Quelques développements d`agrégation

Quelques développements d’agrégation
Vincent Pit
25 septembre 2007
J’ai rassemblé dans ce papier un certain nombre de développements que j’avais préparé pour
l’agrégation de 2006. J’ai choisi d’exposer ces résultats en particulier car ils sont soit difficilement
trouvables, soit profondément remaniés par rapport aux références bibliographiques. Dans tous
les cas, il s’agit de développements sur lesquels j’ai pris un réel plaisir à travailler.
Les preuves sont volontairement assez détaillées afin que le lecteur puisse se faire une idée
aussi précise que possible du niveau impliqué, mais aussi ne perde pas de temps à buter sur des
résultats intermédiaires. Elles sont bien souvent trop longues pour être présentées telles quelles
au jury. Il convient donc à chacun de les reprendre en choisissant quelles parties exposer et en
éludant les arguments qui paraissent superflus, un travail qui ne peut être qu’individuel.
Bon travail et bonne chance !
Table des matières
1 Algèbre et géométrie
1.1 Théorème de Lie-Kolchin . . . . . . . . . . .
1.2 Décomposition de Dunford effective . . . . .
1.3 Théorème de point fixe de Markov-Kakutani
1.4 Théorème de la base adaptée . . . . . . . . .
1.5 Théorème des zéros de Hilbert . . . . . . . .
1.6 Algorithme de Berlekamp . . . . . . . . . .
1.7 Théorème de Molien . . . . . . . . . . . . .
1.8 Equation diophantienne et série génératrice .
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2
2
4
6
6
6
6
6
6
2 Analyse et probabilités
2.1 Théorème de Cartan-Von Neumann . . . . . .
2.2 Théorème de Hadamard-Lévy . . . . . . . . .
2.3 Théorème de Wiener . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Théorème d’Ascoli dans les espaces métriques
2.5 Dual de Lp , 1 ≤ p ≤ 2 . . . . . . . . . . . . .
2.6 Sous-espaces fermés de Lp . . . . . . . . . . .
2.7 Continuité des fonctions convexes . . . . . . .
2.8 Sous-espaces stables par translation . . . . . .
2.9 Marches aléatoires sur Zd . . . . . . . . . . . .
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7
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Remarque. Certains développements vont à la fois en algèbre et en analyse. Vérifiez les listes !
1
1
1.1
Algèbre et géométrie
Théorème de Lie-Kolchin
Théorème 1.1.1 (Lie-Kolchin). Tout sous-groupe connexe résoluble G de GL(n, C) est conjugué à un sous-groupe du groupe des matrices triangulaires supérieures inversibles B.
Preuve : On dira qu’un sous-espace vectoriel V de Cn est stable par G (ou G-stable) lorsqu’il
est stable par tous les éléments de G. {0} et Cn le sont quel que soit G, et s’ils sont les seuls
on dira que G est irréductible.
Nous allons démontrer le théorème par récurrence sur n.
− Si n = 1, GL(n, C) = C∗ , OK.
− Supposons le théorème montré pour tout k ≤ n, avec n ≥ 2.
• Si G est irréductible, nous allons d’abord prouver le lemme suivant :
Lemme 1.1.2. Un sous-groupe connexe résoluble irréductible est commutatif.
Comme G est résoluble, on peut définir m = inf k ≥ 1 | Dk G = {In } . G est alors abélien
SSI m = 1. Supposons par l’absurde que m ≥ 2, et posons H = Dm−1 G. On va montrer que
H = {In }, ce qui assurera la contradiction.
DH = D(Dm−1 G) = Dm G = {In }, donc H est abélien. On peut ainsi en trigonaliser
simultanément tous les éléments, et il existe P ∈ GL(n, C) tel que P HP −1 ⊂ B. Quitte à
remplacer G par P GP −1 , on peut alors supposer que H ⊂ B.
Soit V ⊂ Cn le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs propres communs à tous les
éléments de H. Montrons que V = Cn .
H ⊂ B donc e1 = (1, 0, . . . , 0) ∈ B est vecteur propre de toute matrice de H. Donc
V 6= {0}. Pour montrer que V = Cn , il suffit alors de prouver que V est G-stable et
d’utiliser l’irréductibilité de G. Soit donc g ∈ G et v propre à tous les h ∈ H, montrons
que g(v) ∈ V . Pour tout h ∈ H, h(g(v)) = gg −1 h(g(v)) = g(g −1 hg)(v) où g −1 hg ∈ H
puisque H /G comme groupe engendré par des commutateurs. v est propre pour g −1 hg,
donc il existe λ ∈ C tel que g −1 hg(v) = λv. Alors h(g(v)) = g(λv) = λg(v) et g(v) ∈ V .
Il existe ainsi une base de Cn formée de vecteurs propres communs à tous les éléments de
H. Donc H est un sous-groupe du groupe des matrices diagonales inversibles T .
Soit h ∈ H, et considérons ϕh : G → H(/G) . ϕh est continue et G connexe, donc
g 7→ g −1 hg
ϕh (G) est aussi connexe. Par ailleurs, pour tout g ∈ G, ϕh (g) est diagonale et a les mêmes
valeurs propres que h. ϕh (G) ne peut donc qu’être fini et, comme il est connexe, il est réduit à
un élément. Puisque h ∈ ϕh (G), ceci signifie que ϕh (G) = {h} pour tout h ∈ H, c’est-à-dire :
∀h ∈ H, ∀g ∈ G, g −1 hg = h ⇔ H ⊂ Z(G) (centre de G).
Soit toujours h ∈ H et W 6= {0} un espace propre de h. h ∈ Z(G) donc W est G-stable, et
comme il est non nul l’irréductibilité de G assure une nouvelle fois que W = Cn . Il existe ainsi
λh ∈ C tel que h = λh In . Mais m ≥ 2 donc H ⊂ DG ⊂ SL(n, C) (puisque le déterminant d’un
commutateur vaut 1). Alors ∀h ∈ H, λnh = det(h) = 1, d’où l’on déduit que H est nécessairement
fini. Comme il est connexe, il est réduit à In . C’est absurde.
Le commutateur[d’un groupe connexe G est en effet connexe, ce qui peut se voir en
écrivant DG =
Sm , avec S = Im((g1 , g2 ) ∈ G2 7→ g1 g2 g1−1 g2−1 ) et
m≥1
Sm = Im((g1 , . . . , gm ) ∈ S m 7→ g1 . . . gm ) qui sont connexes comme images continues
de connexes. On conclut pour H par récurrence sur m.
D’après le lemme, on peut alors trigonaliser tous ses éléments dans une même base, ce qui
conclut ce cas.
Vincent Pit
2
1.1
Théorème de Lie-Kolchin
• Sinon, il existe V ⊂ Cn G-stable et non trivial. Soit W un supplémentaire de G ; quitte à
conjuguer G par une matrice
de changement de base, on peut supposer que toutes les matrices
g1 u
sont de la forme
0 g2
(
α : g ∈ G 7→ g1 ∈ GL(dim V, C)
Alors
induisent deux sous-groupes respectivement α(G)
β : g ∈ G 7→ g2 ∈ GL(dim W, C)
de GL(dim V, C) et β(G) de GL(dim W, C), connexes résolubles comme images d’un groupe
connexe résoluble par un morphisme de groupes continu. Puisque V a été supposé non trivial,
1 ≤ dim V, dim W ≤ n − 1 et on peut donc appliquer l’hypothèse de récurrence à α(G) et β(G) :
−1
−1
il existe P1 ∈ GL(dim V, C), P2 ∈ GL(dim W, C) telles que P1 α(G)P
1 et P2 β(G)P2 soient
P1 0
des groupes de matrices triangulaires supérieures. En notant P =
, on constate alors
0 P2
que P GP −1 ⊂ B.
Références : On trouve cette preuve dans le désordre dans [CL05].
Leçons :
− 103. Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
− 106. Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E).
Exemples et applications.
− 121. Matrices équivalentes. Matrices semblables. Applications.
− 124. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
− 125. Sous-espaces stables d’un endomorphisme d’un espaces vectoriel de dimension finie. Applications.
Commentaires : Il est tout à fait possible de ne faire que le lemme qui est déjà intéressant
en soi. Attention à la dernière étape de la récurrence où beaucoup voudront éviter de causer de
quotients de groupes résolubles.
Vincent Pit
3
1.2
1.2
Décomposition de Dunford effective
Décomposition de Dunford effective
Théorème 1.2.1. Soit k un corps et P ∈ k[X] unitaire. On suppose que P est scindé sur
k ou que car k = 0. Notons A = k[X]/(P ) qui a une structure de k-algèbre commutative, et
x = X ∈ A. Il existe u, v ∈ A tels que x = u + v où :
(i) u est annulé par un polynôme scindé à racines simples dans une extension de k ;
(ii) v nilpotent.
