exposé (2)

Preuve des Conjectures de Weil, en dehors de l’hypothèse de Riemann
Dajano Tossici
Rencontre ANR, ARIVAF, 19-21 Décembre 2012, Paris, IHP
Notation : Quand on cite des resultats deja traité dans un rencontre Arivaf precedent on met
entre parenthése l’exposé correspondent.
Le but de cet éxposé est de prouver les Conjectures de Weil, sauf que l’hypothèse de Riemann.
Dans la suite p notera un nombre premier fixé, q := pm , pour un entier m fixé et l sera toujours
un premier different de p. Si k est un corps k sera une clôture algébrique fixé.
1. Rappel de définitions
Soit X un schéma sur k.
Définition 1.1. Un faisceau l-adique (ou un faisceau de Zl -modules) sur Xet est un systeme
projective F = (Fn )n∈N de faisceaux de groupes abeliens tel que, pour tout n ∈ N, le morphisme
donné Fn+1 −→ Fn induce un isomorphisme Fn+1 /ln Fn+1 −→ Fn . On dit que F est constructible
si pour tout n existe X = ∪Xi,n avec Xi,n localement fermé et Fn est localement constant. On
dit que F est constant tordu constructible si les Fn sont localement constant pour tout n.
Définition 1.2. La catégorie de faisceaux constructibles de Ql -espaces vectoriels a comme objets
les faisceaux constructibles l-adiques. Si F et G sont deux faisceax constructible on note F ⊗ Ql
et G ⊗ Ql les même faisceaux vus comme faisceaux de Ql -espaces vectoriels et on pose
Hom(F ⊗ Ql , G ⊗ Ql ) = Hom(F, G) ⊗Zl Ql .
Un Ql -faisceau est constant tordu constructible si il l’est comme faisceau l-adique.
Définition 1.3. Soit F un faisceau l-adique. On pose
H r (X, F) := lim
H r (X, Fn ).
←
n
et
H r (X, Fn ) ⊗ Ql .
H r (X, F ⊗ Ql ) := lim
←
n
Voir [To] pour plus details.
2. Énoncé des conjectures de Weil
Définition 2.1. Sot X une variéte algebrique sur un corps fini k = Fq . La fonction zêta de X/Fq
est la série formelle à coefficients rationels
X
tm
Z(X, t) = exp(
Nm )
m
m≥1
où Nm est le nombre des élements de X(km ), avec km l’unique extension de k de degré m.
Soit X une variété projective lisse sur un corps fini Fq , geométriquement connexe de dimension
d. Les conjectures de Weil peuvent se formuler comme suit :
(1) (Rationalité) La fonction zêta de X/Fq est une fraction rationelle. Plus precisement
Z(X, t) =
P1 (X, t) · · · P2d−1 (X, t)
P0 (X, t) · · · P2d (X, t)
avec Pi (X, t) = det(1 − F t|H r (Xk , Ql )). De plus les Pi sont à coefficients entiers et
F0 (X, t) = 1 − t et F2d (X, t) = 1 − q d t. La formule ci-dessus est dit interpretation cohomologique de la fonction Z(X, t).
1
2
P
(2) (Équation functionelle) Soit χ(X) := i (−1)i deg Pi la caractéristique de Euler-Poincare
de X. Pour un certain signe ε = ±1, la fonction zêta de X/Fq vérifie l’équation
1
Z(X, d ) = q dχ(X)/2 tχ(X) Z(X, t).
q t
(3) (Hypothése de Riemann) Les racines des Pi et ses conjugués sont nombres algèbriques de
module q −i/2 .
(4) (Interprétation topologique) Supposons que X provienne, par reduction modulo un idéal
premier, d’un schéma X projectif et lisse sur l’anneau des entiers d’un corps de nombres.
Alors deg(Pi ) = hiBetti (XCan ) pour tout i.
3. Preuve Rationnelité
3.1. Frobenius et Formula de la Trace. Soit f : X −→ Spec(k) un k-schéma. Soit FX le
m-ième itéré du Frobenius absolu. On remarque que en fait il coïncide avec le m-iémé itéré du
Frobenius relatif FX/k , car le m-iéme itéré du frobenius sur k est l’identité.
On peut montrer que FX induit un isomorphisme de topos Sh(Xet ) −→ Sh(Xet ). Plus precisement il existe pour tout faisceau F un isomorphisme
FF /X : F −→ F∗X (F).
On remarque que si x ∈ X(Fq ) il induit un endomorphisme de Fx .
On remarque que FX /k est FX/k × idk . Donc F∗X /k (p∗1 F) = p∗1 (F∗X/k (F)) où p1 : Xk −→ X
k
k
est la projection naturelle. Ainsi on a un isomorphisme
p∗1 (FF /X ) : p∗1 (F) −→ p∗1 (F∗X/k (F)).
