PGCD CE QU`IL FAUT SAVOIR

FICHE
DE
REVISION
DU
BREVET N°2 : PGCD
CE QU’IL FAUT SAVOIR :
- Petit vocabulaire :
dividende
reste
diviseur
quotient
- Egalité* bien utile : Dividende = Quotient x Diviseur + Reste
Exemple : « 7 divisé par 3 égal 2 reste 1 » peut s’écrire « 7 = 3x2 +1 !! »
- PGCD ? C’est comme SNCF, chaque lettre veut dire quelque chose !
P plus G grand C commun D diviseur (on devrait dire PGDC !!)
Bon ! « Plus grand » ça va ! « Commun » aussi il reste « diviseur »
-Diviseur : C’est un nombre qui « divise » un autre nombre !!! C'est-à-dire la division de
ces deux nombres tombe juste (elle a pour reste 0)!
Exemple : 2 est un diviseur de 18 car « 18 divisé par 2 tombe juste »
- D’où la définition ça peut toujours servir ! !
Le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand nombre possible qui divise à la fois
les nombres a et b.
Exemple : PGCD (12 ; 18) = 6
En effet, tu cherches les diviseurs de 12 et 18 ; on trouve
pour 12 : 1 ; 2 ; 3 ;4 ;6 ; 12 et pour 18 : 1 ; 2 ;3 ;6 ; 9 ; 18
Tu vois que 6 est bien le plus grand nombre qui divise à la fois 12 et 18 !
A toi !!! : PGCD (20 755 ; 9488) ???
Si comme je l’imagine, tu vas te mettre à chercher les diviseurs de 20 755 et 9488, bon
courage, cela risque de te prendre quelques heures!!
Heureusement, il y a une méthode plus simple utile pour des grands nombres !
Tu dois remercier un grand mathématicien qui ne s’appelle pas « algorithme » comme le
pense certains mais EUCLIDE !!
Sur l’exemple précédent : PGCD (20 755 ; 9488)
1) Tu divises « euclidiennement » (c’est à dire sans aller à la virgule ! !) le plus grand des
deux nombres par le plus petit
20 755 : 9488= 2 reste1779
2) Tu divises ensuite le diviseur par le reste
9488 : 1779 = 5 reste 593
3) Tu continues jusqu’à obtenir un reste égal à 0
1779 :593= 3 reste 0
Le PGCD sera le dernier reste non nul ici 593 et en plus tu peux vérifier
20 755 : 593 = 35 (ça tombe juste ! !)
9488 :593= 16(ça tombe juste !)
En général ça sert à simplifier des fractions : 20 755 /9488 = 35 / 16 et à résoudre des
problèmes concrets (à toi d’en faire sur les annales ! !) ; en tout cas dans ce genre de problème
à chaque fois tu dois calculer le PGCD des deux nombres en présence.
(Il y a une autre méthode dite « par soustractions successives » souvent bien longue que
je ne te conseille pas)
Quelques petits rappels pour disons ceux qui ont encore juste quelques
petites difficultés ou plutôt ceux qui ne souviennent plus de certains
petits trucs :
TRUC 1 : Assez connu !!
Pour diviser « euclidiennement », tu peux utiliser ta calculatrice !!
Tu utilises l’égalité* : Dividende = Quotient x Diviseur + Reste
Exemple :
a) Tape 20 755 : 9488, tu trouves 2,1875 ; tu gardes la partie entière ici 2 !
b) Tu tapes 20755 – 9488x2, tu trouves le reste 1779 !!
TRUC 2 : Pas assez connu!
Au brevet, il y a souvent des problèmes concrets dans la partie numérique du style:
Pierre a gagné 84 sucettes et 147 bonbons à un jeu. Etant très généreux, et ayant surtout très
peur du dentiste, il décide de les partager avec des amis. Pour ne pas faire de jaloux, chacun doit
avoir le même nombre de sucettes et le même nombre de bonbons.
1) Combien de personnes au maximum pourront bénéficier de ces friandises (Pierre étant
inclus dans ces personnes) ? Expliquer votre raisonnement.
2) Combien de sucettes et de bonbons aura alors chaque personne ?
C’est souvent soit un problème de PGCD, soit un problème de résolution de système.
Ici les mots soulignés te font penser à un problème de PGCD : « au maximum, le même nombre »
c’est « le Plus Grand Commun » !!
