exposé (2)

Preuve des Conjectures de Weil, en dehors de l’hypothèse de Riemann
Dajano Tossici
Rencontre ANR, ARIVAF, 19-21 Décembre 2012, Paris, IHP
Notation : Quand on cite des resultats deja traité dans un rencontre Arivaf precedent on met
entre parenthése l’exposé correspondent.
Le but de cet éxposé est de prouver les Conjectures de Weil, sauf que l’hypothèse de Riemann.
Dans la suite pnotera un nombre premier fixé, q:= pm, pour un entier mfixé et lsera toujours
un premier different de p. Si kest un corps ksera une clôture algébrique fixé.
1. Rappel de définitions
Soit Xun schéma sur k.
Définition 1.1. Un faisceau l-adique (ou un faisceau de Zl-modules) sur Xet est un systeme
projective F= (Fn)n∈Nde faisceaux de groupes abeliens tel que, pour tout n∈N, le morphisme
donné Fn+1 −→ Fninduce un isomorphisme Fn+1/lnFn+1 −→ Fn. On dit que Fest constructible
si pour tout nexiste X=∪Xi,n avec Xi,n localement fermé et Fnest localement constant. On
dit que Fest constant tordu constructible si les Fnsont localement constant pour tout n.
Définition 1.2. La catégorie de faisceaux constructibles de Ql-espaces vectoriels a comme objets
les faisceaux constructibles l-adiques. Si Fet Gsont deux faisceax constructible on note F ⊗ Ql
et G ⊗ Qlles même faisceaux vus comme faisceaux de Ql-espaces vectoriels et on pose
Hom(F ⊗ Ql,G ⊗ Ql) = Hom(F,G)⊗ZlQl.
Un Ql-faisceau est constant tordu constructible si il l’est comme faisceau l-adique.
Définition 1.3. Soit Fun faisceau l-adique. On pose
Hr(X, F) := lim
←
n
Hr(X, Fn).
et
Hr(X, F ⊗ Ql) := lim
←
n
Hr(X, Fn)⊗Ql.
Voir [To] pour plus details.
2. Énoncé des conjectures de Weil
Définition 2.1. Sot Xune variéte algebrique sur un corps fini k=Fq. La fonction zêta de X/Fq
est la série formelle à coefficients rationels
Z(X, t) = exp( X
m≥1
Nm
tm
m)
où Nmest le nombre des élements de X(km), avec kml’unique extension de kde degré m.
Soit Xune variété projective lisse sur un corps fini Fq, geométriquement connexe de dimension
d. Les conjectures de Weil peuvent se formuler comme suit :
(1) (Rationalité) La fonction zêta de X/Fqest une fraction rationelle. Plus precisement
Z(X, t) = P1(X, t)· · · P2d−1(X, t)
P0(X, t)· · · P2d(X, t)
avec Pi(X, t) = det(1 −Ft|Hr(Xk,Ql)). De plus les Pisont à coefficients entiers et
F0(X, t)=1−tet F2d(X, t)=1−qdt. La formule ci-dessus est dit interpretation coho-
mologique de la fonction Z(X, t).
1

2
(2) (Équation functionelle) Soit χ(X) := Pi(−1)ideg Pila caractéristique de Euler-Poincare
de X. Pour un certain signe ε=±1, la fonction zêta de X/Fqvérifie l’équation
Z(X, 1
qdt) = qdχ(X)/2tχ(X)Z(X, t).
(3) (Hypothése de Riemann) Les racines des Piet ses conjugués sont nombres algèbriques de
module q−i/2.
(4) (Interprétation topologique) Supposons que Xprovienne, par reduction modulo un idéal
premier, d’un schéma Xprojectif et lisse sur l’anneau des entiers d’un corps de nombres.
Alors deg(Pi) = hi
Betti(Xan
C)pour tout i.
