§1 Gandalf Optique page 1 Le mouvement harmonique simple Introduction Le §1 s'intéresse au mouvement harmonique simple et aux mouvements d’oscillation en général. Comme nous le verrons au prochain §, une onde est un assemblage de mouvements d’oscillations, c’est donc une bonne idée de commencer par là.. Voyons la liste des §§ et donnons des références plus précises. §§ Introduction Aucun morceau du manuel C’est la mise en place initiale : je parle, je parle, je parle, je bouge, je bouge, je bouge et hop, trois pages de notes… §§ Le système bloc ressort Chapitre 1, sections 1 et 2 La force qui vient d’un ressort, lorsqu’elle fonctionne comme la loi de Hooke, donne au bloc qu’on lui attache un mouvement d’oscillation très simple : le mouvement harmonique simple. Il est simple justement parce qu’on peut le représenter par une fonction trigonométrique. §§ L’énergie dans un MHS Chapitre 1, section 3 Une discussion rapide sur ce qui arrive à l’énergie mécanique dans un système bloc ressort. §§ Le pendule simple Chapitre 1, section 4 Une autre discussion rapide sur le mouvement d’un objet que l’on pend au bout d’une corde. ©Bernard Marcheterre 2004 §1 Gandalf Optique page 2 Le déphasage est un angle! Nous avons montré que la représentation mathématique du mouvement de va-et-vient d'objets peut se faire avec les fonctions sinus et cosinus, à cause de leur nature cyclique. Mais, comme vous le savez, ces deux fonctions ne sont différentes que par la façon dont elles s'amorcent à l'origine, en dehors de cette région, elles sont identiques! On pourrait alors se poser deux questions, la première étant: Pourquoi en avoir inventé deux si elles se ressemblent tant que ça? La réponse à cette question vient de la nature même des deux fonctions. Dans ce qui est appelé cercle trigonométrique, les fonctions sinus et cosinus représentent la projection du rayon tournant sur deux axes perpendiculaires. Malgré leur ressemblance, elles sont donc toutes les deux nécessaires. Quant à la deuxième question, elle serait du genre: Pourquoi s'arrêter à deux? En effet, on pourrait imaginer tout plein de fonctions comme le sinus et le cosinus représentants différentes façons de commencer à partir de l'origine? Le problème est qu'il faudrait en inventer une infinité! Plutôt que de faire cela, on a plutôt opté pour une espèce de terme, que l'on appelle le déphasage, et qui permet d'imaginer toutes ces possibilités, en l'ajoutant à l'argument d'un sinus ou d'un cosinus. Résumons! La solution la plus simple à l’équation différentielle du système bloc ressort est : x = A sin(w t ) Mais, comme nous en avons parlé en classe, cette solution implique que le bloc est au centre à l’instant initial, se dirigeant vers la droite avec une vitesse de module maximal. Au contraire, si le bloc commence à osciller lorsque le ressort est étiré de A, la représentation mathématique de son oscillation sera: x = A cos(w t ) Si au moment de partir un chronomètre le bloc n'est pas à l’une ou l’autre de ces positions il faut ©Bernard Marcheterre 2004 §1 Gandalf Optique page 3 connaître sa position et sa vitesse à un moment précis pour définir le f , qui est le déphasage, dans: x = A cos(w t + f ) ou x = A sin(w t + f ) Quatre valeurs de φ? Que ce soit pour le mouvement harmonique ou, comme on le verra bientôt pour la représentation d’une onde, la recherche de la valeur du déphasage aboutit toujours au point où il faut appliquer une fonction trigonométrique inverse. Or, il faut savoir que votre calculatrice ne fournit qu'un seul des 4 résultats possibles. Nous reviendrons plus loin sur la façon de savoir lequel de ces 4 résultats est le bon. Pour l'instant, concentrons-nous sur une situation concrète. Par exemple, cherchons f dans: 1 = cos f 2 Votre calculatrice vous donnera, après utilisation de la fonction inverse sur le 1/2: f = 1, 047 qui est en fait p 3 radians Mais attention, il faut bien comprendre que nous cherchons un angle dont le cosinus vaut 1/2. Cette figure, où le cercle trigonométrique est représenté, montre qu'il y en a 3 autres: Comment alors, choisir le bon ? ©Bernard Marcheterre 2004 §1 Gandalf Optique page 4 Réglons d'abord le cas des 2 angles négatifs. Ils représentent simplement la différence entre quelque chose qui est en avance et quelque chose qui est retard. Dans le cas d'un cosinus, c'est tout à fait équivalent! Cela signifie que pour chaque angle positif, sa valeur complémentaire en négatif a exactement le même effet dans l'argument du cosinus. On choisit celui des 2 que l'on veut, selon que l'on veut parler d'un retard ou d'une avance... Mais il reste tout