v en m/s
0,033
0,030
0,027
0,024
0,021
0,015
0,012
0,009
0,006
0,003
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5 t en s
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0,018
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Brevet de technicien supérieur
Agencement de l’environnement architectural
session 2011
Exercice 1 (10 points)
Nous allons étudier l’évolution de la concentration dans le sang d’un médicament ingéré
par une personne pour la première fois. Soit t le temps (en heures) écoulé depuis l’ingestion du produit. Cette concentration en grammes par litre de sang est une fonction f de
la variable t définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ et est solution de l’équation différentielle :
(E) : y ′ (t ) + y(t ) = ae−t , avec la condition initiale : f (0) = 0.
a est une constante positive dépendant de la personne elle-même et de la quantité de
médicament absorbée.
On suppose que a = 5. L’équation (E) s’écrit : y ′ (t ) + y(t ) = 5e−t sur l’intervalle [0 ; +∞[.
Partie A
1. Résoudre l’équation différentielle : y ′ (t ) + y(t ) = 0 sur l’intervalle [0 ; +∞[.
2. Soit la fonction g , définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par g (t ) = 5t e−t .
a. Montrer que : g ′ (t ) = 5(1 − t )e−t .
b. Vérifier que g est une solution particulière de (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).
4. Déterminer la solution f de l’équation (E), vérifiant la condition initiale f (0) = 0.
Partie B
On admettra dans la suite que f est la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : f (t ) = 5t e−t .
1. Étudier les variations de la fonction f sur [0 ; +∞[.
2. La courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (2 cm pour 1 h
en abscisse et 5 cm pour 1 gramme par litre en ordonnée) est fournie en annexe 1.
Représenter graphiquement le maximum de la fonction ainsi que la tangente à la
courbe en ce sommet.
3. Déterminer la limite de f en +∞. Comment interpréter médicalement ce résultat ?
4. Pour une concentration supérieure à un gramme par litre de sang, il y a un risque de
somnolence. Déterminer graphiquement la période correspondant à ce risque.
Partie C
1. Soit F la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : F (t ) = −5e −t − f (t ).
Vérifier que c’est une primitive de f sur [0 ; +∞[. On rappelle que f est solution de
l’équation (E).
2. La concentration moyenne du médicament (en grammes par litre de sang) durant la
Z1
première heure est donnée par : Tm =
f (t ) dt .
0
Calculer cette concentration moyenne (on donnera la valeur exacte puis une valeur
approchée à 0,01 près.)
Exercice 2 (10 points)
Les trois parties sont indépendantes. Les résultats seront donnés à 0,001 près
Une entreprise dispose d’une machine pour produire des tiges métalliques.
Une tige métallique est déclarée conforme si sa longueur est comprise entre 19,5 et 20,5
cm.
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Partie A
Soit L la variable aléatoire qui, à chaque tige métallique produite, associe sa longueur.
On suppose que L suit une loi normale de moyenne 20 et d’écart-type 0,3.
Calculer la probabilité qu’une tige métallique produite soit conforme.
Partie B
On suppose que la probabilité qu’une pièce produite soit non conforme est de 0,1.
On prélève au hasard dans la production de tiges métalliques produites un échantillon
de 50 tiges. La production est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit
assimilé à un tirage avec remise.
Soit X la variable aléatoire qui à tout échantillon de taille 50 associe le nombre de tiges
non conformes.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X, dont on précisera les
paramètres ? (Justifier.)
2. Calculer la probabilité que l’échantillon comporte au plus une tige non conforme.
3. On admet que la loi X peut être approchée par une loi de Poisson nommée Z . Quel
est le paramètre de cette loi ?
4. En utilisant la variable aléatoire Z , calculer la probabilité que l’échantillon comporte
au moins trois tiges non conformes.
Partie C
Pour vérifier le dérèglement éventuel de la machine, une tige témoin est prélevée toutes
les demi-heures. On obtient ainsi les résultats suivants: (t = 0 correspondant à 9 h.)
t i : temps en heure
L i : Longueur de la tige témoin en cm
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
20,01
20,04
20,07
20,15
20,18
20,22
20,25
20,31
20,35
1. Représenter le nuage de points correspondant à la série statistique (t i ; L i ) dans un
repère orthogonal du plan. (On utilisera l’annexe fournie avec une unité pour une
demi-heure en abscisse et une unité pour 0,05 cm et l’origine est (0 ; 20).
2. Un ajustement affine de ce nuage de points semble-t-il approprié ? (Justifier.)
3. À l’aide de la calculatrice, donner une équation, sous la forme : L = at +b, de la droite
d’ajustement affine de L en t par la méthode des moindres carrés (on arrondira a au
millième et b au millième).
Tracer cette droite.
4. La machine doit être systématiquement réglée dès que la tige témoin devient non
conforme.
En utilisant l’ajustement affine précédent, déterminer l’heure à laquelle il faudra régler la machine.
