Introduction algébrique `a la géométrie projective

Introduction alg´ebrique `a la g´eom´etrie projective
Christian Peskine
Analyse complexe et g´eom´etrie
Universit´e Paris 6.
November 6, 2007

Contents
1 Anneaux, homomorphismes, id´eaux. 7
1.1 Id´eaux.Anneauxquotients................................. 8
1.2 Op´erationssurlesid´eaux. ................................. 10
1.3 Id´eaux premiers, id´eaux maximaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Nilradical et Radical de Jacobson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Id´eauxcomaximaux. .................................... 14
1.6 Anneauxfactoriels. ..................................... 15
2 Modules sur un anneau. 17
2.1 Homomorphismes. Sous-modules. Modules quotients. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Produits et sommes directes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Op´erations sur les sous-modules d’un module. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Moduleslibres. ....................................... 21
2.5 Modulesd’homomorphismes................................. 21
2.6 Modulesdetypefini..................................... 22
3 Anneaux et modules noeth´eriens. 25
3.1 Anneauxnoeth´eriens..................................... 25
3.2 Anneaux noeth´eriens factoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 D´ecomposition primaire dans les anneaux noeth´eriens. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Radical d’un id´eal dans un anneau noeth´erien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 Retour sur la d´ecomposition primaire dans les anneaux noeth´eriens. . . . . . . . . . . 28
3.6 Id´eaux premiers minimaux dans un anneau noeth´erien. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7 Modulesnoeth´eriens..................................... 30
4 Anneaux et modules artiniens. 31
4.1 Anneauxartiniens. ..................................... 31
4.2 Modulesartiniens. ..................................... 34
5 Modules de type fini sur un anneau noeth´erien. 35
5.1 Id´eaux premiers associ´es `a un module de type fini sur un anneau noeth´erien. . . . . . 36
5.2 Modules de longueur finie sur un anneau noeth´erien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.3 Modules de type fini sur un anneau principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1

2CONTENTS
6 Br`eve introduction `a l’alg`ebre homologique. 43
6.1 Suitesexactes......................................... 43
6.2 Appendice : Produits tensoriels et modules d’homomorphismes. . . . . . . . . . . . . 46
6.3 Appendice : Module dualisant sur un anneau artinien. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7 Anneaux et modules de fractions. 53
7.1 Anneauxdefractions..................................... 53
7.2 Modulesdefractions..................................... 55
7.3 Supportd’unmodule. ................................... 56
7.4 Localisationetid´eaux. ................................... 59
7.5 Localisation et anneaux factoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.6 Localisation et d´ecomposition primaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.7 Retour sur les id´eaux premiers minimaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.8 Localisation et id´eaux premiers associ´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8 Extensions enti`eres d’anneaux. 65
8.1 El´ements alg´ebriques, ´el´ements transcendants, ´el´ements entiers. . . . . . . . . . . . . 65
8.2 Extensions finies, extensions enti`eres, extensions alg´ebriques d’anneaux. . . . . . . . . 67
8.3 Les Th´eor`emes de rel`evement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9 Lemme de normalisation. Th´eor`emes des z´eros. 73
9.1 Degr´edetranscendance. .................................. 73
9.2 LeLemmedenormalisation................................. 74
9.3 LesTh´eor`emesdesz´eros................................... 75
9.4 AnneauxdeJacobson. ................................... 77
9.5 Chaˆınes d’id´eaux premiers d’une alg`ebre de type fini sur un corps. . . . . . . . . . . . 78
9.6 Appendice : Le ”main theorem” de Zariski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10 Anneaux noeth´eriens int´egralement clos. 83
10.1 Anneaux noeth´eriens r´eduits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.2 Anneaux noeth´eriens int´egralement clos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
10.3 Valuations discr`etes. Anneaux de Dedekind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
10.4 Groupe des diviseurs et groupe des classes de diviseurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
11 Extensions alg´ebriques de corps. 91
11.1Extensionsfinies. ...................................... 91
11.2Extensionsnormales..................................... 94
11.3Traceetnorme........................................ 96
11.4 Appendice : Racines de l’unit´e et groupes de galois cycliques. . . . . . . . . . . . . . 98
12 Extensions enti`eres d’anneaux noeth´eriens. 101
12.1 Extensions enti`eres d’un anneau int`egre noeth´erien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
12.2 Appendice : Groupe de galois et id´eaux premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

