Chapitre 4 taux d`évolution

Terminale STG Chapitre 4 : taux d'évolution. page n ° 1
2007 2008
La presse quotidienne ou hebdomadaire et les journaux télévisés contiennent souvent dans leurs sujets
économiques des informations sous la forme de pourcentages, de taux ou d'indices.
Il est important de savoir les lire et les interpréter pour éviter des contresens ou des fausses interprétations.
Lorsque nous faisons nos courses nous sommes sans cesse confrontés à des diminutions de prix ou à des
graphiques donnant l'indice du prix d'un chariot type.
Dans ce chapitre, nous allons aborder les notions de taux d'évolution et d'indice.
E1 Activité avec des puissances.
N ° 1
1. Si l'aire d'un carré de côté a est égale à 16 cm² alors a vérifie a² = 16.
Et pour calculer a on écrit a² = 16 ⇔ a = 16 car a > 0.
Mais on pourrait aussi écrire a² = 16 ⇔ a =
2
1
16 . Ce qui se lit a est égal à 16 exposant un demi.
Ecrire sur votre calculatrice
2
1
16 et constater que cela fait bien 4.
2. Si le volume d'un cube de côté a est égal à 8 cm
3
alors a vérifie a
3
= 8.
Et pour calculer a on écrit a
3
= 8 ⇔ a =
3
8 = 2 car 2
3
= 8 et car a > 0.
Mais on pourrait aussi écrire a
3
= 8 ⇔ a =
3
1
8 . Ce qui se lit a est égal à 8 exposant un tiers.
Ecrire sur votre calculatrice
3
1
8 et constater que cela fait bien 2.
1 Exposants fractionnaires.
Soient a et b deux nombres réels positifs.
Soit n un entier naturel supérieur à 1.
Alors a
n
= b ⇔ a =
n
1
b .
Ce qui se lit " a puissance n égal b équivaut à a égal b exposant un sur n. "
On dit que a est la racine n-ième de b.
Pour calculer
n
1
b , on tape sur la calculatrice b ^ ( 1 / n ) =
Exemple : cherchons t tel que t =
12
1
98,0 − 1.
Sur la CASIO graph 25 taper 0.98 ^ ( 1 / 12 ) − 1
La calculatrice répond - 0,001682143
Sur la copie, on arrondi à - 0,17 % c'est à dire une baisse de 0,17 %.

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E2 Critique d'une déclaration.
N ° 2 Le chiffre d'affaires de l'entreprise de Monsieur Taux a augmenté de 52 % en 3 ans.
Monsieur taux affirme que la croissance annuelle de son entreprise est d'environ 15 %.
Etes vous d'accord ? Justifiez votre réponse.
2 Taux d'évolution moyen.
Soient y
1
et y
2
deux nombres réels strictement positifs.
On appelle variation relative de y
1
à y
2
( ou bien taux d'évolution de y
1
à y
2
) le nombre t =
1
12
y
yy −
.
Soient y
1
et y
2
deux nombres réels strictement positifs.
Soit t le taux d'évolution de y
1
à y
2
.
Alors le coefficient multiplicateur de y
1
à y
2
est le nombre 1 + t.
Et on a y
2
= ( 1 + t ) × y
1
.
Si une quantité subit deux évolutions successives à des taux respectifs t
1
et t
2
,
Alors le taux global est T et T vérifie 1 + T = ( 1 + t
1
) × ( 1 + t
2
).
On appelle taux moyen d'évolution le taux unique t qui répété deux fois fournit le même résultat que les deux
évolutions successives c'est à dire 1 + T = ( 1 + t )²
Autrement dit ( 1 + t )² = ( 1 + t
1
) × ( 1 + t
2
).
Le taux global d'évolution correspondant à n évolutions successives de taux respectifs t
1
, t
2
, … , t
n
est le réel T
tel que 1 + T = ( 1 + t
1
) × ( 1 + t
2
) × …× ( 1 + t
n
).
Le taux d'évolution moyen correspondant à n évolutions successives de taux respectifs t
1
, t
2
, … , t
n
est le réel t
qui répété plusieurs fois fournit le même résultat que les n évolutions successives précédentes.
t vérifie 1 + T = ( 1 + t )
n
= ( 1 + t
1
) × ( 1 + t
2
) × …× ( 1 + t
n
).
Schéma explicatif : voir feuille annexe.
Exemple : le nombre de chômeurs du pays Imaginaire a baissé de 2 % en un an.
Calculer le taux d'évolution mensuel moyen du nombre de chômeurs. Voir feuille annexe.