de même 2 valeurs positives différentes, laquelle choisir? Le secret est dans la sauce, diront les zaïrois! Ce qui se traduit par: la valeur de la vitesse à l'instant initial fournit la solution. Pour bien comprendre, reprenons du début en supposant que l'amplitude A est de 2 m, que la fréquence angulaire w est de 4 rad/s, que la position initiale xo est de 1 m et, finalement, que le bloc se dirige vers le centre à l'instant initial. Cette dernière information implique que la composante horizontale de la vitesse doit être négative à l'instant initial (i.e. le bloc est à droite du point milieu et se dirige vers la gauche). Donc si l'équation générale de la position est: x = A cos(w t + f ) Celle de la vitesse sera obtenue en dérivant et donne: vx = - Aw sin(w t + f ) À l'instant initial (t = 0), cette dernière équation devient: vx = - Aw sin f Or, nous venons de dire que la vitesse doit être négative. Il s'ensuit qu'il faut choisir celle des deux valeurs positives de f qui conduit à une valeur positive du sinus. La bonne valeur est donc p / 3 , ou son équivalent négatif de -5p / 3 . Si la vitesse initiale avait été positive, nous aurions choisi l'une des deux autres valeurs de f . ©Bernard Marcheterre 2004 §1 Gandalf Optique page 5 Guide touristique des exemples du chapitre 1 1.1 à 1.6 Guide touristique des questions, des exercices et des problèmes du chapitre 1 Ce guide propose un choix de questions, d’exercices et de problèmes. Les questions sont choisies sur la base de la réflexion qu’elles suscitent. Dans certains cas, la réponse est claire, pour d’autres, elle est sujette à interprétation. Sauf exceptions, il n’est pas nécessaire de préparer de façon méthodique une réponse à ces questions pour les examens1. Les exercices et les problèmes sont choisis dans les sections spécifiées au début de ce Gandalf. La liste précise dans quel ordre il faut les réaliser et lorsque cela s’avère nécessaire, des clarifications sont fournies pour vous aider à les comprendre. Il n’est pas nécessaire de réaliser tous les exercices et tous les problèmes. Il incombe à l’élève de fixer le nombre d’exercices et de problèmes qu’il réalisera, en fonction de la maîtrise qu’il possède des notions qui sont couvertes. Évidemment, le fait de ne réaliser aucun exercice ou problème est extrêmement dommageable à la réussite de ce cours. On ne comprend bien une notion qu’à partir du moment où l’on a essayé de s’en servir… Questions 2, 3, 5, 6 1 Cette façon de voir les choses possède un nom, l’approche MG2, du nom des élèves qui l’ont forgé à l’automne 2001 : Michaluk, Grondin et Girard. ©Bernard Marcheterre 2004 §1 Gandalf Optique page 6 Exercices 1, 2, 4, 5, 11, 57, 34 à 38, 48, 52 à 55, 7, 8, 56, 46, 47, 9, 10, 3, 20, 21, 16, 17, 18, 14, 15, 19, 79, 78, 30, 27, 22 Problèmes 1, 2 Clarifications E11 Dans cet exercice, la constante de phase n’a pas à être connue. On peut fonctionner comme si sa valeur était nulle. E9 et E19 Pour réaliser ces exercices, il faut bien comprendre les conséquences de l’exemple 1.5. On y montre que l’oscillation d’un bloc à la verticale se fait autour d’un point qui n’est pas le lieu où le ressort n’est ni étiré ni comprimé. On montre dans cet exemple comment trouver la position de ce nouveau point auquel on doit associer la coordonnée x = 0. E27 Répondez à la question (c) avant la question (b). Réponses des exercices pairs E2 (a) 0,0125 s (b) 0,0375 s (c) 0,0125 s E4 (a) ax = -11,5 m/s 2 (b) t = 0, 201 s ©Bernard Marcheterre 2004 §1 Gandalf Optique E8 x(t ) = 0, 0700sin (4t + 3, 44) m E10 m = 64,3 g k = 3, 66 N/m E14 (a) K = 579 mJ U = 61,1 mJ (b) K = 480 mJ U = 160 mJ (c) t = (2n + 1) ◊ 31 ms E16 où n Œ \ (a) w A = 314 m/s (b) E = 4,93 ¥ 10-22 J (c) w 2 A = 1,97 ¥ 1015 m/s 2 (d) k = 0,395 N/m E18 (a) aucun effet (b) aucun effet (c) T2 = T1 3 2 (d) aucun effet E20 (a) x = -0, 0400 m (b) vx = ±0, 436 m/s (c) ax = 2, 44 m/s 2 (d) E = 9,35 mJ E22 (a) f = 0, 611 rad (b) E = 10, 7 mJ (c) h = 2, 74 cm ©Bernard Marcheterre 2004 q 0 = 0, 262 rad page 7 §1 E30 Gandalf Optique (a) L = 0, 993 m (b) T2 = 4,90 s E34 (a) 0,400 s (b) 0,250 m (c) p / 4 rad (d) 3,93 m/s (e) 61,7 m/s2 E36 (a) 7, 67 ¥ 10 -2 m (b) 1,12 m/s (c) –4,91 m/s2 E38 (a) w = 7, 2 rad/s A = 0,174 m (b) vx = 0,907 m/s E46 1,02 s E48 (a) k = 15,3 N/m (b) w A = 2, 02 m/s (c) w 2 A = 18,1 m/s 2 E52 x(t ) = 0,150sin (p t + p ) m E54 (a) x(t ) = 0,340sin (5, 00t + p / 2) m (b) w A = 1, 70 m/s (c) t = 0,943 s ©Bernard Marcheterre 2004 page 8 §1 E56 Gandalf Optique (a) 4,50 rad/s (b) 2,68 cm E78 9,80 m/s 2 Réponses des problèmes pairs P2 ©Bernard Marcheterre 2004 f = 1,58 Hz page 9