A- LOGIQUE COMBINATOIRE

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Cours Circuits Electriques
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1ère partie : Electrocinétique
Chapitre 1 Introduction
L’Electrocinétique est la partie de l’Electricité qui étudie les courants électriques.
1- Courant électrique
1-1- Définitions
• Définition : un courant électrique est un mouvement d’ensemble de porteurs de charges électriques.
Métaux (cuivre, aluminium …) : électrons libres.
Charge électrique de l’électron : q = -e -1,610-19 coulomb (C). Solutions liquides (électrolytes) : ions
(cations et anions).
• Définition : le sens conventionnel du courant électrique est le sens du mouvement des porteurs de
charges positives.
Le sens conventionnel du courant est donc le sens inverse du mouvement des électrons (q < 0) :
• Définition : l’intensité du courant électrique i est la quantité d’électricité transportée par unité de
temps.
dq est la quantité d’électricité qui traverse la section du conducteur pendant la durée dt.
A.N. Dans un fil, le débit est de 100 milliards d’électrons par seconde. Calculer l’intensité
correspondante. (i = 100·10 91,610-19 / 1 = 0,016 μA).
• Le courant électrique est symbolisé par une flèche :
Le courant est positif quand on oriente la flèche du
courant dans le sens conventionnel
Le signe du courant change quand on inverse
l’orientation
1-2- Loi des noeuds (1ère loi de Kirchhoff)
Un noeud est un point de jonction de plusieurs conducteurs électriques :
La somme des intensités des courants arrivant à un noeud est égale
à la somme des intensités des courants sortant du noeud :
i1 + i2 = i3 + i4
A.N.
i1 = +1 A ; i2 = +2 A ; Calculer i3.
i1 + i2 + i3 = 0
i3 = - 3 A
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2- Tension électrique
2-1- Définitions
• Une tension électrique est une différence de potentiel électrique (ou d.d.p.) :
uAB = vA - vB
uAB (en V) : tension électrique entre les points A et B
vA (en V) : potentiel électrique du point A
vB (en V) : potentiel électrique du point B
• Le potentiel électrique est défini à
une constante près.
La référence des potentiels électriques
est la « masse électrique ».
C’est le « 0 V » :
Remarque: ne pas confondre
masse et terre
• La tension est une grandeur
algébrique : uAB = -uBA
2-2- Loi des branches (2nd loi de Kirchhoff)
• La tension totale entre deux points d’un circuit électrique est égale à la somme des tensions
intermédiaires.
uPN = uPA + uAB + uBC + uCN
Exemple :
• Une pile de fem 9 V alimente une ampoule de 6
V à travers une résistance (Fig. 6).
Calculer la tension aux bornes de la résistance.
• On place la masse au point N.
Calculer le potentiel électrique aux points P, A, B
et C.
• On place la masse au point N.
Calculer le potentiel électrique aux points P, A, B
et C. uAB= 9 – 6 = +3 V
A noter que la tension aux bornes d’un fil
électrique est pratiquement nulle : uPA uCN 0 V
•
v C = vN = 0 V
vB = +6 V
vP = vA = +9 V
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• Cas particulier d’une maille
Une maille est une branche refermée sur elle-même.
uNP + uPA + uAB + uBC + uCN = 0 : c’est la loi des mailles.
3- Relation entre courant et tension
3-1- Loi d’Ohm
Dans une résistance électrique, tension et courant sont proportionnels.
- Loi d’Ohm en convention récepteur
On parle de convention récepteur quand les orientations du courant et de la tension relatives à un dipôle
sont en sens inverse :
u = +Ri
[V]=[] [A]
R est la résistance électrique (en ohm).
- Loi d’Ohm en convention générateur
Les orientations du courant et de la tension sont dans le même sens :
u = -Ri
[V]=[] [A]
La résistance est une grandeur positive
3-2- Résistance électrique d’un conducteur ohmique
l : longueur (en m)
S : section (en m²)
: résistivité électrique du conducteur (en m)
R : résistance (en )
La résistivité dépend de la nature du conducteur et de sa température :
(T) = T0 (1 + (T - T0))
A.N. Calculer la résistance d’un câble en cuivre de 2 mètres, de section 1 mm² à 20 °C, puis à 60 °C.
- à 20 °C : R = 1,7.10-8.2/(1.10-6) = 34 m
- à 60 °C : R = 34.(1 +4.10-3(60 - 20)) = 39 m
4- Puissance et énergie électrique
4-1- Puissance électrique
• La puissance électrique mise en jeu dans un dipôle est :
p=ui
[W]=[V] [A]
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Chapitre 2 Régime continu
En régime continu, les courants et les tensions sont constants dans le temps.
1- Dipôles passifs
Un dipôle passif est un dipôle récepteur de puissance. La caractéristique tension - courant U(I) passe par
l’origine : U = 0 V I = 0 A
1-1- Dipôle passif non linéaire
La caractéristique U(I) n’est pas une droite.
- dipôle passif non linéaire symétrique : La courbe U(I) est symétrique par rapport à l’origine (Fig. 1)
- dipôle passif non symétrique : La courbe U(I) n’est pas symétrique par rapport à l’origine (Fig. 2)
Fig. 1 : Dipole passif non linéaire
Symétrique
Fig. 2 : Dipole passif non linéaire
non symétrique
1-2- Dipôle passif linéaire
La caractéristique U(I) est une droite qui passe par l’origine :
Une droite est caractérisée par sa pente. On retrouve la résistance :
R
U
[  ] (Loi d’ohm)
I
Les dipôles passifs linéaires sont donc les résistances et les conducteurs
ohmiques (résistances, potentiomètres, rhéostats, …)
Remarque : la conductance est l’inverse de la résistance : G 
1
[  1 ]
R
1-2-1- Association de dipôles passifs linéaires
Une association de dipôles passifs linéaires se comporte comme un dipôle passif linéaire de résistance
équivalente Réq.
• Association en série
• Association en parallèle
ou
.
Cas particulier de deux résistances :
Réq  R1 // R2 
R1 .R2
R1  R2
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1-2-2- Diviseur de tension
Le montage diviseur de tension permet de diviser une tension U en autant de tensions Ui qu’il y a de
résistances en série Ri :
U1=R1.I1 ; U2=R2.I2 ; U=U1+U2=(R1+R2).I1
La tension est proportionnelle à la résistance, d’où :
U1
R1

