Nombre premier ou non?

Cui^io^ité^
Nombre premier ou non?
^ycamînons les grandes
in+ecf'ogations ye.\'\&e.s
au (Aombce pcemiet*
et les réponses qu'on
peuf y appof'teK'.
Éric Doddridge
Jean-Yves Drapeau
Université Laval
Débutons cet article par
l'énoncé d'un truc permettant
de vérifier, de façon simple et
rapide, si un nombre est pre-
mier ou non. Il s'agit là, je crois,
d'un «raccourci» que bien peu
de gens connaissent.
Soit un nombre appelé coc».
Il s'agit de déterminer si ce
nombre est premier ou non.
Pour ce faire, extrayons-en
d'abord la racine carrée. Puis,
divisons-le par tous les nom-
bres premiers inférieurs à la
racine carrée: s'il est divisible
par un de ces nombres, c'est
que «XB n'est pas un nombre
premier; dans le cas contraire,
c'en est un.
À la vue de cet énoncé,
deux questions surgissent à
notre esprit: pourquoi divise-t-
on «x» par les nombres pre-
miers, et non pas par les
autres? Et encore: pourquoi
prend-on les nombres premiers
inférieurs à la racine carrée de
«x»?
Pour répondre à la pre-
mière question, on doit tout
d'abord se rappeler que tout
nombre peut être exprimé sous
la forme d'un produit de nom-
bres premiers. Ainsi, en divi-
sant «x» par les nombres pre-
miers, on le divise aussi par les
nombres non premiers.
Quant au second point
d'interrogation, il ne sera plus
qu'un souvenir une fois que
l'on se sera souvenu qu'un
nombre a autant de facteurs
inférieurs que supérieurs à la
racine carrée. En effet, puisqu'à
un facteur inférieur correspond
un facteur supérieur, si un
nombre n'a aucun facteur
inférieur à la racine carrée, c'est
qu'il n'a pas non plus de facteur
supérieur. Donc, ce nombre est
premier.
Illustrons cet énoncé à
l'aide d'un exemple:
Soit x=101. On se demande
si ce nombre est premier ou
non. VIÔT = 10
On le divise donc succes-
sivement par 2, 3, 5 et 7, qui
sont les nombres premiers
inférieurs à 10. Aucun de ces
nombres n'étant un diviseur de
101, on peut en conclure que
«x» est premier. Ainsi, plus le
nombre «x» sera élevé, plus le
nombre de premiers à utiliser
sera grand.
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Problème de «log» ou ...
Poursuivons maintenant
avec un autre problème portant
sur les logarithmes. Il s'agit
d'un problème de type «où est
l'erreur?».
Cette fois-ci, on veut
démontrer que 2 > 3. Com-
mençons donc par poser l'iné-
galité vraie suivante:
W i>i
(2)
(3) log,olSlog,oi'
(À un plus grand nombre
correspond un plus grand
logarithme)
(4) 21og,oi>31og,oi
(Par une propriété des
logarithmes)
(5) 2>3
Ici, l'erreur [(4)-(5)] est que
le signe de l'inégalité n'a pas
été changé lorsque nous
l'avons divisée par logioj
(cette valeur étant négative).
Divisibilité par 7711719?...
Voici maintenant plusieurs
trucs fort simples permettant
de vérifier la divisibilité d'un
nombre par 7, 11 et 19. Je dis
qu'ils sont simples car ils font
appel, non pas à des notions
complexes, mais bien à des
propriétés élémentaires. Je
vous présenterai donc trois
méthodes pour vérifier la divi-
sibilité d'un nombre par 11,
ainsi qu'une méthode pour
vérifier la divisibilité d'un nom-
bre par 7 et une autre, enfin,
pour vérifier la divisibilité d'un
nombre par 19. (Bien entendu,
il en existe d'autres.)
a) Divisibilité par 7
Comment savoir, par exem-
ple, si 284 636 est divisible par
7? Premièrement il suffit d'é-
crire sous ce nombre la suite de
chiffres suivante:
...A, 2,3,1, -2, -3, -1, 2, 3,1.
Cette manipulation nous
donne ceci:
2 8 4 6 3 6
-2-3-1231
Ensuite, nous effectuons le
produit «par colonne» de cette
expression:
2 8 4 6 3 6
-2-3-1 2 3 1
-4-24 -4 12 9 6
Dernière étape: sommons
les résultats obtenus:
(-4) + (-24) + (-4) + 12 + 9 + 6 = -5
Si le résultat obtenu (ici, (-5))
est divisible par 7, c'est que le
nombre initial est divisible par
7. Ainsi, pour notre exemple,
nous venons de trouver que 284
636 n'est pas divisible par 7.
b) Divisibilité par 11
i) Premièrement, il suffit
d'écrire sous ce nombre la suite
de chiffres suivante:
..., -1,1, -1,1, -1.
La démarche est identique
à celle du problème précédent.
ii) Un nombre est divisible
par 11 si la différence entre la
somme de ses chiffres placés
en positions paires et celle de
ses chiffres placés en positions
impaires est divisible par 11.
(N'oubliez pas que «0» est divi-
sible par n'importe quoi.)
Exemples :
1- Soit 53 793 980.
La somme des chiffres
placés en positions paires est:
3 + 9 + 9 + 0 = 21
La somme des chiffres
placés en positions impaires
est: 5 + 7 + 3 + 8 = 23
La différence est: 2. «2»
n'étant pas divisible par 11, cela
implique que 53 793 980 n'est
pas divisible par 11.
2- Soit 7 344 535.
La somme des chiffres
placés en positions paires est:
3 + 4 + 3 = 10
La somme des chiffres
placés en positions impaires
est: 7 + 4 + 5 + 5 = 21
La différence est: 11. «11»
étant divisible par 11, cela
implique que
7 344 535 est aussi divisible
par 11.
iii) Cette dernière méthode
est utile pour les nombres qui
ne sont pas très longs. On
divise le nombre en tranches de
deux chiffres à partir de la
droite et on additionne ces
tranches. Si la somme obtenue
est divisible par 11, le nombre
donné est aussi divisible par 11.
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Exemple :
Soit 528.
Nous pouvons diviser ce
nombre en deux tranches à
savoir 5 et 28. La somme de ces
deux nombres est 33. Puisque
33 est divisible par 11, cela
entraîne que 528 est aussi divi-
sible par 11.
c) DMsibiUté par 19
Le critère est le suivant: un
nombre n'est divisible par 19
que lorsque le nombre de ses
dizaines, ajouté au double du
nombre de ses unités, est un
multiple de 19.
Exemple :
Soit 470 459. Appliquons-lui
le critère. 47045
I 9
470613
47112
±4
4715
+ 1Û
517
+ li
19.
Puisque 19 est divisible par
19, les nombres 57, 475, 4712,
47063 et 470 459 sont des multi-
ples de 19. Ainsi, le nombre 470
459 est divisible par 19.
Ateliers d'échange de matériel lors de la session de juin.
Je veux vous rappeler que des ateliers d'échange de matériel
auront lieu lors de la session de juin 1994.
Donc, continuons à ramasser nos productions et faisons profiter
les autres de nos trouvailles et de nos richesses.
Jean-Luc Huard
Conseiller pédagogique
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