1ere thèse : sur deux problèmes d`algèbre commutative, 2eme thèse

ORS A y
Série A
N° d'ordre: 1178
THESES
présentées
la
à
FACULTE
DES
SCIENCES
D'ORSAY
pour obtenir
le grade de Docteur ès-Sciences Mathématiques
par
SEYDr
Hamet
1ère Thèse
SUR DEUX PROBLEMES D'ALGEBRE COMMUTATIVE
2éme Thèse ; PROPOSITIONS DONNEES PAR LA FACULTE
Soutenues le 15 Octobre 1973 , devant la Commission d'examen
MM.
CARTAN
SAMUEL
VERDIER
Président
)
)
Examinateurs
DOUADY
ST
"-'1Ç;~'3
\.'
'
SUR
P,ROBL·.EHES
DE U X
-~-------------------------------
D t'A, L G" E B R E C O , 11 MUT A T IVE
--------------- ------------------------
- 1 -
I N T R 0 DUC T l
0 H
========================
Nous présentons ici les résultats
obtenus depuis 1968 sur les anneaux
qUG ~ous
avons
japonaLs~ ~~iversel1e­
uAnt japonais. excellents et les anneaux de WEIERSTRASS ,
et sur 10
problème des chaines d1idéaux premiers dans les
anneaux noethériens.
Nous avons classé ces résultats en deux parties:
La première partie que nous avons intitulée" SUR LA THEORIE
DES ANNEAUX JAPONAIS ET LES QUESTIOnS QUIS ty
i.~TTACHENT"
contient les, résul ta ts sur les anneaux. japonais, universel-
lement japonais et excellents, et les anneaux de WEIERSTRASS.
La deuxième partie contient les résultats sur les problèmes
des chatnes d1idéaux premiers dans les anneaux
Tous ces résultats sont
donr~és
sans démonstrations,
pour la seule raison que celles-ci ont été
articles
par~s/ou
La
~oethériensa
p~bl~ées
dans nos
en cours de parution.
p~upart
de ces résultats sont des généralisa-
tions de résultats dûs aux grands maîtres de ces vingt-cinq
dernières a:L:..;.:.,ée5 ... principalemel1.t CI-IEVALLEY, GROTZEIIDIEC::,
MORI, NAGllTA .. SAHUEL et ZARISKI_ou des réponses à certaines
questions qui ils Ont laissées en suspens.
Nous tenonA ici à remercier les Professeurs AL:xan,der
GROTHENDI3CK et Pierre SAMUEL qui ont dirigé nos travaux, le
Professeur Henri CARTAN qui nous a fait
l'hor~eur
de présider
ce jury et qui nous a proposé le second sujet de Thèse et
les Professeurs Adrien DOUADY et Jean-Luc VERDIER pour avoir
accepté de faire partie du Jury.
Nos remerciements vont également à touces les secréraires de
l~
Faculté des Sciences de DAKAR qui ont assuré la
dactylographie du manuscrit.
-2SUR LA. THEORIE DES ANNEAUX JAPONAIS
A
ET LES QUESTIONS QUI S 'Y
RATTACHENT
Cette première p<:'.J.'tie a trait au problème de la clas-
sification des anneaux locaux noethériens à partir des propriétés
de
'~urs f~bres
formelles. Toutes ces propriétés ont été mises
en évidence par les travaux de géomètres japonais sur la finitude de la feroeture intégrale. principalement LORI et NAGATA,
et dégagées par GROTHENDIECK. Ces propriétés étaient en germes
également dans les travaux. de CHEVALLEY et Z{\RISKI sur les
COt:l-
pIétés des anneaux locaux de la géomètrie algébrique et dans
les travaux de SAMUEL sur des "anneaux à noyaux l1
cett~
résultats les plus décisifs dans
t~·
•
Cependant les
rie sont ceux de
NAGATA sur les anneaux japonais a universellement japonais, les
anneaux de WEIERSTRASS et les critères jacobiens)et de GROTHt
DIECK sur les anneaux excellents.
Nos principales interventions dans ,cette théorie consistent essentiellement en des généralisations de
c~rt8ia8
résultats de ces auteurs et en l'établissement de
certa~es
conjectures mises en
év~dence
par les travaux.
Chari tre I. FINITUDE DE LA. FERl-ŒTURE INTEGRALE
Théorème I :
Soit
A
un anneau
se~i_local
noethé-
rien. Alors, les conditions suivantes sont équivalentes
t
i) Pour tout anneau quotient intègre B de A. la clOture intégrale
B
de B
est un B-module de type fini.
ii) Pour tout anneau quotient intègre B de A , le séparé
•
complété B de B est:'. rédui t •
-
4 -
conclusion du théorème 3 , hypothèse qui est plus forte que la
conjonction de nos hypothèses i) et ii)
Le raisonnement qui nous sert à prouver ce théorème
permet de simplifier la démonstration de ZARISKI du théorème
suivant
~
Théorème 4 (ZARISKI)
Soient A un anneaU semi-local
noethérien intègre dont le séparé complété A est normal et B
une A-algèbre finie intègre contenant A et dont le corps des
fractions est une extension séparable de celui de A . On suppose que , pour tout idéal premier p de hauteur 1 de B ,
le
sé~
paré complété B de B est normal .
Le même raisonnement permet de simplifier et de générali-
ser sous la forme suivante , le théorème de "pureté'· de
ZARISKI-NAGATA .
Théorème 5
.~
: X
~
Soient S un schéma localement noethéried )
8 un morphiRme fini et x un point de X . On suppose
1
vérifiées les conditions suivantes
i) 0
-S,.~
,
(x)
est un anneau local régulier
ii) x est un point unibranche de X où X vérifie (8 )
1
iii) dim(OX
)
- ,x ~ dim(OS
l
',"
't'
lorsque X et 8 sont intègres et
iv)
'l'
(condition qui est satisfaite
X
~r
dominante ).
est non ramifié en toute générisation
telle que dim(OX
-
Alors
()
~
1X
1) <:
'-
Xl
de x dans X
1
est étale au point x ) donc aussi dans un voisi-
nage de x dans X .
-5-
Corollaire :
Soient A un anneau local régul'er henseli&n et B
une A-algèbre intègre finie contenant A . On suppose que le morphisme canonique
point
~:Spec(B)--->Spec(A)
x de Spec(B) de codimension
~l
est non ramifié en
dans SpeeCH)
tout
. Alors,
B est
une A-algèbre étale.
Théorème 6 :
Soient A un anneau noéthérien et x un êlé-
ment appartenant au radical de JACOBSON de A. On suppose vérifiée
Ilune des conditions suivantes
i) Pour tout idéal maximal
ID
de A o l'anneau local B
~
A
m
est intègre et sa clôture intégrale B est un B-module de type fini
et, pour tout idéal premier minimal pl de
xB.
pl ()
~ est un idéal
premier de hauteur 1 (lorsque A est universellement caténaire,
cette dernière condition est équivalente à ht(xB) = 1 et, puisque
B est intègre, cela signifie que l'image de x dans B est différente
de
ol.
ii) Pour tout idéal maximal m de A. llanneau local
B
~ Am est intègre et B(l) (notation de
I0
5.10.17) est un
B-module de type fini.
iii) A est caténaire et vérifié (SI) et, pour tout idéal
maximal m de A, l'anneau local B = A est équidimensionnel et,
m
pour tout idéal premier minimal q de B = A
posant B = B/q,
m'
0
l'anneau
B~l)
est un Ba-module de type fini.
On suppose de plus, vérifiées les deux conditions
suivantes
... / ...