CONTENTS 3
13 Anneaux et modules gradu´es. 105
13.1 Anneaux noeth´eriens gradu´es. Anneaux projetants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
13.2Modulesgradu´es. ......................................108
13.3Fractionshomog`enes.....................................110
13.4 Le Th´eor`eme des syzygies gradu´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
14 Polynˆomes de Hilbert. 115
14.1LeComplexedeKoszul. ..................................115
14.2PolynˆomesdeHilbert. ...................................117
14.3 Propri´et´es du polynˆome de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
14.4 Degr´e du Polynˆome de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
14.5Exemplesetexercices. ...................................122
15 Dimension 123
15.1 Dimension et polynˆome de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
15.2Syst`emedeparam`etres....................................127
15.3 Multiplicit´e d’un module pour un id´eal de d´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
15.4 Dimension des anneaux g´eom`etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
15.5 Premier Th´eor`eme d’intersection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
15.6Retouraucasgradu´e. ...................................134
15.7ExemplesetExercices. ...................................135
16 Profondeur 137
16.1Suitesr´eguli`eres. ......................................137
16.2 Conditions Si.........................................142
16.3LeLemmed’acyclicit´e....................................145
16.4 Suites r´eguli`eres et Complexe de Koszul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
16.5Retouraucasgradu´e. ...................................147
17 Dimension projective 149
17.1Modulesprojectifs. .....................................149
17.2Dimensionprojective.....................................151
17.3 Dimension projective finie et profondeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
18 Anneaux locaux r´eguliers 157
18.1R´egularit´e...........................................157
18.2 Le Th´eor`eme des Syzygies local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
18.3 Conditions Ri. .......................................159
18.4 Factorialit´e des anneaux r´eguliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
18.5 R´egularit´e des anneaux g´eom`etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
18.6Exemple...........................................163
19 Complexes. Suites spectrales d’un complexe double. 165
19.1Complexes. .........................................165
19.2 Suites spectrales d’un double complexe positif (ou n´egatif). . . . . . . . . . . . . . . . 166

4CONTENTS
20 Foncteurs Tors. Th´eor`eme de Bezout. 175
20.1LesfoncteursTors. .....................................175
20.2 Modules de Cohen-Macaulay sur un anneau r´egulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
20.3LeTh´eor`emedeBezout ..................................179
21 Foncteurs Exts. 183
21.1Modulesinjectifs.......................................183
21.2FoncteursExts. .......................................184
21.3 Foncteurs Exts et profondeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
21.4 Foncteurs Exts et conditions Sr...............................189
21.5 La suite spectrale des Exts pour la restriction des scalaires. . . . . . . . . . . . . . . 190
22 Dualit´es. 193
22.1 Dualit´e sur un anneau local r´egulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
22.2 Modules dualisants sur un anneau de Cohen-Macaulay. . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
22.3 Dualit´e sur un anneau de Cohen-Macaulay. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
22.4Retouraucasgradu´e. ...................................205
23 Sch´emas affines 207
23.1 L’espace affine An. .....................................207
23.2Sch´emasaffines........................................208
23.3 Dimension d’un sch´ema affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
23.4 Composantes irr´eductibles d’un sch´ema affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
23.5 Lieu singulier d’un sch´ema affine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
23.6 Morphismes de sch´emas affines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
23.7Immersions. .........................................213
23.8 Description locale d’un morphisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
23.9Produitdesch´emasaffines..................................214
23.10Dimensions des fibres d’un morphisme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
23.11Morphismesfinis ......................................216
24 Sch´emas projectifs 219
24.1 L’espace projectif Pn.....................................219
24.2Sch´emasprojectifs. .....................................221
24.3Dimensiondessch´emas. ..................................223
24.4 Composantes irr´eductibles d’un sch´ema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
24.5 Lieu singuler d’un sch´ema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
24.6 Exemples de sch´emas projectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
24.7 Anneaux de fonctions des sch´emas projectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
24.8Morphismesdesch´emas. ..................................229
24.9 Exemples de morphismes de sch´emas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
24.10Produits de sch´emas projectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
24.11Image d’une vari´et´e projective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236