Introduction `a la théorie des nombres Série 7

EPFL
Section de Math´ ematiques
Introduction `a la th´eorie des nombres
Prof. Eva Bayer-Fluckiger
Semestre de Printemps, 2009 - 2010
Semaine du 12.04.2010
S´erie 7
Exercice 1. Soit K=Q(θ) avec θ3−10 = 0. On note OKl’anneau des entiers de K.
1. Montrer que l’´el´ement α= (1 + θ+θ2)/3 est entier sur Z.
2. A-t-on OK=Z[θ] ?
Exercice 2.
1. Expliquer pourquoi √2 + √6
2est entier sur Z, puis donner son polynˆome minimal.
2. Donner l’anneau des entiers de Q(√2) et celui de Q(√6), puis montrer que l’anneau
Z[√2 + √6] n’est pas l’anneau des entiers de Q(√2 + √6).
3. Donner l’anneau des entiers de Q(√3) et celui de Q(√7), puis montrer que l’anneau
Z(√3,√7) n’est pas l’anneau des entiers de Q(√3,√7).
On pourra consid´erer l’´el´ement √3+√7
2.
Anneaux factoriels.
Dans un anneau int`egre A, un ´el´ement xest dit irr´eductible s’il n’est pas inversible et si
ses seuls diviseurs sont les ´el´ements inversibles ou les ´el´ements xu avec uinversible. Par
exemple, dans Z, les ´el´ements irr´eductibles sont les nombres premiers.
Deux ´el´ements aet bde Asont dits associ´es s’il existe une unit´e utelle que a=ub.
Enfin, un anneau factoriel Aest un anneau int`egre v´erifiant les conditions :
1. tout ´el´ement x∈Aadmet une factorisation de la forme x=up1...pno`u uest un ´el´ement
inversible de Aet o`u les pjsont des ´el´ements irr´eductibles de A;
2. si xadmet une autre factorisation, disons x=vq1...qm, alors n=met il existe une
permutation σde {1, ..., n}telle que chaque piest associ´e `a un unique qσ(i).

Exercice 3. Montrer que dans un anneau factoriel, un ´el´ement aest irr´eductible si et
seulement s’il est non nul, non inversible et v´erifie la propri´et´e :
a|bc ⇒a|bou a|c.
Exercice 4.
1. On rappelle que tout anneau principal est factoriel. En d´eduire des exemples d’anneaux
factoriels, ´etudi´es en cours ou en s´eries d’exercices.
2. On consid`ere l’anneau A=Z[√−5] = Z[i√5].
(a) Montrer que les ´el´ements 2, 3, 1 + i√5 et 1 −i√5 sont irr´eductibles dans A.
(b) En d´eduire que l’anneau An’est pas factoriel.
3. Plus g´en´eralement, montrer que si d > 1 est un entier sans facteur carr´e tel que −d≡
3 (mod 4), l’anneau des entiers de Q[√−d], c’est-`a-dire Z[√−d], n’est pas un anneau
factoriel.
On pourra chercher deux d´ecompositions de 1 + d, puis montrer que 2est irr´eductible
dans Z[i√d].