,
-6a) xA n'a qu'un seul idéal premier minimal
p~
xAp = pAp et dim(Ap) = 1.
b) Alp est intégralement clos.
Alors A est intègre et intégralement clos, n :
et dim(A/xA)
=
xA
dim(A) - 1.
La démonstration du théorème 6 s'appuie sur le
lemme
suivant dû à l'auteur et à D. FERRAND.
Lemme
Soient A un anneau noéthérien et x un élément de ,A tel
que p = xA soit un idéal premier non minimal. Alors les condi-
tions suivantes sont équivalentes
A est intègre
i)
ii) A est séparé pour la topologie p-adique.
Corollaire
Soit A un anneau noethérien.
S'il existe un idéal
premier de A non minimal qui est monogène et contenu dans le
radical de JACOBSON de A 1 alors A est intègre.
Remarque
Le
théorème 6 avec des hypothèses plus fortes est con-
nu dans la littérature sous le nom de "lemme de HIRONAKA II
En fait
•
HIRONAKA l'a prouvé pour une A-algèbre intègre locale essentiellement de type fini sur un corps, dans son article
"A note on algebraic geometry over ground rings- the invariance
of Hilbert characteristic function under the specialization
processl'. Illinois Journal of
~ath.
2(1958) p. 355-356
NAGATA l'a établi sous l'hypothèse (i) en supposant de plus.
A intègre (cf. goJ36.9 p.134) et GROTHENDIECK (@;J'5.12.8)
sous
l'hypothèse (iii) en supposant de plus. A local et réduit .
• . • 1 •••
-
7 -
COROLLAIRE : Soient A un anneaU noethérien et x un élément de A,
tel que p
= xA soit un idéal premier non minimal de A contenu
dans le radical de JACOBSON de A et que Ajp soit intégralement
clos. Alors, A est intègre et intégralement clos.
COROLLAIRE : Soient A un anneau noethérien caténaire et
él~nts
des
que h t(
appartenant au radical de JACOBSON de A. On suppose
>"'"
xiA)
=
n et que a =
l$i~n
>:
xiA n'a qu'un seul idéal
1~Hn
premier minimal p, pAp = a Ap et h t( p) = n
On suppose,de plus ,satisfaites les conditions suivantes:
i) A satisfait à l'une des conditions
~).(ii),et
théorème 6 et tout anneau quotien t in tègre B
=
(iii) du
Aj q avec q C. p
satisfait à l'une des conditions (i),(ii) et (iii) du théorème 6
ii) Ajp est intégralement clos.
Alors A est intègre et intégralement clos et p
Bn outre, pour tout entier i
A.
1
= Aj
,(l~U"n)
= ~XiA '
1~i$ n
l'anneau quotient
:?i
ajA est intègre et intégralement clos et
n
dim(A) - i
l~iE
dim( Ai)
=
COROLLAIRE
A un anneau noethérien et xi"",x n des
:S~ient
éléments appartenant au radical de JACOBSeN de A. On suppose
vérifiées les conditions suivantes
i) Pour tout point fermé s
o
-S,s
de S
est équidimensionnel •
ii)
ht(
..........
L
140
i~
aiA)::: a , a
n
seul idéal premier minimal p
,pAp
=
= Spec(A) l'anneau local
>
aiA si a n'a qu'un
= aAp et Ajp est intégralement
clos •
iii) A vérifie (S1)
... / ...
-pOn suppose de plus que l'une des conditions suivantes
est satisfaite
a) A est quotient cl 'un anneau de COHEN-?"ACAULEY
h) A est universellement caténaire et, pour tout anneau
quotient intègre, B '" A/q de A, avec q
CP
et tout idéal t'l.aximal
la clôture intégrale de l'anneau local B
m
est un B -modu-
m
le de type fini.
Alors A est intègre et intégralement clos et
En outre, pour tout entier
A.
1
=
AI
""2
l ~J~n
'
dim(A) -
i(l~i~n),
l'anneau quotient
xjA est intègre et intègralement clos
et dim(Ai) '"
i
Soient A un anneau noethérien intègre et x un élé-
Théorème 7
ment de A.
On suppose vérifiées les conditions suivantes
(il
A est séparé et complet pour la topologie xA-adique
(ii)
xA nIa qu'un seul idéal premier minimal p et, si A
désigne la clôture intégrale de A, pour tout idéal premier minimal pl de xA. on apI
n
A = p.
(iii) La clôture intégrale de l'anneau quotient A/p est
un A/p-module de type fini.
Alors la clôture intégrale A de A est un A-module de
type fini.
Corollaire :
Soient A un anneau noethérien et x un élément de
A. On suppose véri'fiées les conditions suivantes
(i)
A est séparé et complet pour la topologie xA-adique .
..../ ...
-
i i)
iii)
9 -
x Ani a q u -t-un. se u.1 - .i...d...é-al...J>-t"'em...-LeT--m.i..al p
Alp est intégralement clos et ,pour tout
idé~'-
mier pt de hauteur 1 de la clôture intégrale de A contenant x
on apI r \ A "" p.
Alors A est intégralement clos et p = xA .
.
CHAPITRE II : ANNEAUX JAPONAIS
Définition: On dit qu'un anneau A est un anneau japonais si A
est intègre et si
fractions K de A,
,pour toute extension finie K'
la fermeture intégrale AI
du corps des
de A dans Kt est
un A-module de type fini.
Théorème 8
Soient A un anneaU noethérien intègre et x un
élément de A. On suppose vérifiées les deux conditions
i) P
=
suiva~tes:
xA est un idéal premier et A est séparé et complet
pour la topologie p-adique .
ii)
Alp est un anneau japonais
Alors , A est un anneau japonais
Corollaire: Soit A un anneaU japonais noethérien . Alors tout
anneau de séries formelles B
~
r'"
A L>l, ... ,T r
....
JJà
un nombre
fini de variables sur A est un anneau japonais
Corollaire
Soit A un anneau local noethérien intègre et com-
plet . Alors tout anneau de séries restreintes (pour la topologie définie par l'idéal maximal de A) B ~ A tT1, ... ,Tr1
à
un nombre fini de variables sur A est un anneaU japonais .
Remarque: Le théorème 8 a été prouvé par TATE avec l'hypothèse
supplémentaire : A est intégralement clos
... / ...
-10-
Soient
Théorème 9 :
A
un
ann~au
japonais noethérien
et B une algébre intègre de type fini contenant A, telle que le
morphisme canonique
y
Spec(B)----';")Spec(A) soit 'miversellemcüt
~uvert en tout point termé de Spec(n) • Alors B est un anneau
japonais :
Corollaire : Soient
A
un anneau japonais noethérien et B une
A-algèbre intègre de type fini contenant At telle que le morphisme canonique
y:
Spee(B) -7Spec(A) soit plat,
B est
Alors
un anneau japonais.
Théorème 10 : Soient
K son corps des fractions ,Kt
fermeture intégrale de A
(i)
A
un anneau noethérien intègre,
w~e
extension finie de K et AI la
d~n6
On suppose qulil existe un aru~eau noethérien d'an-
neau total des fractions R qui vérifie les trais conditions
suivantes :
a) B est lUle A-algèbre fidèleEle.::,t plate
b) R &AKt
est un anneau réduit
c) Pour tout idéal premier mini:'!1al p de B t
l
t
an-
neau quotient B/p est un anneau japonais
Alors A 1 est un A-module de
i:~'"De
fini.
(ii) En particulier) slil existe lli~ anneau noethérien
B qui vérifie les conditions a) et c) de i) et dont llanneau
total des .fractions R est une :C-algèbre séparable, alors A est
un anneau japonais.
