LES NOMBRES RÉELS

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LES NOMBRES RÉELS
Approximations et relations numériques
On note n l’ensemble des entiers naturels. Ils servent à dénombrer c’est-à-dire à compter des pommes, des pages,
etc. On peut ajouter ou multiplier des entiers naturels, le résultat obtenu est un entier naturel, mais ce n’est pas
toujours le cas lorsque l’on soustrait ou que l’on divise ! Dans l’ensemble z des entiers relatifs (à zéro donc qui
comprend à la fois les positifs et les négatifs), toutes les soustractions conduisent à un résultat entier relatif.
L’addition et la soustraction se définissent très facilement dans z, mais il a fallu des siècles pour que les
mathématiciens comprennent la multiplication des nombres négatifs…
Avec seulement des entiers, la mesure (des longueurs, des surfaces, des volumes) n’est pas possible ;
l’ensemble d des nombres décimaux permet d’approcher (de déterminer une approximation de) la mesure de la
longueur d’un segment aussi précisément qu’on le souhaite. L’écriture à virgule (ou avec un point) a été adoptée
pour représenter les nombres décimaux. Tous les entiers sont décimaux, ils peuvent s’écrire avec ou sans virgule,
par exemple pour exprimer un prix 3 € = 3,00 €. Les calculs et les comparaisons dans l’ensemble d sont très
faciles, mais le quotient de deux décimaux n’est pas toujours décimal : en divisant par exemple 10 par 7 on
s’aperçoit que les décimales du quotient se répètent indéfiniment.
C’est l’ensemble q des rationnels qui permet de réaliser les quatre opérations arithmétiques sans qu’aucun résultat
ne lui échappe ! Les rationnels s’écrivent sous la forme de fractions, c’est-à-dire d’écritures de quotients : 10/7 est
le quotient de la division de 10 par 7. Ainsi les décimaux sont tous rationnels mais l’inverse n’est pas vrai. Les
rationnels sont apparus beaucoup plus tôt que les décimaux dans l’histoire des mathématiques, ils permettent,
comme les décimaux, d’effectuer des mesures, mais dans la vie sociale, on préfère utiliser les décimaux qui
permettent des comparaisons et des approximations bien plus aisées.
Pour pouvoir exprimer exactement toutes les longueurs, les nombres rationnels ne sont pas suffisants : il suffit de
prendre l’exemple de la diagonale du carré unité pour obtenir, comme au temps de Pythagore, un nombre qui n’est
pas rationnel : 2. Il y a aussi le célèbre nombre π qui mesure le périmètre d’un disque de diamètre unité.
L’ensemble r des réels permet d’effectuer exactement toutes ces mesures, on dit en mathématiques que c’est un
ensemble complet. Le mathématicien Richard Dedekind, en 1872, propose d’identifier la droite et l’ensemble des
nombres en mettant en correspondance l’ordre de nombres et la position des points sur une droite.
Dans r, les règles opératoires (ordre compris) sont unifiées, mais il reste une diversité des écritures des nombres –
décimale, fractionnaire, radicale, etc. – qui vient de l’inclusion bien connue : n Õ z Õ d Õ q Õ r. Une même
écriture permet d’écrire tous les réels, l’écriture décimale illimitée, mais comme son nom l’indique, elle pose des
problèmes pratiques (ça peut être long à écrire !) et théoriques (comment connaître toutes les décimales ?) En
pratique, on cherche donc souvent à simplifier les écritures numériques aisément utilisables ou à passer d’une
écriture à une autre lorsque c’est possible. Et pour savoir si c’est possible, il faut savoir reconnaître un décimal
lorsque l’écriture est fractionnaire ou reconnaître un rationnel lorsque l’écriture est décimale illimitée.
I. RECONNAÎTRE LES DÉCIMAUX PARMI LES RATIONNELS
1. Parmi les nombres suivants, lesquels sont décimaux ? 11 7 3018
;; ; ;
2 3 25 55 75 .
