Démonstration

Sommaire
1 Proposition mathématique. 2
1.1 Définition et exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 La cause et la conséquence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Rédaction d’une proposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Prouver qu’une proposition est fausse. 5
3 Prouver qu’une proposition est juste. 7
4 Propriété. 8
5 Démonstration. 10
5.1 Aquoiçasert?. ........................... 10
5.2 Comment rédiger une démonstration. . . . . . . . . . . . . . . . . 11
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Chapitre 1
Proposition mathématique.
1.1 Définition et exemples.
Une proposition mathématique est une phrase juste ou fausse. la proposition
est soit juste soit fausse, il n’y a pas d’autre possibilité. Elle ne peut pas être
juste et fausse.
exemples :
“1+3=7” est une proposition fausse.
Cette proposition reste toujours fausse.
“Si deux droites sont sécantes 1alors elles sont perpendiculaires 2.”
Cette proposition est une fausse.
Dans la figure suivante, les deux droites sont sécantes,
mais ici, elles ne sont pas perpendiculaires.
Figure 1.1 – Droites sécantes
Cette proposition est fausse, car pour certaines figures (comme celle-ci) la phrase
est fausse.
1. Sécantes : Droites qui ont un point d’intersection.
2. Perpendiculaires : Droites qui forment un angle droit (de 90°).
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Cours d’initiation à la démonstration - classe de cinquième
“Si deux droites sont perpendiculaires, alors elles sont sécantes”
Cette proposition est juste.
Elle reste toujours juste, quelque soit la figure que l’on trace.
Figure 1.2 – Droites perpendiculaires
“Un nombre est divisible 3par deux si son chiffre des unités est pair.”
Cette proposition est juste
Elle reste toujours juste, quelque soit le nombre que l’on choisi.
Certaines propositions semblent être certaine fois juste et cer-
taine fois fausse.
En mathématique, il suffit qu’une proposition soit fausse ne serait-ce qu’une
seule fois pour être considérée comme une proposition fausse.
3. Divisible : Un nombre est divisible par un autre si le reste de la division donne 0.
12 est divisible par 2 car 12 : 2 donne un reste nul. 13 n’est pas divisible par 2 car 13 : 2 donne
un reste de 1.
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Cours d’initiation à la démonstration - classe de cinquième
1.2 La cause et la conséquence.
Vous le savez, bien sûr, la cause précède toujours la conséquence (je fais une
bétise, c’est la cause, je me fais gronder c’est la conséquence.)
En mathématiques, cette règle s’applique aussi.
par exemple, si je choisis un nombre dont le chiffre des unités est 0 (c’est la
cause), ce nombre est divisible par 5 (c’est la conséquence)
1.3 Rédaction d’une proposition.
Il est plus simple de rédiger une proposition mathématique en utilisant les
mots “si“ et ”alors“.
En effet, cette façon de rédiger permet de repérer plus facilement la cause et la
conséquence de la proposition.
Exemples :
”Si un nombre est divisible par deux alors il se termine par un chiffre
pair.“
La cause est un nombre qui se divise par deux, et la conséquence est que
ce nombre se termine par un chiffre pair.
”Si deux droites sont perpendiculaires alors elles sont sécantes.”
La cause c’est deux droites perpendiculaires, et la conséquence est qu’elles
sont sécantes.
bien sûr, on est pas obligé de suivre cette règle, il existe plein de propriétés
qui ne se rédigent pas de cette façon.
”Dans tous les triangles, la somme des angles est de 180°”
Dans cette proposition, il est plus difficile de retrouver la cause et la conséquence.
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Chapitre 2
Prouver qu’une proposition
est fausse.
Pour prouver qu’une proposition est fausse, il suffit donner un exemple qui
met en defaut la proposition
exemple :
Proposition n°1 : “Si un nombre entier est inférieur à 70, alors il est
inférieur à 68.”
La cause de cette proposition est que le nombre choisi doit être inférieur
à 70.
Choisissons le nombre 69. 69 est bien inférieur à 70, mais il n’est pas inférieur à
70.
Dans le cas de 69, la conséquence de la proposition n’est pas remplie.
69 est un exemple qui ne “marche pas”, c’est un contre-exemple.
Grace à ce contre exemple, on peut prouver que cette proposition est fausse.
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