Quelques développements d`agrégation

Quelques d´eveloppements d’agr´egation
Vincent Pit
25 septembre 2007
J’ai rassembl´e dans ce papier un certain nombre de d´eveloppements que j’avais pr´epar´e pour
l’agr´egation de 2006. J’ai choisi d’exposer ces r´esultats en particulier car ils sont soit difficilement
trouvables, soit profond´ement remani´es par rapport aux r´ef´erences bibliographiques. Dans tous
les cas, il s’agit de d´eveloppements sur lesquels j’ai pris un r´eel plaisir `a travailler.
Les preuves sont volontairement assez d´etaill´ees afin que le lecteur puisse se faire une id´ee
aussi pr´ecise que possible du niveau impliqu´e, mais aussi ne perde pas de temps `a buter sur des
r´esultats interm´ediaires. Elles sont bien souvent trop longues pour ˆetre pr´esent´ees telles quelles
au jury. Il convient donc `a chacun de les reprendre en choisissant quelles parties exposer et en
´eludant les arguments qui paraissent superflus, un travail qui ne peut ˆetre qu’individuel.
Bon travail et bonne chance !
Table des mati`eres
1 Alg`ebre et g´eom´etrie 2
1.1 Th´eor`emedeLie-Kolchin............................... 2
1.2 D´ecomposition de Dunford effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Th´eor`eme de point fixe de Markov-Kakutani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Th´eor`eme de la base adapt´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Th´eor`eme des z´eros de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 AlgorithmedeBerlekamp .............................. 6
1.7 Th´eor`emedeMolien ................................. 6
1.8 Equation diophantienne et s´erie g´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Analyse et probabilit´es 7
2.1 Th´eor`eme de Cartan-Von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Th´eor`eme de Hadamard-L´evy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Th´eor`emedeWiener ................................. 11
2.4 Th´eor`eme d’Ascoli dans les espaces m´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Dual de Lp, 1 ≤p≤2 ................................ 15
2.6 Sous-espaces ferm´es de Lp.............................. 15
2.7 Continuit´e des fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8 Sous-espaces stables par translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.9 Marches al´eatoires sur Zd............................... 19
Remarque. Certains d´eveloppements vont `a la fois en alg`ebre et en analyse. V´erifiez les listes !
1

1 Alg`ebre et g´eom´etrie
1.1 Th´eor`eme de Lie-Kolchin
Th´eor`eme 1.1.1 (Lie-Kolchin).Tout sous-groupe connexe r´esoluble Gde GL(n, C)est conju-
gu´e `a un sous-groupe du groupe des matrices triangulaires sup´erieures inversibles B.
Preuve : On dira qu’un sous-espace vectoriel V de Cnest stable par G(ou G-stable) lorsqu’il
est stable par tous les ´el´ements de G.{0}et Cnle sont quel que soit G, et s’ils sont les seuls
on dira que Gest irr´eductible.
Nous allons d´emontrer le th´eor`eme par r´ecurrence sur n.
−Si n= 1, GL(n, C) = C∗, OK.
−Supposons le th´eor`eme montr´e pour tout k≤n, avec n≥2.
•Si Gest irr´eductible, nous allons d’abord prouver le lemme suivant :
Lemme 1.1.2. Un sous-groupe connexe r´esoluble irr´eductible est commutatif.
Comme Gest r´esoluble, on peut d´efinir m= inf k≥1|DkG={In}.Gest alors ab´elien
SSI m= 1. Supposons par l’absurde que m≥2, et posons H=Dm−1G. On va montrer que
H={In}, ce qui assurera la contradiction.
DH =D(Dm−1G) = DmG={In}, donc Hest ab´elien. On peut ainsi en trigonaliser
simultan´ement tous les ´el´ements, et il existe P∈GL(n, C) tel que P HP −1⊂ B. Quitte `a
remplacer Gpar P GP −1, on peut alors supposer que H⊂ B.
Soit V⊂Cnle sous-espace vectoriel engendr´e par les vecteurs propres communs `a tous les
´el´ements de H. Montrons que V=Cn.