U
R1  R2
U2
R2

U
R1  R2
En général :
Exemple
E
8
9  7,2V
28
1-2-3- Diviseur de courant
Le diviseur de courant divise un courant I en autant de courants Ii qu’il y a de résistances en parallèle Ri :
- Cas particulier de deux résistances :
I1 
G1
R2
.I 
G1  G 2
R1  R2
; I2 
R1
R1  R2
1-2-4- Théorème de Millman
Le théorème de Millman est une traduction de la loi des noeuds.
V1, V2, V3 et VA désignent les potentiels électriques aux points
considérés.
Loi des noeuds au point A :
V1  VA V2  VA V3  VA


 I1'  I 2'  0
R1
R2
R3
V1 V2 V3


 I1'  I 2'
R1 R2 R3
VA 
1
1
1


R1 R2 R3
On peut aussi utiliser des tensions, à condition de les référencer
par rapport au même potentiel (généralement la masse) :
 R  U
Ui
U
i
i
'
j
j

i
1
Ri
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2- Dipôles actifs
La caractéristique U(I) ne passe pas par l’origine. Un dipôle actif n’est pas symétrique et il faut distinguer
ses deux bornes : il y a une polarité.
2-1- Dipôle actif non linéaire
La caractéristique U(I) n’est pas une droite. Exemple : pile
A vide (I = 0 A) : U = E (≠0 V)
E est appelée tension à vide ou fem (force électromotrice).
En court-circuit (U = 0 V) : I = Icc
Icc est le courant de court-circuit :
2-2- Dipôle actif linéaire
La caractéristique U(I) est une droite qui ne passe pas par l’origine.
En convention générateur :
• Résistance « interne »
L’équation de la droite est : U  E 
E
.I
I cc
avec R la résistance interne
:
Autre écriture :
3- Théorème de superposition
La tension [le courant] entre deux points d’un circuit électrique linéaire comportant plusieurs sources est
égale à la somme des tensions [courants] obtenues entre les deux points lorsque chaque source agit seule.
N.B.
- Eteindre une source de tension revient à la remplacer par un fil (source de tension nulle).
- Eteindre une source de courant revient à l’ôter du circuit (source de courant nul).
Exemple
Calculer la tension U
- Eteignons la source de tension U1 :
U'
1
3,5  0,32V
1  10
- Eteignons la source de tension U2 :
U ''
10
9  8,18V
10  1
- Finalement : U = U’ + U’’ = 8,5 V
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Chapitre 3 Régime périodique
1- Introduction : les grandeurs périodiques
• Période
Un signal périodique est caractérisé par sa période :
T [s]
• Fréquence
La fréquence f (en hertz) correspond au nombre de
périodes par unité de temps :
1
f=
[Hz]
T
• Pulsation
La pulsation est définie par : ω = 2.f [rd/s]
A.N : T = 2 ms  f = 500 Hz (500 périodes/seconde)
• Valeur moyenne
On note <u> la valeur moyenne dans le temps de la tension u(t) :
T
1
 u 
u (t )dt
T

