Terminales S3 2009-2010 - MathArtaud

Terminales S3
2009-2010
Cahier de textes 1er Trimestre
Livre: Pixel de Bordas
03 janvier 2010
13:33:16
Jeudi 3 septembre 2009
Prise de contact
DM 1 pour le 12/09/2008
Vendredi 04 septembre 2009 (2h):
Chapitres 1 et 7 du livre: Limites de suites et de fonctions; Récurrence
1 Généralités sur les suites
1.1 Définition, notations.
1.2 Notion de base: Majorée-Minorée-Bornée-Croissante-Décroissante: définition et exemples.
2 Principe de récurrence
u 0=1
2.1 Exemple d'introduction: u =2
u n1 .
n 1
2.2 Principe de récurrence
{
Énoncé du principe (Axiome)
Exemple d'utilisation: ( Question 6 du DM1)
n
Montrer par récurrence que, pour tout
n∈ℕ
*
:
nn12 n1
k 2=
∑
6
k=1
Lundi 7 septembre 2009 (1h):
Aide sur le DM 1
Exercices récurrence
3 Limites de fonctions
3.1 En l'infini
3.1.1 Limite finie
Définition
Mercredi 8 septembre 2009 (1h):
TP Info: Découverte de Geogebra et construction de la figure du DM 1. ( Groupe A le lundi; Groupe B le mercredi)
TD ( Groupe A puis groupe B): Exemple récurrence et fin de l'aide sur le DM 1
Vendredi 11 septembre 2009 (2h):
DM 1 Ramassé
Exemples
Fonctions de référence
3.1.2 Limite infinie
Définition
Exemple
Fonctions de références
3.2 En un réel a
3.2.1 Limite infinie
Définition
Exemple
Fonctions de référence
3.2.2 Limite finie
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Exemple
Fonction partie Entière
Définition
3.3 Continuité
Définition
Exemples et contre exemple
Théorèmes d'existence de fonctions continues
Lundi 14 septembre 2009 (1h):
3.4 : Opérations sur les limites
3.5 : Limite de fonctions polynômes, rationnelles, composées; exemples.
Mardi 15 septembre 2009 (1h):
Copies DM1 rendues
3.6 Cas des fonctions continues strictement monotones. Bijections.
Théorème de la bijection (Démontré: ROC 1)
Exercice: Nombre de solutions de l'équation: x 3 – 3x1=0 .
DM 2 en ligne
1.1 : Limite de fonctions polynômes, rationnelles, composées; exemples.
TVI ( Théorème des Valeurs Intermédiaires...) et équation f  x=
1.2 Introduction
1.3 Cas général (Admis)
Cas des fonctions continues strictement monotones. Bijections.
Théorème de la bijection (Démontré: ROC 1)
Exercice: Nombre de solutions de l'équation: x 3 – 3x1=0 .
Mercredi 16 septembre 2009 (1h):
2 Limites de suites
2.1 Suites convergentes
Définition
2.2 Unicité de la limite. Idée de la démonstration.
2.3 Opérations sur les limites
2.4 Suites divergentes.
Définition; exemples
Divergence en ∞ et −∞ .
Théorème : Critère de divergence en +∞.
Toute suite croissante et non majorée est divergente en ∞ ( Roc 2)
Démonstration
Vendredi 18 septembre (2h):
2.5 Suites et fonctions
2.5.1 Suites du type u n =f  n
2.5.2 Composition suite et fonction
2.6 Théorèmes de comparaison
2.6.1 Théorème des gendarmes pour les suites
2.6.2 Théorème de majoration et de minoration
2.7 Convergence des suites monotones ( Admis)
2.7.1 Toute suite croissante et majorée est convergente
2.7.2 Toute suite décroissante et minorée est convergente
2.8 Suites adjacentes
2.8.1 Définition
2.8.2 Propriété:
Si (Un) et (Vn) sont deux suites adjacentes, alors, pour tout
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n ∈ℕ ,
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on a: u n ≤vn (Démontré)
2.8.3 Théorème de convergence des suites adjacentes. ( Roc 3)
Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et ont la même limite.
