Cui^io^ité^ Nombre premier ou n o n ? ^ycamînons les g r a n d e s in+ecf'ogations ye.\'\&e.s au (Aombce pcemiet* et les r é p o n s e s peuf y qu'on appof'teK'. Débutons cet article par l'énoncé d'un truc permettant de vérifier, de façon simple et rapide, si un nombre est premier ou non. Il s'agit là, je crois, d'un «raccourci» que bien peu de gens connaissent. Soit un nombre appelé coc». Il s'agit de déterminer si ce nombre est premier ou non. Pour ce faire, extrayons-en d'abord la racine carrée. Puis, divisons-le par tous les nombres premiers inférieurs à la racine carrée: s'il est divisible par un de ces nombres, c'est que «XB n'est pas un nombre premier; dans le cas contraire, c'en est un. À la vue de cet énoncé, deux questions surgissent à notre esprit: pourquoi divise-ton «x» par les nombres premiers, et non pas par les autres? Et encore: pourquoi prend-on les nombres premiers inférieurs à la racine carrée de «x»? Éric Doddridge Jean-Yves Drapeau U n i v e r s i t é Laval Pour répondre à la première question, on doit tout d'abord se rappeler que tout nombre peut être exprimé sous la forme d'un produit de nombres premiers. Ainsi, en divi- 51 ENVOL - AVRIL 94 sant «x» par les nombres premiers, on le divise aussi par les nombres non premiers. Quant au second point d'interrogation, il ne sera plus qu'un souvenir une fois que l'on se sera souvenu qu'un nombre a autant de facteurs inférieurs que supérieurs à la racine carrée. En effet, puisqu'à un facteur inférieur correspond un facteur supérieur, si un nombre n'a aucun facteur inférieur à la racine carrée, c'est qu'il n'a pas non plus de facteur supérieur. Donc, ce nombre est premier. Illustrons cet énoncé à l'aide d'un exemple: Soit x=101. On se demande si ce nombre est premier ou non. VIÔT = 10 On le divise donc successivement par 2, 3, 5 et 7, qui sont les nombres premiers inférieurs à 10. Aucun de ces nombres n'étant un diviseur de 101, on peut en conclure que «x» est premier. Ainsi, plus le nombre «x» sera élevé, plus le nombre de premiers à utiliser sera grand. P r o b l è m e d e « l o g » o u ... Poursuivons m a i n t e n a n t avec un autre problème portant sur les logarithmes. Il s'agit d'un problème de type «où est l'erreur?». Cette fois-ci, on veut d é m o n t r e r que 2 > 3. Commençons donc par poser l'inégalité vraie suivante: W i>i (2) ainsi q u ' u n e méthode pour vérifier la divisibilité d'un nombre par 7 et une autre, enfin, pour vérifier la divisibilité d'un nombre par 19. (Bien entendu, il en existe d'autres.) a) Divisibilité par 7 Comment savoir, par exemple, si 284 636 est divisible par 7? Premièrement il suffit d'écrire sous ce nombre la suite de chiffres suivante: ...A, 2,3,1, -2, -3, -1, 2, 3,1. (3) log,olSlog,oi' (À un plus grand nombre correspond un plus grand logarithme) Cette manipulation nous donne ceci: 2 8 4 6 36 - 2 - 3 - 1 2 3 1 (4) 21og,oi>31og,oi (Par une propriété des logarithmes) (5) Ensuite, nous effectuons le produit «par colonne» de cette expression: 2>3 Ici, l'erreur [(4)-(5)] est que le signe de l'inégalité n'a pas été c h a n g é lorsque nous l'avons divisée par logioj (cette valeur étant négative). Voici maintenant plusieurs trucs fort simples permettant de vérifier la divisibilité d'un nombre par 7, 11 et 19. Je dis qu'ils sont simples car ils font appel, non pas à des notions complexes, mais bien à des p r o p r i é t é s élémentaires. Je vous p r é s e n t e r a i donc trois méthodes pour vérifier la divisibilité d ' u n nombre par 11, 52 Si le résultat obtenu (ici, (-5)) est divisible par 7, c'est que le nombre initial est divisible par 7. Ainsi, pour notre exemple, nous venons de trouver que 284 636 n'est pas divisible par 7. b) Divisibilité par 11 i) Premièrement, il suffit d'écrire sous ce nombre la suite de chiffres suivante: ..., - 1 , 1 , - 1 , 1 , - 1 . - AVRIL Exemples : 1- Soit 53 793 980. La somme des chiffres placés en positions paires est: 3 + 9 + 9 + 0 = 21 La somme des chiffres placés en positions impaires est: 5 + 7 + 3 + 8 = 23 La différence est: 2. «2» n'étant pas divisible par 11, cela implique que 53 793 980 n'est pas divisible par 11. La somme des chiffres placés en positions paires est: 3 + 4 + 3 = 10 Dernière étape: sommons les résultats obtenus: ENVOL ii) Un nombre est divisible par 11 si la différence entre la somme de ses chiffres placés en positions paires et celle de ses chiffres placés en positions impaires est divisible par 11. (N'oubliez pas que «0» est divisible par n'importe quoi.) 2- Soit 7 344 535. 2 8 4 6 3 6 -2-3-1 2 3 1 -4-24 -4 12 9 6 (-4) + (-24) + (-4) + 12 + 9 + 6 = -5 Divisibilité p a r 7711719?... La démarche est identique à celle du problème précédent. 94 La somme des chiffres placés en positions impaires est: 7 + 4 + 5 + 5 = 21 La différence est: 11. «11» étant divisible par 11, cela implique que 7 344 535 est aussi divisible par 11. iii) Cette dernière méthode est utile pour les nombres qui ne sont pas très longs. On divise le nombre en tranches de deux chiffres à partir de la droite et on additionne ces tranches. Si la somme obtenue est divisible par 11, le nombre donné est aussi divisible par 11. Exemple : Soit 528. Nous pouvons diviser ce nombre en deux tranches à savoir 5 et 28. La somme de ces deux nombres est 33. Puisque 33 est divisible par 11, cela entraîne que 528 est aussi divisible par 11. c) DMsibiUté par 19 Le critère est le suivant: un nombre n'est divisible par 19 que lorsque le nombre de ses dizaines, ajouté au double du nombre de ses unités, est un multiple de 19. Exemple : Soit 470 459. Appliquons-lui le critère. 47045 I 9 470613 47112 ±4 4715 + 1Û 517 + li 19. Puisque 19 est divisible par 19, les nombres 57, 475, 4712, 47063 et 470 459 sont des multiples de 19. Ainsi, le nombre 470 459 est divisible par 19. Ateliers d'échange de matériel lors de la session de juin. Je veux vous rappeler que des ateliers d'échange de matériel auront lieu lors de la session de juin 1994. Donc, continuons à ramasser nos productions et faisons profiter les autres de nos trouvailles et de nos richesses. Jean-Luc Huard Conseiller pédagogique 53 E N V O L - AVRIL 94