Mod`eles Aléatoires Discrets

M1 SAFIR
Universit´e Claude Bernard Lyon 1
Ann´ee universitaire 2012-2013
Mod`eles Al´eatoires Discrets
F. Bienven¨ ue-Duheille

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Jusqu’`a maintenant, les cours de probabilit´es que vous avez suivis se sont int´eress´es es-
sentiellement `a l’´etude d’une variable al´eatoire, notamment sa loi, son esp´erance, sa variance,
ou plus g´en´eralement `a l’´etude d’un couple ou vecteur al´eatoire. Vous avez ´egalement ´etudi´e le
comportement de suites form´ees `a partir de variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement
distribu´ees avec en particulier les lois des grands nombres et le th´eor`eme central limite mais
aussi tous les th´eor`emes statistiques.
L’objectif de ce cours est de s’int´eresser `a certains types de suite de variables al´eatoires non
ind´ependantes qui sont regroup´ees sous la termininologie de processus markovien.
Avant de les aborder, nous revisiterons les notions essentielles de probabilit´e.

Chapitre 1
L’essentiel des probabilit´es
1 Probabilit´e, probabilit´e conditionnelle
1.1 Tribu
On se donne un espace Ω, le plus souvent abstrait. On le munit d’une tribu Σ : une tribu
Σ est une collection de sous-ensembles de Ω telle que :
–∅appartient `a Σ ;
– Si un sous-ensemble Ade Ω appartient `a Σ, alors Ω\Aappartient `a Σ ;
– Si (An) est une famille d´enombrable de sous-ensembles de Ω tels que, pour tout n,An
appartient `a Σ, alors la r´eunion des Anappartient `a Σ.
Un ´ev´enement est un sous-ensemble de Ω appartenant `a Σ.
Trivialement, une tribu est incluse dans l’ensemble P(Ω) des parties de Ω et on d´eduit
facilement de cette d´efinition que toute intersection d´enombrable d’´ev´enements de la tribu
appartient `a la tribu. Par ailleurs l’ensemble P(Ω) est une tribu (la tribu totale) de mˆeme que
{∅,Ω}(la tribu triviale).
Exercice : Montrer que l’intersection de deux tribus est une tribu. Montrer par un contrexemple
que la r´eunion de deux tribus Σ1et Σ2sur un mˆeme espace Ω n’est g´en´eralement pas une
tribu. Donner ´egalement un exemple de sous-ensembles d’un espace Ω muni d’une tribu Σ tels
que A⊂B,B∈Σ mais A /∈Σ. Indication pour les contrexemples : choisir Ω = {1,2,3},
Σ1={∅,{1},{2,3},Ω}; construire une tribu Σ2analogue et telle que Σ1∪Σ2ne soit pas une
tribu ; trouver deux sous-ensembles Aet Bde Ωtels que A⊂B,B∈Σ1mais A /∈Σ1.
Lorsque (Ai)i∈Iest une famille (pas n´ecessairement d´enombrable) d’´ev´enements de Ω, la
tribu engendr´ee par les (Ai) est la plus petite tribu contenant tous les Ai. C’est aussi l’inter-
section de toutes les tribus contenant les Ai. On note cette tribu σ{Ai, i ∈I}.
Lorsque l’ensemble Ω est d´enombrable, on utilisera le plus souvent comme tribu l’ensemble
des parties de Ω, et lorsque Ω est ´egal `a Rou Rd, on le munira g´en´eralement de la tribu
bor´elienne, c’est-`a-dire de la plus petite tribu contenant tous les ouverts de R(respectivement, de
Rd). On note cette tribu B(R) (respectivement B(Rd)). On peut montrer que la tribu bor´elienne
de Rest ´egalement la tribu engendr´ee par les intervalles r´eels, ou encore par les intervalles du
type ] − ∞, a] lorsque aparcourt R.
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1.2 Probabilit´e
Une mesure de probabilit´e Psur (Ω,Σ) est une fonction P: Σ →Rtelle que
– Pour tout A,P(A)≥0,
–P(Ω) = 1,
– Pour toute famille d´enombrable d’´ev´enements Andeux `a deux disjoints, on a P(∪An) =
PP(An)
Citons quelques unes des propri´et´es fondamentales v´erifi´ees par une mesure de probabilit´e :
Proposition 1.1 – Pour tout A∈Σ,P(A)∈[0,1].
–P(∅) = 0.
– Si Aet Bsont deux ´ev´enements tels que A⊂B, alors P(A)≤P(B).
– Pour tout A∈Σ,P(A) = 1 −P(A)
– Pour toute famille d´enombrable croissante (An)(i.e. telle que, pour tout n,An⊂An+1),
on a P(∪An) = lim P(An)
– Pour toute famille d´enombrable d´ecroissante (An)(i.e. telle que, pour tout n,An+1 ⊂An),
on a P(∩An) = lim P(An)
Une mesure de probabilit´e est dite discr`ete s’il existe un nombre d´enombrable d’´el´ements
(ωn) de Ω, deux `a deux distincts, et tels que PP({ωn}) = 1.
La plus simple des probabilit´es discr`etes est la mesure de Dirac en ω0: si ω0est un ´el´ement
fix´e de Ω tel que {ω0} ∈ Σ, on d´efinit la mesure de Dirac en ω0par : pour tout A∈Σ, P(A) = 1
si ω0∈Aet P(A) = 0 sinon.
Toute mesure discr`ete est une combinaison lin´eaire (`a coefficient positifs et de somme totale
´egale `a 1) de mesures de Dirac.
Une mesure de probabilit´e µsur (R,B(R)) sera dite `a densit´e par rapport `a la mesure de
Lebesgue sur Rs’il existe une fonction bor´elienne positive ftelle pour tout A∈ B(R), on a
µ(A) = ZR 1A(t)f(t)dt.
L’int´egrale de fsur Rest alors ´egale `a 1, et pour tout singleton {x}de R, on a µ({x}) = 0.
1.3 Probabilit´e conditionnelle
Pour tout ´ev´enement Bde probabilit´e strictement positive et pour tout ´ev´enement A, on
d´efinit la probabilit´e conditionnelle de Asachant Bpar
PB(A) = P(A|B) = P(A∩B)/P(B).
De fait, on ne consid`ere plus que la partie de Aincluse dans B, et on renormalise de sorte que
l’application A→P(A|B) est une (nouvelle) mesure de probabilit´e sur Ω.
Les probabilit´es conditionnelles interviennent de fa¸con naturelle lorsque l’on effectue plu-
sieurs exp´eriences successives pour lesquelles le cadre de la n-i`eme exp´erience est influenc´e par le
r´esultat des exp´eriences pr´ec´edentes : par exemple, si on dispose d’une urne contenant rjetons
rouges et jjetons jaunes et que l’on effectue deux tirages successifs et sans remise dans cette
urne en notant les couleurs des jetons obtenus, il est facile de d´ecrire la deuxi`eme exp´erience
sachant le r´esultat du premier tirage. On peut alors dresser un arbre de probabilit´e dont les
sommets sont les r´esultats des tirages successifs et en faisant figurer sur les arˆetes les probabilit´es
conditionnelles de tirage sachant le chemin parcouru dans l’arbre.