Petits problèmes au quotidien

Petits problèmes au quotidien
Traduction et adaptation de problèmes tirés des revues
provenant du NCTM (janvier 2003, septembre 2005,
mai 2005 et novembre 2005)
Jean-Pierre Marcoux, C.S. des Découvreurs
[email protected]
1. L
e périmètre d’un rectangle est de 100 cm et sa diagonale a une longueur de x.
Exprime l’aire du rectangle en fonction de x.
• •� •
• �• •
• �• •
figure 2
2.�������������������
���������������
En
choisissant 3�� points
����������
au hasard
�������������������������
sur cette grille, où
��� chaque
�������������������������������
point est équiprobable,
quelle est la probabilité que les 3 points forment une ligne droite?
3. �
Dans
����������������
une étable, ���
il ��y ����������������������������������������
a des ouvriers et des chevaux. En tout, ���
il ��y ������������
a 22 têtes, ������
ainsi
que 72 pattes et jambes. Combien y a-t-il d’ouvriers et de chevaux?
4. Albert
�����������������������������������
dépense tout son avoir dans ��5 ����������
magasins. �������������������
Dans chacun d’eux, �����������
il dépense
1$ de plus que la moitié qu’il avait en entrant dans le magasin. Quel était l’avoir
d’Albert lorsqu’il est entré dans le premier magasin?
5. �
Un�� vol
���������������
de Chicago ��à Tokyo
������������������������
devait prendre 13 ��������
heures, �����������������������������
mais le départ a été reporté
de 52 minutes. Comment le pilote doit-il modifier sa vitesse moyenne pour que
le vol arrive à l’heure?�� 6. �
Marc
�������
et Andrée
��������������
jouent ��à �������������������������������������������������������
pile ou face avec une pièce de monnaie. Chacun choisit
un des 4 cas possibles lorsqu’on tire la pièce à 2 reprises (FF, FP, PF, PP). La
pièce est lancée jusqu’à ce qu’une des séquences choisies par un joueur se
produise. Si Marc choisit FF et qu’Andrée choisit PF, les chances de gagner
sont-elles égales?��
7. Une
���� boîte
�������������������������������������������������������������������������
contient 6 pièces de monnaie pipées et 4 normales. Quand une pièce
pipée est lancée, la probabilité d’avoir le côté face est de
pièce normale, c’est
1
2
8
10
. Alors que pour la
. Une pièce est aléatoirement sortie de la boîte et lancée
dans les airs. Quelle est la probabilité qu’elle ait le côté face? Une extension
possible à ce problème serait de demander FF en gardant cette pièce ou en
pigeant une seconde fois avec remise ou sans remise.��� Solutions aux pages :
43-44
GRMS
8. �������������������������������������
Quel est le plus grand nombre entier qui
����������������������������������������������
est avec certitude un facteur de la somme
de toutes les sommes de 4 nombres impairs consécutifs et positifs?
ENVOL no 138 — janvier-février-mars 2007
7
Solutions des petits problèmes
Problèmes à la page 7
Jean-Pierre Marcoux, C.S. des Découvreurs
2
1. 2500- 2x .
2cm
On a le rectangle ci-dessous. L’aire est donc (50 – h)* h, ce qui est égal à 50h – h2. Pour avoir la relation selon
x, on utilise le théorème de Pythagore pour obtenir h2 + (50 – h)2 = x2. En développant les carrés, nous avons
2500 – 100h + 2h2 = x2. Deux fois l’aire équivaut à 100h – 2h2. Donc, par substitution, on a 2500 – 2A = x2 et en
isolant, A=
2500 − x
2cm
2
2
.
x
h
2.
50 - h
2
21
.
Nous avons 3 différents types de point de départ. Type 1 : commençant avec le point du milieu, la probabilité est de
1
9
, ensuite tous les autres points seraient utiles pour tracer une droite d’où
8
8
. Deux points étant placés, il n’existe
qu’un seul point possible pour faire une droite, donc la probabilité sera toujours de
1, la probabilité est de
1
7
pour le 3e point. Dans le cas
1 8 1
1
4
6
* * =
. Type 2 : partant d’un coin, la probabilité est de
et pour le 2e, il n’y a que
9 8 7 63
9
8
1
points possibles, car ceux avec un x ne feront jamais une droite et le 3e est toujours de
7
. Donc la probabilité est de
1
4
4 6 1
3
4
. Type 3 : la probabilité est aussi de
* * =
pour le 1er, le 2e est de
et le 3e est de , donc la probabilité
7
9
9 8 7 63
8
2
2
6
est de
63
. La somme est
63
, mais une fois simplifiée, nous avons
Type 1
• • •
• ο •
• • •
Type 2
• • ο
x • •
• x •
21
.
