la programmation lineaire

LA PROGRAMMATION LINEAIRE
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Que ce soit pour les tournées ou encore des choix de publicités ou de promotions le
commercial devra faire face à des choix en prenant en considération des contraintes.
La solution pour laquelle il optera devra lui permettre d’optimiser son chiffre
d’affaires, sa marge, le résultat de son entreprise ou minimiser les coûts, le temps, ….
1 ] Définition
La programmation linéaire permet de déterminer, en fonction de contraintes imposées, les valeurs à
attribuer à certaines variables pour obtenir un gain maximum au moindre coût.
2 ] Exemple
1 / Enoncé du problème
Vous avez la responsabilité d’un rayon pour un magasin situé en centre ville de Fort de France. Vous
proposez un assortiment étroit de produits non alimentaires. La surface de vente de ce magasin est de 250
m². à la veille de recevoir votre assortiment, vous interrogez sur le linéaire développé ( nombre de mètres de
présentation en rayon pour les produits) à attribuer à deux familles de produits particuliers : les disques (X)
et la carterie (Y).
Pour l’ensemble de ces produits, le linaire développé disponible est de 70 mètres.
Suite à une étude sur la rentabilité passées de ces produits, vous avez obtenue les indicateurs suivants :
Marge/Mètre
Linéaire
développé
Coût de promotion
par mètre linéaire
développé
Coût de tenue des
rayons par mètre
linéaire développé
X : Disques 250 F 40 F 30 F
Y : Carterie 180 F 25 F 12 F
Le budget mensuel mis à votre disposition pour les opérations de promotion en rayon (publicité) s’élève
à 2 000 francs. Par ailleurs vous ne consacrerez pas plus de 1 200 francs par mois aux frais d’entretien des
meubles de présentation (tenue des rayons).
Le problème se pose donc pour vous de trouver les linéaires développés à accorder à chacun des produits
afin de maximiser vos marges au moindre coût.
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2 / Modélisation des contraintes
Il s’agit à ce niveau de bien identifier les contraintes (budget, coût, ….) en fonction des deux inconnues,
à savoir X {Disques} et Y {Carterie}.
¾ CONTRAINTES LIÉES AU NOMBRES DE PRODUITS
ª X ≥ 0, (le nombre de mètre linéaire accordé aux disques ne peut être inférieur à 0)
ª Y ≥ 0, (le nombre de mètre linéaire accordé à la carterie ne peut être inférieur à 0)
¾ CONTRAINTES LIÉES AU BUDGET PUBLICITÉ
Ces contraintes tiennent compte du coût attribué pour chaque mètre linéaire accordé aux différents
produits et à la contrainte maximale du budget publicitaire.
ª 40 X ≤ 2 000 (dans l’hypothèse ou seuls les disques figurent en rayonnage)
ª 25 Y ≤ 2 000 (dans l’hypothèse ou seul la carterie figure en rayonnage)
ª 40 X + 25 Y ≤ 2 000 (hypothèse la plus probable avec carterie et disques en rayonnage)
¾ CONTRAINTES LIÉES AUX FRAIS D’ENTRETIEN DES RAYONS
ª 30 X ≤ 1 200, (dans l’hypothèse ou seuls les disques figurent en rayonnage)
ª 12 Y ≤ 1 200, (dans l’hypothèse ou seul la carterie figure en rayonnage)
ª 30 X + 12 Y ≤ 1 200, (hypothèse la plus probable avec carterie et disques en rayonnage)
¾ CONTRAINTES LIÉES AU LINÉAIRE DISPONIBLE
ª X ≤ 70, (dans l’hypothèse ou seuls les disques figurent en rayonnage)
ª Y ≤ 70, (dans l’hypothèse ou seul la carterie figure en rayonnage)
ª X + Y ≤ 70, (hypothèse la plus probable avec carterie et disques en rayonnage)
¾ CONTRAINTE LIÉE À L’OBJECTIF ÉCONOMIQUE (MAXIMISATION DE LA MARGE)
ª Marge maximum pour les disques, Mx = 250 X
ª Marge maximum pour la carterie, My = 180 Y
ª Marge maximum, MAXIMUM = Mx + My = 250 X + 180 Y
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3 / Résolution graphique à partir des contraintes
Chacune des contraintes précédemment définies en inéquation, peut être exprimée en équation
permettant une résolution graphique. Cette résolution graphique permettra de trouver l’optimum de X & Y
maximisant la marge du rayon.
Pour y parvenir on procède par étapes en reprenant chacune des contraintes et en les transformant en
équations qui seront ensuite reportées dans un repère orthonormé.
Nous représenterons sur les graphiques, les zones non acceptables par
Y
Y
X
Y≥ 0
X≥ 0
X
3 / A ) Contraintes liées au nombre de produits
3 / B ) Contraintes liées au budget publicitaire
La contrainte trouvée précédemment est transformée en équation, ce qui sous entend que le budget
publicitaire est utilisé dans son intégralité, d’où :
Contrainte initiale : 40 X + 25 Y ≤ 2 000 devient 40 X + 25 Y = 2 000
A partir de cette équation on détermine les points X et Y en donnant successivement les valeurs 0 à Y et
à X. Ainsi nous obtenons deux points pour tracer la droite budget :
Le point X= 50 et Y = 0 et le point X= 0 et Y = 80, permettent de tracer la droite D1.
80
50 X
Y
D1

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En procédant de la même façon nous obtenons les
graphes suivants pour les autres contraintes :
Contraintes entretien linéaires.
Contrainte linéaire disponible :
Une fois chaque contrainte identifiée et transformé en équation pour obtenir des droites sur le repère
orthonormé, il suffit de tracer sur un repère orthonormé toutes les droites et de faire
Y
100
40 X
70
70 X
Y
40 50 70
100
80
70
Y
X
O
A
B
C
D
17
53
45
22

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4 / Maximisation de la marge
La maximisation de la marge s’obtient ici en prenant chacun des 5 points O, A, B, C, D. Pour chacun des
points nous allons obtenir :
Points du graphique
O A B C D
Mètre linéaire
de disques X 0 0 17 22 40
Mètre linéaire
de carterie Y 0 70 53 45 0
Marge maximum 0 12 600 13 790 13 600 10 000
Ainsi, nous obtenons par le graphique un profit maximum au point B (17 ; 53).
Vous décidez d’attribuer 17 mètres de linéaire développé pour les disques et 53 mètres pour la carterie.
La droite de profit maximum peut également être tracée, à partir de la contrainte précédemment
identifiée, de la façon suivante.
Maximum = 250 X + 180 Y
D’où :
Y = - 250 X / 180
AINSI : pour une valeur de X = 0, nous obtenons Y = - 180
Pour une valeur de X = 10, nous obtenons Y = - 13,9
Avec ces deux points obtenus nous pouvons tracer la droite de profit maximum qui passe
par les point de coordonnées (0, - 180) et (10, - 13,9).
Ensuite il s’agit de trouver la droite parallèle à cette droite qui coupe les droites de
contraintes précédente dans la zone d’acceptabilité.
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