H⊂ B donc e1= (1,0,...,0) ∈ B est vecteur propre de toute matrice de H. Donc
V6={0}. Pour montrer que V=Cn, il suffit alors de prouver que Vest G-stable et
d’utiliser l’irr´eductibilit´e de G. Soit donc g∈Get vpropre `a tous les h∈H, montrons
que g(v)∈V. Pour tout h∈H,h(g(v)) = gg−1h(g(v)) = g(g−1hg)(v) o`u g−1hg ∈H
puisque H G comme groupe engendr´e par des commutateurs. vest propre pour g−1hg,
donc il existe λ∈Ctel que g−1hg(v) = λv. Alors h(g(v)) = g(λv) = λg(v) et g(v)∈V.
Il existe ainsi une base de Cnform´ee de vecteurs propres communs `a tous les ´el´ements de
H. Donc Hest un sous-groupe du groupe des matrices diagonales inversibles T.
Soit h∈H, et consid´erons ϕh:G→H(G)
g7→ g−1hg
.ϕhest continue et Gconnexe, donc
ϕh(G) est aussi connexe. Par ailleurs, pour tout g∈G,ϕh(g) est diagonale et a les mˆemes
valeurs propres que h.ϕh(G) ne peut donc qu’ˆetre fini et, comme il est connexe, il est r´eduit `a
un ´el´ement. Puisque h∈ϕh(G), ceci signifie que ϕh(G) = {h}pour tout h∈H, c’est-`a-dire :
∀h∈H, ∀g∈G, g−1hg =h⇔H⊂Z(G) (centre de G).
Soit toujours h∈Het W6={0}un espace propre de h.h∈Z(G) donc W est G-stable, et
comme il est non nul l’irr´eductibilit´e de Gassure une nouvelle fois que W=Cn. Il existe ainsi
λh∈Ctel que h=λhIn. Mais m≥2 donc H⊂DG ⊂SL(n, C) (puisque le d´eterminant d’un
commutateur vaut 1). Alors ∀h∈H, λn
h= det(h) = 1, d’o`u l’on d´eduit que Hest n´ecessairement
fini. Comme il est connexe, il est r´eduit `a In. C’est absurde.
Le commutateur d’un groupe connexe Gest en effet connexe, ce qui peut se voir en
´ecrivant DG =[
m≥1
Sm, avec S= Im((g1, g2)∈G27→ g1g2g−1
1g−1 2) et
Sm= Im((g1, . . . , gm)∈Sm7→ g1. . . gm) qui sont connexes comme images continues
de connexes. On conclut pour Hpar r´ecurrence sur m.
D’apr`es le lemme, on peut alors trigonaliser tous ses ´el´ements dans une mˆeme base, ce qui
conclut ce cas.
Vincent Pit 2

1.1 Th´ eor` eme de Lie-Kolchin
•Sinon, il existe V⊂CnG-stable et non trivial. Soit Wun suppl´ementaire de G; quitte `a
conjuguer Gpar une matrice de changement de base, on peut supposer que toutes les matrices
sont de la forme g1u
0g2
Alors (α:g∈G7→ g1∈GL(dim V, C)
β:g∈G7→ g2∈GL(dim W, C)induisent deux sous-groupes respectivement α(G)
de GL(dim V, C) et β(G) de GL(dim W, C), connexes r´esolubles comme images d’un groupe
connexe r´esoluble par un morphisme de groupes continu. Puisque Va ´et´e suppos´e non trivial,
1≤dim V, dim W≤n−1 et on peut donc appliquer l’hypoth`ese de r´ecurrence `a α(G) et β(G) :
il existe P1∈GL(dim V, C), P2∈GL(dim W, C) telles que P1α(G)P−1
1et P2β(G)P−1 2soient
des groupes de matrices triangulaires sup´erieures. En notant P=P10
0P2, on constate alors
que P GP −1⊂ B.
R´ef´erences : On trouve cette preuve dans le d´esordre dans [CL05].
Le¸cons :
−103.Exemples de sous-groupes distingu´es et de groupes quotients. Applications.
−106.Groupe lin´eaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E).
Exemples et applications.
−121.Matrices ´equivalentes. Matrices semblables. Applications.
−124.R´eduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
−125.Sous-espaces stables d’un endomorphisme d’un espaces vectoriel de dimension finie. Ap-
plications.
