RACINES CARREES

RACINES CARREES
1 Session du brevet 1996
Afrique 96
On donne les nombres A= 2√5 + 3 et B= 2√5−3.
Calculer le carr´e A2en donnant le r´esultat sous la forme a√5 + b, avec aet bentiers, puis calculer le produit A×B
en donnant le r´esultat sous la forme d’un nombre entier.
Besancon 96
1) Sachant que A= 2√5 + 4 et B= 2√5−4, calculer la valeur exacte de A+Bet de A×B.
2) On donne C=√147 −2√75 + √12.
Ecrire Csous la forme a√b, o`u aest un entier relatif et o`u best un entier naturel le plus petit possible.
Clermont 96
On donne x=√72 et y=√98.
1) Ecrire xet ysous la forme a√bo`u aet bentiers, a´etant le plus grand entier possible.
2) Ecrire sous la forme la plus simple possible x2−y2et x+y.
Creteil 96
Calculer Bet C, en donnant le r´esultat sous la forme m√p, o`u met psont des nombres entiers, p´etant le plus petit
possible :
B= 7√15 ×2√35 ×√3C=2−3√515 + 2√5
Grenoble 96
On donne A=√2−√52et B=√250 −√490 + 2√81.
1) Ecrire Aet Bsous la forme a+b√c,a,bet c´etant des entiers relatifs.
2) En d´eduire que A−Best un nombre entier relatif.
Lille 96
En indiquant le d´etail des calculs, ´ecrire chacun des nombres Cet Dsous forme d’un entier ou d’une fraction la plus
simple possible.
C=√8
√18 D=√2 + √82
Orleans 96
1) On consid`ere C= 2√5 + √125 −6√45.
Ecrire Csous la forme a√b,aet b´etant deux nombres entiers, b´etant le plus petit possible.
2) A l’aide d’un calcul, montrer que le nombre D=3√2 + 3√2−1est un nombre entier.
Rouen 96
On pose B=√25 −√75 + 5√27 −√36 ×3 + 2√9.
Ecrire Bsous la forme a+b√3 avec aet bentiers.
D. Le FUR 1/ 11 15 septembre 2003

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2 Session du brevet 1997
Amerique 97
1) Calculer B=4−2√34 + 2√3.
2) Ecrire sous la forme a+b√3 o`u aet bsont des entiers les expressions
C=4−2√32
D=1
4×28 −16√3
Caen 97
Ecrire sous la forme a√b(aet bd´esignant des entiers) :
D=−4√18 + √128 −3√32
Caen 97
D´evelopper E= (√3−5)2.
Centres Etrangers 97
Calculer les nombres suivants (on demande des valeurs exactes les plus simples possibles et non des valeurs approch´ees) :
E=√16 + √9−√25
F= 4√2×√900 (en fonction de √5) G=√6−√32
(en fonction de √2)
Creteil 97
Calculer Det E; on donnera les r´esultats sous la forme m√p, o`u met psont des nombres entiers.
D= 2√32 −√50 E=√15 ×√10
Guadeloupe 97
Ecrire les nombres suivants sous la forme a√b,aet b´etant deux entiers avec ble plus petit possible.
C= 5√27 −2√75 + 3√3D= 2√75 ×√6
Lille 97
Ecrire Dsous la forme a√bo`u aet bsont des entiers, avec ble plus petit possible.
D= 3√20 + √45 −√180
Limoges 97
Ecrire sous la forme avec et nombres entiers, le plus petit possible :
1) C= 5√3−2√48 + 2√27
2) D=√2 + 32−11.
D. Le FUR 2/ 11 15 septembre 2003

RACINES CARREES
3 Session du brevet 1998
Caen 1998
Ecrire les expressions Det Esous la forme a+b√3, o`u aet bsont des entiers :
D=√81 + 7√3−√27 E=√35−√3−√3 + 3
Centres ´etrangers 1 1998
On consid`ere les nombres :
C= 2√27 −2√3 + √12 D=√75 + √48 −7√3
Montrer, en d´etaillant le calcul, que C
Dest un nombre entier.
Creteil 98
On donne les deux nombres 2√75 et √27.
1) Calculer leur produit P (donner le r´esultat sous la forme d’un nombre entier).
2) Calculer leur somme S (donner le r´esultat sous la forme a√3, o`u aest un nombre entier).
Limoges 1998
On consid`ere deux nombres Cet D:
C= 3√12 + √27 D=2√3−32
Ecrire Csous la forme a√b, o`u aet bsont des entiers, b´etant le plus petit possible.
Ecrire Dsous la forme p+q√3, o`u pet qsont des entiers.
Nantes 1998
1) Ecrire √75 sous la forme a√3, o`u ad´esigne un nombre entier.
2) Calculer √3−12. Mettre le r´esultat sous la forme x+y√3, o`u xet yd´esignent deux nombres entiers.
D. Le FUR 3/ 11 15 septembre 2003

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4 Session du brevet 1999
Asie 1999
On donne
C=√12 D=√27 E=√20
1) Exprimer C,Det Esous la forme a√b, o`u aet bsont des nombres entiers, b´etant le plus petit possible.
2) Calculer C×D.
3) Calculer C+Det C×E, donner le r´esultat sous la forme a√b, o`u aet bsont des nombres entiers, b´etant le
plus petit possible.
Caen 1999
L’unit´e de longueur est le centim`etre. On consid`ere trois points A, M, B du plan, tels que AM = 4√45, M B = 2√20,
AB = 16√5.
1) Prouver que AM +M B =AB.
2) Que peut-on dire des points A, M, B ? Le justifier.
Clermont 1999
On donne A= 3√2−4 et B= 3√2 + 4.
Calculer les valeurs exactes de A+B,A−B,A2et A×B.
Creteil 1999
On pose E=√5 + √3√5−√3−8√5√5−1. Ecrire Esous la forme a+b√5 (aet bsont des nombres entiers
relatifs).
Inde 1999
Ecrire les nombres Cet Dsous la forme a√bla plus simple possible.
C= 7√3−3√48 + 5√12 D=r5
27 ×√3
Limoges 1999
1) Ecrire sous la forme a√b,bentier le plus petit possible, les nombres √18 et √12.
2) D´evelopper et simplifier 10 + 4√6√3−√2.
3) Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalit´e ?
√3 + √2 10 + 4√6
√3−√2 2
Polyn´esie 1999
Ecrire Dsous la forme a√b, o`u aet bsont des nombres entiers, b´etant le plus petit possible.
D= 3√28 −√7
Rennes 1999
On donne les deux nombres p= 2√45 et q=√80
1) a) Calculer p+q. On donnera le r´esultat sous la forme a√b, o`u best un entier le plus petit possible.
b) Calculer pq.
2) Le nombre pest-il solution de l’´equation x2−2x−180 = −12 ?
D. Le FUR 4/ 11 15 septembre 2003

RACINES CARREES
Reunion 1999
Effectuer les calculs suivants (si le r´esultat n’est pas un nombre entier, on donnera le r´esultat sous la forme a√b, o`u a
et bsont des entiers, b´etant le plus petit possible)
A=√36 + 64 B=6√22
+ 3 C=√5 + 1√5−1
D=√15 ×√10 E= 2√27 −√12
D. Le FUR 5/ 11 15 septembre 2003