3. Preuve Rationnelité
3.1. Frobenius et Formula de la Trace. Soit f:X−→ Spec(k)un k-schéma. Soit FXle
m-ième itéré du Frobenius absolu. On remarque que en fait il coïncide avec le m-iémé itéré du
Frobenius relatif FX/k, car le m-iéme itéré du frobenius sur kest l’identité.
On peut montrer que FXinduit un isomorphisme de topos Sh(Xet)−→ Sh(Xet). Plus preci-
sement il existe pour tout faisceau Fun isomorphisme
FF/X :F −→ F∗
X(F).
On remarque que si x∈X(Fq)il induit un endomorphisme de Fx.
On remarque que FXk/k est FX/k ×idk. Donc F∗
Xk/k(p∗
1F) = p∗ 1(F∗
X/k(F)) où p1:Xk−→ X
est la projection naturelle. Ainsi on a un isomorphisme
p∗
1(FF/X ) : p∗ 1(F)−→ p∗ 1(F∗
X/k(F)).
Pour cela on obtient le Frobenius induit un morphisme
F∗:Hr(Xk, p∗
1(F)) −→ Hr(Xk,F∗ Xk/k p∗ 1(F)) p∗
1(F−1
F/X )
−→ Hr(Xk, p∗
1(F))
où la premiere fleche est donnée par fonctorialité.
Théorème 3.1. (Formule de la Trace de Lefschetz.) Soit Xun schéma propre sur Fqet soit F
un Ql-faisceau constructible sur X. Alors pour tout m
X
x∈X(Fq)
T r(p∗
1(Fm−1
F/X ), p∗
1(F)x) =
2d
X
i=0
(−1)iT r((Fm)∗, Hi(X, Ql)).
Démonstration. Voir [SGA 4 1/2, Théorème 3.2, Rapport]. ([Pe]). 
On remarque que si F=Qlalors le membre de gauche est exactement le nombre de points de
X(k)car F−1
F/X = id.
3.2. Preuve. Pour la Formula de la trace de Lefschetz on a
Z(X, t) = exp( X
m>0
Nm
tm
m)
= exp( X
m>0
2d
X
i=0
(−1)iT r((Fm)∗, Hi(Xk,Ql))tm
m)
=
2d
Y
i=0
exp( X
m>0
(−1)iT r((Fm)∗, Hi(Xk,Ql))tm
m).
Pour montrer l’interpretation cohomologique il suffit de montrer le lemma suivant.

3
Lemme 3.2. Soit Vun espace vectoriel sur un corps ket soit ϕun endomorphisme de V. Alors
on a
ln(det(1 −ϕt|V)) = −X
m>0
T r(ϕm)tm
m.
Démonstration. Si Va dimension 1alors on a que ϕest la multiplication pour un a∈ket donc
ln(det((1 −ϕt)|V)) = ln(1 −at)
=−X
m>0
amtm
m
=−X
m>0
T r(ϕm)tm
m.
Si Va dimension n > 1alors on choisit une base Ede Vtel que la matrice associé à Esoit
triangulier. Soient a1, . . . , anles éléments sur la diagonal. Alors
(det((1 −ϕt)|V) =
n
Y
i=1
(1 −ait)
et la matrice associé à ϕma sur la diagonal les éléments am
1, . . . , am
n.
Donc
ln(det((1 −ϕt)|V)) = ln(
n
Y
i=1
(1 −ait)) =
n
X
i=1
(ln(1 −ait)) =
n
X
i=1
(−X
m>0
am
i
tm
m)
=−X
m>0
n
X
i=1
(am
i)tm
m=−X
m>0
T r(ϕm)tm
m.
Maintenant on va montrer que les Pi(t)ont coefficients entiers en supposant l’hypothése de
Riemann.