Commentaires : Il est tout `a fait possible de ne faire que le lemme qui est d´ej`a int´eressant
en soi. Attention `a la derni`ere ´etape de la r´ecurrence o`u beaucoup voudront ´eviter de causer de
quotients de groupes r´esolubles.
Vincent Pit 3

1.2 D´ ecomposition de Dunford effective
1.2 D´ecomposition de Dunford effective
Th´eor`eme 1.2.1. Soit kun corps et P∈k[X]unitaire. On suppose que Pest scind´e sur
kou que car k= 0. Notons A=k[X]/(P)qui a une structure de k-alg`ebre commutative, et
x=X∈A. Il existe u, v ∈Atels que x=u+vo`u :
(i) uest annul´e par un polynˆome scind´e `a racines simples dans une extension de k;
(ii) vnilpotent.
Preuve : Ecrivons la d´ecomposition en produits d’irr´eductibles de P:P=P1α1. . . Psαs, o`u
Piunitaire irr´eductible et αi≥1. On pose Q=P1. . . Ps. Alors Q|P, et pour r= max
i=1...s αi,
P|Qr. Par cons´equent, Qr(x) = 0 dans A.
On pose la suite de Newton (x0=x
∀n≥0, xn+1 =xn−Q(xn)
Q0(xn)
Montrons par r´ecurrence sur n≥0 que Q0(xn) est inversible dans A(ce qui assurera l’exis-
tence de la suite) et que Q(xn)∈Q(x)2nA.
−Si n= 0, on a ´evidemment que Q(x)∈Q(x)A. Reste `a montrer que Q0(x) est inversible.
Remarquons alors que P∧Q0= 1.
Il suffit de prouver que ∀i, Pi-Q0pour conclure. Par l’absurde : s’il existait un itel
que Pi|Q0=X
k
P0
kY
j6=k
Pj, alors Pi|P0
iY
j6=i
Pj(il divise trivialement tous les autres)
et on en d´eduirait par le lemme de Gauss (Pi∧Pj= 1 pour i6=j) que Pi|P0
i.
Or P0
i6= 0 pour tout icar (si car k= 0, Pinon constant ⇒P0
i6= 0;
si Pscind´e, Pi=X−λipour un λi∈k, d’o`u P0
i= 1.
Comme deg P0
i<deg Pi, on obtient ainsi que Pi-P0 ipour tout i. C’est absurde.
Si on ´evalue alors une relation de Bezout P U +Q0V= 1 en x, on obtient que Q0(x)V(x) = 1
(puisque P(x) = 0 dans A), i.e. que Q0(x) est inversible dans A.
−Supposons l’hypoth`ese de r´ecurrence v´erifi´ee au rang n, et montrons-la au rang n+ 1.
Si Q0=
d
X
i=0
aiXi,Q0(xn+1)−Q0(xn) =
d
X
i=0
ai(xi
n+1−xi n) o`u 
(xn+1 −xn)
d−1
X
i=0
xi
n+1xd−1−i nsi i6= 0;
0 si i= 0.
Donc Q0(xn+1 −xn)−Q0(xn)∈(xn+1 −xn)A⊂Q(xn)Apar d´efinition de xn+1. Comme
Q(xn)∈Q(x)2nApar hypoth`ese de r´ecurrence, et que Q(x)r= 0, Q(xn)Aest un id´eal nil-
potent (il est contenu dans Q(x)Apuisque 2n≥1). Q0(xn+1)−Q0(xn) est ainsi nilpotent. Alors
Q0(xn+1) = Q0(xn+1)−Q0(xn)
| {z }
nilpotent
+Q0(xn)
| {z }
inversible
est inversible d’apr`es le lemme qui suit :
Lemme 1.2.2. Soient Aun anneau commutatif, u∈Ainversible et n∈Anilpotent. Alors
u+nest inversible.
Il revient au mˆeme de montrer que 1 + u−1nest inversible. Pour k≥0, on factorise :
1+(−1)k(u−1n)k+1 = (1 + u−1n)(1 −u−1n+ (u−1n)2−. . . + (−1)k(u−1n)k) = (1 + u−1n)bk.
Pour ktel que nk+1 = 0, nk6= 0, on a aussi (u−1n)k+1 = 0 ; et il vient (1 + u−1n)bk= 1.