Preuve : Ecrivons la décomposition en produits d’irréductibles de P : P = P1 α1 . . . Ps αs , où
Pi unitaire irréductible et αi ≥ 1. On pose Q = P1 . . . Ps . Alors Q | P , et pour r = max αi ,
i=1...s
P | Qr . Par conséquent, Qr (x) =
( 0 dans A.
x0 = x
On pose la suite de Newton
n)
∀n ≥ 0, xn+1 = xn − QQ(x
0 (x )
n
0
Montrons par récurrence sur n ≥ 0 que
Q
(x
n ) est inversible dans A (ce qui assurera l’exisn
tence de la suite) et que Q(xn ) ∈ Q(x)2 A.
− Si n = 0, on a évidemment que Q(x) ∈ Q(x)A. Reste à montrer que Q0 (x) est inversible.
Remarquons alors que P ∧ Q0 = 1.
0
Il suffit de prouver
Par l’absurde : s’il existait un i tel
Y
X que
Y∀i, Pi - Q pour conclure.
0
0
0
que Pi | Q =
Pk
Pj (il divise trivialement tous les autres)
Pj , alors Pi | Pi
k
j6=k
j6=i
et on en déduirait par le lemme
de Gauss (Pi ∧ Pj = 1 pour i 6= j) que Pi | Pi0 .
(
si car k = 0, Pi non constant ⇒ Pi0 6= 0;
Or Pi0 6= 0 pour tout i car
si P scindé, Pi = X − λi pour un λi ∈ k, d’où Pi0 = 1.
Comme deg Pi0 < deg Pi , on obtient ainsi que Pi - Pi0 pour tout i. C’est absurde.
Si on évalue alors une relation de Bezout P U + Q0 V = 1 en x, on obtient que Q0 (x)V (x) = 1
(puisque P (x) = 0 dans A), i.e. que Q0 (x) est inversible dans A.
− Supposons l’hypothèse de récurrence vérifiée au rang n, et montrons-la au rang n + 1.

d−1
X

d
d
(x
X
X
xin+1 xd−1−i
si i 6= 0;
n+1 − xn )
n
Si Q0 =
ai X i , Q0 (xn+1 )−Q0 (xn ) =
ai (xin+1 −xin ) où
i=0


i=0
i=0
0 si i = 0.
Donc Q0 (xn+1 − xn ) − Q0 (xn ) ∈ (xn+1 − xn )A ⊂ Q(xn )A par définition de xn+1 . Comme
n
Q(xn ) ∈ Q(x)2 A par hypothèse de récurrence, et que Q(x)r = 0, Q(xn )A est un idéal nilpotent (il est contenu dans Q(x)A puisque 2n ≥ 1). Q0 (xn+1 ) − Q0 (xn ) est ainsi nilpotent. Alors
Q0 (xn+1 ) = Q0 (xn+1 ) − Q0 (xn ) + Q0 (xn ) est inversible d’après le lemme qui suit :
{z
} | {z }
|
nilpotent
inversible
Lemme 1.2.2. Soient A un anneau commutatif, u ∈ A inversible et n ∈ A nilpotent. Alors
u + n est inversible.
Il revient au même de montrer que 1 + u−1 n est inversible. Pour k ≥ 0, on factorise :
1 + (−1)k (u−1 n)k+1 = (1 + u−1 n)(1 − u−1 n + (u−1 n)2 − . . . + (−1)k (u−1 n)k ) = (1 + u−1 n)bk .
Pour k tel que nk+1 = 0, nk 6= 0, on a aussi (u−1 n)k+1 = 0 ; et il vient (1 + u−1 n)bk = 1.
e
e ∈ k[X, Y ]
D’autre part, on peut écrire Q(X + Y ) = Q(X) + Y Q0 (X) + Y 2 Q(X,
Y ) où Q
(par linéarité, il suffit de vérifier cette écriture pour Q monôme, ce que l’on voit facilement
n)
avec (X + Y )m = X m + mY X m−1 + Y 2 (. . .)). Si on note y = xn+1 − xn = − QQ(x
0 (x ) , alors
n
e n , y).
Q(xn ) + yQ0 (xn ) = 0 et on en déduit que Q(xn+1 ) = Q(xn + y) = Q(xn ) + yQ0 (xn ) + y 2 Q(x
2
n)
2
2n+1
e n , y) = Q(x
e
A, achevant la récurrence.
Ainsi Q(xn+1 ) = y 2 Q(x
0
2 Q(xn , y) ∈ Q(xn ) A ⊂ Q(x)
Q (xn )
Vincent Pit
4
1.2
Décomposition de Dunford effective
n
Comme Q(x)r = 0, il existe un rang n0 tel que ∀n ≥ n0 , Q(x)2 = 0 et donc Q(xn ) = 0. La
suite (xn ) est donc stationnaire. Soit u sa dernière valeur : on a alors Q(u) = 0 avec Q scindé à
racines simples dans une extension. Il suffit alors de vérifier que v = x − u est bien nilpotent :
v = x − u = x0 − xn0 = x0 − x1 + x1 − x2 + . . . + xn0 −1 − xn0 ∈ Q(x)A donc nilpotent.
| {z } | {z }
|
{z
}
∈Q(x)A
∈Q(x)A
∈Q(x)A
Application à la décomposition de Dunford. Soit E un k-espace vectoriel de dimension
finie et f un endomorphisme de E tel que χf soit scindé sur k. Considérons le morphisme
d’algèbres Φ : k[X] → k[f ] ; il passe au quotient A = k[X]/(χf ) → k[f ] car le théorème
X 7→ f
de Cayley-Hamilton assure que χf ∈ ker Φ.
On applique le théorème pour P = χf : on peut alors écrire x = u + v avec u et v vérifiant
(i) et (ii), et qui de plus commutent puisque A est une algèbre commutative. Soient d = Φ(u)
et n = Φ(v). La propriété de morphisme d’algèbres de Φ assure alors que dn = nd, n nilpotent
et Q(d) = 0 avec Q scindé à racines simples dans une extension. Par conséquent Q | χf , et
comme χf est scindé sur k, Q l’est aussi ; ses racines dans k sont alors simples. d, annulé par
un polynôme scindé à racines simples dans k, est bien diagonalisable sur k.
Pourquoi effective ? L’intérêt de cette preuve réside dans le fait que si car k = 0 alors on
a P = (P ∧ P 0 )Q, ce qui permet de calculer Q par l’algorithme d’Euclide sans connaı̂tre les Pi .
En effet, si on écrit P = Piαi U avec Pi ∧ U = 1, P 0 = (αi Pi0 U + Pi U 0 )Piαi −1 . On a déjà vu
que Pi - Pi0 ; comme car k = 0, αi Pi0 6= 0 donc Pi - αi Pi0 et par suite Pi - αi Pi0 U + Pi V (sinon
Pi | αi Pi0 U d’où par Gauss Pi | αi Pi0 , absurde). Par conséquent, Pi apparaı̂t exactement αi − 1
P
fois dans P 0 , et ainsi P ∧ P 0 = P1α1 −1 . . . Psαs −1 = Q
.
Références : On trouve la preuve sous cette forme dans un papier de D. Ferrand disponible sur le site de Rennes. On retrouve aussi l’idée dans [RB06], mais c’est moins beau (pas
d’idéaux) et plus confus.
Leçons :
− 111. Exemples d’applications des idéaux d’un anneau commutatif unitaire.
− 124. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
− 126. Endomorphismes diagonalisables.
− 128. Endomorphismes nilpotents.
− 129. Polynômes d’endomorphismes. Polynômes annulateurs. Applications.
Commentaires : Ca va dans ideaux et dans nilpotents. C’est constructif (pas comme ce
commentaire).
Vincent Pit
5
1.3
Théorème de point fixe de Markov-Kakutani
1.3
Théorème de point fixe de Markov-Kakutani
1.4
Théorème de la base adaptée
1.5
Théorème des zéros de Hilbert
1.6
Algorithme de Berlekamp
1.7
Théorème de Molien
1.8
Equation diophantienne et série génératrice
Vincent Pit
6
2
Analyse et probabilités
2.1
Théorème de Cartan-Von Neumann
Théorème 2.1.1 (Cartan-Von Neumann). Tout sous-groupe fermé G de GL(n, R) est une
sous-variété.
Preuve : Pour tout M ∈ G, ϕM : Mn (R) → Mn (R) , est un C ∞ -difféomorphisme (car
X 7→ M X
polynomial, et de réciproque ϕM −1 ). Il suffit donc de prouver que G est une sous-variété au
voisinage de In ; en composant par les ϕM , on obtiendra que G est une sous-variété au voisinage
de chacun de ses points.