Type 3
x x •
• • ο
x x •
3. 8 ouvriers et 14 chevaux.
Au minimum, il y a 2 pattes à chaque animal (considérant que l’Homme fait partie du règne animal) ce qui fait 44
pattes (22*2). Sachant qu’il y a 72 pattes, alors il reste 28 pattes. Ajoutons 14 fois deux pattes : cela nous donne 14
animaux à 4 pattes. 22 – 14 = 8 humains (à 2 pattes).
4. 62 $.
m
En sortant d’un magasin, Albert a dans ses poches le montant suivant : m – ( +1) où m est le montant en entrant
2
dans le magasin. À la fin, on sait qu’il n’a plus rien et posons l’équation suivante : m –
m
2
– 1 = 0. En isolant m, nous
obtenons m = 2$. Donc en entrant dans le 5e magasin, il a 2 dollars. Donc en faisant à rebours, en entrant dans le 4e
magasin, l’équation est m –
m
2
– 1 = 2 où m = 6. Pour le 3e, m –
m = 30. Finalement, au 1er magasin, l’équation est m –
GRMS
m
2
m
2
– 1 = 6 où m = 14. Pour le 2e, m –
– 1 = 30 où m = 62.
ENVOL no 138 — janvier-février-mars 2007
m
2
– 1 = 14 où
43
5. Augmenter de
1
.
14
d
En situation normale, le temps de vol tn est de 13 heures, la vitesse normalement est vn qui est égale à . Avec le
tn
retard de 52 minutes, la distance est toujours la même, mais le temps tr est plus court si le pilote ne veut pas arriver
d
en retard. Alors la nouvelle vitesse vr =
vr
vn
=
tn
tr
. Le rapport de
vr
=
vn
780 min
728 min
tr
. La distance étant égale, nous pouvons établir que vr*tr = vn*tn et que
1
15
. Cela donne
fois la vitesse normale, soit
14
14
de plus rapide.
6. Non.
1
Il vaut mieux choisir PF. Prenons l’exemple où le 1er tir est F et le 2e est F. FF a
des chances de se produire
 1 1  . Si le 1er tir est F et le 2e P, c’est alors impossible pour Marc de gagner, car dès 4qu’un F est tiré, Andrée gagne.
 * 
2 2
3
1
Il en serait ainsi même si le premier tir est P. La probabilité d’une séquence PF est donc de 1 –
7.
4
, soit
4
.
17
.
4 1 1
25
La probabilité d’avoir F avec la pièce normale est de * = , alors que la probabilité d’avoir F avec la pièce pipée
est de
6
*
8
10 10
=
12
25
17
. Le total des deux est
25
10 2 5
.
8. 8.
En posant les 4 nombres impairs consécutifs : 2x + 1, 2x + 3, 2x + 5 et 2x + 7, nous avons la somme 8x + 16.
En factorisant, nous avons 8*(x + 2).
Solutions des mots croisés des pages 28 et 29
25
V
2
D
I
S
T
A
N
17
E
4
Y
C
L
E
H
M
I
L
T
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N
I
O
R
I
E
N
T
E
R
E
E
N
L
3
G
R
A
P
H
23
A
E
U
28
29
N
H
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27
L
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A
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P
N E
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I
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6
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5
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9
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P
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I
22
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Q
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24
11
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L
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T
T
26
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12
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P
H
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C
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P
L
E
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U
D
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N
13
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S
G
R
M
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V
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P
H
D
E
P
A
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M
M
E
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I
N
N
S
30
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C
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M
15
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O
C
16
S
R
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A
A
A
I
A
L
18
R
8
H
P
N
S
B
M
E
N
19
E
I
31
E
N
10
B
C
O
X
44
A
H
H
G
C
C
A
R
14
1
H
20
G
7
21
C
E
M
ENVOL no 138 — janvier-février-mars 2007
B
L
E
E
GRMS