Corollaire:
Soient
A
~~ a~~eau
local
réG~lier
intègre et AI
son henselisé (resp. son henselisé strict). Si A est un anneau
japonais unibranche (resp. géométriquement lli~ibranche), il en
est de même de At.
Réciproquement) si A est noethérien et si AI est
un anneau japonais, alors A est un anneau japonais unibranche
(resp. géométriquement unibranche).
... / ...
-11-
Corollaire:
Soient A un anneau noethérien intègre, K son
des fractions et x un
~:émbnt
de A
appartenlli~t
cr~ps
au radical de
JACOBSON de A. On suppose vérifiées les conditions suivantes
(i) A/xA ost un ap~eau japonais
(ii) L1anneau total des rractions
du séparé complété
de A pour la topologie xA-adique est une K-algèbre séparable •
Alors, A est un anneau japonais.
Corollaire : Soient A un anneau
noe~hérien
des rractions est de caractéristique 0 et x
intègre dont 10 corps
lli~
élément de A
appartenant au radical de JACOBSOI'J de A. Si A/xA est un- anneau
japonais, alors A est un anneau japonais.
Remarque
Le théorème 10
a été prouvé par LORI sous les hypo-
thèses : A est semi-local, B est le séparé complété de A et
K'=~
par GROTH2ITDI3CX ("[3j23.1.7) sous les hypothèses; A est semilocal et B est le séparé complété de A •
On peut se poser la question de savoir si, étant
donné un alllLeau semi-local noethérien japonais ltanneau total
•
des fractions R du séparé complété A de A est lli~e K-algèbre séparable (K étant le corps des fractions de A)
• Il nten est rien.
On a le théorème suivant :
Théorème 11
Il existe
l.Ul
rien normal japonais de dimension J qui est
anneau local noethélli~
anneau de
GORENSTèIN de multiplicité 2 et dont le séparé complété n'est
pas réduit.
Théorème 12 : Soient A un anneau noethérien Lntègre et X le corps des fractions de Â. Les conditions suivantes
sont équivalentes :
(i)
A est un anneau japonais et, pour tout idéGl
maximal m de A, l'anneau total des fractioils du séparé complété
de l 1 anneau loc.aâ Am est une
(ii)
B
contena~t
type fini.
I~-algèbre
séparable.
Pour toute A-algèbre intègre de type fini
A, la clOture intégrale de B est un B-module de
et
-12-
(iii) Pour toute A-algèbre intègre de type fini B
contenant A et dont le corps des fractions est unes extension
finie de celui de A, la clBture intégrale de B est un B-module
de type .fini.
Corollaire : Soit A un anneau noethérien
i~tèGre
qui satisfait
aux conditions équivalents du théorème 12, alors toute A-algèbre
intègre de type fini contenant
A satisfait aux conditions équi-
valentes du théorème 12.
Théorème 13
Soit A
lliL
anneau noethérien intègre,qui
satisfait aux conditions équivalentes du théorème 12, alors tout
Tr]j
anneau de séries formelles B = A~Tl"'"
à un nom:re
fini de variables sur A satisfait aux conditions équivalentes
du théorème 12.
•
Théorème 14 :
Soient
A un anneau
~oethérien
intègre
et x un éléoent de A. On suppose que A/xA est intègre et satisfait aux conditions équivalentes du théorème 12.
On suppose de plus, vérifiée 11 une des conditions suivantes
(i) A est séparé et complet pour
la topo1ogie
xA-adique
(ii) A est un anneau japonais et x appartient au
radical de JACOBSON de A.
Alors A satisfait aux conditions équivalentes du
théorème 12 •
Corollaire=: Soient A un anneau local noethérien intègre et
complet. Alors , tout anneau de séries
B ~ A -\T, •.••.•Tr}
à un nombre fini de variables sur A sati.;."'"
fait aux conditiuns équivalentes du
Théorème 15:
K son corps
Si
~( :
d~s
xPJ <+
théorème 12 a
fi
restrei~tes
Soient
A
tbéorè~e 12.
un anneau japonais régulier,
fractions et p l'exposant caractéristique de K.
,
A satisfait au.Jt condition;:; équivalentes du
-
13-
Théorème 16 : Soient A un anneaU local noethérien intègre unibranche (resp. géométriquement unibranche) et A'
henselisé
60n
(resp. son henselisé strict). Alors) pour que A satisfasse
aux conditions équivalentes du théorème 12, il faut et il
suffit que Al satisfasse aUX conditions équivalentes du théo
rème 12 .
Définition: On dit qu'un anneau A est un anneau universellement japonais si toute A-algèbre intègre de type fini est un
anneau japonais ou
ce qui revient aU même
J
si la clôture
intégrale de toute A-algèbre intègre de type fini B est un
B-module de type fini
On peut se demander si un anneau noethérien intègre qui
satisfait aux conditions équivalentes du théorème 12 est
universellement japonais
Il n'en est rien ;i1 existe un
anneau local régulier de dimension 2 qui satisfait aux conditions équivalentes du théorème 12 et qui n'est pas un anneau
univerae11ement japonais (cf.
En reVanche ,
r121).
•
e
tout anneaU noethérien intègre universel-
lement japonais satisfait aUX conditions équivalentes du
théorème 12
CHAPITRE III : ANNEAUX EXCELLENTS
Définition
On dit qu'un anneau A est excellent s'il est
noethérien et s'il vérifie les conditions suivantes:
i) A est universellement caténaire
ii) Pour tout idéal premier p de A
les fibres for-
melles de Ap sont géométriquLment régulières.
iii) Pour tout quotient intègre B de A et toute extension radicie11e K'
du corps des fractions K de B
t
il existe
une sous-B-a1gèbre finie B' de K', contenant B, ayant K'
pour corps des fractions et telle que l'ensemble des points
réguliers de Spec{B') contienne un ouvert non vide de
Spec(B')
... / ...
-
Théorème 17
14 -
Soient A un anneau noethérien japonais contenant
~
un corps de caractéristique p
On suppose que [K : KP
+ OC'
Jt
0, K son corps des fractions
.
Alors A vérifie les conditions
(ii) et (iii) de la définition des anneaux excellents. En particulier
1
si A est universellement caténaire
alors A est
excellent .
Théorème 18 : Soient un anneau noethérien contenant un coprs
de caractéristique P
F
0 , tel que AP -7
A soit un homomor-
phisme fini. Alors A satisfait aux conditions (ii) et (iii)
de la définition des anneaux excellents.
si A est universellement caténaire ,
En particulier
alors A est excellent.
Théorème 19 : Soient A un anneau noethérien contenant un corps
de caractéristique p
?-I<+ 00
que [K
!
0 et K son corps résiduel. On suppose
. Alors les conditions suivantes sont équivE-
lentes
(i)
P
A ----;
A est un homomorphisme fini.
(ii) Les fibres formelles de A sont géométriquement
régulières
(iii) Les fibres formelles de A sont géométriquement
réduites , autrement dit , A est universellement japonais .
(iv) Les fibres formelles de A aux points génériques
des
composan~es
irréductibles de Spec(A) sont géométriquement
réduites
Théorème 20
Soient A un anneau local noethérien contenant un
corps de caractéristique p
~
0
un idéal de A (différent de A)
K son corps résiduel et l
On suppose vérifiées les
conditions suiVantes
(i )
[K: K"J<+>;;
(ii )
A est séparé et complet pour la totpologie I-adique_
Alors, pour que les fibres formelles de Ail soient
géométriquement régulières,
il faut et il suffit que les
fibres formelles de A soient géométriquement régulières .
. . . 1 ...
