Les annales 2013 du concours externe de contrôleur de l`Insee

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RÉPUBLIQUE FRANÇAISE
CONCOURS EXTERNE 2013
POUR LE RECRUTEMENT DE CONTRÔLEURS STAGIAIRES
Janvier 2013
ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES ET STATISTIQUES
(Durée : 3 heures, coefficient 4)
Le sujet comporte 5 pages
***
NOTA :
a) Les représentations graphiques demandées sont à effectuer au crayon à papier sur papier millimétré.
b) Les 4 exercices sont indépendants et sont tous à traiter, dans l’ordre de votre choix.
c) Sauf mention du contraire, les réponses doivent être justifiées : les formules utilisées énoncées et les
étapes de calcul détaillées.
d) L’usage de la calculatrice est autorisé.
e) Tous les intercalaires doivent être numérotés et le nombre total doit être reporté sur la 1
ère
page.

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Exercice 1
Les deux parties de l’exercice sont indépendantes.
Partie A (Les questions 3 et 5 sont indépendantes des autres questions. )
Soit
f
la fonction définie sur
[
[
+∞
;0 par
xxxxf
2
9
)
2
15
()( +−=
.
1) Déterminer la limite de
f
en +
∞
2) Soit
g
la fonction définie sur
[
[
+∞
;0 par
15618)( +−= xxxg
.
a) Déterminer la limite de
g
en +
∞
.
b) Étudier le signe de la dérivée de
g
.
c) Dresser le tableau de variations de
g
(en indiquant les bornes).
d) Démontrer que l’équation
0)(
=
xg
, sans la résoudre, admet une solution unique dans
[
[
+∞
;0 .
On notera
α
cette solution.
e) A l’aide de la calculatrice déterminer un encadrement de
α
à 10
3
−
près.
f) Rechercher la valeur exacte de
α
(on pourra poser xX = ).
g) En déduire le signe de
g
sur
[
[
+∞
;0 .
3) Démontrer que pour tout réel 0
>
x ,
x
xg
xf 4
)(
)(' = .
4) Établir le tableau de variations de
f
(en indiquant les bornes).
5) Résoudre l’équation
xxf
=
)(
.
Partie B
6) Représenter graphiquement
f
et
g
dans un repère adapté.
7) A quelle aire l’intégrale suivante fait-elle référence ? Représenter graphiquement cette aire en
hachurant la surface concernée sur la figure.
∫
−+−−
9
5
)15
2
21
2
21
(dxxxxx
8) Calculer cette intégrale.
Exercice 2
On considère la suite
(
)
n
u
définie par :
2
11
1
=u
et pour tout naturel n non nul,
1
5
4
1
+=
+nn
uu
.
Soit
(
)
n
v
la suite définie, pour tout entier naturel n non nul, par 5−=
nn
uv .
1) Vérifier que
(
)
n
v
est une suite géométrique. Donner sa raison et son premier terme.
2) Déterminer la limite de
n
v
quand n tend vers
∞
+
. Justifier le résultat.
3) En déduire la limite de la suite
(
)
n
u
quand n tend vers
∞
+
.

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Exercice 3
Dans l’ensemble de l’exercice, on ne demande pas de justifier les réponses (indiquer simplement sur
la copie la réponse associée au numéro de la question).
Pour chacune des questions suivantes, une seule proposition est exacte. Une réponse incorrecte fait
perdre des points (la moitié de ce que rapporte une réponse correcte), tandis qu’une absence de
réponse ne fait pas perdre de point. Le score total de l’exercice ne peut pas être négatif.
1) Si f est une fonction strictement croissante sur
[
[
0 ,
+ ∞
, alors
lim ( )
x
f x
→+∞
=+∞
a. Vrai
b. Faux
2) L’inéquation
(
)
( )
2
ln 2 2 ln 3
x x
− > a pour ensemble la solution :
] [ ∞∪
−∞− ;2
2
1
;
a. Vrai
b. Faux
3) Soit la fonction
2
xx
ee
f
−
+
=
a. la fonction
f
est impaire
b. la fonction
f
est paire
c. la fonction
f
n’est ni paire ni impaire
4) L’intégrale suivante
∫
−
+
1
0
2dx
ee
xx
a comme valeur :
a.
2
11 −
−ee
b.
1
1
2
e
e
c.
1
2
1
2
1
1
−+
−
e
e
5) Quand Jeanne appelle Gabrielle sur son portable le soir à 21 heures, Gabrielle répond une fois sur
deux quand ce n’est pas le samedi et seulement une fois sur cinq quand c’est le samedi.
Jeanne appelle un certain soir à 21 heures. On définit les événements :
S : « c’est samedi »
R : « Gabrielle répond au téléphone »
1) la probabilité
)( SRP
est :
a.
2
1
b.
5
1
c.
7
1
d.
10
1
2) la probabilité
)(SP
est :
a.
2
1
b.
5
1
c.
7
1
d.
10
1