2. Nous savons qu’un décimal peut s’écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une
puissance de 10. Ce dénominateur se décompose donc en facteur premier sous la forme 25
nn
×
.
a) Démontrer qu’une fraction irréductible dont le dénominateur a pour décomposition en facteur premier
25
np
× est un nombre décimal.
Nous allons montrer que cette condition suffisante est nécessaire, autrement dit qu’un nombre
décimal écrit sous forme de fraction irréductible a obligatoirement un dénominateur dont la
décomposition en facteurs premiers ne comporte que des 2 et des 5.
b) Considérons un décimal 10n
a écrit sous la forme d’une fraction irréductible N
D. Il existe alors un
entier k tel que : a = kN et 10n = kD. Déduire de la deuxième égalité que la décomposition de D en
facteur premier ne peut contenir que des 2 et des 5, autrement dit que 2 5
np
D
=
×.
3. Énoncer une règle caractérisant les décimaux parmi les rationnels. Utiliser cette règle pour déterminer
les nombres décimaux parmi les rationnels proposés à la question 1.

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Pythagore
II. RECONNAÎTRE LES RATIONNELS PARMI LES ÉCRITURES DÉCIMALES ILLIMITÉES
1. En utilisant la propriété caractéristique établie au I.3., montrer que 1/25 est un nombre décimal mais
que 152/7 n’en est pas un.
2. Effectuer la division de 1 par 25 pour déterminer l’écriture décimale de 1/25. Effectuer la division de
152 par 7 et vérifier que l’écriture décimale de 152/7 est illimitée et périodique. Généraliser sans
démontrer.
3. Réciproquement, un nombre dont l’écriture décimale illimitée est périodique est-il rationnel ? Nous
allons montrer que c’est le cas sur quatre exemples.
Considérons N = 2,45 45 45… = 2,45 et P = 0,1 23 23 23… = 0,123.
a) Montrer que 100N – N = 243 et en déduire que N est rationnel.
b) Montrer que 1000P – 10P = 122 et en déduire que P est rationnel.
c) Montrer que 3,1415 et 0,9 sont des rationnels et donner leur écriture la plus simple.
d) Énoncer une règle (sans la démontrer) caractérisant les rationnels parmi les réels représentés par leur
écriture décimale illimitée.
III. LA DIAGONALE DU CARRÉ UNITÉ
Parmi les irrationnels, la diagonale du carré unité est célèbre. Ainsi, un triangle rectangle- isocèle
ne peut pas avoir, à la fois, son côté et son hypoténuse qui soient des entiers ; autrement dit, le
rapport de son hypoténuse et de son côté est irrationnel. Ce fait mathématique a été rejeté par
l’école pythagoricienne (env. 500 av. J.-C.) qui pensait que : « l’harmonie divine consiste en en
rapports numériques de nombres entiers ». D’après l’historien Proclus, les pythagoriciens qui ont
voulu dévoiler l’irrationalité de la racine carrée de 2 « ont péri dans un naufrage jusqu’au dernier,
car l’inexprimable, l’informe, doit être absolument tenu secret. »
Démonstration de l’irrationalité de la racine carrée de 2 selon Aristote (384 – 322 av. J.-C.)
1. Démontrer que le carré d’un nombre pair est pair et que le carré d’un nombre impair est impair.
2. Supposons que 2a
b
= avec a
b fraction irréductible. Montrer que a² est alors un nombre pair et en
déduire que a est un nombre pair.
3. En posant alors 2aa
′
= montrer que b² est un nombre pair et en déduire que b est pair aussi.
Conclure.
IV. LE FORMAT DU PAPIER
Une feuille de format A1 s’obtient en pliant une feuille de format A0
en deux, parallèlement à la largeur. En répétant l’opération, on obtient
une feuille de format A2, puis A3, A4...
L’épaisseur d’une feuille est déterminée par le poids (la masse) d’une
feuille de format A0 dont la surface mesure exactement 1m².