On vient de montrer que Z(X, t)∈Ql(t). Soit Brle nombre des point fermés de Xavec corps
residuel d’ordre qr, i.e. de degré r. On a Nm=Pr|mrBrOn remarque que
Z(X, t) = exp( X
m>0
Nm
tm
m)
= exp( X
m>0X
r|m
rBr
tm
m)
= exp( X
r,i>0
rBr
tir
ir )
= exp(X
r>0
BrX
i
tir
i)
= exp(X
r>0
−Brln(1 −tr))
=Y
r>0
1
(1 −tr)Br
=Y
x∈X,xfermé
1
1−tdeg(x)∈Z[[t]]
Donc Z(X, t)∈Z[[t]] ∩Ql(t)qui implique Z(X, t)∈Q(t)pour le lemma suivant.

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Lemme 3.3. Soit k⊆Kune extension de corps. Alors
k[[t]] ∩K(t)⊆k(t).
Démonstration. Soit
A(q)
n=
anan+1 . . . an+q−1
.
.
..
.
.
an+q−1an+q. . . an+2q−2
et H(q)
nson determinant. Il suffit de montrer que, pour tout corps L, si f(t) = P∞
i=0 aiti∈L[[t]],
alors f(t)∈L(t)si et seulement s’il existent M > 0et N > 0tels que H(M)
s= 0 pour tout
s≥N. En fait si f(t)∈k[[t]] ∩K(t)alors le discriminant est nulle en Ket donc a fortiori en k,
qui implique que f(t)∈k(t)On montre maintenant l’assertion faite. On remarque d’abord que
f(t)∈L(t)si et seulement s’il existe un polynome Q(t) = Pm
i=0 biti∈L[t]tel que f(t)Q(t)∈L[t].
Donc si f(t)∈L(t)alors H(M)
s= 0 pour tout M > m et s > deg(f(t)Q(t)).
Suppose maintenant que H(M)
s= 0 pour tout s≥N. Bien sur on a aussi que H(M0) s= 0 pour
tout M0≥Met s≥N. On peut montrer que pour tout n≥0et q≥1
(1) H(q)
n+2H(q)
n−H(q+1) nH(q−1) n= (H(q)
n+1)2.
Donc on a que soit H(M−1)
s6= 0 pour tout s≥N+ 1 soit H(M−1) s= 0 pour tout s≥N. En
fait on a que, pour (1), H(M−1)
s+1 H(M−1) s−1= (H(M−1)
s)2pour tout s≥N+ 1. Dans le premier cas
on que l’espace des solution du systeme lineaire associé à A(M)
sest le même pour tout s≥N
et donc il existe Q(t)tel que f(t)Q(t)∈L[t]. Dans le deuxieme cas on peut remplacer Mavec
le plus petit entier strictement positif ˜ M, s’il existe, tel que H(˜
M)
s= 0 pour tout s≥N+ 1 et
H(˜
M−1)
s6= 0 pour tout s≥N+ 1. Si tel ˜
Mn’exist pas alors H(0)
s= 0 pour tout s≥N+ 1 et
donc f(t)∈L[t].
Soient P(t), Q(t)∈Z[t]premiers entre eux tels que P(t)/Q(t) = f(t). En fait on voit que car
le term constant de fest 1alors forcement le terme constant de P(t)et Q(t)est 1ou −1. Et on
peut supposer qu’il est positif. On a montré que
Z(X, t) = P1(X, t)· · · P2d−1(X, t)
P0(X, t)· · · P2d(X, t).
Car les Pisont premiers entre eux pour l’hypothése de Riemann alors on a que
P(t) = P1(X, t)· · · P2d−1(X, t)
et
Q(t) = P0(X, t)· · · P2d(X, t).
Soit Kle sous-corps d’une clôture algébrique de Qlengéndré sur Qpar les racines de R(t) =
P(t)Q(t). Alors les racines de Pi(t)sont celles racines de R(t)ayants la propriété que tous leur
conjugués complexes sont de valeur absolue q−i/2. Cet ensemble est stable par Gal(K/Q)et donc
les Pi(t)∈Q[t]. En effet, pour le Lemme de Gauss ils ont les coefficients dans Z. En particulier le
polynome Pi(t)est independent de l, car ses racines sont independent de l(ils sont zero et poles
de Z(X, t)).
