Du volume des quotients arithmétiques de l`espace hyperbolique

Département de mathématiques
Université de Fribourg (Suisse)
Du volume des quotients arithmétiques de
l’espace hyperbolique
THESE
présentée à la Faculté des Sciences de l’Université de Fribourg (Suisse)
pour l’obtention du grade de Doctor scientiarum mathematicarum
Vincent Emery
de
Lens (VS)
Thèse no1648
UniPrint Fribourg
2009

Acceptée par la Faculté des Sciences de l’Université de Fribourg (Suisse) sur la
proposition du jury :
Prof. Dr. Anand Dessai
Université de Fribourg, Président du jury
Prof. Dr. Ruth Kellerhals
Université de Fribourg, Directrice de thèse
Dr. Mikhail Belolipetsky
University of Durham (UK), Corapporteur
Prof. Dr. Eva Bayer Fluckiger
EPF Lausanne, Corapporteur
Prof. Dr. Gopal Prasad
University of Michigan, Corapporteur
Fribourg, le 14 octobre 2009
La réalisation de cette thèse a partiellement été soutenue par le Fonds national
suisse de la recherche scientifique, projet no200020-121506/1.

Résumé
Soit Hnl’espace hyperbolique de dimension net Isom+(Hn) son groupe des
isométries préservant l’orientation. Parmi les sous-groupes discrets de Isom+(Hn)
apparaissent notamment des sous-groupes arithmétiques. Leur étude est facil-
itée par des résultats provenant de la théorie des nombres et de la théorie qui
concerne les groupes algébriques. En particulier, le volume de certains quotients
de Hnpar des sous-groupes arithmétiques peut se calculer à l’aide de la formule
de volume de Prasad. Notre travail utilise cette formule, ainsi que plusieurs ré-
sultats d’un article de Borel et Prasad, pour déterminer le volume minimal des
quotients arithmétiques de Hnpour n≥5 impair. Cela complète les résultats
précédents de Chinburg-Friedman (pour n= 3) et Belolipetsky (n≥4 pair).
3

Abstract
Let Hnbe the hyperbolic n-space and Isom+(Hn) its group of isometries pre-
serving the orientation. Among discrete subgroups of Isom+(Hn) appear arith-
metic subgroups. Some of their properties can be studied using knowledge from
number theory and the theory of algebraic groups. In particular the volume
of some n-orbifolds defined by arithmetic subgroups can be computed using
Prasad’s volume formula. In this thesis we use this formula and some results
from an article of Borel and Prasad to determine the minimal volume of arith-
metic hyperbolic n-orbifolds, with n≥5 odd. This completes previous results of
Chinburg-Friedman (for n= 3) and Belolipetsky (n≥4 even) about minimality
of volume of arithmetic hyperbolic orbifolds.
5