RACINES CARREES 1 Session du brevet 1996 Afrique 96 √ √ On donne les nombres A = 2 5 + 3 et B = 2 5 − 3. √ Calculer le carré A2 en donnant le résultat sous la forme a 5 + b, avec a et b entiers, puis calculer le produit A × B en donnant le résultat sous la forme d’un nombre entier. Besancon 96 √ √ 1) Sachant que A = 2 5 + 4 et B = 2 5 − 4, calculer la valeur exacte de A + B et de A × B. √ √ √ 2) On donne C = 147 − 2 75 + 12. √ Ecrire C sous la forme a b, où a est un entier relatif et où b est un entier naturel le plus petit possible. Clermont 96 On donne x = √ √ 72 et y = 98. √ 1) Ecrire x et y sous la forme a b où a et b entiers, a étant le plus grand entier possible. 2) Ecrire sous la forme la plus simple possible x2 − y 2 et x + y. Creteil 96 √ Calculer B et C, en donnant le résultat sous la forme m p, où m et p sont des nombres entiers, p étant le plus petit possible : √ √ √ √ √ C = 2 − 3 5 15 + 2 5 B = 7 15 × 2 35 × 3 Grenoble 96 √ 2 √ √ √ √ 2 − 5 et B = 250 − 490 + 2 81. √ 1) Ecrire A et B sous la forme a + b c, a, b et c étant des entiers relatifs. On donne A = 2) En déduire que A − B est un nombre entier relatif. Lille 96 En indiquant le détail des calculs, écrire chacun des nombres C et D sous forme d’un entier ou d’une fraction la plus simple possible. √ √ √ 2 8 √ C= 2+ 8 D= 18 Orleans 96 √ √ √ 1) On considère C = 2 5 + 125 − 6 45. √ Ecrire C sous la forme a b, a et b étant deux nombres entiers, b étant le plus petit possible. √ √ 2 − 1 est un nombre entier. 2) A l’aide d’un calcul, montrer que le nombre D = 3 2 + 3 Rouen 96 √ √ √ √ √ On pose B = 25 − 75 + 5√ 27 − 36 × 3 + 2 9. Ecrire B sous la forme a + b 3 avec a et b entiers. D. Le FUR 1/ 11 15 septembre 2003 RACINES CARREES 2 Session du brevet 1997 Amerique 97 √ √ 1) Calculer B = 4 − 2 3 4 + 2 3 . √ 2) Ecrire sous la forme a + b 3 où a et b sont des entiers les expressions √ 2 C = 4−2 3 D= √ 1 × 28 − 16 3 4 Caen 97 √ Ecrire sous la forme a b (a et b désignant des entiers) : √ √ √ D = −4 18 + 128 − 3 32 Caen 97 √ Développer E = ( 3 − 5)2 . Centres Etrangers 97 Calculer les nombres suivants (on demande des valeurs exactes les plus simples possibles et non des valeurs approchées) : √ √ √ E = 16 + 9 − 25 √ √ √ √ 2 √ √ F = 4 2 × 900 (en fonction de 5) G = (en fonction de 2) 6− 3 Creteil 97 √ Calculer D et E ; on donnera les résultats sous la forme m p, où m et p sont des nombres entiers. √ √ D = 2 32 − 50 E= √ √ 15 × 10 Guadeloupe 97 √ Ecrire les nombres suivants sous la forme a b, a et b étant deux entiers avec b le plus petit possible. √ √ √ √ √ C = 5 27 − 2 75 + 3 3 D = 2 75 × 6 Lille 97 √ Ecrire D sous la forme a b où a et b sont des entiers, avec b le plus petit possible. √ √ √ D = 3 20 + 45 − 180 Limoges 97 Ecrire sous la forme avec et nombres entiers, le plus petit possible : √ √ √ 1) C = 5 3 − 2 48 + 2 27 √ 2 2) D = 2 + 3 − 11. D. Le FUR 2/ 11 15 septembre 2003 RACINES CARREES 3 Session du brevet 1998 Caen 1998 √ Ecrire les expressions D et E sous la forme a + b 3, où a et b sont des entiers : √ √ √ √ √ √ D = 81 + 7 3 − 27 E = 3 5− 3 − 3+3 Centres étrangers 1 1998 On considère les nombres : √ √ √ C = 2 27 − 2 3 + 12 Montrer, en détaillant le calcul, que D= √ √ √ 75 + 48 − 7 3 C est un nombre entier. D Creteil 98 √ √ On donne les deux nombres 2 75 et 27. 