D’autre part, on peut ´ecrire Q(X+Y) = Q(X) + Y Q0(X) + Y2e Q(X, Y ) o`u e Q∈k[X, Y ]
(par lin´earit´e, il suffit de v´erifier cette ´ecriture pour Qmonˆome, ce que l’on voit facilement
avec (X+Y)m=Xm+mY Xm−1+Y2(. . .)). Si on note y=xn+1 −xn=−Q(xn)
Q0(xn), alors
Q(xn) + yQ0(xn) = 0 et on en d´eduit que Q(xn+1) = Q(xn+y) = Q(xn) + yQ0(xn) + y2e Q(xn, y).
Ainsi Q(xn+1) = y2e
Q(xn, y) = Q(xn)2
Q0(xn)2e
Q(xn, y)∈Q(xn)2A⊂Q(x)2n+1 A, achevant la r´ecurrence.
Vincent Pit 4

1.2 D´ ecomposition de Dunford effective
Comme Q(x)r= 0, il existe un rang n0tel que ∀n≥n0, Q(x)2n= 0 et donc Q(xn) = 0. La
suite (xn) est donc stationnaire. Soit usa derni`ere valeur : on a alors Q(u) = 0 avec Qscind´e `a
racines simples dans une extension. Il suffit alors de v´erifier que v=x−uest bien nilpotent :
v=x−u=x0−xn0=x0−x1
| {z }
∈Q(x)A
+x1−x2
| {z }
∈Q(x)A
+. . . +xn0−1−xn0
| {z }
∈Q(x)A
∈Q(x)Adonc nilpotent. 
Application `a la d´ecomposition de Dunford. Soit Eun k-espace vectoriel de dimension
finie et fun endomorphisme de Etel que χfsoit scind´e sur k. Consid´erons le morphisme
d’alg`ebres Φ : k[X]→k[f]
X7→ f
; il passe au quotient A=k[X]/(χf)→k[f] car le th´eor`eme
de Cayley-Hamilton assure que χf∈ker Φ.
On applique le th´eor`eme pour P=χf: on peut alors ´ecrire x=u+vavec uet vv´erifiant
(i) et (ii), et qui de plus commutent puisque Aest une alg`ebre commutative. Soient d= Φ(u)
et n= Φ(v). La propri´et´e de morphisme d’alg`ebres de Φ assure alors que dn =nd,nnilpotent
et Q(d) = 0 avec Qscind´e `a racines simples dans une extension. Par cons´equent Q|χf, et
comme χfest scind´e sur k,Ql’est aussi ; ses racines dans ksont alors simples. d, annul´e par
un polynˆome scind´e `a racines simples dans k, est bien diagonalisable sur k.
Pourquoi effective ? L’int´erˆet de cette preuve r´eside dans le fait que si car k= 0 alors on
aP= (P∧P0)Q, ce qui permet de calculer Qpar l’algorithme d’Euclide sans connaˆıtre les Pi.
En effet, si on ´ecrit P=Pαi
iUavec Pi∧U= 1, P0= (αiP0
iU+PiU0)Pαi−1
i. On a d´ej`a vu
que Pi-P0
i; comme car k= 0, αiP0 i6= 0 donc Pi-αiP0 iet par suite Pi-αiP0 iU+PiV(sinon
Pi|αiP0
iUd’o`u par Gauss Pi|αiP0 i, absurde). Par cons´equent, Piapparaˆıt exactement αi−1
fois dans P0, et ainsi P∧P0=Pα1−1
1. . . P αs−1
s=P
Q.
R´ef´erences : On trouve la preuve sous cette forme dans un papier de D. Ferrand dispo-
nible sur le site de Rennes. On retrouve aussi l’id´ee dans [RB06], mais c’est moins beau (pas
d’id´eaux) et plus confus.
Le¸cons :
−111.Exemples d’applications des id´eaux d’un anneau commutatif unitaire.
−124.R´eduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
−126.Endomorphismes diagonalisables.
−128.Endomorphismes nilpotents.
−129.Polynˆomes d’endomorphismes. Polynˆomes annulateurs. Applications.
Commentaires : Ca va dans ideaux et dans nilpotents. C’est constructif (pas comme ce
commentaire).
Vincent Pit 5