1. Au secrétariat
Au secrétariat, pour le courrier, on utilise des feuilles A4 « de 80g ». L’affranchissement postal standard
convient pour envoyer tout courrier qui pèse 20g au maximum. Dans une enveloppe qui pèse 4g, combien
peut-on envoyer de feuilles « de 80g » avec un affranchissement standard ?
2. La « forme » rectangulaire du papier machine
On note L0, L1, L2... les longueurs des feuilles de format A0, A1, A2... On note de même A0, A1, A2...les
largeurs des feuilles de format A0, A1, A2... Ce format de papier a été conçu pour que les rapports
...
L
,
L
,
L
2
2
1
1
0
0
AAA soient tous égaux, ainsi la « forme » de la feuille ne change pas quand on la plie en deux.
Monter que la valeur exacte de ce rapport est 2 (On remarquera, par exemple, que : A1= L0/2).
A1
A3
A4
A4
A2

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3. Les dimensions d’une feuille A4
a) Déduire de la question précédente qu’on obtient la largeur d’une feuille de format A0, A1, A2... en
divisant sa longueur par 2.
b) Sachant que l’aire d’une feuille A0 est 1m², calculer l’aire d’une feuille A4.
c) Monter que la valeur exacte de sa longueur est 625 2.
V. LE NOMBRE D’OR
Le nombre d’or fait partie de ces sujets qui côtoient continuellement
l’histoire des mathématiques et qui suscitent des interprétations poético-
religieuses… Déjà la pyramide Kheops (3 000 av. J.-C.) a des dimensions
qui montre que son architecte attachait de l’importance au nombre d’or.
Les pythagoriciens avaient choisi le pentagramme pour emblème, cette
figure géométrique recèle des propriétés remarquables liées au nombre
d’or. À la Renaissance, les artistes ont beaucoup utilisé ce nombre dans
leurs constructions car cela leur aurait permis de concevoir des formes
particulièrement harmonieuses. On désigne ce nombre par la lettre grecque f (phi) en hommage
au sculpteur grec Phidias (490 – 430 av. J.-C.) qui décora le Parthénon à Athènes dont les
dimensions, elles aussi, sont liées au nombre d’or.
1. Le rectangle d’or
Considérons un carré ABCD de côté 1 et K le milieu de [AD]. On
construit le rectangle ABFE comme indiqué sur la figure ci-contre.
a) Calculer la longueur du rectangle ABCD et son format (le rapport de la
longueur et de la largeur).
b) Calculer la largeur du rectangle CFED et son format.
c) Considérons réciproquement un rectangle tel qu’en lui ôtant le carré
construit sur sa largeur, on obtienne un rectangle au même format.
Montrer que le format du rectangle est imposé et le déterminer.
2. Propriétés numériques du nombre d’or
a) Démontrer que 21
φ
φ =+ et que 11
φ
φ
=−. Calculer ces nombres.
b) Vérifier 1
1
φ
φ
=+ et 11
1 1 ...
11
11
1
1
φ
φ
φ
=+ =+ =
++
+
on admettra que 1 ; 11 1
1 ; 1 ; 1 ; ...
11
111
1
111
++ +
++
+
est une suite de fractions qui s’approche
indéfiniment du nombre d’or.
c) Calculer les sept premiers termes de cette suite de fractions et deviner une règle pour
les écrire tous. La suite des dénominateurs de cette suite de fractions est une suite
connue qui est appelée « suite de Fibonacci », elle a été introduite par le
mathématicien Léonard de Pise en 1202.
d) Calculer les sept premières puissances de f et les sept premières puissances de 1/f.
Que constate-t-on ?

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VI. APPROXIMATIONS NUMÉRIQUES
1. Approximations décimales
a) Déterminer l’arrondi au 10 000e du nombre π.
b) Calculer les dimensions d’une feuille A4 (cf. IV.3.) à un mm près par défaut.
c) Calculer la valeur approchée du nombre d’or à 10-6 près par excès.
2. Approximations fractionnaires de π et de 2
a) Vérifier que 22/7 est une meilleure approximation de π que 3,14.
a) Les pythagoriciens ont longtemps pensé que 2 = 7/5, vérifier que l’erreur relative n’est que de 1%.