1) Calculer leur produit P (donner le résultat sous la forme d’un nombre entier). √ 2) Calculer leur somme S (donner le résultat sous la forme a 3, où a est un nombre entier). Limoges 1998 On considère deux nombres C et D : √ √ C = 3 12 + 27 √ 2 D = 2 3−3 √ Ecrire C sous la forme a b, √ où a et b sont des entiers, b étant le plus petit possible. Ecrire D sous la forme p + q 3, où p et q sont des entiers. Nantes 1998 √ 75 sous la forme a 3, où a désigne un nombre entier. √ √ 2 2) Calculer 3 − 1 . Mettre le résultat sous la forme x + y 3, où x et y désignent deux nombres entiers. 1) Ecrire D. Le FUR √ 3/ 11 15 septembre 2003 RACINES CARREES 4 Session du brevet 1999 Asie 1999 On donne C= √ 12 D= √ 27 E= √ 20 √ 1) Exprimer C, D et E sous la forme a b, où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus petit possible. 2) Calculer C × D. √ 3) Calculer C + D et C × E, donner le résultat sous la forme a b, où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus petit possible. Caen 1999 √ √ L’unité de √longueur est le centimètre. On considère trois points A, M, B du plan, tels que AM = 4 45, M B = 2 20, AB = 16 5. 1) Prouver que AM + M B = AB. 2) Que peut-on dire des points A, M, B ? Le justifier. Clermont 1999 √ √ On donne A = 3 2 − 4 et B = 3 2 + 4. Calculer les valeurs exactes de A + B, A − B, A2 et A × B. Creteil 1999 On pose E = relatifs). √ √ √ √ √ √ √ 5+ 3 5 − 3 − 8 5 5 − 1 . Ecrire E sous la forme a + b 5 (a et b sont des nombres entiers Inde 1999 √ Ecrire les nombres C et D sous la forme a b la plus simple possible. √ √ √ C = 7 3 − 3 48 + 5 12 D= r √ 5 × 3 27 Limoges 1999 √ √ √ 1) Ecrire sous la forme a b, b entier le plus petit possible, les nombres 18 et 12. √ √ √ 3− 2 . 2) Développer et simplifier 10 + 4 6 3) Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ? √ √ √ √3 + √2 10 + 4 6 3− 2 2 Polynésie 1999 √ Ecrire D sous la forme a b, où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus petit possible. √ √ D = 3 28 − 7 Rennes 1999 √ √ On donne les deux nombres p = 2 45 et q = 80 1) √ a) Calculer p + q. On donnera le résultat sous la forme a b, où b est un entier le plus petit possible. b) Calculer pq. 2) Le nombre p est-il solution de l’équation x2 − 2x − 180 = −12 ? D. Le FUR 4/ 11 15 septembre 2003 RACINES CARREES Reunion 1999 √ Effectuer les calculs suivants (si le résultat n’est pas un nombre entier, on donnera le résultat sous la forme a b, où a et b sont des entiers, b étant le plus petit possible) D. Le FUR A= √ 36 + 64 √ 2 B = 6 2 +3 D= √ √ 15 × 10 √ √ E = 2 27 − 12 5/ 11 C= √ √ 5+1 5−1 15 septembre 2003 RACINES CARREES 5 Session du brevet 2000 Caen 2000 Ecrire le nombre √ √ √ √ 180 + 3 80 − 2 125 sous la forme a