∞
X
Mk
M
On notera exp : M ∈ Mn (R) 7→ e =
∈ GL(n, R) l’exponentielle de matrice. On
k!
k=0
va montrer que, restreinte à un espace vectoriel bien choisi, l’exponentielle de matrice réalise un
C ∞ -difféomorphisme local dans un voisinagede In dans G. Il faut cependant exhiber cet espace
tM
vectoriel qui paramétrera G : ce sera LG = M ∈ Mn (R) | ∀t ∈ R, e ∈ G .
Lemme 2.1.2. LG un sous-espace vectoriel de Mn (R).
− 0 ∈ LG donc LG 6= ∅.
− M ∈ LG , λ ∈ R∗ , etλM ∈ G pour tout t ∈ R, d’où λM ∈ LG .
A B
− Soient A, B ∈ LG . Montrons d’abord que eA+B = lim (e k e k )k .
k→+∞
X
Comme e = In + X + o(kXk), d exp(0) = IdMn (R) . D’après le théorème d’inversion
locale, exp réalise donc un C 1 -difféomorphisme d’un voisinage de 0 dans un voisinage
de IMn (R) . Si on note l sa réciproque, dl(In ) = d exp(0)−1 = IdMn (R) , et on obtient le
développement limité l(X) = 0 + IdMn (R) (X − In ) + o(kX − In k) au voisinage de In .
A B
D’autre part, on a e k e k = In + A+B
+ o( k1 ) lorsque k → +∞, d’où :
k
k
A B
A B
A B
(e k e k )k = exp(l(e k e k )) = exp kl(e k e k )
A+B
1
= exp kl(In +
+ o( )) = exp(A + B + o(1)) → exp(A + B)
k
k
t
t
∈G
∈G
Si t ∈ R, on obtient bien que et(A+B) = lim (|{z}
e k A |{z}
e k B )k ∈ G car G est un groupe fermé.
k→+∞
Soit N un supplémentaire de LG dans Mn (R) (N = Mn (R) si LG = {0}).
(
Mk → 0
Lemme 2.1.3. Il n’existe pas de suite (Mk )k∈N ∈ N \ {0} telle que
∀k ≥ 0, eMk ∈ G
Mk
Raisonnons par l’absurde et supposons qu’une telle suite exite. Alors εk = kM
est dans la
kk
sphère unité de Mn (R) qui est compacte (Mn (R) est de dimension finie). Quitte à remplacer
(εk ) par une suite extraite, on peut alors supposer qu’elle converge vers un ε de norme 1. Or
εk ∈ N , fermé comme sous-espace vectoriel de Mn (R), donc ε ∈ N .
t
Montrons alors que ε ∈ LG : si t ∈ R, etε = lim e
k→+∞
On décompose
t
kMk k
t
= λk + µk ; ainsi e
|{z} |{z}
∈ Z | |≤ 21
Mk
kMk k
Mk
kMk k
par continuité de exp.
etεk
= eλk Mk eµk Mk ⇒ (eMk )λk = |{z}
→etε
e|−µ{zk M}k
→In car Mk →0
et |µk |≤ 12
converge visiblement vers etε . Comme eMk ∈ G et G fermé, etε ∈ G pour tout t, i.e. ε ∈ LG .
Par conséquent ε ∈ N ∩ LG = {0}, soit ε = 0, ce qui contredit kεk = 1.
Vincent Pit
7
2.1
Théorème de Cartan-Von Neumann
Posons Φ : Mn (R) = N ⊕ LG → GL(n, R) .
(M, L) 7→ eM eL
Cette fonction est C ∞ , et par un développement limité on voit que dΦ = IdMn (R) . D’après
le théorème d’inversion locale, il existe U voisinage ouvert de 0 dans Mn (R) tel que Φ(U ) soit
un ouvert de GL(n, R) contenant In et Φ : U → Φ(U ) réalise un C ∞ -difféomorphisme.
Il existe alors V ⊂ U un voisinage ouvert de 0 dans Mn (R) tel que Φ : V ∩ LG → Φ(V ) ∩ G
soit surjective.
Par l’absurde : sinon, tout voisinage de 0 contenu dans U possède des éléments non
inclus dans LG et dont les images par Φ sont dans G. Pour tout k tel que B(0, k1 ) ⊂ U ,
il existe ainsi Xk = Mk + Lk ∈ B(0, k1 ) tel que Mk 6= 0 (Xk ∈
/ LG ) et Φ(Xk ) ∈ G.
|{z} |{z}
∈N
∈LG
Lorsque k → +∞, Xk → 0 donc Mk → 0. D’autre part, eMk = Φ(Xk )
| {z }
∈G
−Lk
e|{z}
∈ G.
∈G car Lk ∈LG
L’existence de (Mk ) contredit donc le lemme 2.1.3.
Φ induit ainsi un C ∞ -difféomorphisme de V ∩ LG , voisinage de 0 dans LG , dans Φ(V ) ∩ G,
voisinage de In dans G.
Espace tangent en l’identité. Si LG = {0}, G est discret. Sinon, LG dirige l’espace
tangent à G en In .
En effet, Si X ∈ LG , t 7→ exp(tX) est une courbe dans G passant par In , dont le vec−−−→
teur tangent à 0 est X (facile par un développement limité). Donc LG ⊂ TIn G, mais comme
−−−→
dim TIn G = dim G = dim LG on a en fait égalité.
{z
}
|
par la preuve précédente
Références : Il fait l’objet de deux exercices dans [GT98]. On le trouve aussi dans [MT86],
mais c’est plus confus.
Leçons :
− 106. Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E).
Exemples et applications.
− 127. Exponentielle de matrices. Applications.
− 214. Applications du théorème d’inversion locale et des fonctions implicites.
− 215. Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn . Exemples et applications.
Commentaires : Cette preuve présente le double avantage de ne pas parler du tout de
groupes et d’algèbres de Lie, ainsi que de ne nécessiter aucune connaissance préalable sur le
logarithme matriciel l dont on retrouve d’ailleurs le développement limité dans le premier lemme.
Ce lemme (que l’on doit à S. Giraud) est par ailleurs assez technique et peut être admis si
le temps vient à manquer. Dans les deux références données, on trouve aussi la preuve d’un
développement limité à l’ordre deux, mais ce résultat n’est utile que si l’on souhaite prouver
que LG est stable par crochet de Lie.
Vincent Pit
8
2.2
2.2
Théorème de Hadamard-Lévy
Théorème de Hadamard-Lévy
Théorème 2.2.1 (Hadamard-Lévy). Soit f : Rn → Rn de classe C 2 . f est un difféomorphisme
SSI f est propre (l’image réciproque par f de tout compact est un compact) et df (x) est inversible
pour tout x.
Preuve : ⇒ : Si f est un C 2 -difféomorphisme, f −1 est continue donc l’image de tout compact
par f −1 est un compact. D’autre part, d(f −1 ◦ f )(x) = idRn = df −1 (f (x)) ◦ df (x), donc df (x)
est inversible pour tout x.
⇐ : (i) f est injective :
Fixons x0 ∈ Rn . On définit g : x ∈ Rn 7→ f (x) − f (x0 ), dont il est équivalent de montrer
l’injectivité. g est elle aussi propre et, comme dg(x) = df (x), dg est inversible en tout point.
On pose alors S = {x ∈ Rn | g(x) = 0}. Puisque x0 ∈ S, il suffit de prouver que S est réduit
au singleton {x0 } pour voir que g est injective.
Étape 1. S est fini.
Comme g est propre, S = g −1 ({0}) est compact. Supposons par l’absurde que S est infini :
il admet donc un point d’accumulation, et il existe (αk ) ∈ S N(tel que αk → α ∈ S. dg(α) étant
U ouvert de Rn contenant x0
inversible, le théorème d’inversion locale donne l’existence de
V ouvert de Rn contenant 0
tels que g induise un difféomorphisme de U dans V . En particulier, g est injective sur U , mais
pour k suffisamment grand αk ∈ U et g(αk ) = 0. C’est absurde.
Posons S = {p1 . . . pN } et F : x ∈ Rn 7→ dg(x)−1 [g(x)]. Comme f est C 2 , F est C 1 .
(
∀t > 0, x0q (t) = −F (xq (t))
Étape 2. Pour tout q ∈ Rn , (Sq ) :
admet une unique solution
xq (0) = q
maximale définie sur [0; +∞[.
