Petits problèmes au quotidien

1. Le périmètre d’un rectangle est de 100 cm et sa diagonale a une longueur de x.
Exprime l’aire du rectangle en fonction de x.
2. En choisissant 3 points au hasard sur cette grille, où chaque point est équiprobable, En choisissant 3 points au hasard sur cette grille, où chaque point est équiprobable,En choisissant 3 points au hasard sur cette grille, où chaque point est équiprobable,
quelle est la probabilité que les 3 points forment une ligne droite?
3. Dans une étable, il y a des ouvriers et des chevaux. En tout, il y a 22 têtes, ainsiDans une étable, il y a des ouvriers et des chevaux. En tout, il y a 22 têtes, ainsi
que 72 pattes et jambes. Combien y a-t-il d’ouvriers et de chevaux?
4. Albert dépense tout son avoir dans 5 magasins. Dans chacun d’eux, il dépenseAlbert dépense tout son avoir dans 5 magasins. Dans chacun d’eux, il dépense
1$ de plus que la moitié qu’il avait en entrant dans le magasin. Quel était l’avoir
d’Albert lorsqu’il est entré dans le premier magasin?
5. Un vol de Chicago à Tokyo devait prendre 13 heures, mais le départ a été reportéUn vol de Chicago à Tokyo devait prendre 13 heures, mais le départ a été reporté
de 52 minutes. Comment le pilote doit-il modier sa vitesse moyenne pour que
le vol arrive à l’heure?
6. Marc et Andrée jouent à pile ou face avec une pièce de monnaie. Chacun choisitMarc et Andrée jouent à pile ou face avec une pièce de monnaie. Chacun choisit
un des 4 cas possibles lorsqu’on tire la pièce à 2 reprises (FF, FP, PF, PP). La
pièce est lancée jusqu’à ce qu’une des séquences choisies par un joueur se
produise. Si Marc choisit FF et qu’Andrée choisit PF, les chances de gagner
sont-elles égales?
7. Une boîte contient 6 pièces de monnaie pipées et 4 normales. Quand une pièceUne boîte contient 6 pièces de monnaie pipées et 4 normales. Quand une pièce
pipée est lancée, la probabilité d’avoir le côté face est de
8
10
. Alors que pour la
pièce normale, c’est
1
2
. Une pièce est aléatoirement sortie de la boîte et lancée
dans les airs. Quelle est la probabilité qu’elle ait le côté face? Une extension
possible à ce problème serait de demander FF en gardant cette pièce ou en
pigeant une seconde fois avec remise ou sans remise.
8. Quel est le plus grand nombre entier qui est avec certitude un facteur de la sommeQuel est le plus grand nombre entier qui est avec certitude un facteur de la somme
de toutes les sommes de 4 nombres impairs consécutifs et positifs?
Petits problèmes au quotidien
Jean-Pierre Marcoux, C.S. des Découvreurs
[email protected]
Traduction et adaptation de problèmes tirés des revues
provenant du NCTM (janvier 2003, septembre 2005,
mai 2005 et novembre 2005)
Solutions aux pages :
43-44
gure 2
GRMS ENVOL no 138 — janvier-février-mars 2007 7
• •• •
• •• •
• •• •