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E3 Savoir trouver le taux moyen connaissant le taux global.
N ° 3
Le prix d'une calculatrice a successivement baissé de 20 %, augmenté de 20 % puis baissé de 10 % et augmenté
de 10 %. Calculer le taux d'évolution moyen des quatre évolutions successives du prix de cette calculatrice.
N ° 4
Le SMIC horaire a augmenté de 5,2 % en 2001 par rapport à l'année 2000, de 3,2 % en 2002
puis de 3,8 % en 2003. Déterminer le taux moyen annuel d'augmentation du SMIC horaire.
N ° 5
Le premier janvier 2006 un employé de l'entreprise de Monsieur Taux gagne 1 200 € par mois.
Le premier mai son salaire est augmenté de 5 %. Le premier août il est augmenté de 10 %.
1. Quel sera le salaire de cet employé en décembre 2006 ?
Quel est le taux d'augmentation de ce salaire entre les mois de janvier et de décembre ?
2. Si le salaire avait été augmenté tous les mois de t %, quelle serait la valeur de t pour obtenir le même
salaire au mois de décembre ?
3 Moyenne géométrique.
On appelle moyenne géométrique de n nombres réels x
1
, x
2
, …, x
n
strictement positifs le nombre
n
1
n
21
) x x x( … .
Exemple : voir feuille annexe.
Remarque : lien avec le taux d'évolution moyen.
Le taux d'évolution moyen correspondant à n évolutions successives de taux respectifs t
1
, t
2
, … , t
n
est le réel t
qui répété plusieurs fois fournit le même résultat que les n évolutions successives précédentes.
t vérifie donc ( 1 + t )
n
= ( 1 + t
1
) × ( 1 + t
2
) × …× ( 1 + t
n
) ⇔ 1 + t =
[
]
n
1
n
21
)t1)...(t1)(t1( +++ .
Autrement dit le coefficient multiplicateur moyen 1 + t est la moyenne géométrique des coefficients
multiplicateurs successifs.
E4 Savoir calculer la moyenne géométrique de plusieurs nombres réels positifs.
N ° 6 Déterminer les moyennes géométriques des réels suivants :
a. 40 et 0,4 b. 15 ; 3 et 1
5 c. 2 ; 7 ; 20 et 25 d. 0,2 ; 0,7 ; 0,5 ; 4 et 2.

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E5 Savoir calculer le taux moyen de n évolutions successives.
N ° 7
Au cours de l'année 2005, le prix d'un cartable a successivement augmenté de 10 % puis de 5 % et enfin baissé
de 7 %. Calculer le taux d'évolution moyen des trois évolutions successives du prix.
N ° 8
Un commerçant a pour habitude de baisser ses prix de 10 % une heure avant la fermeture de la braderie puis
encore de 50 % une demi-heure avant la fermeture. Calculer le taux d'évolution moyen des deux évolutions
successives des prix. Donner une valeur arrondie à 0,1 % près du résultat.
N ° 9
Monsieur Taux consulte les cours de la bourse. Il constate que le cours de l'action sur le sucre a augmenté
successivement de 1,4 % et 0,5 % puis a baissé de 0,8 % et de 0,2 %. Calculer le taux d'évolution moyen des
quatre évolutions successives et en donner une valeur arrondie à 0,01 %.
E6 Vers la notion d'indice.
N ° 10
1. Gwendoline a placé 5 200 €. Le capital au bout d'un an s'élève à 5980 €. Sans calculer le taux d'intérêt
annuel, calculer le capital qu'aurait acquis sa petite sœur si elle avait placé 100 € dans les mêmes
conditions.
2. Gwaennael a placé 2 500 €. Le capital au bout d'un an s'élève à 2875 €. Sans calculer le taux d'intérêt
annuel, calculer le capital qu'aurait acquis sa petite sœur si elle avait placé 100 € dans les mêmes
conditions.
3. Lequel de ces deux placements est le plus avantageux ?
4 Indice.
Soient y
1
et y
2
deux nombres réels strictement positifs.
On appelle indice simple de y
2
par rapport à y
1
le nombre I = 100 ×
1
2
y
y
.
Remarques
On dira indice au lieu de indice simple.
Un indice est un nombre réel strictement positif.
Un indice supérieur à 100 correspond à une hausse ( y
2
> y
1
).
Un indice inférieur à 100 correspond à une baisse ( y
2
< y
1
).
Un indice égal à 100 correspond à une stabilité ( y
2
= y
1
).
Un indice traduit une évolution par rapport à une quantité prise comme référence.

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2007 2008
Tableau pour retenir : voir feuille annexe.
Passage de l'indice au taux d'évolution et réciproquement.
L'indice I de y
2
par rapport à y
1
et le taux d'évolution t de y
1
à y
2
sont reliés par les égalités :
I = 100 × ( 1 + t ) et t =
100
100I−
.
Démonstration : voir feuille annexe.
E7 Savoir calculer l'indice de y
2
par rapport à y
1
.
N ° 11
Considérons l'entreprise de Monsieur Taux. Son chiffre d'affaires après trois ans d'activité est égal à
y
1
= 9,2 millions d'euros. Son chiffre d'affaires après 4 ans d'activité est égal à y
2
= 8,51 millions d'euros.
Calculer l'indice de y
2
par rapport à y
1
.
N ° 12
Voici en millions de tonnes, la consommation de pétrole pour la France.
1978 2000 2001 2002
France 119 97 97 94
On choisit l'année 1978 comme année de référence ( indice 100 ).
Calculer l'indice de consommation pour les autres années.
N ° 13
Monsieur Taux possède une voiture qui consomme 8 litres de super sans plomb aux 100 km.
En 2003, il a parcouru 20 000 km et l'essence valait 1,08 € le litre.
En 2004, il a parcouru 15 000 km et l'essence valait 1,20 € le litre.
En prenant comme année de référence 2003, calculer :
A ) l'indice du prix d'un litre d'essence en 2004.
B ) l'indice du nombre de kilomètres parcourus par Monsieur Taux en 2004.
C ) l'indice de la dépense de carburant de Monsieur taux.
E8 Savoir passer de l'indice au taux d'évolution et réciproquement.
N ° 14
Considérons l'entreprise de Monsieur Taux et ses chiffres d'affaires en millions d'euros.
2001 2002 2003 2004
Chiffre d'affaires y
1
= 6,8 y
2
= 8,364 y
3
= 9,2 y
4
= 8,51
A ) Sachant que l'indice de y
2
par rapport à y
1
est égal à 123, calculer le taux d'évolution t de y
1
à y
2
.
B ) Sachant que le taux d'évolution de y
3
à y
4
est égal à − 7,5 %, calculer l'indice de y
4
par rapport à y
3
.