b, avec a et b entiers. Nantes 2000 On considère le nombre A suivant : A = Démontrer que A = 0. √ √ √ 20 − 12 5 + 2 125. Orléans-Tours 2000 √ √ √ On pose N = 20 − 45 − 7 5. √ Ecrire le nombre N sous la forme p q, avec p entier relatif et q entier le plus petit possible. Paris 2000 1) D = K √ √ √ 3 − 1 et E = 3 + 1. a) Développer D2 et E 2 et donner les résultats sous la forme √ a + b 3, où a et b sont des nombres entiers. b) Démontrer que D × E est un nombre entier. 3−1 2) KLM est un triangle rectangle en L. √ L 3+1 a) Calculer la valeur exacte de la longueur KM . M b) Calculer l’aire du triangle KLM . Rennes 2000 √ 1) Ecrire les nombres C et D ci-dessous sous la forme a 3, où a est un entier : √ √ √ C = 3 27 − 108 ; D = 100 − 25. √ 2 2) Développer et réduire : E = 3 − 5 . Inde 2000 En indiquant les différentes étapes, calculer les nombres suivants et donner le résultat sous la forme d’un entier relatif ou d’une fraction irréductible. √ √ √ √ √ √ 45 C = 2 3+1 2 3−1 A = 12 + 27 − 75 B= √ 3 80 Centres étrangers groupe Iquatro 2000 √ √ On donne D = 3 28 − 2√ 700. Ecrire D sous la forme a 7, où a est un entier relatif. Europe de l’est 2000 √ Voici un rectangle fait à main levée dont on donne la longueur et la largeur. Dans cet exercice, on ne travaillera pas avec des valeurs approchées. 2 000 √ 1 000 1) La longueur est-elle égale au double de la largeur ? Justifier. √ √ √ 2) Exprimer 2 000 sous la forme a 5, et 1 000 sous la forme √ b 10 (où a et b sont des nombres entiers). √ 3) Exprimer l’aire du rectangle sous la forme c 2 (c étant un entier). 4) Montrer √ que le périmètre du rectangle peut s’écrire sous la √ forme 20 5(2 + 2). D. Le FUR 6/ 11 15 septembre 2003 RACINES CARREES Grenoble septembre 1999 √ 2 √ √ Soit A = 10 − 2 + 2 20 − 5. En développant A, montrer que A est un entier. Groupement I septembre 1999 √ Ecrire les nombres C et D suivants sous la forme a b, a et b étant des nombres entiers et b étant aussi petit que possible. √ √ √ √ √ √ D = 15 × 2 3 × 2 27 C = 7 50 − 3 2 + 2 32 Paris septembre 1999 √ √ On donne A = 3 2 − 4 et B = 3 2 + 4. Calculer les valeurs exactes de A + B, A − B, A2 et A × B. D. Le FUR 7/ 11 15 septembre 2003 RACINES CARREES 6 Session du brevet 2001 Groupe est 2001 A B E Sur la figure ci-contre (qui n’est pas en vraie grandeur), ABCD est un carré dont le côté a pour mesure (en centimètres) x, ECF est un triangle rectangle en C, le point E étant un point du segment [BC]. On donne F C = 4cm. D 1) C F a) Exprimer l’aire, notée A, du carré ABCD en fonction de x. √ √ b) Calculer A pour x = 2 + 2. On donnera le résultat sous la forme a + b 2, où a et b sont des nombres entiers. 