Pour cela on obtient le Frobenius induit un morphisme
F∗ : H r (Xk , p∗1 (F)) −→ H r (Xk , F∗Xk/k p∗1 (F))
−1
p∗
1 (FF /X )
−→
H r (Xk , p∗1 (F))
où la premiere fleche est donnée par fonctorialité.
Théorème 3.1. (Formule de la Trace de Lefschetz.) Soit X un schéma propre sur Fq et soit F
un Ql -faisceau constructible sur X. Alors pour tout m
X
∗
T r(p∗1 (Fm −1
F /X ), p1 (F)x ) =
2d
X
(−1)i T r((Fm )∗ , H i (X, Ql )).
i=0
x∈X(Fq )
Démonstration. Voir [SGA 4 1/2, Théorème 3.2, Rapport]. ([Pe]).
On remarque que si F = Ql alors le membre de gauche est exactement le nombre de points de
X(k) car F−1
F /X = id.
3.2. Preuve. Pour la Formula de la trace de Lefschetz on a
X
tm
Z(X, t) = exp(
Nm )
m
m>0
2d
XX
tm
(−1)i T r((Fm )∗ , H i (Xk , Ql )) )
m
m>0 i=0
= exp(
=
2d
Y
i=0
exp(
X
(−1)i T r((Fm )∗ , H i (Xk , Ql ))
m>0
tm
).
m
Pour montrer l’interpretation cohomologique il suffit de montrer le lemma suivant.
3
Lemme 3.2. Soit V un espace vectoriel sur un corps k et soit ϕ un endomorphisme de V . Alors
on a
X
tm
T r(ϕm ) .
ln(det(1 − ϕt|V )) = −
m
m>0
Démonstration. Si V a dimension 1 alors on a que ϕ est la multiplication pour un a ∈ k et donc
ln(det((1 − ϕt)|V )) = ln(1 − at)
X
tm
=−
am
m
m>0
X
tm
=−
T r(ϕm ) .
m
m>0
Si V a dimension n > 1 alors on choisit une base E de V tel que la matrice associé à E soit
triangulier. Soient a1 , . . . , an les éléments sur la diagonal. Alors
n
Y
(det((1 − ϕt)|V ) =
(1 − ai t)
i=1
m
et la matrice associé à ϕm a sur la diagonal les éléments am
1 , . . . , an .
Donc
n
n
n
Y
X
X
X
tm
)
ln(det((1 − ϕt)|V )) = ln( (1 − ai t)) =
(ln(1 − ai t)) =
(−
am
i
m
m>0
i=1
i=1
i=1
=−
n
XX
X
tm
tm
(am
=−
T r(ϕm ) .
i )
m
m
m>0 i=1
m>0
Maintenant on va montrer que les Pi (t) ont coefficients entiers en supposant l’hypothése de
Riemann.
On vient de montrer que Z(X, t) ∈ Ql (t). SoitPBr le nombre des point fermés de X avec corps
residuel d’ordre q r , i.e. de degré r. On a Nm = r|m rBr On remarque que
X
tm
Z(X, t) = exp(
Nm )
m
m>0
XX
tm
= exp(
rBr )
m
m>0
r|m
= exp(
X
r,i>0
rBr
tir
)
ir
X
X tir
= exp(
Br
)
i
r>0
i
X
= exp(
−Br ln(1 − tr ))
r>0
1
(1
−
tr )Br
r>0
Y
1
∈ Z[[t]]
=
deg(x)
1
−
t
x∈X,xfermé
=
Y
Donc Z(X, t) ∈ Z[[t]] ∩ Ql (t) qui implique Z(X, t) ∈ Q(t) pour le lemma suivant.
4
Lemme 3.3. Soit k ⊆ K une extension de corps. Alors
k[[t]] ∩ K(t) ⊆ k(t).
Démonstration. Soit

an

A(q)
n =
an+q−1
an+1
..
.
...
..
.
an+q−1
an+q
...
an+2q−2



P∞
et
son determinant. Il suffit de montrer que, pour tout corps L, si f (t) = i=0 ai ti ∈ L[[t]],
(M )
alors f (t) ∈ L(t) si et seulement s’il existent M > 0 et N > 0 tels que Hs
= 0 pour tout
s ≥ N . En fait si f (t) ∈ k[[t]] ∩ K(t) alors le discriminant est nulle en K et donc a fortiori en k,
qui implique que f (t) ∈ k(t) On montre maintenant l’assertion
Pm faite. On remarque d’abord que
f (t) ∈ L(t) si et seulement s’il existe un polynome Q(t) = i=0 bi ti ∈ L[t] tel que f (t)Q(t) ∈ L[t].