Puisque F est C 1 , on a par le théorème de Cauchy-Lipschitz existence et unicité d’une
solution maximale xq de (Sq ) sur [0; T ∗ [. Alors, pour t ∈ [0; T ∗ [,
d
(g(xq (t))) = dg(xq (t)) x0q (t) = −dg(xq (t)) [F (xq (t))]
dt
= −dg(xq (t)) [dg(xq (t))−1 (g(xq (t)))] = −g(xq (t))
t ∈ [0; T ∗ [ 7→ g(xq (t)) est ainsi solution d’une équation différentielle linéaire d’ordre 1 à
coefficients constants. En la résolvant, il vient que g(xq (t)) = g(q)e−t . Or pour tout t ∈ [0; T ∗ [,
g(xq (t)) ∈ B(0, kqk) qui est compact. Comme g est propre, K = g −1 (B(0, kqk)) est compact,
et on a que : ∀t ≤ T ∗ , xq (t) ∈ K. D’après le principe des majorations à priori, T ∗ = +∞.
Étape 3. Pour tout pi , il existe δi > 0 tel que : ∃T ≥ 0, kxq (T ) − pi k < δi ⇒ lim xq (t) = pi .
t→+∞
( Fixons pi ∈ S. dg(pi ) est inversible donc, d’après le théorème d’inversion locale, il existe
U ouvert de Rn contenant pi
tels que g : U → V induise un difféomorphisme. Soient εi > 0
V ouvert de Rn contenant 0
tel que B(0, εi ) ⊂ V et δi > 0 tel que B(pi , δi ) ⊂ g −1 (B(0, εi )) ; montrons qu’ils conviennent.
On suppose qu’il existe T ≥ 0 tel que kxq (T ) − pi k < δi , et on note q 0 = xq (T ). L’unicité dans
le théorème de Cauchy-Lipschitz nous donne que : ∀t ≥ 0, xq (T + t) = xq0 (t). Alors :
q 0 ∈ B(pi , δi ) ⇒ g(q 0 ) ∈ B(0, εi ) ⇒ ∀t ≥ 0, g(xq0 (t)) = g(q 0 )e−t ∈ B(0, εi ) (e−t ≤ 1)
⇒ xq (T + t) = xq0 (t) = g −1 (g(xq0 (t))) = g −1 g(q 0 )e−t .
où ce dernier terme tend vers g −1 (0) = pi lorsque t → +∞.
Vincent Pit
9
2.2
Notons Wi =
n
Étape 4. R =
Théorème de Hadamard-Lévy
n
q ∈ R | lim xq (t) = pi .
t→+∞
SN
i=1
Wi .
Si q ∈ Rn , on a vu que xq (t) était à valeurs dans un compact K. Il existe donc une
suite strictement croissante de réels positifs (tk ) telle que (xq (tk ))k≥0 converge vers l ∈ K.
Or g(xq (tk )) = g(q)e−tk → 0 donc la continuité de g assure que g(l) ∈ S. Si g(l) = pi , il existe
k0 tel que xq (tk0 ) ∈ B(pi , δi ), et le point précédent conclut.
Étape 5. Les Wi sont ouverts.
Soit q ∈ Wi . D’après le point précédent, lim xq (t) = pi ∈ S et il existe donc T > 0 tel que
t→+∞
xq (T ) ∈ B(pi , δ2i ). En appliquant le théorème de continuité des solutions de (Sq ) par rapport aux
conditions initiales, on obtient l’existence d’un η > 0 tel que, pour tout q 0 vérifiant kq − q 0 k < η,
on ait kxq (T ) − xq0 (T )k < δ2i . Pour ces q 0 , kxq0 (T ) − pi k ≤ kxq0 (T ) − xq (T )k+kxq (T ) − pi k < δi ,
et donc q 0 ∈ Wi .
S
D’après la troisième étape, i 6= j ⇒ Wi ∩ Wj = ∅. Ainsi Rn = N
i=1 Wi où les Wi sont des
ouverts disjoints : par connexité de Rn , N = 1 et S = {x0 }.
(ii) f est surjective :
Comme Rn est connexe, il suffit de montrer que f (Rn ) est ouvert et fermé dans Rn .
(
U ouvert de Rn contenant x0
− Si y0 = f (x0 ) ∈ f (Rn ) il existe par théorème d’inversion locale
V ouvert de Rn contenant y0
tels que f : U → V soit un difféomorphisme. Pour tout y ∈ V , y = f (x) ∈ f (Rn ) avec x ∈ U .
f (Rn ) est donc un ouvert de Rn .
− Soit (yk ) = (f (xk )) ∈ f (Rn )N telle que yk → y ∈ Rn , montrons que y ∈ f (Rn ). Posons
K = {yk | k ∈ N} ∪ {y}. C’est un compact, et comme f est propre f −1 (K) est aussi compact.
Puisqu’il contient la suite (xk )k≥0 ., il existe ϕ : N → N strictement croissante telle que xϕ(k)
converge vers x ∈ f −1 (K). Mais alors y = lim yϕ(k) = lim f (xϕ(k) ) = f (x) ∈ f (Rn ) par
k→+∞
continuité de f .
k→+∞
Références : [QZ02], page 392.
Leçons :
− 204. Connexité. Exemples et applications.
− 214. Applications du théorème d’inversion locale et des fonctions implicites.
− 215. Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn . Exemples et applications.
− 220. Équations différentielles X 0 = f (t, X) ; exemples d’études qualitatives des solutions.
− 221. Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples
et applications.
− 222. Exemples d’équations différentielles. Solutions exactes ou approchées.
Conmmentaires : Long mais joli et rentable. On peut ne faire que l’injectivité, mais c’est
dommage pour la leçon connexité. L’hypothèse f C 1 est en fait suffisante pour avoir le même
résultat, mais la preuve est plus compliquée. Attention, [QZ02] affirme allégrèment que les pi
sont des points d’équilibres asymptotiquement stables, alors qu’il ne prouve déjà pas qu’ils
sont stables. Ce résultat est cependant juste, et s’obtient en adaptant le troisième point de la
démonstration de l’injectivité.
Vincent Pit
10
2.3
2.3
Théorème de Wiener
Théorème de Wiener
P
0
Théorème 2.3.1 (Wiener).
Notons
A
=
f
∈
C
(T)
|
|c
(f
)|
<
+∞
que l’on munit
n
n∈Z
P
de la norme kf kA = n∈Z |cn (f )|. Alors (A, k kA ) est une algèbre de Banach ; et si f ∈ A ne
s’annule pas sur T, alors f1 ∈ A.
Preuve : Remarquons pour commencer que si f ∈ A, alors f est somme de sa série de Fourier,
et celle-ci converge normalement.
Lemme 2.3.2. (A, k kA ) est une algèbre de Banach.
C’est clairement un espace vectoriel, et ϕ : (l1 (Z), k k1 ) → (A, k P
kA )
, qui est
(un )n∈Z 7→ (t 7→ n∈Z un eint )
bien défini puisque la série converge normalement, induit un isomorphisme d’espaces vectoriels.
De plus, pour u P
∈ l1 (Z), la convergence
P normale de la série ϕ(u) assure que cn (ϕ(u)) = un ,
d’où kϕ(u)kA = n∈Z |cn (ϕ(u))| = n∈Z |un | = kuk1 ; ainsi ϕ est une isométrie. ϕ est enfin
clairement surjective donc A est isométrique à l1 (Z). Comme celui-ci est complet, A l’est aussi.
Soient alors f, g ∈ A, montrons que kf gkA ≤ kf kA kgkA . Notons f = ϕ(u), g = ϕ(v).
Comme le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes est absolument convergent,
u ∗ v ∈ l1 (Z) et alors :
!
!
X X
X
X
uk vn−k einx =
uk
∀x ∈ T, ϕ(u ∗ v)(x) =
vn−k einx par cv. normale
n∈Z
k∈Z
k∈Z
n∈Z
!
=
X
k∈Z
uk eikx
X
vn−k ei(n−k)x
= ϕ(u)(x).ϕ(v)(x) en translatant
n∈Z
Ainsi ϕ(u)ϕ(v) = f g = ϕ(u ∗ v), donc ϕ est un morphisme d’algèbres et il vient alors que
f g ∈ A et kf gkA = ku ∗ vk1 ≤ kuk1 kvk1 = kf kA kgkA .
Remarquons finalement que A est unitaire puisque 1 ∈ A et k1kA = 1.
Donnons-nous alors deuxP
inégalités : P
inx − Si f ∈ A, x ∈ T, |f (x)| =
≤ n∈Z |cn (f )| = kf kA . Donc kf k∞ ≤ kf kA .
n∈Z cn (f )e
− Si f ∈ A ∩ C 1 (T), f 0 ∈ L2 donc (cn (f 0 ))n∈Z est de carré sommable et cn (f ) = n1 |cn (f 0 )|. D’où :
Z 2π
X
X
1
1
|cn (f )| = kf kA = |c0 (f )| +
f (t)dt +
|cn (f 0 )| , puis par Cauchy-Scwartz
2π
n
0
n6=0
n6=0
s
s
X 1 X
π
π
|cn (f 0 )|2 ≤ kf k∞ + √ kf 0 k2 ≤ kf k∞ + 2 kf 0 k∞ (car √ ≤ 2).
kf kA ≤ kf k∞ +
2
n
3
3
n6=0
n6=0
Soit alors f ∈ A telle que : ∀x ∈ T, f (x) 6= 0. En notant λ = minx∈T |f (x)| > 0 et g = fλ ∈ A,
on est ramené à montrer que g1 ∈ A avec |g| ≥ 1.
