Fiches de cours KeepSchool Nombres entiers et rationnels (diviseur commun et PGCD) 1. Diviseur d’un nombre entier Pour tout a et b nombres entiers différents de 0 : si a est égal à un entier alors a est un multiple de b c’est-à-dire que b est un b diviseur de a. 2. Diviseur commun de deux nombres entiers Pour tout a, b et c nombres entiers différents de 0 : si a et b sont divisibles par c alors c est un diviseur commun de a et b. NB : 1 est un diviseur commun à tous les nombres entiers. 3. Définition PGCD Pour tout a et b deux nombres entiers différents de 0, l’ensemble des diviseurs communs à a et b possède un plus grand diviseur commun de a et b noté PGCD(a ; b). NB : PGCD (a ; b) ≤ a ; PGCD (a ; b) ≤ b. Si a est un diviseur de b alors PGCD(a ; b) = a. 4. Calculer un PGCD Il existe deux méthodes : la méthode des soustractions et la méthode de l’algorithme d’Euclide (ou méthode de la division). Méthode des soustractions Cherchons le PGCD(247 ; 209). 247 – 209 = 38 209 – 38 = 171 171 – 38 = 133 133 – 38 = 95 95 – 38 = 57 57 – 38 = 19 38 – 19 = 19 19 – 19 = 0 19 est le plus grand diviseur commun des nombres 247 et 209. Algorithme d’Euclide Cherchons le PGCD(1.045 ; 935) : 1.045 : 935 = 1 reste 110 935 : 110 = 8 reste 55 110 : 55 = 2 reste 0. Le plus grand diviseur commun des nombres 1.045 et 935 est le dernier reste non nul donc PGCD(1045 ; 935) = 55 5. Rendre une fraction irréductible Si on simplifie une fraction par le plus grand diviseur commun de son numérateur et de son dénominateur on obtient une fraction irréductible. Exemple Rendre irréductible la fraction PGCD(660 ; 924) = 7 Donc 175 175 : 7 25 = = 63 63 : 7 9 175 . 63