BTS AEA 2011
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Annexe 1 : Exercice 1 : courbe représentative de f
g /l
2
1
O
BTS AEA 2011
h
1
2
3
4
5
6
7
8
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Annexe 2 : Exercice 2
L en cm
20,55
20,50
20,45
20,40
20,35
20,30
20,25
20,20
20,15
20,10
20,05
t en s
20
0
BTS AEA 2011
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
4/4
8
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Agencement de l’environnement architectural
session 2010
Exercice 1 (10 points)
Dans une pièce, la température est de 22°C à 23 h quand on éteint le chauffage. Nous
allons étudier l’évolution de la température dans cette pièce au cours de la nuit.
Nous supposerons que la température extérieure est constante, toujours égale à Text =
10 °C.
Soit t le temps écoulé depuis 23 h, exprimé en heures. La température dans le bureau est
une fonction f de la variable t , définie sur l’intervalle [0 ; 8]. Elle est solution de l’équation différentielle : C y ′ + λy = λText , où C est la capacité thermique globale de la pièce et
λ la conductivité thermique globale du mur donnant sur l’extérieur.
On admettra que l’équation s’écrit alors : (E) : y ′ + 0,15y = 1,5.
1. a. Résoudre l’équation différentielle : y ′ + 0,15y = 0.
b. Déterminer une fonction constante g , sous la forme g (t ) = b où b est un nombre
réel, qui soit solution particulière de l’équation (E).
c. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation (E).
d. Déterminer la fonction f solution de l’équation (E), qui vérifie la condition initiale : f (0) = 22.
2. On admettra dans la suite que f est la fonction définie sur [0 ; 8] par : f (t ) = 10 +
12e−0,15t .
a. Étudier les variations de la fonction f sur [0 ; 8].
b. Tracer la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal. On
prendra comme unités graphiques 2 cm pour 1 h en abscisse et 1 cm pour 1°C en
ordonnée.
c. Au bout de combien de temps la température devient-elle inférieure à 16°C ? En
déterminer la valeur exacte À l’aide d’une inéquation. Quelle heure sera-t-il (arrondir à l’heure près) ?
3. À chaque instant t , le flux de chaleur vers l’extérieur est donné, en MJh−1 (mégajoule
par heure), par la fonction j définie sur [0 ; 8] par : j (t ) = λ [ f (t ) − Text ] = 2,88e−0,15t .
L’énergie dissipée à l’extérieur entre 23 h et 7 h, exprimée en MJ, s’obtient en calcuZ8
lant : E d =
j (t ) dt .
0
a. Calculer la valeur exacte E d .
b. En donner une valeur approchée à 0,1 MJ près par défaut.
Exercice 2 (10 points)
Une entreprise effectue des travaux d’isolation chez des particuliers. Elle souhaite évaluer son potentiel d’activité dans une ville. Pour cela, elle demande à 100 personnes choisies au hasard de faire le test suivant : une pièce, préalablement portée à une température
convenue, est laissée toute une nuit sans chauffage. Le matin, on relève sa température.
L’entreprise obtient comme résultats, arrondis au degré le plus proche :
Températures (°C)
13
14
15
16
17
18
19
20
Effectifs
1
4
12
21
25
22
10
5
1/2
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On distingue alors trois catégories de maisons, selon la température T relevée le matin :
• Si 18 É T , l’isolation est satisfaisante (catégorie 1).
• Si 15 É T < 18, des économies d’énergie pourraient être réalisées, mais elles ne compenseraient pas les coûts des travaux (catégorie 2).
• Si T < 15, les propriétaires ont tout intérêt à faire rénover l’isolation de leur maison
(catégorie 3).
1. Sans justification, calculer la moyenne de la série statistique. Calculer ensuite une
valeur arrondie de l’écart type de la série statistique à 0,1 près.
2. Soit X la variable aléatoire qui, à une maison choisie au hasard dans la ville, associe la
température que l’on aurait relevée le matin, si la maison avait subi le test thermique.
On admet que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne m = 17 et
d’écart type σ = 1,5.
On choisit une maison au hasard. Déterminer la probabilité à 0,000 1 près, que :
a. La maison soit dans la catégorie 3 ;
b. La maison soit dans la catégorie 2.
3. On admet désormais que la probabilité qu’une maison soit dans la catégorie 3 est de
0,1.
L’entreprise s’intéresse principalement aux maisons de la catégorie 3.
Chaque jour, des études thermiques sont menées dans 30 maisons choisies au hasard.
La taille de la ville permettra de considérer les études comme étant indépendantes.
On définit une variable aléatoire Y qui, à un jour donné, associe le nombre de maisons de catégorie 3.
a. Quelle loi de probabilité la variable aléatoire Y suit-elle ? Justifier votre réponse, en
précisant les paramètres de cette loi.
b. Calculer la probabilité qu’au plus deux études menées dans une journée diagnostiquent une maison de catégorie 3. Donner une valeur arrondie à 0,01 près.
c. Calculer l’espérance de la variable aléatoire Y . Que représente ce nombre ?
4. Pour faciliter les calculs, on approche la loi de probabilité Y par une loi de Poisson
notée Z .
a. Préciser le paramètre λ de cette loi.
b. Calculer la probabilité qu’au moins 5 des études concernent des maisons de catégorie 3.
Donner une valeur arrondie à 0,01 près. Quelle interprétation l’entreprise peut-elle
faire de ce résultat ?
BTS AEA 2010
2/2