Donc on cherche le PGCD des deux nombres en présence soit ici PGCD (147,84)= « cherche
au brouillon !!»
Réponse : 21 et chaque personne aura 84/21=4 sucettes et 147/21=7 bonbons
TRUC 3 : Très connu !
Au brevet, on rencontre aussi assez souvent des exercices où on demande de calculer un
PGCD puis on demande de DEDUIRE* la résolution d’un problème concret.
Par exemple
1. Calculer le PGCD des nombres 135 et 210.
2. Dans une salle de bains, on veut recouvrir le mur situé au dessus de la baignoire avec un nombre entier de
carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible.
a. Déterminer la longueur, en cm, du côté d'un carreau, sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de
largeur.
b. Combien faudra-t-il alors de carreaux ?
La réponse au calcul du PGCD (135 ; 210) question 1) sera aussi celle de la question
a) !!
Réponse : 15
*DEDUIRE signifie « utiliser la question précédente pour trouver la question
suivante ! »)
FICHE
N° 3 PUISSANCES
CE QU’IL FAUT SAVOIR (pas mal de choses pour une petite question au brevet !)
1) la définition
2) Les puissances d’exposant négatif
3) Les puissances de 10
Sur des exemples :
4) La notation scientifique d’un nombre
Voici la définition !!
Un nombre est écrit en notation scientifique s’il peut s’écrire sous la forme ax10n où a est un
nombre décimal ayant 1 seul chiffre différent de 0 avant la virgule.( 1 ≤ a < 10 )
Exemples : 24873 = 2,4873x104 et 0,0045 = 4,5x10-3
Explication avec des beaucoup d’exemples
Les nombres suivants sont déjà écrits en notation scientifique :
8
car 8=8x100 = (8x1) donc tous les nombres entiers sauf 0 !
7
6x10
et aussi bien sûr 9x10-78
2,5 car 2,5=2,5x100 = (2,5x1).Donc tous les nombres ayant un chiffre avant la virgule autre
que 0 !
Les nombres suivants ne sont pas écrits en N.S (Notation scientifique) :
0 et 0,45 à cause du zéro !!
12,87 ; 1578,1257 ; 25x105 ; 487,459x10-9 .Donc tous les nombres ayant plus d’un chiffre
avant la virgule (ou ayant le chiffre 0 avant la virgule !)
Problème : Comment mettre un nombre en N.S ?
Il faut savoir multiplier ou diviser par 10 ;100 ;1000…. !
Exemples :
a)45 peut s’écrire 4,5x10 c’est son écriture N.S.
b) 0,45 peut s’écrire 4,5x10-1 :Il faut se rappeler par exemple que multiplier par 10² c’est
multiplier par 100 et que multiplier par 10-2 c’est diviser par 100 !Donc ici il faut diviser 4,5
par 10 pour retrouver 0,45.
c) 123,456x10²² =1,23456x1024 en effet 123,456=1,23456x10² ,il faut ensuite multiplier par
10²² ,ce qui donne 1,23456x10²x10²² =1,23456x10²4 .
Ce n’est pas fini !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
5) Tu dois connaître au moins 3 propriétés :
a) 10n × 10p= 10n+p
Ex : 103 × 10-5=10-2
b)= 10n-p
= 10-1
c) (10n)p=10n × p
(105)3=1015
EXEMPLES « TYPE BREVET »
On rencontre 2 types de calculs avec des puissances de 10 :
a. « que des multiplications et une division» : Une méthode consiste à calculer les
nombres d’abord puis les puissances de 10 ( on peut utiliser la touche EE de
calculatrice)
soit 2,5 × 107en notation scientifique !
En effet : Je calcule les nombres d’abord 2,5 ×1,8 = 4,5 ;3,6x 0,05=0,18 et 4,5/0,18=25
Puis les puissances de 10 :10 -2 × 105 = 103
et 10 3 : 10-3 =10 3-(-3)= 10 6
b. « des multiplications et des additions » :
Il ne faut pas oublier de commencer par calculer les multiplications ! !
Utilise ta calculatrice !
Ex : 1,5 × 10-2 + 25,8 × 105 - 12,7 × 10-3 + 112 × 10-4=
0,015 + 2580000 - 0,0127
+ 0,0112 = 2580000=258 × 104