Finalement on remarque que H0(Xk,Ql)'Qlet que il Frobenius est l’identité sur Ql. On
a que Fagit comme multiplication par qdsur H2d(X¯
k,Ql)'Ql(−d). Donc P0(t) = 1 −tet
P2d(t)=1−qdt.

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3.3. Interpretation cohomologique fonctions L.Soit Xune variété propre algébrique sur
Fqet Fun Ql-faisceau constructible sur Fq. Soit xun point fermé de xalors on va definir Fx
comme l’endomorphism Fdeg(x)
y:Fy−→ Fy, où yest un point fermé de Xkla même orbite de x
par FXk/k. On montre que cette définition ne depende pas de y.
Définition 3.4. On appélle fonction Lla fonction
Z(X, F, t) = Y
x∈X,x fermé
det(1 −F∗
xtdeg(x),Fx)−1
La fonction Z(X, t)est le cas particulier F=Ql. On aussi pour les fonctions Lune interpre-
tation cohomologique dont la preuve est similaire au cas de la fonction Z.
Proposition 3.5. En utilisant le notations precedents on a
Z(X, F, t) =
2d
Y
i=1
det(1 −F∗t, Hi(X, F))(−1)i+1 .
4. Preuve de l’Équation fonctionelle
4.1. Dualité de Poincaré.
Théorème 4.1. (Dualité de Poincaré) Soit Xune varieté propre et lisse purement de dimension
nsur un corps algèbriquement clos k. Alors il existe une dualité parfaite
Hi(X, Ql)⊗H2n−i(X, Ql)∪ −→ H2d(X, Ql)η(X) 'Ql(−n).
Démonstration. Voir [Mi, Cor. VI 11.2] ([Ca2]). 
4.2. Preuve. On a que Fagit comme multiplication par qdsur H2d(X¯
k,Ql), car celui-là est
isomorphe à Ql(−d).
Bien sur on a que xest vecteur propre de valeur propre αde (F∗, H2d−i(X¯
k)si et seulement
si tout ytel que x∪y6= 0 est vector propre de (F∗, H2d−i(X¯
k)de valeur propre α. De plus pour
fonctorialité on a que, si xest un vector propre de (F∗, Hi(X¯
k,Ql)) de valeur propre αialors, si
x∪y6= 0,yest un vector propre de (F∗, H2d−i(X¯
k,Ql)) de valuer propre qd/αi. En fait, si F∗
est l’endomorphisme de H2d−i(X¯
k,Ql)obtenu par dualité à partir de (F∗, H2d−i(X¯ k,Ql)),
ηXk(x∪F∗F∗y)) = ηXk(F∗x∪F∗y) = ηXk(F∗(x∪y)) = ηXk(qd(x∪y)) = ηXk(x∪qdy).
Donc F∗F∗y=qdy, qui implique que F∗et F∗sont inversibles et yest un vecteur propre de
valeur propre qd/αi. Ainsi si Pi(t) = Qri
k=1(1 −αikt)alors P2d−i=Qri k=1(1 −qd
αik t), oú riest le
degré de Pi(qui est égal au degré de P2d−i).
Ainsi
P2d−i(1/qdt) =
ri
Y
k=1
(1 −qd
αik
1
t)(−1)ri(
ri
Y
k=1
αik)−1t−riPi(t)
et
Pi(1/qdt) =
ri
Y
k=1
(1 −αik
qdt)(−1)ri(
ri
Y
k=1
αik)(qdt)−riP2d−i(t)
Finalement on a
Z(X, 1/qdt) = (Y
i6=d
Pi(1/qdt)P2d−i(1/qdt))(−1)i+1/2Pd(1/qdt)
= (Y
i6=d
(qdt2)−riPi(t)P2d−i(t))(−1)i+1/2(−1)rd(
rd
Y
k=1
αdk)(qdt)−rdPd(t)(−1)d+1