A.N :  u 
0
1
x 10  2,5V
4
• Composante continue (DC =) et composante alternative (AC ~)
Une grandeur périodique a deux composantes :
- la composante continue (c’est la valeur moyenne ou « offset »)
- et la composante alternative
u(t) = <u> + uAC(t) :
Remarques :
- la composante alternative a une valeur moyenne nulle : <uAC> = 0
- une grandeur périodique alternative n’a pas de composante continue : <u> = 0
• Puissance électrique
p(t) = u(t)×i(t) est la puissance électrique consommée à l’instant t (ou puissance instantanée).
En régime périodique, ce n’est pas p(t) qu’il est intéressant de connaître mais la puissance moyenne
dans le temps :
T
1
P  p  u.i 
u (t ).i (t )dt
T

0
Attention : en général, <u.i> ≠ <u> <i>
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• Valeur efficace (RMS)
Par définition, la valeur efficace Ueff de la tension u(t) est :
T
U eff
1
 u  
u 2 (t )dt
T
2

0
A.N :
U eff  100 x
1
 5V
4
Remarques :
La valeur efficace est une grandeur positive.
2
2
U eff
 u  2 U AC
eff
Valeur efficace d’un courant électrique :
I eff   i 2 
• Signification physique de la valeur efficace
Soit une résistance parcourue par un courant continu ;
La résistance consomme une puissance électrique :
P = RI² = U²/R (loi de Joule)
Soit la même résistance parcourue par un courant périodique i(t) de valeur efficace Ieff :
La puissance moyenne consommée est :
P = <Ri²> = R<i²>
2
2
= RI eff = U eff / R
Pour avoir les mêmes effets thermiques, il faut que Ieff soit égal à la valeur du courant en régime continu I
(idem pour les tensions) :
La notion de valeur efficace est liée à l’énergie.
• Cas particulier des grandeurs sinusoïdales alternatives
Û , Iˆ désignent rectivement la tension, le courant
max (ou crête)
On montre que :
U eff 
Û
2
I eff 
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Iˆ
2
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2- Représentation des grandeurs sinusoïdales
2-1- Fonction mathématique
avec : - I eff : valeur efficace (A°
i(t )  Iˆ sin(t  i )  I eff 2 sin(t  i )
-
ω : pulsation (rad/s)
t : temps (s)
-
(ωt+  i ) : phase (rad)
-
 i : phase à l’origine
2-2- Représentation de Fresnel
C’est une représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales. Le vecteur de Fresnel associé au courant
i(t) est défini de la façon suivante :
Exemple :
i(t )  3 2 sin(t 
u (t )  3 2 sin(t 
2-3- Nombre complexe associé
Le nombre complexe I associé au courant i(t) est défini de la façon suivante :
I  ( I eff , i )
Le module correspond à la valeur efficace et l’argument à la phase à l’origine.
3-Déphasage (ou différence de phase) entre deux grandeurs sinusoïdales
Soit deux grandeurs sinusoïdales (de même fréquence) :
Le déphasage de u par rapport à i est par convention : u / i  u  i
 : décalage (en s) entre les deux signaux.
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
12

4
)
)
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• Déphasages particuliers
déphasage nul (t = 0) :
les grandeurs sont en phase
déphasage de 180° (= T/2) :
grandeurs en opposition de phase
N.B. Le déphasage est une grandeur algébrique :
Fig. 3 :
déphasage de 90° (= T/4) :
grandeurs en quadrature de phase
i / u  u / i
 u / i  90  : u est en quadrature avance sur i.
• Déphasage et vecteurs de Fresnel
• Déphasage et nombres complexes
A.N. Calculer le déphasage u / i
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4- Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdal
• Impédance complexe
En régime continu, un dipôle passif linéaire est caractérisé par sa résistance : R = U/I (loi d’Ohm)
En régime sinusoïdal, un dipôle passif linéaire est caractérisé par son impédance complexe Z :
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