-15Chapître IV. ANNEAUX EXCELLENTS ET CRITERE$ JACOBIENS
Théorème 21
: Soient k un corps, p son exposant caracté-
ristique et A une k-algèbre noethérienne. On suppose vérifiées
les deux conditions suivantes :
(i)
n~/k
est un A-module projectif.
(ii) Pour tout idéal maximal
ID
de A. l'anneau local est
une k-algebre formellement lisse pour les topologies préadiques
(cette condition est une conséquence de la prenière lorsque k
est parfait),
Soient A' = A ~Tl •... ,Tr] un anneau de polynômes à un
nombre fini de variables sur A, a un idéal de A~. p un idéal premier de A' contenant a et B
=
A/a.
1) Les deux conditions suivantes sont équivalentes :
a) Bp est une k-algèbre formellement lisse pour les
topologies préadiques.
de AI dans luis
de a dont les images dans aAp engen-
b) Il existe des k-dérivations Dl •••. ,D
même et des éléments fl, ... ,f
s
drent cet idéal de Ap, tels que dét(Dif j)
~p
.
II) Les deux conditions suivantes sont équivalentes
a' ) Bp un anneau local régulier
b' )
que
[r: ;
I l existe un sous-corps k'
k:J < +
.....
de k contenant k P , tel
de A' dans luis
de a dont les i}:'ges dans aAp en-
des ki-dérivations Dl"
même et des éléments fI""
,f
s
gendrent cet idéal de Ap;tels que dét(Dif j)
.. ,D
fp.
Corollaire : Moyennant les notations et les hypothèses du théorème 21,
n de B,
l'anneau A est excellent et l'ensemble des idéaux premiers
tels que l'anneau local B
n
soit une k-albèbre formelle-
ment lisse;est ouvert dans Spec(B).
Comme cas particulier du théorème 21, on a le
Théo~~
tique p 1
0
: Soient k un corps parfait de caractéris-
et A une k-algèbre noethérienne régulière telle
que Al) ~A soit un homomorphisme fini.
Soient Al '" A [Tl, ... ,TrJ
... 1 .•.
-
16 -
,
un anneaU de polynômes à un nombre fini de variables sur A
un idéal de A'
, P un idéal premier de A' contenant a et
B"" A/a. Alors les conditions suivantes sont équivalentes:
a) Bp est un anneau local régulier
b)
lui-m~me
Il existe des k-dérivations Di'."
et des éléments f
1
dans
de a dont les images dans
s
,
tels que dét(Dif j) ,~. p
""Jf
Ap engendrent cet idéal de Ap
Corollaire : Moyennant les
,Os de A'
no~atione
et les hypothèses du théo-
l'anneau A est excellent.
rème 22
Théorème 23 : Soient k un corps parfait de caractéristique
p
~
0 et A une k-algèbre locale
régulière. Alors les condi_
tions suivantes sont équivalentes :
(i) A est un anneau excellent
(ii) .1'"1,.
~/k
est un A-module de type fini
(iii) rangK( J1. t
AI k ffi A K )
"" dim( A)
, où K désigne
le corps
des fractions de Â.
Théorème 24 : Soient k un corps de caractéristique p
que
: kP
1- k
J
(+ [lC'
F 0,
tel
et A une k-algèbre locale formellement lisse
(pour la topologie préadique) dont le corps résiduel k
est
o
une extension de type fini de K • Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) A est un anneau excellent
(ii)~~~/k est un A-module de type fini.
(iii)
rang(S1;)
Théorème 25
p
~
0
J
rangK(~ntA/k tj) AK)
=
dim(A) + degtrk(k o ) +
où K désigne le corps des fractions de A •
Soient k un corps parfait de caractéristique
A une k-a1gèbre noethérienne
telle que AP ~
un homomorphisme fini et x un point de X = Spec(A)
A soit
• Alors
les conditions suivantes sont équivalentes
(i) -0x ,x est un anneau local régulier
(ii)
revient au
,n
X
m~me,
/
k
est un
)
x
0x ,x -module
-
plat (ou
libre)
... / ...
ce qui
-
17 -
Théorème 2 6 : Soient A un anneau local noethérien contenant un
corps ,B un anneaU local noethérien et
t :
A~
B, un homomor-
phisme local . Alors les conditions suivaAtes sont équivalentes :
Ci)
+:
Spec(B) ~ Spec(A)
i.e. un morphisme plat à
(ii)
W
fibres
est un morphisme régulier,
géomét~iquement
régulières.
fait de B une A-algèbre formellement lisse pour
1
les topologies préadiques
Théorème 27 : Soient A un anneau semi-Iocal noethérien et A'
son henselisé strict
Alors, pour que AI
soit un anneau
excellent , il faut et il suffit que les fibres formelles de A
soient géométriquement régulières
Théorème 28 : Soient k un corps dl exposant caractéristique p
et A une k-algèbre noethérienne . On considère les deux conditians suivantes
)
Pour tout idéal premier p de A , il existe un
k
sous-corps k' contenant k P , tel que [ k : kIJ~+.::,,-~, des ki-dé(J
rivations Di'."
fl, ... ,E
de Ap
de A dans lui-m~me et des éléments
s
,dont les images dans pAp engendrent cet idéal
,D
de p
s
tels que dét(Dj fi)
!
tt
p
!
.
(Jk.l :
Pour tout idéal a de A et tout idéal premier
p de A contenant a
, tels que Ap!aAp soit un anneau local
il existe un sous-corps k' de k contenant k P
tel
régulier
que
k
k'
des kT-dérivations Di"
.• ,D
de A dans lui-même
s
les images dans aAp engen-
,· .. ,f de a d~nt
l
s
drent cet idéal de Ap
tels que dét(Djfi)
et des éléments f
(i) Les conditions (J ) et (J
k
lier et
k)
p
sont équivalentes
(ii) Si A vérifie (J ) ,alors li est un anneau réguk
pour tout idéal premier p de A
les fibres for-
melles de l'anneau local Ap sont régulières
Si A vérifie (J )
k
vérifie (J )
k
tout anneau de fractions S-i A
- 18 -
que 0 ,
(iii) Si A vérifie (J ) et si k est de Caractéristik
alors A est excellent et tout anneaU de polynômes
A' = A [Ti""
,TI']
à
un nombre
fini de variables sur A
vérifie aussi (J )
k
Théorème 29 : Soient k un corps de caractéristique 0 • A une
k-algèbre locale régulière dont le corps r'siduel est une
extension algébrique de k et K le corps des fractions de A
Si rangK(Dérk(A,A)
~AK)
=
dim(A)
alors A satisfait à la
condition (J ) du théorème 20 •
k
Corollaire (29-1)
Soient A un anneau local noethérien complet
contenant un coprs de caractéristique C. Alors tout anneau de
séries restreintes AI
=
A {
Ti""
,TI'}
A un nombre
fini de
variables sur A (pour la topologie préadique de A) est un
anneau excellent.
Corollaire (29-2)
Soient k un corps de caractéristique 0 ,
A une k-algèbre locale noethérienne régulière et k' le coprs
résiduel de A . On suppose vérifiées les deux conditions
suiVantes :
(i) kt est une extension de degré de transcendance
fini de k.