(M )
Donc si f (t) ∈ L(t) alors Hs = 0 pour tout M > m et s > deg(f (t)Q(t)).
(M )
(M 0 )
Suppose maintenant que Hs = 0 pour tout s ≥ N . Bien sur on a aussi que Hs
= 0 pour
tout M 0 ≥ M et s ≥ N . On peut montrer que pour tout n ≥ 0 et q ≥ 1
(q)
Hn
(q)
(q)
Hn+2 Hn(q) − Hn(q+1) Hn(q−1) = (Hn+1 )2 .
(1)
(M −1)
(M −1)
= 0 pour tout s ≥ N . En
6= 0 pour tout s ≥ N + 1 soit Hs
Donc on a que soit Hs
(M −1) (M −1)
(M −1) 2
) pour tout s ≥ N + 1. Dans le premier cas
fait on a que, pour (1), Hs+1 Hs−1
= (Hs
(M )
est le même pour tout s ≥ N
on que l’espace des solution du systeme lineaire associé à As
et donc il existe Q(t) tel que f (t)Q(t) ∈ L[t]. Dans le deuxieme cas on peut remplacer M avec
(M̃ )
= 0 pour tout s ≥ N + 1 et
le plus petit entier strictement positif M̃ , s’il existe, tel que Hs
(0)
(M̃ −1)
6= 0 pour tout s ≥ N + 1. Si tel M̃ n’exist pas alors Hs = 0 pour tout s ≥ N + 1 et
Hs
donc f (t) ∈ L[t].
Soient P (t), Q(t) ∈ Z[t] premiers entre eux tels que P (t)/Q(t) = f (t). En fait on voit que car
le term constant de f est 1 alors forcement le terme constant de P (t) et Q(t) est 1 ou −1. Et on
peut supposer qu’il est positif. On a montré que
P1 (X, t) · · · P2d−1 (X, t)
.
Z(X, t) =
P0 (X, t) · · · P2d (X, t)
Car les Pi sont premiers entre eux pour l’hypothése de Riemann alors on a que
P (t) = P1 (X, t) · · · P2d−1 (X, t)
et
Q(t) = P0 (X, t) · · · P2d (X, t).
Soit K le sous-corps d’une clôture algébrique de Ql engéndré sur Q par les racines de R(t) =
P (t)Q(t). Alors les racines de Pi (t) sont celles racines de R(t) ayants la propriété que tous leur
conjugués complexes sont de valeur absolue q −i/2 . Cet ensemble est stable par Gal(K/Q) et donc
les Pi (t) ∈ Q[t]. En effet, pour le Lemme de Gauss ils ont les coefficients dans Z. En particulier le
polynome Pi (t) est independent de l, car ses racines sont independent de l (ils sont zero et poles
de Z(X, t)).
Finalement on remarque que H 0 (Xk , Ql ) ' Ql et que il Frobenius est l’identité sur Ql . On
a que F agit comme multiplication par q d sur H 2d (Xk̄ , Ql ) ' Ql (−d). Donc P0 (t) = 1 − t et
P2d (t) = 1 − q d t.
5
3.3. Interpretation cohomologique fonctions L. Soit X une variété propre algébrique sur
Fq et F un Ql -faisceau constructible sur Fq . Soit x un point fermé de x alors on va definir Fx
comme l’endomorphism Fydeg(x) : Fy −→ Fy , où y est un point fermé de Xk la même orbite de x
par FX /k . On montre que cette définition ne depende pas de y.
k
Définition 3.4. On appélle fonction L la fonction
Y
Z(X, F, t) =
det(1 − F∗x tdeg(x) , Fx )−1
x∈X,x fermé
La fonction Z(X, t) est le cas particulier F = Ql . On aussi pour les fonctions L une interpretation cohomologique dont la preuve est similaire au cas de la fonction Z.
Proposition 3.5. En utilisant le notations precedents on a
Z(X, F, t) =
2d
Y
det(1 − F∗ t, H i (X, F))(−1)
i+1
.
i=1
4. Preuve de l’Équation fonctionelle
4.1. Dualité de Poincaré.
Théorème 4.1. (Dualité de Poincaré) Soit X une varieté propre et lisse purement de dimension
n sur un corps algèbriquement clos k. Alors il existe une dualité parfaite
η(X)
∪
H i (X, Ql ) ⊗ H 2n−i (X, Ql ) −→ H 2d (X, Ql ) ' Ql (−n).
Démonstration. Voir [Mi, Cor. VI 11.2] ([Ca2]).
d
2d
4.2. Preuve. On a que F agit comme multiplication par q sur H (Xk̄ , Ql ), car celui-là est
isomorphe à Ql (−d).
