L A P R O G R A M M AT I O N L I N E A I R E Documents protégés par la législation sur les droits d’auteur. Que ce soit pour les tournées ou encore des choix de publicités ou de promotions le commercial devra faire face à des choix en prenant en considération des contraintes. La solution pour laquelle il optera devra lui permettre d’optimiser son chiffre d’affaires, sa marge, le résultat de son entreprise ou minimiser les coûts, le temps, …. 1] Définition La programmation linéaire permet de déterminer, en fonction de contraintes imposées, les valeurs à attribuer à certaines variables pour obtenir un gain maximum au moindre coût. 2] Exemple 1/ Enoncé du problème Vous avez la responsabilité d’un rayon pour un magasin situé en centre ville de Fort de France. Vous proposez un assortiment étroit de produits non alimentaires. La surface de vente de ce magasin est de 250 m². à la veille de recevoir votre assortiment, vous interrogez sur le linéaire développé ( nombre de mètres de présentation en rayon pour les produits) à attribuer à deux familles de produits particuliers : les disques (X) et la carterie (Y). Pour l’ensemble de ces produits, le linaire développé disponible est de 70 mètres. Suite à une étude sur la rentabilité passées de ces produits, vous avez obtenue les indicateurs suivants : Marge/Mètre Coût de promotion Coût de tenue des par mètre linéaire rayons par mètre Linéaire linéaire développé développé développé X : Disques 250 F 40 F 30 F Y : Carterie 180 F 25 F 12 F Le budget mensuel mis à votre disposition pour les opérations de promotion en rayon (publicité) s’élève à 2 000 francs. Par ailleurs vous ne consacrerez pas plus de 1 200 francs par mois aux frais d’entretien des meubles de présentation (tenue des rayons). Le problème se pose donc pour vous de trouver les linéaires développés à accorder à chacun des produits afin de maximiser vos marges au moindre coût. P.LUCAS B.T.S. Tertiaire Outils de Gestion Commerciale Page 1 sur 5 L A P R O G R A M M AT I O N L I N E A I R E 2/ Documents protégés par la législation sur les droits d’auteur. Modélisation des contraintes Il s’agit à ce niveau de bien identifier les contraintes (budget, coût, ….) en fonction des deux inconnues, à savoir X {Disques} et Y {Carterie}. ¾ CONTRAINTES LIÉES AU NOMBRES DE PRODUITS ª X ≥ 0, (le nombre de mètre linéaire accordé aux disques ne peut être inférieur à 0) ª Y ≥ 0, (le nombre de mètre linéaire accordé à la carterie ne peut être inférieur à 0) ¾ CONTRAINTES LIÉES AU BUDGET PUBLICITÉ Ces contraintes tiennent compte du coût attribué pour chaque mètre linéaire accordé aux différents produits et à la contrainte maximale du budget publicitaire. ª 40 X ≤ 2 000 (dans l’hypothèse ou seuls les disques figurent en rayonnage) ª 25 Y ≤ 2 000 (dans l’hypothèse ou seul la carterie figure en rayonnage) ª 40 X + 25 Y ≤ 2 000 (hypothèse la plus probable avec carterie et disques en rayonnage) ¾ CONTRAINTES LIÉES AUX FRAIS D’ENTRETIEN DES RAYONS ª 30 X ≤ 1 200, (dans l’hypothèse ou seuls les disques figurent en rayonnage) ª 12 Y ≤ 1 200, (dans l’hypothèse ou seul la carterie figure en rayonnage) ª 30 X + 12 Y ≤ 1 200, (hypothèse la plus probable avec carterie et disques en rayonnage) ¾ CONTRAINTES LIÉES AU LINÉAIRE DISPONIBLE ª X ≤ 70, (dans l’hypothèse ou seuls les disques figurent en rayonnage) ª Y ≤ 70, (dans l’hypothèse ou seul la carterie figure en rayonnage) ª X + Y ≤ 70, (hypothèse la plus probable avec