(ii)
rangK(Dérk(A,A)9AK) ~ dim(A)
K désigne le corps des fractions de A
+ degtrk(k')
où
Alors A satisfait à la
condition (J ) du théorème 28 et • en particulier, A est
k
excellent (MATSUMURA)
Corollaire (29-3)
Soient k un corps de caractéristique 0 et
A une k-algèbre noethérienne régulière intègre . On suppose
vérifiées les conditions suivantes:
(i) Pour tout idéal maximal m de A , le corps A/m est
une extension algébrique de k et ,de plus, dim(A
(ii) Il existe
m} = dim(A)
n(~dim
A) k-dérivations D , ••. ,D de
s
1
A dans lui-même et des éléments x , ..• ,x de A , tels que
1
, .
n
Djx i "'=
(symbole de KRONECKER)
Alors l'anneau A satisfait
"i
la condition (J ) du théorème 28 et , en particulier
k
l'anneau A est excellent.
à
J
. .. / ...
-19Corollaire (29-4) : Moyennant les hypothèses et notations du
•
corol1aire(29-J) tout séparé complété A de A pour une topologie linéaire sa~isfait à la condition (J ) d~ t~éorème 28 et
k
en particulier A est un a.nneau excellent.
•
Corollaire (I~TSUMURA-NOMURA) (29-5) : Le séparé complété A
d'une algébre A de type fini sur un corps de caractéristique 0
est un fuLneaU excellent.
Théorème 30:
p
F 0,
A
'L:11e
Soient k
W1
s:":-p.3 de
. caractéristique
k-algèbre locale n.oethérierme et 1: le corps rési-
duèl de A.
On suppose que :
(i)
A une k-algèbre formellement lisse pour la to-
pologie préadique •
(ii)
lK
: KIj L.. +
0)
•
Alors les condi tians suivantes
sont équivalentes :
a) A est excellent.
1
b)crG A/k est Q~ A-module de type fini.
Si ces conditions sont satisfaites,
l'~Lneau
A satis-
fait à la condition (J ) du théorème 28.
k
Théorème (NAGATA-GROTHENDI~CK) 31
: Soient k un cq-rp-»-;,/
p son exposant caractéristique, A un anneau local noethérien
complet de corps résiduel K. On suppose que
1°)
2°)
ble K
o
Q< , k~<+
V,
CD.
est une extension finie d'une extension sépara-
de k.
3°) A est muni d'une structure de Xo-algébre formelle-
ment lisse (pour la topologie préadique).
Soient o/un idéa1 de A, B =
AIoj'
P un idéal premie:r
de A contenant ~. Les conditions suivantes s?nt é~uivalentes :
a) Bp est une k-algébre formellement lisse (pour la
topologie p-préadique)~
... / ...
-20b) Il existe des k-dérivations Di de A d~~s lui-m~me
(I.$i ~;n) et des éléments fi (1 ~i~m) deCf' tels que les images
des fi dans)fAP engendrent cet idéal de Ap ,
dét(Dirj)
et que lIon ait
p.
bl) I l existe une sous-extension k' de 4
tel1.e que (Ka: kj<+ CD
J
0
contenant k(h~).
des ki-dérivations Di de A dans
lui-mQme (1 ~ i <m) et des éléments fi
-
--
(1 <:i<m) de
0/'
tel.s que
les images des fi dans ~AP engendrent cet idéal de Ap, et que
l'on ait dét(Difj) ~ p.
Corollaire (31-1) : Moyennant les hypothèses et notations du
théorème 31) lianneau A satisfait à la conditions (J ) du
k
o
théorème 28"
Corollaire (31-2)
noéthérier~~e.
l°)t k : ~<.+
: Soient k un corps et A lli'le l-::-algébre locale
On Suppose que
<D
(p exposant caractéristique de k).
2°) Les fibres formelles de A sont géométrique~ent régulières.
JO) Le corps résiduel de A est extension finie d1une extension
Alors l'ensemble des idéaux premiers p de A, tels que
llanneau local Ap soit une k-algébre formellement lisse (pour
la topologie p-préadique) est ouvert dans Spec(A).
Corollaire (Jl-J): Soient k un corps, p son exposant caractéristique, A un anneau local noethérien de corps résiduel K. On suppose :
10) (k : JtPJ <:+ CD •
20
)
JO)
K est une extension finie d'une extension séparable Ko de k.
A est muni d'une structure de Ko -algébre formellement lisse
(pour la topologie préadique).
40
)
Les fibres formelles de A sont géométriqueillent réduites:
5~) Pour toute sous extension kt de K
o contenant k(K~), telle
que [K o : k~<+ (Jl • on a la relation rang L(Dérk,(A,A)&AL) =
dim(A) + rang ~ :~~ 1 rI) où L àésigne le corps des fractions de A.
Ko
t .. /
r I..
.,
.. / ...
Soient
0/
idéal de A, B =
l l i. .
-21-
Air.
p
illl.
idéal :?rem.ier de A con-
tenant~. Les conditions suivantes sont éq~ivalentes
a) Bp est ~~e k-algébre Zormellement lisse(pourB topologie p-préadique).
b) Il existe des k-dérivations Di de A da;::-~s lui-m~me (1 l::i4 ru)
r
- -
et des élér.1ents fi (1 <.i <m) de
fi dans
, tels que les images des
Ap engendrent cet idéal de Ap, et que l'on ait
dét(DHj) r(, p.
b' Il existe une Bous-extension k l de l'::
telle que [:::0 ; k!1 ..c. +
lui_m~me (
(D
contenant k(K p),
o
0
r des lct-dérivations Di de A, dans
, ~ i ~ m) et des éléments fi
(, ~ i ~ m) de
'r tels
que les images des fi dans ~AP engendrent cet idéal de Ap,
et que l'on ait dét(Difj) ~ p.
Chapi tre V. A:rTNEAUX DE WEIZRSTRASS
Dé.finition
de WEIERST3ASS si
On dit qu1un anneau A est un anneau
A vérifie les trois conditions suivantes
(i) A est ~~ anneau semi-Iocal noethérien henselien
(ii)
A est
un anneau lL~iversellement ja?onais
(iii) Pour tout anneau quotient intègre B de A, il
existe un sous-anneau local régulier BI de B • tel que B soit
un
BI-modu~e
de type fini.
Par exemple r tout
fuLneau
semi-Iocal noethérien
complet est un anneau de WEIERSTRASS excellent (I~GATA).
Théorème J2
:
Soient A
ml
ar.l.n.eau de 'WEIERSTRASS
localy k son corps rédiduel et p l'exposant caractéristique de
A. Si [ k :
k~<+ro,
alors A est un anneau excellent •
.../ ...
-
22 -
Soit K un corps valué. On dit que K est quasicomplet
si le complété KI
de K est une extension séparable de K. Dans
son article (6) L.GERRITZEN a montré que ,pour que
Ifann~au
' " f à une variable sur un corps
des séries convergentes K . tTJ
{
valué K soit un anneau de WEIERSTRASS
il
sue K soit quasi-complet et, dans ce Cas
faut et i l suffit
tout anneau analyti-
que sur K est un anneau de WEIERSTRASS .
On en conclut donc que , si K est un corps valué quasicomplet d1exposant C8i"8ctéristique p
tel que
K:
KPJ ",- +&?
alors tout anneau analytique sur K est un anneau de WEIERSTRASS
excellent , donc
Théorème 33
, compte tenu du théorème 22 , on a le
Soient K un corps valué quasi-complet d'exposant
caractéristique p
tel que [K :
KPJ<'+~J
A un anneau de sé-
J
ries convergentes sur K et A' == A [ Ti' .•. J T r
un anneau de
polynômes à un nombre fini de variables sur K
Alors A vérifie
la condition (J ) du théorème 29 •
k
Théorème 34 : Soient K un corps valué parfait et A et A' deux
anneaux analytiques sur K . On suppose que A et A'
sont intègres
et intégralement clos. Alors le produit tensoriel analytique
de A et At
(cf. [10] 47 p.199) est intègre et intégralement
clos
Soient X et Y deux schémaS affines de type fini
Corollaire
sur un corps k
•
On suppose vérifiées les conditions suivantes:
(i) Chacun des schémas X et Y possède un point rationnel sur k
•
(ii) X et Y sont normaux
Alors XxkY est un schéma intègre et normal.