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3) la probabilité )( SRP est :
a.
2
1
b.
5
4
c.
10
9
d.
7
3
4) la probabilité
)( SRP
∩
est :
a.
5
7
b.
7
5
c.
35
1
d.
245
16
5) la probabilité
)(RP
est :
a.
7
3
b.
35
1
c.
5
3
d.
35
16
6) la probabilité
)( RSP
est :
a.
5
1
b.
5
4
c.
16
1
d.
35
32
Exercice 4
Le tableau suivant donne la population d’une ville française d’après les données des différents
recensements de la population, entre les années 1975 et 2009.
Année 1975 1982 1990 1999 2004 2009
Rang de l'année x
i
0 7 15 24 29 34
Population de l'année en millers d'habitants y
i
57 59 63 77 82 94
On donne aussi les quantités suivantes :
109
6
1
==
∑
=ii
xA 432
6
1
==
∑
=ii
yB 2847
6
1
2
==
∑
=ii
xC 32188
6
1
2
==
∑
=ii
yD
8780
6
1
==
∑
=iii
yxE 239044
6
1
2
==
∑
=iii
yxF 81235
6
1
3
==
∑
=ii
xG 2428419
6
1
4
==
∑
=ii
xH
1) Représenter le nuage de points associé à la série statistique (x
i
; y
i
) dans un repère
orthonormal.
2) Calculer les coordonnées du point moyen et placer sur ce point sur le graphique.
3) Ajustement linéaire
a. Déterminer l’équation
baxy
+
=
de la droite d’ajustement linéaire de
y
en
x
grâce
à la méthode des moindres carrés (les coefficients de la droite seront arrondis à 10
-2
près). Une justification précise et détaillée des étapes du calcul est demandée.
Indication : on pourra exprimer
a
et
b
en fonction des quantités A, B, C, et E.
b. Tracer cette droite sur le graphique

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c. Soit
)(
)1( baxyr iii
+−=
le résidu associé à l’ajustement linéaire déterminé
précédemment, calculé pour l’observation i. Exprimer la somme des carrés des
résidus
∑
=
=
6
1
)1()1(
)²(
ii
rS
en fonction des quantités A, B, C, D, E, F, G et H, puis en
déduire sa valeur.
d. Proposer, à partir de cet ajustement, une estimation de la population de cette ville en
2007 (arrondie au millier).
4) Un autre ajustement
On considère l’ajustement obtenu par la branche de parabole d’équation
5705,0²03,0
+
+
=
xxy
.
a. Tracer, sur le repère précédent, cette branche de parabole sur l’intervalle [0 ; 34]. On
peut s’aider du tableau suivant :
x
i
0 7 15 24 29 34
0,03 x
i
² + 0,05 x
i
+ 57
b. Déduire de ce deuxième ajustement une nouvelle estimation de la population de cette
ville en 2007 (arrondie au millier).
c. A quoi correspond
)2(
i
r
, le résidu associé au deuxième ajustement, pour l’observation
i ?
d. Exprimer la somme des carrés des résidus
∑
=
ii
rS )²(
)2()2(
en fonction des
quantités A, B, C, D, E, F, G et H, puis en déduire sa valeur.
5) Des deux estimations de population pour l’année 2007, laquelle est la plus pertinente ?
Justifier la réponse.