2) On suppose que x est supérieur à 1. a) Sachant que la longueur BE est égale à 0, 5cm, calculer, en fonction de x, l’aire, notée A′ , du triangle ECF. b) On note S la somme, en fonction de x, des deux aires A et A′ . Vérifier que : S = x2 + 2x − 1. √ √ 3) Calculer S pour x = 2 + 2. On donnera le résultat sous la forme c + d 2, où c etd sont des nombres entiers. Groupe nord 2001 C= √ √ 18 × 9 √ Ecrire C et D sous forme a 3, où a est un entier. √ √ √ D = 5 12 + 6 3 − 300 Amérique du nord 2001 √ Calculer la valeur exacte de l’aire du carré ABCD et l’aire du rectangle AEF D ci-dessous sachant que : AB 13 − 1 et BE = 2. A B E D C F Amérique du sud novembre 2000 √ √ 1) Démontrer que : 588 = 14 3. √ √ √ 2) Soit C = 588 − 12 − 300. √ Ecrire C sous la forme a 3 où a est un nombre entier. Groupe est septembre 2000 √ 45 sous la forme a b (a et b étant des entiers, b le plus petit possible). √ √ √ 2) En déduire une écriture plus simple du nombre B = 8 5 − 45 sous la forme c b (c étant un entier). 1) Ecrire √ Groupe ouest septembre 2000 √ √ 20 2 2 On pose D = 3 × 2 × 4 et E = − . 2 √ Ecrire D et E sous la forme a b où a et b sont des nombres entiers et où b est le plus petit possible. D. Le FUR 8/ 11 15 septembre 2003 RACINES CARREES Antilles-Guyane septembre 2000 √ √ √ On donne : B = 3 5 − 45 + 80. √ Simplifier l’écriture de B et donner le résultat sous la forme a b où a et b sont des entiers, b étant le plus petit possible. Polynésie septembre 2000 √ √ 1) On donne l’expression : A = 5 − 2 5 + 2 . Montrer, par le calcul, que A = 23. √ √ 2) On donne le produit suivant : B = 21 × 42. √ Ecrire B sous la forme a 2, où a est un entier. √ 20 3) Ecrire sous la forme d’une fraction simplifiée : C = √ . 45 Vanuatu septembre 2000 √ √ √ √ Voici deux expressions : E = 2 3 + 2 et F = 2 3 − 2. Calculer, sous forme la plus simple possible, les valeurs exactes de : E + F ; E − F ; E2 − F 2 ; E × F . D. Le FUR 9/ 11 15 septembre 2003 RACINES CARREES 7 Session du brevet 2002 Groupe ouest 2002 √ En indiquant les calculs intermédiaires, écrire A sous la forme d’un nombre entier et B sous la forme a 3 (avec a entier).√ √ √ 2 + 1 − 2 2; A= 3 2−1 √ √ B = 5 27 + 75. Afrique II 2002 √ 1) Ecrire sous la forme a 7 avec a entier : R= √ √ √ 63 + 3 28 − 700. 2) Montrer, par un calcul, que le nombre U est un entier : √ √ U = 2− 3 × 2+ 3 . 3) Déterminer avec votre calculatrice des valeurs approchées (arrondies au millième) des nombres : √ 1 . 5 − 4 2 et √ 5−2 D. Le FUR 10/ 11 15 septembre 2003 RACINES CARREES 8 Session du brevet 2003 Groupe ouest 2003 √ 1) Ecrire sous la forme a 5 avec a entier : √ √ A = 3 20 + 45 B= √ √ 180 − 3 5. 2) En utilisant les résultats de la question précédente, démontrer que A × B et A sont des nombres entiers. B Asie 2003 √ √ 1) Soit A = 5 18 et B = 3 50. √ Ecrire A et B sous la forme a b où a et b sont des entiers. Que remarquez-vous ? √ √ 2) Soit C = 2 − 2 et D = 2 + 2. a) Montrer que C × D est entier. √ b) Calculer C 2 et écrire le résultat sous la forme a + b 2 avec a et b entiers. Martinique septembre 2002 √ Ecrire sous la forme a b avec a et b entiers, b le plus petit possible : √ √ √ C = 50 − 3 8 + 2 18. Nouvelle-Calédonie décembre 2002 √ Ecrire sous la forme a b avec a et b entiers, b le plus petit possible : √ √ √ 2 28 + 5 63 − 3 112. D. Le FUR 11/ 11 15 septembre 2003