carterie et disques en rayonnage) ¾ CONTRAINTE LIÉE À L’OBJECTIF ÉCONOMIQUE (MAXIMISATION DE LA MARGE) ª Marge maximum pour les disques, Mx = 250 X ª Marge maximum pour la carterie, My = 180 Y ª Marge maximum, MAXIMUM = Mx + My = 250 X + 180 Y P.LUCAS B.T.S. Tertiaire Outils de Gestion Commerciale Page 2 sur 5 L A P R O G R A M M AT I O N L I N E A I R E 3/ Documents protégés par la législation sur les droits d’auteur. Résolution graphique à partir des contraintes Chacune des contraintes précédemment définies en inéquation, peut être exprimée en équation permettant une résolution graphique. Cette résolution graphique permettra de trouver l’optimum de X & Y maximisant la marge du rayon. Pour y parvenir on procède par étapes en reprenant chacune des contraintes et en les transformant en équations qui seront ensuite reportées dans un repère orthonormé. Nous représenterons sur les graphiques, les zones non acceptables par 3/A) Contraintes liées au nombre de produits Y Y Y≥ 0 X≥ 0 X X 3/B) Contraintes liées au budget publicitaire La contrainte trouvée précédemment est transformée en équation, ce qui sous entend que le budget publicitaire est utilisé dans son intégralité, d’où : Contrainte initiale : 40 X + 25 Y ≤ 2 000 devient 40 X + 25 Y = 2 000 A partir de cette équation on détermine les points X et Y en donnant successivement les valeurs 0 à Y et à X. Ainsi nous obtenons deux points pour tracer la droite budget : Le point X= 50 et Y = 0 et le point X= 0 et Y = 80, permettent de tracer la droite D1. Y 80 50 X D1 P.LUCAS B.T.S. Tertiaire Outils de Gestion Commerciale Page 3 sur 5 L A P R O G R A M M AT I O N L I N E A I R E Documents protégés par la législation sur les droits d’auteur. En procédant de la même façon nous obtenons les graphes suivants pour les autres contraintes : Contraintes entretien linéaires. Contrainte linéaire disponible : Y Y 100 70 40 70 X X Une fois chaque contrainte identifiée et transformé en équation pour obtenir des droites sur le repère orthonormé, il suffit de tracer sur un repère orthonormé toutes les droites et de faire Y 100 80 70 A 53 B C 45 O P.LUCAS 17 22 40 D 50 70 B.T.S. Tertiaire Outils de Gestion Commerciale X Page 4 sur 5 L A P R O G R A M M AT I O N L I N E A I R E 4/ Documents protégés par la législation sur les droits d’auteur. Maximisation de la marge La maximisation de la marge s’obtient ici en prenant chacun des 5 points O, A, B, C, D. Pour chacun des points nous allons obtenir : Points du graphique O A B C D Mètre linéaire de disques X 0 0 17 22 40 Mètre linéaire de carterie Y 0 70 53 45 0 Marge maximum 0 12 600 13 790 13 600 10 000 Ainsi, nous obtenons par le graphique un profit maximum au point B (17 ; 53). Vous décidez d’attribuer 17 mètres de linéaire développé pour les disques et 53 mètres pour la carterie. La droite de profit maximum peut également être tracée, à partir de la contrainte précédemment identifiée, de la façon suivante. Maximum = 250 X + 180 Y D’où : Y = - 250 X / 180 AINSI : pour une valeur de X = 0, nous obtenons Y = - 180 Pour une valeur de X = 10, nous obtenons Y = - 13,9 Avec ces deux points obtenus nous pouvons tracer la droite de profit maximum qui passe par les point de coordonnées (0, - 180) et (10, - 13,9). Ensuite il s’agit de trouver la droite parallèle à cette droite qui coupe les droites de contraintes précédente dans la zone d’acceptabilité. P.LUCAS B.T.S. Tertiaire Outils de Gestion Commerciale Page 5 sur 5