~
K [[T " ••• T ] ] 1'anneau des séries forn
1
melles à n variables sur un corps K. On appelle série formelle
Définition
Soit A
algébrique à n variable sur K
J
toute série formelle f C- A qui
est algébrique sur l'anneau des polynômes K
Tl' ... ,Tn
L'ensemble des séries formelles algébriques à n variables sur K est le henselisé K
à
,-
Ti'· .. ,T n
de l'anneau local
l'origine de X == Spec(K l_ Ti' •.• ,T ]
n
•.. 1 ••.
Théorème 3'5 :
Soient K un corps et A = K [ Tl"
•• ,T
u
JN
- 23 Itanneau
des séries formelles algébriques sur K. Alors A est un aoneau de
WEIERSTRASS local régulier et excellent de dimension n ,dont le
l
complété est l'anneau des séries formelles K fLLr T , .. · ,Tu lj
.
1
En outre ,pour tout idéal a (non nécessairement pre-
mier),
BI
=
il existe un sous-anneau B contenant K de l'anneau quotient
A/a
qui est K-isomorphe à l'anneau des séries formelles
algébriques à 5 =
(dim BI) variables sur K,
tel que B' soit un
B-module de type fini
Théorème
Soient K un corps
36
1
A et B deux K-algèbres locales
noethériennes qui sont K-isomorphes à des nlgèbres finies sur des
anneaUx de séries formelles algébriques sur K et
K-homomorphisme local
. Alors,
~
,
A
~
D
un
les deux conditions suivantes sont
équivalentes :
(i)
iJ)
fait de B un A-module quasi fini
h omomorp h·lsme
(,. ,.)1".
~
es t un
fl·n
· l.
Théorème 37" : Soit K un corps. Alors tout anneaU de séries formel
les algébriques sur K Vérifie la condition (J k ) du Lhéorème 28
================
ADDENDA
=======""=====
1°) Dans l'énoncé du théorème 2 , on peut remplacer 121
condition "pour tout idéal p"emier"
,par t'sauf pour un nombre fini
d'idéaux premiers p"
2°) Les deux résultats suivants sont à rattacher à
ceux du chapitre IV
Théorème l'
Soient k un corps, p son exposant caractéristique
A = k [Xi' ...• xrJ
un anneaU de polynômes à un nombre fini de
variables sur A et B
=
melles à un nombre fini
A
r:-T1, ... ,T
d~e'- variable:
J1
un anneaU de séries for-
sur A • Si
r
k
kPJ <...
-1- Co:"'') ,
alors tout un anneat: de polynômes à un nombre fini de variables
sur B satisfait à la condition (J )
k
r[Xl""
Théorème 2'
Soient k un corps , p son exposant caractéristique ,
A = k
,X r ]
J un
ann~au
de
5{r~ea
de variables sur K et B = 11.'( Xi'.'. ''XsJ
formelles à un nombre fini
un anneaU de séri.es· restreintes sur A (pour la topologie préadique
. Si( k:: k P ] <-1- cf.!
-
24 -
alors tout anneau de polyn8mes à un nombre fini de variables
sur B
~ati6fait
à
la condition (Ji)'
Remarque : Le théorème l '
ristique zéro"
1
,SOllS
la condition: "k est de caracté-
est connu par H.MATSUMURA qui l'a utilisé pour
prouver que le séparé complété pour une topologie linéaire d'une
algèbre de type fini sur un corps de caractéristique 0 est un
anneau excellent .
NOT E
=======
CHAPITRE l
Les théorèmes de ce chapItre ont été annoncés au Collo-
que d'Algèbre tenu à RENNES(France) du 19 au 22 janvier 1972 .
On trouvera des esquisses- de démonstration dans notre article
paru dans les Comptes Rendus du dit colloque. Pour ce qui est
ct u théorème 6 (chap .1)
,nous en avons
donné une démons tr a tic n
dans notre atiele "Un exemple d'anneau local noethérien japonais
qui n'st pas formellement réduit", C.Rend.Acad.Sci.Paris,
t.274,
p.1334-1337 (1972). Quant aux autres théorèmes du chapître l,
des démonstrations plus simples paraîtront très prochainement
dans un note actuellement en préparation.
CHAPITRE II
Le théorème B du chapitre II est démontré dans notre
article :"Sur la théorie des anneaUx japonais", C.Rend.Acad.Sci.F
Paris,
t.271,
p.~3-75
(EGAC IV 23.1.3)
(1970)
. 11.1généralise un résultat de TATE
ainsi que le théorème 13.
Le théorème 9 a été annoncé aU Colloque d'Algèbre de
RENNES (loc.cit.) ;il en a été donné une démonstration dans notre
article paru dans les Comptes Rendus de ce Colloque.
Le théorème 10 a été démontré dans notre article :"Sur
la théorie des anneaUX de WEIERSTRASS"
,Bull.Sci.Math ,t.95
1971 ,p. 223-225
Le théorème 11 a été démontré dans notre article : "Un
exemple danneau local noethérien japonaiS qui n'est pas formellement réduit", C.Rend.Acad.Sci.Paris,
t.274, p.1334-1337 (1972)
Les théorèmes 12, 14, 15 ont été démontrés dans notre
article :"ta réciproque d'un théorème de InKUCHI", J.of Math of
-
25 -
Kyoto University ,vol.ll, nO 3(1971), p.415-424 . Leur démonstration s'appuie sur un résultat de REBS (cf.son article :"A note
on analytically unramified local rings"
J.Math.Soc.
(1961)
p.24-28. Ils généralisent certains résultats de KIKUCHI
(cf.son
article :"On the finitness of derived normal rings of an aEEine
ring", ;;J.Math Soc.Japan, vol . .15 n03,
.1963,p.36C-365) sur la fi-
nitude de la Eermeture intégrale d'une algèbre affine.
CHAPITRE III
Les théorèmes 17, 18 et 19 ont été démontrés dans deux
articles :"Sur la théorie des anneaux excellents
~n
caractéris-
tique pIf, Bull.Sci.Math.,t.96, 1972, p.193-198 et "Sur une note
d'Brnst KUNZ, C.Rend.Acad.Sci.Paris
,t.274 ,p.714-716 (1972)
Ils généralisent des résultats de E.KUNZ (cf. son article :"A
characteri6ation of regular local ring oE characteristic p",
Am.J.of Math 3 (1967) p.178-190)
Le théorème 20 a été démontré dans notre article: "Sur
la théorie des anneaux excellents en caractéristique p", Bull.
ScijMath ,t.95 ,1972, p.193-198
CHAPITRE IV
Les théorèmes 21,
22,
23,
24,
25,
25 et 27 ont été énon-
cés dans notre note "Un critère jacobien des points simples"
(à paraître aux C.R.Acad.Sci.Paris)
sans démonstrations. Ces
démonstrations paraîtront dans nos articles en préparation: "Sur
la théorie des anneaux excellents en caractéristique p
,II"
"Sur la théorie des anneaux excellents en caractéristique a,
et "Sur les algèbres jacobiennes"
et
l"
.
CHAPITRE V
La démonstration du théorème 32 a été donnée dans notre
article "Sur la théorie des anneaUX de WEIERSTRASS ,1" Bull.Soc,
Math. ,t.95, 1971 ,p.223-225
Quant aux autres théorèmes du chapitre , leurs démonstrations paraîtront dans nos articles : "Sur la théorie des anneaUX
excellents en caractéristique zéro"
.