N
X
Pour N ∈ N, on pose le polynôme trigonométrique PN (t) =
cn (g)e−int . Puisque g ∈ A,
n=−N
X
kPN − gkA =
|cn (g)| → 0 lorsque N → +∞. Il existe donc N ∈ N∗ tel que kPN − gkA < 13 .
|n|>N
Si on note P = PN , on a que |P | ≥ 32
On peut le voir en faisant un dessin (P et g sont au plus distants de 13 en norme infinie),
ou par le calcul suivant pour x ∈ T :
|P (x)| = |P (x) − g(x) + g(x)| ≥ |g(x)|−|P (x) − g(x)| ≥ 1−kP − gk∞ ≥ 1−kP − gkA
1
2
D’où |P (x)| ≥ 1 − = . En particulier P ne s’annule pas sur T.
3
3
Vincent Pit
11
2.3
Théorème de Wiener
n
n−1
(P − g)n−1 1
3
3
(P
−
g)
≤
Comme = n pour tout n ≥ 1, la série des
Pn
3n−1 2
2
Pn
∞
n≥1
X (P − g)n−1
X
1
1
g n−1
1
1
converge normalement sur T vers
=
1−
=
g = .
n
P
P n≥1
P
P 1 − (1 − P )
g
n≥1
Montrons que cette série converge aussi en k kA . D’après la deuxième inégalité, il vient :
n
n+1
n
0 1 3
3
0
≤ 1 + 2 n P ≤ 3
+ 2n
kP k∞ =
(1 + 3n kP 0 k∞ ).
P n P n+1 P n 2
2
2
A
∞
∞
Alors par propriété d’algèbre de Banach,
n−1 n
(P − g)n−1 3
3
≤ kP − gkn−1 1 ≤ 1
(1 + 3n kP 0 k∞ ) = n (1 + 3n kP 0 k∞ ).
A
n
n
P
P A
3
2
2
A
X (P − g)n−1 converge donc, et comme A est complet la série de terme général
La série
n
P
A
n≥1
(P − g)n−1
converge normalement dans (A, k kA ) vers h ∈ A. Mais comme k k∞ ≤ k kA ,
Pn
n≥1
1
cette série converge dans (A, k k∞ ) vers h. Par unicité de la limite, = h ∈ A.
g
Références : Un papier de H. Hennion.
Leçons :
− 201. Espaces de fonctions. Exemples et applications.
− 205. Espaces complets. Exemples et applications.
− 241. Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
− 242. Exemples d’utilisation de fonctions définies par des séries.
− 246. Développement d’une fonction périodique en série de Fourier. Exemples et applications.
Commentaires : Ce théorème classique se trouve dans tout bon livre d’analyse harmonique
(tel que [Kat04]), mais il est souvent prouvé par le biais de la théorie des algèbres de Banach.
Cette preuve est élémentaire, pas trop difficile et se recase beaucoup mieux du point de vue de
l’agrégation.
Vincent Pit
12
2.4
2.4
Théorème d’Ascoli dans les espaces métriques
Théorème d’Ascoli dans les espaces métriques
Définition 2.4.1. Soient (X, d), (E, δ) deux espaces métriques, et H une famille de fonctions
de X dans E. H est dite équicontinue en x ∈ X lorsque :
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀y ∈ X, d(x, y) < α ⇒ ∀f ∈ H, δ(f (x), f (y)) < ε
H est équicontinue lorsqu’elle est équicontinue en tout point de X. Elle est uniformément
équicontinue lorsque α ne dépend pas de x :
∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x, y ∈ X, d(x, y) < α ⇒ ∀f ∈ H, δ(f (x), f (y)) < ε
Si l’espace de base est (métrique) compact, on a en fait l’équivalence :
Lemme 2.4.2. Si X est un espace métrique compact, H est équicontinue SSI elle est uniformément équicontinue.
Preuve : ⇐ : Évident d’après les définitions.
⇒ : Soit ε > 0. H est équicontinue donc, pour tout x ∈ X, il existe un αx > 0 pour lequel
[
αx
∀y ∈ B(x, αx ), ∀f ∈ H, δ(f (x), f (y)) < 2ε . On peut écrire que X ⊂
B(x, ) ; par compacité
2
x∈X
[
αxi
il existe alors x1 . . . xp ∈ X tels que X ⊂
B(xi ,
). Posons η = min αxi , et soient
i=1...l
2
i=1...p
x, y ∈ X tels que d(x, y) < η2 . Il existe un i ∈ [[1 ; l]] (dépendant de x) tel que x ∈ B(xi , α2i ).
Alors d(y, xi ) ≤ d(y, x) + d(x, xi ) < η2 + α2i ≤ α2i + α2i = αi , ce qui signifie que y ∈ B(xi , αi ) ; et il
vient finalement que : ∀f ∈ H, δ(f (x), f (y)) ≤ δ(f (x), f (xi )) + δ(f (xi ), f (y)) < 2ε + 2ε = ε. Théorème 2.4.3 (Ascoli). Soient (X, d) un espace métrique compact et (E, δ) un espace
métrique quelconque. On munit C 0 (X, E) de la distance δ∞ (f, g) = sup δ(f (x), g(x)). Soit
x∈X
H ⊂ C 0 (X, E). H est relativement compact SSI :
(i) H est uniformément équicontinue.
(ii) Pour tout x ∈ X, Hx = {f (x) | f ∈ H} est relativement compact dans E.
Preuve : ⇐ : Pour montrer que H est relativement compact, il est équivalent de montrer
que l’on peut extraire de toute suite de H une sous-suite qui converge, bien évidemment pas
dans H (auquel cas il serait compact), mais dans (C 0 (X, E), δ∞ ). Soit donc (fn )n≥0 une suite
d’éléments de H. X est métrique compact donc séparable : soit (xk )k≥0 une suite dense de X.
Étape 1. Il existe alors une suite extraite (fnp )p≥0 telle que (fnp (xk ))p≥0 converge pour tout k.
C’est une conséquence du procédé d’extraction diagonale.
Hx0 est relativement compact dans E donc il existe ϕ0 : N → N strictement croissante
telle que (fϕ0 (p) (x0 ))p≥0 converge dans E. Hx1 est aussi relativement compact dans E donc
il existe ϕ1 : N → N strictement croissante telle que (fϕ0 ◦ϕ1 (p) (xl ))p≥0 converge, tandis que
(fϕ0 ◦ϕ1 (p) (x0 ))p≥0 converge encore comme extraction d’une suite convergente. On construit ainsi
ϕ0 , . . . , ϕm , . . . telles que (fϕ0 ◦...◦ϕm (p) (xk ))p≥0 converge pour k ≤ m. Pour tout p, on pose alors
np = ϕ0 ◦ . . . ϕp (p). (fnp )p≥0 convient.
Étape 2. (fnp )p≥0 est de Cauchy dans (C 0 (X, E), δ∞ ).
Soit ε > 0. Par uniforme équicontinuité de fnp | p ∈ N ⊂ H, il existe η > 0 tel que
[
ε
d(x, y) < η ⇒ ∀p ≥ 0, δ(fnp (x), fnp (y)) < (1). Comme (xk )k≥0 est dense, X ⊂
B(xk , η) et
3
k∈N
[
il existe alors par compacité k1 , . . . , kl tels que X ⊂
B(xki , η).
i=1...l
Vincent Pit
13
2.4
Théorème d’Ascoli dans les espaces métriques
Chacune des suites (fnp (xki ))p≥0 converge donc est de Cauchy ; comme les (xki ) sont en
nombre fini, il existe N ≥ 0 tel que : ∀p, q ≥ N, ∀i ∈ [[1 ; l]], δ(fnp (xki ), fnq (xki )) < 3ε (2).
Prenons alors p, q ≥ N et x ∈ X. Pour j tel que x ∈ B(xkj , η) (du recouvrement), on a :
δ(fnp (x), fnq (x)) ≤ δ(fnp (x), fnp (xkj )) + δ(fnp (xkj ), fnq (xkj )) + δ(fnq (xkj ), fnq (x)) < ε
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
< 3ε par (1)
< 3ε par (2)
< 3ε par (1)
ce qui prouve par passage au sup que (fnp ) est de Cauchy.
