Jeux à deux joueurs : une introduc1on Quelques éléments

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Arbre de jeu (2 joueurs,
déterministe, chacun son tour)
Minimax
• Décision « parfaite » dans des jeux déterministes
• Idée: choisir un pas vers une position avec la valeur
minimax la plus élevée
= meilleurs rendements atteignables contre le meilleur jeu (en supposant
que l’adversaire essaie de faire la même chose)
• Par ex., jeu à 2 plis

Algorithme Minimax
Propriétés de minimax
• Complète? Oui (si l’arbre est fini)
• Optimal? Oui (contre un joueur optimal qui utilise la même
stratégie)
• Temps? O(bm)
• Espace? O(bm) (exploration en profondeur d’abord)
• Pour les échecs, b ≈ 35, m ≈50 pour un jeu « raisonnable »
à solution exacte infaisable
Limiter la profondeur
• Nombre de plis à développer
– pli (ply) = une couche de jeu, par Max ou par Min
• Changement à faire dans l’algorithme
if TERMINAL-TEST(state) then return UTILITY(state)
If DEPTH-LIMIT(state) then return EVAL(state)
…
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Algorithme α-β – pour ne pas
explorer des nœuds inutiles
• Sur un chemin, on a des limites connues pour
la valeur à trouver [α,β] (initialisées à [-∞,+∞])
• Max a déjà trouvé une solution α, et Min ne
va pas permettre de choisir une solution plus
grande que β sur cette branche
– Pour un nœud Max A, on tente de maximiser.
Si un enfant B génère une valeur > β, alors le
nœud parent (Min) ne va jamais choisir ce nœud A.
à On coupe le reste de la branche.
– Pour un nœud Min, on tente de minimiser. Si un
enfant génère une valeur < α, alors son parent
(Max) ne va jamais choisir le nœud.
à On coupe le reste de la branche
A [α,β] MAX
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78n%
Algorithme α-β
Algorithme α-β

Exemple
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
3312
3 12 8 3 12 8 2
3 12 8 2 14 3 12 8 2 14 5 2
A
B
A
B
A
BCD
A
BCD
A
B
A
BC
[−∞, +∞][−∞, +∞]
[3, +∞][3, +∞]
[3, 3][3, 14]
[−∞, 2]
[−∞, 2] [2, 2]
[3, 3]
[3, 3][3, 3]
[3, 3]
[−∞, 3][−∞, 3]
[−∞, 2][−∞, 14]
Propriété de α-β
• L’élagage n’affecte pas le résultat final
– élaguer seulement les nœuds qui ne sont pas compétitifs
• La quantité de nœuds élagués dépend de l’ordre de
nœuds
• Avec un ordre parfait, complexité en temps = O(bm/2)
à on peut donc doubler la profondeur de recherche
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