1.
2500-
2
2
2
x
cm .
On a le rectangle ci-dessous. L’aire est donc (50 – h)* h, ce qui est égal à 50h – h2. Pour avoir la relation selon
x, on utilise le théorème de Pythagore pour obtenir h2 + (50 – h)2 = x2. En développant les carrés, nous avons
2500 – 100h + 2h2 = x2. Deux fois l’aire équivaut à 100h – 2h2. Donc, par substitution, on a 2500 – 2A = x2 et en
isolant, A=
2500
2
2
2
−x
cm
.
2.
2
21
.
Nous avons 3 différents types de point de départ. Type 1 : commençant avec le point du milieu, la probabilité est de
1
9
, ensuite tous les autres points seraient utiles pour tracer une droite d’où
8
8
. Deux points étant placés, il n’existe
qu’un seul point possible pour faire une droite, donc la probabilité sera toujours de
1
7
pour le 3e point. Dans le cas
1, la probabilité est de
1
9
8
8
1
7
1
63
* * .=
Type 2 : partant d’un coin, la probabilité est de
4
9
et pour le 2e, il n’y a que
6
8
points possibles, car ceux avec un x ne feront jamais une droite et le 3e est toujours de
1
7
. Donc la probabilité est de
4
9
6
8
1
7
3
63
* * .=
Type 3 : la probabilité est aussi de
4
9
pour le 1er, le 2e est de
4
8
et le 3e est de
1
7
, donc la probabilité
est de
2
63
. La somme est
6
63
, mais une fois simpliée, nous avons
2
21
.
Type 1 Type 2 Type 3
• • • • • ο x x •
• ο • x • • • • ο
• • • • x • x x •
3. 8 ouvriers et 14 chevaux.
Au minimum, il y a 2 pattes à chaque animal (considérant que l’Homme fait partie du règne animal) ce qui fait 44
pattes (22*2). Sachant qu’il y a 72 pattes, alors il reste 28 pattes. Ajoutons 14 fois deux pattes : cela nous donne 14
animaux à 4 pattes. 22 – 14 = 8 humains (à 2 pattes).
4. 62 $.
En sortant d’un magasin, Albert a dans ses poches le montant suivant : m – (
m
2
+1) où m est le montant en entrant
dans le magasin. À la n, on sait qu’il n’a plus rien et posons l’équation suivante : m –
m
2
– 1 = 0. En isolant m, nous
obtenons m = 2$. Donc en entrant dans le 5e magasin, il a 2 dollars. Donc en faisant à rebours, en entrant dans le 4e
magasin, l’équation est m –
m
2
– 1 = 2 où m = 6. Pour le 3e, m –
m
2
– 1 = 6 où m = 14. Pour le 2e, m –
m
2
– 1 = 14 où
m = 30. Finalement, au 1er magasin, l’équation est m –
m
2
– 1 = 30 où m = 62.
Problèmes à la page 7
Solutions des petits problèmes
Jean-Pierre Marcoux, C.S. des Découvreurs
h
50 - h
x
GRMS ENVOL no 138 — janvier-février-mars 2007 43

5. Augmenter de
1
14 .
En situation normale, le temps de vol tn est de 13 heures, la vitesse normalement est vn qui est égale à
d
tn
.
Avec le
retard de 52 minutes, la distance est toujours la même, mais le temps tr est plus court si le pilote ne veut pas arriver
en retard. Alors la nouvelle vitesse vr =
d
tr
.
La distance étant égale, nous pouvons établir que vr*tr = vn*tn et que
vr
vn
tn
tr
=.
Le rapport de
vr
vn =780 728
min
min
.
Cela donne
15
14
fois la vitesse normale, soit
1
14
de plus rapide.
6. Non.
Il vaut mieux choisir PF. Prenons l’exemple où le 1er tir est F et le 2e est F. FF a
1
4
des chances de se produire
1
2
1
2
*
. Si le 1er tir est F et le 2e P, c’est alors impossible pour Marc de gagner, car dès qu’un F est tiré, Andrée gagne.
Il en serait ainsi même si le premier tir est P. La probabilité d’une séquence PF est donc de 1 –
1
4
, soit
3
4
.
7.
17
25
.
La probabilité d’avoir F avec la pièce normale est de
4
10
1
2
1
5
*=
, alors que la probabilité d’avoir F avec la pièce pipée
est de
6
10
8
10
12
25
* .=
Le total des deux est
17
25
.
8. 8.
En posant les 4 nombres impairs consécutifs : 2x + 1, 2x + 3, 2x + 5 et 2x + 7, nous avons la somme 8x + 16.
En factorisant, nous avons 8*(x + 2).
Solutions des mots croisés des pages 28 et 29
25
V
21 1 C Y C L E H A M I L T O N I E N
2D I S T A N C E L
17 H3G R A P H E O R I E N T E
G20 A23 U
R4C I R C U I T C 5A R B R E 28 29
A H N H D 27 L G 31
P A E A U S O R P
H6C H A I N E H A M I L T O N I E N N E A O
E N U N E N G P I
7C Y C L E E U L E R I E N C SU H N
O19 O E H 8S E G M E N T
N B P R 9I M P A I R U V D
N O T I 22 I R A E
E U I E A N L D
X10 C H E M I N C R I T I Q U E U E
E L A N E 24 11 G R A P H E P
E L E T T 26 A
E12 D E G R E D U N S O M M E T 30 R
18 A O C T
A I 13 C H E M I N Y
14 G R A P H E C O M P L E T M C
C15 E N S E M B L E
16 D I S T I N C T E
ENVOL no 138 — janvier-février-mars 2007
44 GRMS