(E, δ) n’ayant pas été supposé complet, on ne sait rien de la complétude de (C 0 (X, E), δ∞ ).
Heureusement, on va pouvoir s’en passer. En effet, pour tout x ∈ X, la suite (fnp (x))p≥0 prend
ses valeurs dans Hx relativement compact, donc elle admet au moins une valeur d’adhérence.
D’autre part, si ε > 0 il existe N ≥ 0 tel que : ∀p, q ≥ N, δ(fnp (x), fnq (x)) ≤ δ∞ (fnp , fnq ) < ε (3).
Ceci prouve que (fnp (x))p≥0 est de Cauchy ; elle admet donc au plus une valeur d’adhérence.
Cette suite converge par conséquent vers un certain f (x) ∈ E. En faisant tendre q vers +∞
dans (3), on obtient alors que : ∀p ≥ N, ∀x ∈ X, δ(fnp (x), f (x)) < ε. On a ainsi montré que
f ∈ C 0 (X, E) et lim δ∞ (fnp , f ) = 0.
p→+∞
⇒ : Supposons H relativement compact.
(i) Comme
[ H ⊂εH compact, H est précompacte. Soit ε > 0, il existe donc f1 . . . fl ∈ H tel que
B(fi , ). La famille finie (fi )i∈[[1 ; l]] de fonctions continues est clairement équicontinue.
H⊂
3
i=1...l
Soit x ∈ X. Il existe α > 0 tel que : ∀y ∈ X, d(x, y) < α ⇒ ∀i ∈ [[1 ; l]], δ(fi (x), fi (y)) < 3ε .
Donnons-nous y ∈ B(x, α). Si f ∈ H, f ∈ B(fi , 3ε ) pour un certain i, et alors :
ε ε ε
δ(f (x), f (y)) ≤ δ(f (x), fi (x)) + δ(fi (x), fi (y)) + δ(fi (y), f (y)) < + + = ε
3 3 3
(ii) Soient x ∈ X et (yn )n≥0 = (fn (x))n≥0 ∈ Hx N . (fn )n≥0 ∈ H N donc, par relative compacité
de H, il existe (np )p≥0 ∈ NN strictement croissante telle que l’extraction (fnp )p≥0 converge
uniformément vers f ∈ C 0 (X, E). Alors ynp = fnp (x) → f (x) lorsque p → +∞. Hx est donc
relativement compact.
Références : Un cours de M. Pierre. Le cas E complet se trouve dans [QZ02].
Leçons :
− 201. Espaces de fonctions. Exemples et applications.
− 203. Utilisation de la notion de compacité.
− 208. Utilisation de la continuité uniforme en analyse.
− 209. Utilisation de la dénombrabilité en analyse et en probabilités.
− 241. Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
Commentaires : L’uniforme équicontinuité correspond formellement à une notion d’équiuniforme-continuité (une famille de fonctions uniformément continues dont le α ne dépendrait
pas de la fonction).
Le théorème est encore vrai pour X un espace topologique compact, pour lequel on peut
encore définir la notion d’équicontinuité en remplaçant les boules dans X par des voisinages.
Par contre, la notion d’équicontinuité uniforme n’a plus de sens, et le théorème s’énonce donc
en termes d’équicontinuité simple. La démonstration fait appel au théorème de Tychonoff dans
son cadre général. Notons que l’argument d’extraction diagonale de la preuve qui vient d’être
exposée ici correspond
au théorème de Tychonoff pour un nombre dénombrable de compacts
Q
(appliqué à k∈N Hxk ).
Vincent Pit
14
2.5
Dual de Lp , 1 ≤ p ≤ 2
2.5
Dual de Lp , 1 ≤ p ≤ 2
2.6
Sous-espaces fermés de Lp
2.7
Continuité des fonctions convexes
Vincent Pit
15
2.8
2.8
Sous-espaces stables par translation
Sous-espaces stables par translation
Théorème 2.8.1. Soit E = C 0 (R, C) et F ⊂ E. On pose, pour a ∈ R, τa : E → E
f 7→ (x 7→ f (x − a))
Alors F est une sous-espace vectoriel de E de
dimension
finie
n
et
stable
par
τa pour tout a ∈ R n
∞
(n)
(n−1)
SSI il existe (α0 . . . αn−1 ) ∈ R tels que F = f ∈ C (R, C) | f + αn−1 f
+ . . . + α0 f = 0 ,
i.e. F est l’espace des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre n à coefficients constants.
Preuve : ⇐ : Si F = f ∈ C ∞ (R, C) | f (n) + αn−1 f (n−1) + . . . + α0 f = 0 , c’est un C-espace
vectoriel de dimension n par le théorème de Cauchy-Lipschitz, et invariant par translation
puisque l’équation différentielle qui le définit l’est.
⇒ : Soient F un tel sous-espace, n = dim F et (fi )1≤i≤n une base de F . Fixons a ∈ R.
Pour tout i ∈ [[1 ; n]], τ−a fi ∈ F par hypothèse, donc il existe λi,1 (a) . . . λi,1 (a) ∈ R pour lesquels
τ−a fi = λi,1 (a)f1 + . . . + λi,n (a)f
Z n . Pour tout x ∈ R, on
Z peut alors intégrer cette
Z relation
x
x
x
sur [0 ; x] : ∀i ∈ [[1 ; n]], ∀x ∈ R,
fi (t + a)dt = λi,1 (a)
f1 (t)dt + . . . + λi,n (a)
fn (t)dt.
0 Z
0
0
Z x
Z
x
x+a
Notons Fi (x) =
fi (t)dt. Puisque
fi (t+a)dt =
fi (t)dt = Fi (x+a)−Fi (x), l’équation
0
0
a
précédente se réécrit : ∀i ∈ [[1 ; n]], ∀x ∈ R, Fi (x + a) − Fi (x) =
n
X
λi,k (a)Fk (x).
k=1
On doit d’abord montrer que les fi sont régulières ; et pour ce faire, on va montrer que les
a 7→ λi,j (a) le sont en les exprimant en fonction des Fi .
Notons x = (x1 . . . xn ) ∈ Rn et A(x) = (Fi (xj ))1≤i,j≤n . Montrons qu’il existe x ∈ Rn pour
lequel A(x) est inversible.
F1 (x1 ) . . . F1 (xn ) ..
..
Sinon, = 0 pour tout x ∈ Rn . Dérivons successivement en x1 . . . xn ;
.
.
Fn (x1 ) . . . Fn (xn ) par linéarité du déterminant par rapport à chacune
des colonnes, et puisque
chaque xi n’apparait
f1 (x1 ) . . . f1 (xn ) .
.
n .
.
que dans une colonne, on obtient que : ∀x ∈ R , = 0. Ceci contredit le...
.
.
fn (x1 ) . . . fn (xn ) Lemme 2.8.2. Si (fi )1≤i≤n est libre, il existe x ∈ Rn tel que (fi (xj ))1≤i,j≤n est inversible.
C’est un résultat classique ; en voici deux preuves.
a) Avec le déterminant : montrons par récurrence sur n qu’il existe (x1 . . . xn ) ∈ Rn tel que le
déterminant de cette matrice soit non nul :
◦ Si n = 1, f1 est libre donc non nulle : il existe x1 tel que f1 (x1 ) 6= 0.
◦ Supposons la propriété
vérifiée au rang n − 1. Notons ∆i (x1 . . . xn−1 ) le mineur associé à
f1 (x1 ) . . . f1 (xn ) .
.
.
.
fi (xn ) dans d(x) = . Un développement selon la dernière colonne donne
.
.
fn (x1 ) . . . fn (xn ) n
X
que d(x) =
(−1)i+n+1 fi (xn )∆i (x1 . . . xn−1 ). L’hypothèse de récurrence assure l’existence de
i=1
x1 . . . xn−1 ∈ R tels que ∆n (x1 . . . xn−1 ) 6= 0. Mais si l’on suppose que d(x1 , . . . , xn−1 , xn ) = 0
n
X
pour tout xn , alors
(−1)i+n+1 ∆i (x1 . . . xn−1 ) fi = 0, ce qui contredit la liberté des (fi )1≤i≤n .
i=1
Il existe donc xn tel que d(x1 , . . . , xn−1 , xn ) 6= 0.
Vincent Pit
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2.8
Sous-espaces stables par translation
b) Par dualité : pour x ∈ R, on note δx : F → C
la forme linéaire d’évaluation en x.
f 7→ f (x)
δx ∈ F ∗ où dim F ∗ = dim F = n. Soit Γ = {δx | x ∈ R} et G = vect(Γ). Son orthogonal est
G◦ = Γ◦ = {f ∈ F | ∀x ∈ R, δx (f ) = 0} = {f ∈ F | ∀x ∈ R, f (x) = 0} = {0}. Une formule de
dualité donne alors que dim G = n − dim G◦ = n = dim F ∗ , ce qui prouve que Γ engendre F ∗ .