3. Approximations d’une mesure
a) Le diamètre d’une table est 120 cm, calculer son périmètre. Un élève propose la réponse :
345,57519 cm. Pourquoi cette précision ne se justifie-t-elle pas ?
b) En informatique la mémoire se mesure en bits ou en octets (1o = 8b). Avec la calculatrice, vérifier que
210 octets est voisin d’un kilo-octet (ko). La taille du fichier sur lequel le texte de cette séance a été
enregistré est ainsi affichée : « 40,0 ko = 40 960 octets » ; expliquer cette curieuse égalité.
c) Sachant que le produit des deux nombres décimaux 489,25 et 11,624 s’obtient en plaçant une virgule
à l’entier 5 687 042, déterminer la valeur de ce produit en utilisant un ordre de grandeur des facteurs.
Comment expliquez-vous qu’il n’y ait pas 5 décimales à ce produit ?
VII. RELATIONS D’ORDRE ET RELATION D’ÉQUIVALENCE
1. Introduction
a) Des chiffres et des lettres…
- Comment range-t-on les entiers naturels ? et comment range-t-on les mots dans un dictionnaire ?
- Voici une liste de nombres à ranger dans l’ordre du dictionnaire : 21, 45, 178, 324, 912, 1 024, 3 514.
- Voici une liste de mots à ranger comme si les lettres étaient des chiffres et les mots étaient des
nombres : en, du, je, loi, sol, une, ciel, elle, nord, acte, arbre, anse, bravo.
b) En fonction du reste
- Classer les cent premiers nombres entiers naturels en fonction du reste obtenu après division par 7.
- Combien de classes obtient-on ? Ce nombre changerait-il si on classait les mille premiers nombres ?
2. Définitions : On considère une relation binaire ℜ définie sur un ensemble E.
• ℜ est réflexive si pour tout x de E : x ℜ x. ℜ est antiréflexive si pour tout x et y de E : x ℜ y ⇒ x ≠ y.
• ℜ est symétrique si pour tout x et y de E : x ℜ y ⇒ y ℜ x. ℜ est antisymétrique si pour tout x et y de E :
x ℜ y et y ℜ x ⇒ x = y.
• ℜ est transitive si pour tout x et y de E : x ℜ y et y ℜ z ⇒ x ℜ z.
• ℜ est une relation d'équivalence sur E si elle est réflexive, symétrique et transitive.
• ℜ est une relation d'ordre sur E si elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
• Une relation d'ordre ℜ est d'ordre total si pour tout x et y de E : x ℜ y ou y ℜ x (x et y sont
comparables). S’il existe un x et un y non-comparables, alors ℜ est une relation d'ordre partiel.
• ℜ est une relation d'ordre strict sur E si elle est antiréflexive et transitive.
3. Que pensez-vous des relations définies ci-dessous ?
a) Dans l’ensemble des points du plan, ℜ est définie de la façon suivante : A ℜ B ⇔ AB ≤ 5 cm.
b) Dans l’ensemble des fractions (c’est-à-dire de toutes les écritures a/b où a∈z et b∈n*), ℜ est définie
de la façon suivante : a/b ℜ c/d ⇔ ad = bc.
c) Dans l’ensemble des fractions, ℜ est définie de la façon suivante : a/b ℜ c/d ⇔ ad ≤ bc.
d) Soient ∆ une droite du plan et ℜ la relation suivante : A ℜ B ⇔ A = B ou (AB) // ∆.
e) Dans l’ensemble z, ℜ est définie de la façon suivante : a ℜ b ⇔ (a – b) / 7 ∈ z.
f) Dans l’ensemble des rectangles du plan : A ℜ B ⇔ périmètre de A ≤ périmètre de B.
g) Dans l’ensemble des rectangles du plan : A ℜ B ⇔ aire de A ≤ aire de B.
h) Les deux relations précédentes conduisent-elle au même rangement ?