Bien sur on a que x est vecteur propre de valeur propre α de (F∗ , H 2d−i (Xk̄ ) si et seulement
si tout y tel que x ∪ y 6= 0 est vector propre de (F∗ , H 2d−i (Xk̄ ) de valeur propre α. De plus pour
fonctorialité on a que, si x est un vector propre de (F∗ , H i (Xk̄ , Ql )) de valeur propre αi alors, si
x ∪ y 6= 0, y est un vector propre de (F∗ , H 2d−i (Xk̄ , Ql )) de valuer propre q d /αi . En fait, si F∗
est l’endomorphisme de H 2d−i (Xk̄ , Ql ) obtenu par dualité à partir de (F∗ , H 2d−i (Xk̄ , Ql )),
ηXk (x ∪ F∗ F∗ y)) = ηXk (F∗ x ∪ F∗ y) = ηXk (F∗ (x ∪ y)) = ηXk (q d (x ∪ y)) = ηXk (x ∪ q d y).
Donc F∗ F∗ y = q d y, qui implique que F∗ et F∗ sont inversibles et y est un vecteur propre de
Q ri
Qri
d
valeur propre q d /αi . Ainsi si Pi (t) = k=1
(1 − αik t) alors P2d−i = k=1
(1 − αqik t), oú ri est le
degré de Pi (qui est égal au degré de P2d−i ).
Ainsi
ri
ri
Y
Y
qd 1
d
ri
)(−1) (
P2d−i (1/q t) =
(1 −
αik )−1 t−ri Pi (t)
αik t
k=1
et
Pi (1/q d t) =
ri
Y
(1 −
k=1
k=1
αik
)(−1)ri (
qd t
ri
Y
αik )(q d t)
−ri
P2d−i (t)
k=1
Finalement on a
Y
Z(X, 1/q d t) = (
i+1
/2
Pd (1/q d t)
i+1
/2
(−1)rd (
Pi (1/q d t)P2d−i (1/q d t))(−1)
i6=d
=(
Y
i6=d
−ri
(q d t2 )
Pi (t)P2d−i (t))(−1)
rd
Y
k=1
−rd
αdk )(q d t)
d+1
Pd (t)(−1)
6
Car pour l’hypothése de Riemann
Qrd
k=1
αdk = ±q drd /2 alors on a que
Z(X, 1/q d t) = (−1)rd +µ q dχ(Xk )/2 tχ(Xk ) Z(X, t).
où µ est le nombre de valeurs propres de (F∗ , H d (Xk , Ql )) égales á −q d/2 .
5. Preuve de l’interprétation topologique
Théorème 5.1. Soit X0 une variété propre et lisse sur un corps algébriquement clos relévable à
une variéte propre et lisse X1 sur un a.v.d. R de caractéristique 0. Si K = F rac(R), alors pour,
tout faisceau constant tordu constructible F sur X1 , H r (X0 , F|X0 ) ' H r ((X1 )K , F|(X1 )K ).
Démonstration. C’est une consequence du théorème de changemente de base propre et lisse. Voir
[Mi, VI Cor. 4.2] ([Ca]).
Théorème 5.2. Soit X une variété lisse sur un corps de caractéristique 0. Alors, pour tout
Ql -faisceau constant tordu constructible F, H r (X, F) ' H r (Xan , F)
Démonstration. Voir [SGA 4, exposé XI] ([Br]).
On va appliquer les théorème precedents avec F = Ql . On remarque que degPi = dimQl H i (X, Ql ).
Références
[Br] S. Brochard, Comparaison Cohomologie Betti/ Cohomologie l-adique, Arivaf 4 : Cohomologie l-adique,
exposé 5.
[Ca] A. Cadoret, Changement de base lisse, Arivaf 2 : Cohomologie étale, exposé 9.
[Ca2] A. Cadoret, La Cohomologie l-adique est une cohomologie de Weil, Arivaf 4 : Cohomologie l-adique,
exposé 3.
[De] P. Deligne P, La conjecture de Weil I, PUBL. IHES 43 (1974), 273–307.
[Mi] J. S. Milne , Étale cohomology, Princeton University Press, 1980.
[Pe] C. Pépin, La formule des traces de Lefschetz-Verdier, Arivaf 4 : Cohomologie l-adique, exposé 4.
[SGA 4] Artin, M., A. Grothendieck, J.-L. Verdier Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, 1963–1964,
Lecture Notes in Mathematics 269, 270 and 305, 1972/3
[SGA 4 1/2] P. Deligne et al., Cohomologie étale, Lecture Notes Math. 569, Springer, 1977.
[To] D. Tossici Faisceux l-adiques, Arivaf 4 Cohomologie l-adique, exposé 1.