Comme dim F ∗ = n, il existe (x1 . . . xn ) ∈ Rn tels que (δxj )1≤j≤n forme une base de F ∗ . Notons
n
X
(g1 . . . gn ) sa base antéduale (de F ). Il existe alors (ai,k )1≤i,k≤n tel que ∀i ∈ [[1 ; n]], fi =
ai,k gk .
k=1
La matrice des (ai,k )1≤i,k≤n est inversible puisqu’il s’agit en fait de la transposée de la matrice
n
n
X
X
de passage de (gk ) à (fi ). Il reste à constater que fi (xj ) =
ai,k gk (xj ) =
ai,k δk,j = ai,j
k=1
k=1
pour voir qu’avec ce choix de (xj ) la matrice des (fi (xj )) est inversible.
∀(i, j), Fi (xj +a)−Fi (xj ) =
n
X
λi,k (a)Fk (xj ), donc (Fi (xj +a)−Fi (xj ))i,j = (λi,j (a))i,j A(x).
k=1
Comme A(x) est inversible, (λi,j (a))i,j = (Fi (xj + a) − Fi (xj ))i,j A(x)−1 . La continuité des fi
assure que les Fi sont C 1 et par suite que a 7→ λi,j (a) est C 1 . Pour i ∈ [[1 ; n]] et x ∈ R,
n
X
fi (x + a) =
λi,k (a)fk (x) (relation (Ex,a )), donc les a 7→ fi (0 + a) = fi (a) sont C 1 .
k=1
n
X
λi,k (a) − λi,k (0)
(Ex,a ) − (Ex,0 )
fi (x + a) − fi (x)
Formons
pour tout a 6= 0 :
=
fk (x).
a
a
a
k=1
On peut alors faire tendre a vers 0 puisque les quantités considérées sont dérivables, d’où l’on
n
X
0
λ0i,k (0)fk (x). Une récurrence immédiate donne alors
obtient que ∀i ∈ [[1 ; n]], ∀x ∈ R, fi (x) =
k=1
que F ⊂ C ∞ et que D : F → E stabilise F (D(F ) ⊂ F ).
f 7→ f 0
Vu comme endomorphisme de l’espace de dimension finie F , D admet un polynôme minimal.
r
r−1
Il existe ainsi r ≤ n et (α0 . . . αr−1 ) ∈ Rr tels
+α0 soit le polynôme
que X∞ +αr−1 X (r)+. . .+α1 X
(r−1)
minimal de D. Ceci donne l’inclusion F ⊂ f ∈ C (R, C) | f + αr−1 f
+ . . . + α0 f = 0 .
Mais comme l’espace des solutions d’une équation différentielle linéaire de degré r est par
Cauchy-Lipschitz de dimension r d’une part, et que dim F = n d’autre part, nécessairement
n ≤ r. Finalement, n = r et l’inclusion est en fait une égalité.
Références : [Lei00] p. 92 donne l’idée pour n = 2. Les deux preuves du lemme se trouvent
dans [Gou98] p. 152, ou bien encore dans [BMP05] p. 142.
Leçons :
− 120. Dimension d’un espace vectoriel. Rang. Exemples et applications.
− 123. Déterminant. Exemples et applications.
− 125. Sous-espaces stables d’un endomorphisme d’un espaces vectoriel de dimension finie.
Applications.
− 129. Polynômes d’endomorphismes. Polynômes annulateurs. Applications.
− 132. Formes linéaires et hyperplans en dimension finie. Exemples et applications.
− 201. Espaces de fonctions. Exemples et applications.
− 211. Utilisation de la dimension finie en analyse.
− 220. Équations différentielles X 0 = f (t, X) ; exemples d’études qualitatives des solutions.
− 221. Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples
et applications.
Vincent Pit
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2.8
Sous-espaces stables par translation
− 222. Exemples d’équations différentielles. Solutions exactes ou approchées.
− 228. Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
− 233. Intégration des fonctions d’une variable réelle. Suites de fonctions intégrables.
Commentaires : Élémentaire, mais rentabilité record ! Choisir d’exposer la preuve a) ou
b) du lemme suivant l’objet de la leçon.
A noter qu’on aurait pu utiliser le polynôme caractéristique au lieu du polynôme minimal,
puisqu’on ne se sert pas vraiment de la minimalité mais plutot du fait que r ≤ n. Cela nous
aurait épargné la peine d’utiliser Cauchy-Lipschitz une seconde fois, mais nécessitait CayleyHamilton pour prouver qu’il était bien annulateur.
Vincent Pit
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2.9
2.9
Marches aléatoires sur Zd
Marches aléatoires sur Zd
d
Soit (Ω, F, P) un espace probabilisé. Une marche aléatoire sur Z est une suite Sn =
n
X
Xk ,
k=1
où les (Xk )k∈N∗ sont des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées (v.a.i.i.d.)
de même loi µ à valeurs dans Zd . En remarquant que P(lim sup[Sn = 0]) s’interprète comme
la probabilité de passer une infinité de fois en 0, on dit que la marche aléatoire est récurrente
lorsque cette probabilité est 1 et transiente lorsqu’elle est nulle.
Une condition nécessaire de récurrence est que la loi µ soit centrée.
Proposition 2.9.1. Soit m = E(X1 ). Si m < +∞ et m 6= 0, la marche aléatoire est transiente.
Preuve : D’après la loi forte des grands nombres, il existe A ⊂ Ω de probabilité 1 tel que :
Sn (ω)
∀ω ∈ A, lim
= m. Si ω ∈ A, il existe donc N > 0 tel que pour tout n ≥ N ,
n→+∞
n
|m|
|m| N
|Sn (ω)|
≥
, i.e. |Sn (ω)| ≥
> 0. Sn (ω) ne passe donc qu’un nombre fini de fois par 0,
n
2
2
d’où ω ∈
/ lim sup[Sn = 0]. Par conséquent, lim sup[Sn = 0] ⊂ Ac et P(lim sup[Sn = 0]) = 0. Nous allons maintenant montrer un critère de récurrence/transience pour Sn , que l’on appliquera ensuite aux marches aléatoires usuelles.
Théorème 2.9.2. Soit (Sn )n≥1 une marche aléatoire de loi µ sur Zd . Alors la marche aléatoire
est :
X
(i) transiente si
P[Sn = 0] < +∞ ;
n≥1
(ii) récurrente si
X
P[Sn = 0] = +∞.
n≥1
Preuve : (i) P(lim sup[Sn = 0]) = 0 par le lemme de Borel-Cantelli.
(ii) Ici, par contre, on ne peut pas appliquer Borel-Cantelli car les [Sn = 0] n’ont aucune raison
d’être indépendants. On va donc devoir découper les événements.
Si ω ∈ Ω, alors soit Sn (ω) vaut 0 une infinité de fois, soit il est non nul à partir d’un certain
rang. Par conséquent, Ω = (lim sup[Sn = 0]) t (lim inf[Sn 6= 0]). Or :
!!
[\
G
\
lim inf[Sn 6= 0] =
[Sn 6= 0] =
[Sr = 0] ∩
[Sl 6= 0]
;
p≥1 n≥p
r≥1
l>r
!!
G
\
=
[Sl − Sr 6= 0]
[Sr = 0] ∩
;
r≥1
l>r
T
tout r ≥ 1 puisque Sl − Sr ne dépend
l>r [Sl − Sr 6= 0] sont indépendants pour
!!
!
\
\
[Sl − Sr 6= 0]
= P[Sr = 0]P
[Sl − Sr 6= 0] .
que des (Xk )k>r . Donc P [Sr = 0] ∩
où [Sr = 0] et
l>r
Examinons le second
terme :
!
!
R
\ \
\
[Sl − Sr 6= 0] =
P
[Sl − Sr 6= 0] = P
l>r
lim P
R→+∞
R
\
!
[Xl + . . . + Xr+1 6= 0] ,
R>r l=r+1
l=r+1
l>r
T
puisque les ( R
[S
−
S
=
6
0])
sont
décroissants
et
que
P[S
r
R>r
r+1 − Sr 6= 0] < +∞.
l=r+1 l
Vincent Pit
19
2.9
Mais P
R
\
Marches aléatoires sur Zd
!
[Xl + . . . + Xr+1 6= 0]
=P
l=r+1
!
R
\
[Xl−r + . . . + X1 6= 0]
=P
l=r+1
R−r
\
!
