1ere thèse : sur deux problèmes d`algèbre commutative, 2eme thèse

ORS Ay
Série A
N° d'ordre: 1178
THESES
présentées
à la
FACULTE DES SCIENCES D'ORSAY
pour obtenir
le grade de Docteur ès-Sciences Mathématiques
par
Hamet SEYDr
1ère Thèse SUR DEUX PROBLEMES D'ALGEBRE COMMUTATIVE
2éme Thèse ;PROPOSITIONS DONNEES PAR LA FACULTE
Soutenues le 15 Octobre 1973 , devant la Commission d'examen
MM. CARTAN
SAMUEL
VERDIER
DOUADY
)
)
Président
Examinateurs
ST
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"- \.' '

SUR
DE U X
P,ROBL·.EHES
-~-------------------------------
D t'A, L G" E B R ECO, 11 MUT A T IVE
--------------- ------------------------

- 1 -
I N T R 0 DUC T l 0 H
========================
Nous présentons ici les résultats qUG ~ous avons
obtenus depuis 1968 sur les anneaux japonaLs~ ~~iversel1e
uAnt japonais. excellents et les anneaux de WEIERSTRASS ,
et sur 10 problème des chaines d1idéaux premiers dans les
anneaux noethériens.
Nous avons classé ces résultats en deux parties:
La première partie que nous avons intitulée" SUR LA THEORIE
DES ANNEAUX JAPONAIS ET LES QUESTIOnS QUIS ty i.~TTACHENT"
contient les, résul ta ts sur les anneaux. japonais, universel-
lement japonais et excellents, et les anneaux de WEIERSTRASS.
La deuxième partie contient les résultats sur les problèmes
des chatnes d1idéaux premiers dans les anneaux ~oethériensa
Tous ces résultats sont donr~és sans démonstrations,
pour la seule raison que celles-ci ont été p~bl~ées dans nos
articles par~s/ou en cours de parution.
La p~upart de ces résultats sont des généralisa-
tions de résultats dûs aux grands maîtres de ces vingt-cinq
dernières a:L:..;.:.,ée5 ... principalemel1.t CI-IEVALLEY, GROTZEIIDIEC::,
MORI, NAGllTA .. SAHUEL et ZARISKI_ou des réponses à certaines
questions qui ils Ont laissées en suspens.
Nous tenonA ici à remercier les Professeurs AL:xan,der
GROTHENDI3CK et Pierre SAMUEL qui ont dirigé nos travaux, le
Professeur Henri CARTAN qui nous a fait l'hor~eur de présider
ce jury et qui nous a proposé le second sujet de Thèse et
les Professeurs Adrien DOUADY et Jean-Luc VERDIER pour avoir
accepté de faire partie du Jury.
Nos remerciements vont également à touces les secré-
raires de l~ Faculté des Sciences de DAKAR qui ont assuré la
dactylographie du manuscrit.

A
SUR LA. THEORIE DES ANNEAUX JAPONAIS
ET LES QUESTIONS QUI S 'Y
RATTACHENT
-2-
Cette première p<:'.J.'tie a trait au problème de la clas-
sification des anneaux locaux noethériens à partir des propriétés
de '~urs f~bres formelles. Toutes ces propriétés ont été mises
en évidence par les travaux de géomètres japonais sur la fini-
tude de la feroeture intégrale. principalement LORI et NAGATA,
et dégagées par GROTHENDIECK. Ces propriétés étaient en germes
également dans les travaux. de CHEVALLEY et Z{\RISKI sur les COt:l-
pIétés des anneaux locaux de la géomètrie algébrique et dans
les travaux de SAMUEL sur des "anneaux à noyaux
l1 •
Cependant les
résultats les plus décisifs dans cett~ t~· rie sont ceux de
NAGATA sur les anneaux japonais
a
universellement japonais, les
anneaux de WEIERSTRASS et les critères jacobiens)et de GROTHt
DIECK sur les anneaux excellents.
Nos principales interventions dans ,cette théorie con-
sistent essentiellement en des généralisations de c~rt8ia8
résultats de ces auteurs et en l'établissement de certa~es
conjectures mises en év~dence par les travaux.
Chari tre I. FINITUDE DE LA. FERl-ŒTURE INTEGRALE
Théorème I: Soit A un anneau se~i_local noethé-
rien. Alors, les conditions suivantes sont équivalentes t
i) Pour tout anneau quotient intègre B de A. la clO-
ture intégrale B de B est un B-module de type fini.
ii) Pour tout anneau quotient intègre B de A , le séparé
•
complété B de B est:'. rédui t •

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conclusion du théorème 3 , hypothèse qui est plus forte que la
conjonction de nos hypothèses i) et ii)
Le raisonnement qui nous sert à prouver ce théorème
permet de simplifier la démonstration de ZARISKI du théorème
suivant ~
Théorème 4 (ZARISKI) Soient A un anneaU semi-local
noethérien intègre dont le séparé complété A est normal et B
une A-algèbre finie intègre contenant A et dont le corps des
fractions est une extension séparable de celui de A . On sup-
pose que , pour tout idéal premier p de hauteur 1 de B , le sé~
paré complété B de B est normal .
Le même raisonnement permet de simplifier et de générali-
ser sous la forme suivante , le théorème de "pureté'· de
ZARISKI-NAGATA .
Théorème 5
Soient S un schéma localement noethéried )
.~ : X ~ 8 un morphiRme fini et x un point de X . On suppose
1
vérifiées les conditions suivantes
i) 0 est un anneau local régulier
-S,.~ (x)
,
ii) x est un point unibranche de X où X vérifie (8
1)
(condition qui est satisfaite
iii) dim(OX )
- ,x
lorsque X et 8 sont
~ dim(OS ()
- '," X
l 't'
intègres et ~r dominante ).
iv) 'l' est non ramifié en toute générisation Xl de x dans X
telle que dim(OX 1) <: 1
- 1 X '-
Alors ~ est étale au point x )
nage de x dans X .
donc aussi dans un voisi-