-
26 -
B 1 B L ! 0 G R A P El l B
-:-:-:-:-:-:-;-:-:-:- - ; -
H. BASS
On the ubiquity of Gorenstein ring,»rath.Zeit. 82
(1963 )
p.8-68
A. GROTHENDIECK et J. DIEUDONNE: Eléments de géométrie algébrique
r ,
Springer Verlag Berlin , Heidelberg,
New-York
f3 J
'.
A. GROTHENDIECK et J. DIEUDONNE: Eléments de géométrie
algébrique ,chap.OIV 1 Paris P.U.F. ,no20 (1964),
14
A. GROTHENDIECK et J. DIEUDONNE: Elérnents de géométrie
algébrique t chap.IV ,Paris P.U.P., n"24(1965)
n028(1966) et n032{1967)
,. :r
f~5
J
A. GROTHENDIECK et H. SEYDI : Morphismes universellement
ouverts (à paraître)
L. GERRITZEN : Erweiterungsendliche Ringe in der nicht-archirnedischen Funktiontheorie , Inv.Math.2 (1967)
p.178-190 .
E. KUNZ
A characterization of regular local ring of characteristic p , Am.J .of Math. 2 (1967) ,p.178-19C
[s)
H. MATSUMURA : Commutative algebra ,Benjamin New-York
f_9 'JI
M. NAGATA: On the closedness of singular loci ,Publi.Math.
Jnst.Hautes Et.Scientifiques 2 (1959)
,p.29-36.
M. NAGATA: Local rings ,Interscience Tracts in pure and
applied Mathematics ,vol.13 (1962) Interscience
New-York
H. SEYDI : Anneaux henseliens et conditions de chaînes J
Bull.Soc.Math.France ,vol. (196C) ,p.9-31 .
H. SEYDI : La réciproque d'un théorème de KIKUCHI , J.of
Math.Kyoto Univ. ,vol.IJ, n03 (1971), p.415-424
O. ZARISKI : Sur la normalité analytique des variétés normales, Ann.lust.Fourier 2 (1950) ,p.161-164
O. ZARISKI et P. SAMUEL: Commutative algebra , vol. 1 et 2
Van Nostrand , Univ.Series in higher Mathematics.
H. SEYDI : Sur la théorie des anneaUx de WEIERSTRASS l
Bull.Soc.Math., t.95 ,1971, p.225-227 •
,
- 27 -
(.tG)
H. SEYDI
i
Sur la théorie des anneaux de WEIERSTRASS II ,
(à paraî.tre)
[ 17
1
H. SEYDI
Sur une note d'Ernst ..KUNZ .. ,
C.Rend.Acad.Sci.Paris
t.274, p.714-716 (i972)
[lSJ
H. SEYDI
1-19-[
'. -
H. SEYDI
,~20.
. }
H. SEYDI
SUI' le critère jacobien de NAGATA (à paraître)
Un critère jacobien des points simples
C.R.
Acad.Sci.Paris , t.276
p.475-478 (1973)
Sur la théorie des anneaUx excellents en Carac_
téristique p,
p: 193-198':
Bull.Sci.lI:ath.)
'
t.96
• .1972
.
[21J
H. SEYDI
Sur la théorie des anneaux excellents en CaraCtéristique p
I I (à paraître)
[22]
H.SEYDI
SUI' la théorie des anneaUx excellents en caraCtéristique 0 , l (à paraître)
H. SEYDI
SUI' la théorie des anneaux japonais, C.Rend.
Acad.ScLParis J t.271, p.73-75, (.1970)
B. SEYDI : Un exemple d'anneaU local noethérien japonais
qui n'est paS formellement réduit, C.Rend.Aead.
Sei.Paris ,t.274 , p.1334-1337 (1972)
H. SEYDI
Sur les anneaUx de séries formelles algébriques,
C.Rend.Acad.Sci.Paris ,t.272, p.1169-1172 (1971)
-
28 -
SUR LE PR03LEME DES GRAINES
D'IDEAUX PREMIERS DANS LES ANNEAUX NCETHERIENS
Le problème des chaînes d'idéaux premiers consiste en
l'étude des conditions moyennant lesquelles un anneau local noethérien est caténaire. L'étude de ce problème a été inaugurée
vers 1956 par NAGATA qui a donné un certain nombre de critères
intéressants. Malheureusement,
obtenus par NAGATA soient vrais
a données,
bien que la plupart des résultats
les démonstrations qu'il en
étaient presque toutes incomplètes . Il fallut atten-
dre vers les années 1967-68 pour que RATLIFF reprenne et complète
les démonstrations de NAGATA. D'ailleurs le plus beau résultat
de toute la théorie a été obtenu par RATLIFF et énonce le fait
suivant: pour qu'un anneaU local noethérien intègre soit universellement caténaire, il faut et il suffit que son complété
soit équidimensionnel
RATLIFF déduit de ce résultat qu'un
anneaU local noethérien henselien Caténaire est universellement
caténaire. Il est d'ailleurs plausible qu'un anneau local noethérien henselien soit universellement caténaire. La question
est encore loin d'être tranchée malgré quelques progrès récents
de
R~TLIFF
dans cette direction . Dans la présente note , nous
donnons quelques critères pour qu'un anneau local Loethérien
soit universellement caténaire. Certains de ces résultats offrent des réponses affirmatives à des questions posées par
GROTHENDIECK et NAGATA. La plupart de ces résultats ont été
obtenus entre 1970 et 1972 et communiqués aU Colloque d'Algèbre
Commutative de RENNES ( 19-22 janvier 1972 )
. Le théorème 1
qui apparaît pour la première fois i c i , est probablement connu
par RATLIFF .
~
-
29 -
Théorème 1 : Soit A un anneau local noethér1en .filoTs les conditions suivantes sont équivalentes :
i) A est équidimensionnel et caténaire
ii) Pour tout idéal premier p de A
dim(A/P)
~
,
on a dim(Aw +
dim(A)
Corollaire: Tout A ,anneau semi-local noethérien henselien,tel
que, pour tout idéal premier p de A ,on ait dim(Ap) +
dim(A)
dim(A/P)~
est un anneau universellement caténaire
Théorème 2 : Soit  un anneau semi-local noethérien
ment caténaire .Alors , pour tout idéal l
de A,
universell~
le séparé complé-
té A de A pour la topologie I-adique ?st un anneau universelle-
ment caténaire
Théorème 3 :
Soit A un annegu local noethérien .On suppose que,
pour tout anneaU quotient intègre B de A,
l'anneau B(l)= nBp où
p parcourt l'ensemble des idéaux premiers de
est une B-algèbre finie.
hauteur~1
de B ,
Alors les conditions suiVantes sont
équivalentes:
i) A est Caténaire .
ii) A est universellement caténaire
Théorème 4 :
Soit A un anneaU semi-local noethérien .On suppose
que A vérifie (S2) et que les fibres formelles de A vérifient
(S2)' Alors A est universellement caténaire.
En particulier, si A est local,
A est équidimensionnel
Théorème 5 : Soit A un anneau serni-Iocal ,noethérien universellement japonais et x un élément Don diviseur de zéro appartenant
au radical de JACOBSON de A .
On suppose que A/xA est universellement caténaire et
vérifie (52)' Alors A est universellement Caténaire et vérifie
(8 )
2
Remarque
Dans llénoncé précédent, on peut remplacer la condi-
tion ;'IA est universellement japonais"
de A vérifient (S1)'1
par 'Iles fibres formelles
de même que dans le théorème suiVant ;
Théorème 6 : Soit A un anneau local
noeth~en
universellement
japonais et x un élément non diviseur de zéro appartenant aU
radical de JACOBSON de A . On suppose que A/xA est universellement caténaire, équidimensionnel et vérifie (S1)' Alors A est
universellement caténaire ,équidimensionnel et vérifie (S1)
... / ...