[Sk 6= 0] .
k=1
En effet,
TR si f : (xR , . . . , xr+1 ) 7→ (xr+1 , xr+2 + xr+1 , . . . , xR + . . . + xr+1 ), on peut écrire
que l=r+1 [Xl + . . . + Xr+1 6= 0] = [f (XR , . . . , Xr+1 ) 6= (0, . . . , 0)]. La probabilité de cet
événement ne dépend que de la loi de la variable aléatoire Y = f (XR , . . . , Xr+1 ) qui
elle-même ne dépend, par le théorème de transport, que de la loi de (XR , . . . , Xr+1 ).
Puisque les (Xk )k∈N∗ sont indépendantes et identiquement distribuées, les vecteurs
(XR , . . . , Xr+1 ) et (XR−r , . . . , X1 ) ont même loi, et on peut remplacer le premier par le
second.
T
la
Comme les ( R−r
1 6= 0] < +∞, on peut repasser !
k=1 [Sk 6= 0])R>r sont décroissants et que P[S!!
\
\
limite à l’intérieur, et donc P [Sr = 0] ∩
[Sl − Sr 6= 0]
= P[Sr = 0]P
[Sk 6= 0] .
l>r
k≥1
Cette dernière probabilité ne dépend plus de r et est la probabilité de non retour en 0 de la
marche aléatoire.
En rassemblant tous les morceaux, on obtient finalement :
!!
X
\
1 = P(Ω) = P(lim sup[Sn = 0]) +
P [Sr = 0] ∩
[Sl − Sr 6= 0]
;
r≥1
l>r
!
\
X
= P(lim sup[Sn = 0]) + P
[Sk 6= 0]
P[Sr = 0].
k≥1
r≥1
!
Puisque
X
P[Sr = 0] = +∞ par hypothèse, nécessairement P
r≥1
\
[Sk 6= 0]
= 0 et donc
k≥1
P(lim sup[Sn = 0]) = 1.
d
1 X
δe +δ−ei
On note (ei ) la base canonique de Z , et on considère maintenant la loi µd =
2d i=1 i
1
sur Zd . Elle correspond à un déplacement aléatoire sur un des 2d
noeuds voisins.
d
Théorème 2.9.3 (Polya, 1921). Soit (Sn ) une marche aléatoire de loi µd .
(i) Si d ≤ 2, la marche aléatoire est récurrente.
(ii) Si d ≥ 3, la marche aléatoire est transiente.
Preuve : (i) • Cas d = 1. Pour n impair, Sn 6= 0 donc P[Sn = 0] = 0. Si n = 2k et S2k = 0,
S2k est somme de k 1 et de k −1. Par le choix de la loi µ1 et l’indépendance des (Xn ), tous
les 2k
tels tirages possibles de 1 et de −1 ont même probabilité 212k de survenir, ce qui donne
k
√
2k
)
4πk
1 2k
1 ( 2k
1
P[S2k = 0] = 2k
∼ 2k e k 2k
par la formule de Stirling. Comme la série
∼ √
2
k
2
( e ) 2πk
πk
des ( √1k ) diverge, le théorème précédent conclut à la récurrence de la marche aléatoire.
• Cas d = 2. Notons Xn = (Xn1 , Xn2 ) et Sn = (Sn1 , Sn2 ). Les variables réelles Uk = Xk1 + Xk2 et
Vk = Xk1 − Xk2 sont indépendantes et de même loi 21 (δ1 + δ−1 ) = µ1 . Par conséquent,
1
1
2
2
1
2
= 0];
= 0, S2k
= 0] = P[S2k
+ S2k
= 0, S2k
− S2k
P[S2k = 0] = P[S2k
1
1
= 0]P[V11 + . . . + V2k
= 0].
= P[U11 + . . . + U2k
1
D’après le cas d = 1, P[S2k = 0] ∼ πk qui est le terme général d’une série divergente.
(ii) Supposons d ≥ 3. L’idée est de voir P[Sn = k] comme un coefficient de Fourier de la fonction
caractéristique de Sn que l’on notera fn : Rd → C
.
X
2πihk|xi
2πihSn |xi
x 7→ E(e
)=
P[Sn = k]e
k∈Zd
Vincent Pit
20
2.9
Marches aléatoires sur Zd
Les (Xn ) étant i.i.d., fn (x) = E(e2πihX1 |xi . . . e2πihXn |xi ) = E(e2πihX1 |xi ) . . . E(e2πihXn |xi ) = ϕ(x)n
où ϕ est la fonction caractéristique
Z de la loi µd . On constate alors que P[Sn = k] est le coefficient
R
de Fourier fˆn (k) = ϕˆn (k) =
ϕn (x)e−2πihk|xi dx. En particulier, P[Sn = 0] = d ϕn (x)dx.
Td
T
d
X
d
X
1
1
e2πixk + e−2πixk =
cos(2πxk ), donc |ϕ| ≤ 1.
2d k=1
d k=1
Ceci nous permet d’écrire la série des (P[Sn = 0]) comme limite croissante de série entière :
Z X
Z
Z
X
X
1
1
n
n n
P[Sn = 0] = lim
ε P[Sn = 0] = lim
ε ϕ = lim
=
,
ε%1
ε%1 Td
ε%1 Td 1 − εϕ
d 1 − ϕ
T
n≥1
n≥1
n≥1
Remarquons que ϕ(x) = E(e2πihX1 |xi ) =
la dernière égalité provenant du théorème de convergence monotone appliqué sur [ϕ < 0] et
[ϕ ≥ 0]. Pour en finir, il suffit de voir que cette dernière intégrale converge pour d ≥ 3.
1
est définie et continue sur [−1; 1]d \{(−1, . . . , −1); 0; (1, . . . , 1)}. Traitons le cas de 0,
1−ϕ
les deux autres se résolvant de la même manière. On note tout d’abord qu’au voisinage
de 0, 1−ϕ(x) ∼ 4π2dkxk2 . Pour montrer que cette fonction est intégrable en 0, on effectue
d−1
le changement
de variables Zen Zcoordonnées sphériques x
dans
Z = rs, r ≥ 0,
Z sη ∈ S
Z
η
1
1 d−1
r τd (s)drds =
rd−3 dr. Cette
τd (s)ds
l’intégrale
2 dx =
2
r
d−1
d−1
0
0
S
S
B(0,η) kxk
dernière intégrale étant finie pour d ≥ 3, le point est démontré.
Références : Un cours de H. Hennion pour le premier théorème, et [BEK05] p. 83 ou
[DM72] p. 82 pour le théorème de Polya.
Leçons :
− 249. Le jeu de pile ou face (suites de variables de Bernoulli indépendantes).
− 251. Indépendance d’événements et de variables aléatoires. Exemples.
Commentaires : Le premier théorème est généralement montré dans la littérature via les
chaı̂nes de Markov. Ce développement en donne une preuve élémentaire pour ceux qui ne font
pas l’option proba-stats auxquels je conseille, pour des raisons de temps, de ne prouver ensuite
que les cas d = 1, 2 du théorème de Polya. Pour ceux qui sont à l’aise avec les chaı̂nes de
Markov, il est préférable d’ignorer le critère (ce qui tend évidemment une perche au jury) et
d’exposer le théorème de Polya dans son intégralité.
Vincent Pit
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RÉFÉRENCES
Références
[BEK05] Michel Benaı̈m and Nicole El Karoui. Promenade Aléatoire. Presses de l’École Polytechnique, 2005.
[BMP05] Vincent Beck, Jérôme Malick, and Gabriel Peyré. Objectif Agrégation. H&K, seconde
edition, 2005.
[CL05] Antoine Chambert Loir. Analyse Corporelle. Presses de l’École Polytechnique, 2005.
[DM72] Harry Dym and Henry P. McKean. Fourier Series and Integrals. Academic Press,
1972.
[Gou98] Xavier Gourdon. Les maths en tête : algèbre. Ellipses, 1998.
[GT98] Stéphane Gonnord and Nicolas Tosel. Thèmes d’Analyse pour l’Agrégation : Calcul
différentiel. Ellipses, 1998.
[Kat04] Yitzhak Katznelson. An Introduction to Harmonic Analysis. Cambridge University
Press, third edition, 2004.
[Lei00] Eric Leichtnam. Exercies corrigés de mathématiques posés à l’oral des concours de
Polytechnique et des E.N.S. : tome analyse. Ellipses, 2000.
[MT86] Rachid Mneimné and Frédéric Testard. Introduction à la théorie des groupes de Lie
classiques. Hermann, 1986.
[QZ02] Hervé Queffélec and Claude Zuily. Agrégation de mathématiques : Éléments d’analyse.
Dunod, seconde edition, 2002.
[RB06] Jean-Jacques Risler and Pascal Boyer. Alèbre pour la Licence 3. Dunod, 2006.
Vincent Pit
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