T~éorème
30 -
7 : Soit A un anneau local noethérien unibranche et
universellement japonais. On suppose que la fibre
au point générique de Spec(A) est normale
formelle de A
Alors A est univer-
sellement caténaire
Corollaire 1 : Soit A un anneaU semi-Iocal noethérien henselien
universellement japonais .On suppose que les fibres formelles de
A aux points génériques de Spec(A),sont normales. Alors A est
universellement caténaire .
Corollaire 2
Soit fi un anneau local noethérien intègre et uoi-
versellement japonais . On suppose que la fibre
formelle de A
au point générique de Spec(A) est normale. Alors les conditions
suiVantes sont équivalentes :
i) A est uniVersellement caténaire.
ii) pour tout A-algèbre finie monogène B contenue dans
le corps des fractions de A et tout idéal maximal n de B ,on a
dim( B)
n
= dim(A)
iii) Pour tout idéal maximal n dela clôture intégrale
A de A , on a :
dim(A ) = dim(A)
n
Dans le CaS général , on a le théorème suivant:
Soit A un anneau noethérien. Alors les conditions
Théorème 8
suiVantes sont équivalentes :
i)
fi
est universellement caténaire
ii) L 1 anneaU des polynômes
Afx]
est caténaire
iii) Pour tout idéal maximal n de l'anneau des polynômes B "" A [x] Qui est au-dessus dl un idéal maximal de A ,1' anneau local B
n
est caténaire •
Si fi est un anneaU local intègre ,ces conditions
sont équivalentes aUx suivantes:
iv) Toute A-algèbre finie monogène B Qui est intègre,
et contient A
J
et dont le corps des fractions est une extension
séparable de A,est caténaire et, pour tout idéal maximal n de B ,
on a : dim(B ) = dim(A)
n
v) Pour toute A-algèbre locale intègre et essentiellement de type fini B qui contient A et domine A , on a :
dim(A) + degtrkK' = dim(B) • degtrkkT
,où K et K'
désignent res-
pectivement les corps des fractions de A et B et k et -k' désignent respectivement les corps résiduels de A et B ( Formule des
dimensions)
- :a
=
vi) La conclusion de v) est vraie lorsque Kt
K, autre-
ment d i t , pour toute A-algèbre locale essentiellement de type
fini B ,contenue dans le corps des fractions de A et qui domine A,
on a dim(A) = dim(B) + degtrkk'
où k et k
1
désignent respecti-
vement les corps résiduels de A et de B.
Soient A un anneau local noethérien intègre ,
Théorème 9
S = Spec{A) et s le point fermé de 5 . Soient X le schéma obtenu
en faisant éclater un fermé défini par un système de paramètres
de A et f
X
:
~
S le morphisme canonique .Alors les conditions
suiVantes sont équivalentes :
i) A est universellement Caténaire .
1
ii) Pour tout point xE f- (G)
.
tel que dim(yx x)
-
~
pour tout idéal maximal n dans la clôture intégrale B de B=
2 et
°x ,x .
on a dim{B » .... 2 .
n
Théorème 10 : Soit A un anneau local noethérien intègre
Alors
les conditions suiVantes sont équivalentes
i) A est universellement Caténaire et son complété A
vérifie (51)
ii) Si B est une A-algèbre locale essentiellement de type
fini contenue dans le corps des fractions de A qui domine A
alors l'anneau B{l) =
premiers de hauteur
~
rt
B
•
p' ,
où p parcourt l'ensemble des idéaux
1 de B , est une B-algèbre finie
En combinant le théorème 8 avec les contre-exemples de
NAGATA (cf.
rJ
sur le problème des chaînes d'idéaux premiers) on
obtient :
Théorème 11
Il existe un anneaU local noethérien intègre de
dimension 3 contenant un corps et dont les fibres
géométriquement régulières,
formelles sont
qui n'est pas caténaire.
Un autre contre-exemple de GROTHENDIECK (cf.
t2J)
mon-
tre que ,dans l'énoncé du théorème 11, on peut se paSser de
l'hypothèse :"A contient un corps"
Remarque :
Il est plausible que le théorème 7 , ainsi que ses
corollaires 1 et 2
soient vrais sans les hypothèses faites sur
A • Dans son article [4J ' NAGATA affirme que la condition' (i)
du corollaire 2 du théorème 7 , pour un anneaU local noethérien
intègre ,est équivalente à la condition (iii)
:"A est caténaire"
- S2 Mais sa démonstration nous parait incomplète
. On a cependant
le résultat suivant:
Théorème 12
Soit A un anneau local noethérien intègre
. Alors
les conditions suivantes sont équivalentes:
i) A est universellement caténaire.
ii) A est caténaire et il n'existe qu'un nombre fini
d'idéaux premiers P de A ,
tels que dim(AfP)
~
2 et tels qu'il
existe un idéal maximal n dans la clôture intégrale B de B
tel que dim(B )
n
=
= AfF
1 •
Corollaire (RATLIFF)
Tout anneaU semi-local noethérien hensélien
caténaire est universellement caténaire.
-
33 -
Le théorème 1 apparait pour la première fois , à notre
connaissance
RATLIFF)
J
ici .- (Il semblerait cependant qu'il soit connu de
• Sa démonstration se fait par récurrence sur n = dim(â)
et s'appuie sur le fait suivant: Si x est un élément du radical
de JACOBSON de A n1appartenant à
=
A , dim(AjxA)
dim(A~
aucun idéal premier minimal de
- 1 .
Le corollaire du théorème 1 découle du fameux théorème
de RATLIFF qui dit que tout anneau local noethérien henselien
caténaire est universellement caténaire (cf. notre article
"Anneaux henseliens et conditions de chaines ,l"
France ,t.9S
1
,Bull.Soc.Math.
1970 , p.9-31)
Le théorème 2 découle du théorème selon lequel tout
anneau de séries formelles à un nombre fini de variables sur un
anneau noethérien universellement caténaire est universellement
caténaire (cf. notre article l'Anneaux henseliens et conditions de
Chalnes ,l", Bull.Soc.Math.France ,t.9B , 1970 , p.9-31 ).
Le théorème 3 est une réponse affirmative à une question
de GROTHENDIECK . Il a été prouvé dans notre article lIAnneaux
henseliens et conditions de chaines ,IV"
'C.Rend.Acad.Sci.Paris
t.271 ,1970 ,p.120-121 ).
Les théorèmes 4 , 5 et 6 ont été rpouvés dans notre article "Sur la théorie des anneaux excellents en caractéristique p"
(Bull.Soc.Math.,t.96. 1972 ,p.193-19B)
Le théorème 7 découle du théorème de normalité analytique {cf.notre exposé au Colloque d'Algèbre de RENNES ,19-22 janvier 1972}
Le
théorè~e
8 a été démontré dans notre article "Anneaux
henseliens et conditions de chaines ,II" :la formule des dimen+
sions (C.Rend.Acad.Sci.Paris ,
t.270 , 1970 , p.696-698 .
.. ./ ..
"
,
-
Les théorèmes 9
34 -
10 et 12 découlent d'un théorème de
Madame FLEXOR (cf. notre article "Anneaux henseliens et conditions de chaines ,II":La formule des dimensions, C.Rend.Acad.Sci.
Paris ,t.270 ,1970, p.696-698 ).