Lundi 21 septembre 2009 (1h+Tp Info):
Réponse questions DM 2
Théorème du point fixe
{
u 0 =1
, est convergente et de limite l où f est
u n 1=f  u n 
continue, alors l est un point fixe de f , c'est à dire que f l =l .
Si une suite, définie par une relation de récurrence du type:
Tp Info:
Sujet 11 des épreuves types de 2009
Mardi 22 septembre 2009 (1h):
Exercice: Suite définie par:
{
u 0 =1
1
u n1 = u n 1
2
Graphique
Monotonie
Minoration
Convergence
Limite
Vendredi 25 septembre 2009 (2h):
Extension du théorème des valeurs intermédiaires et de celui de la bijection à des intervalles non bornés.
Exercice 81 ch 1
Révisions diverses pour DS de demain
Samedi 26 septembre 2009 (2h):
DS 1
2 heures
Lundi 28 septembre 2009(1h):
Compte rendu du DS1
Prévoir Ds 1h de rattrapage Lundi 5 octobre
Chapitre 2 du livre: Dérivation
1: Définition
Cadre:
fonction définie sur un intervalle
●
f
●
x 0∈[ a ; b]
●
h∈ℝ * tel que
[ a ; b ] ; ab
x 0h∈[ a ; b ]
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Dérivabilité en
x 0 ; nombre dérivé; tangente.
Exemple: fonction
xx
2
en 3 puis en
x 0 ∈ℝ
Mardi 29 septembre 2009 (1h):
DM 3 Distribué
2: Définition en
f  x 0h= f x 0 L×hh×h avec
L∈ℝ et
lim  h=0
h 0
Approximation affine; exemples.
Vendredi 2 octobre (2h):
La moitié de la classe est en sortie de SVT!
Aide DM 3 et reprise DS 1
Lundi 5 octobre 2009 (1h):
DS1: Rattrapage
TP Info: Introduction méthode d'EULER
Mardi 6 octobre 2009 (1h):
3: Et ne pas être dérivable?
x   x en 0; étude complète.
x ∣x∣ en 0; étude complète.
Vendredi 9 octobre 2009(2h):
4: Dérivabilité et continuité
Théorème+démonstration.
5: Règles de dérivation
5-1: Fonctions usuelles
5-2: Dérivation et opérations
6: Dérivée d'une fonction composée
Dérivée de
x   3x 5 et de :
x  cos 3x5 .
7: Dérivation et sens de variation
Théorèmes
8: Dérivée et extremum local
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Exercices:
Dérivabilité de
x xx
Lundi 12 octobre 2009 (1h)
Chapitre 3 du livre:
La fonction exponentielle
1: Rappel du travail fait en Tp Informatique sur la méthode d'Euler
=y
{yy '0=1
Équation différentielle: (E):
●
Notation
tout
y '= y ; on appelle solution de (E) une fonction
x ∈ℝ : f ' x = f x  et f 0=1 .
f
définie et dérivable sur ℝ qui vérifie, pour
●
Approche graphique, par la méthode d'Euler, de la solution de l'équation différentielle: (E):
●
Calcul et construction , à la main des 4 premiers points avec un pas de 0,1.
●
Construction rapide de la tangente en chaque point
=y
{yy '0=1
3: Théorème d'existence (Admis)
Mardi 13 octobre 2009 (1h):
4: Théorème d'unicité (ROC ): Démonstration.
5: Définition de la fonction exponentielle
x  exp  x  .
Résumé de ses premières propriétés.
Nombre
exp 1
Retour sur la méthode d'Euler avec un pas

exp1≃ 1


exp1≃ 1
exp1≃ 1
1
100

≃2,5937424601 puis
100


1
1012
1
10
h=0,1 on trouve avec une calculatrice:
10
10
≃2,70481382942 et enfin :
12
≃2,71828182846 .
Définition: On note
e le nombre réel
Propriété: On admet que ce nombre
exp 1 et on a
e≃2,7182818284
n ∞
20
Remarque:
1
 
e vérifie: exp 1=e= lim 1
∑ k ! ≃2,71828182846
n
n
1
1
= lim ∑
n
n∞ k =0 k !
; ici la convergence est plus rapide.
k=0
6: Relation fonctionnelle:
exp x y =exp x ×exp y
Démonstration ( Roc )
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exp x− y =
Conséquences : calculs de
n ∈ℕ
puis
n ∈ℤ
exp x 
et de exp n×x =exp  xn avec
exp y 
Nouvelle notation:
exp  n=e n
n ∈ℕ on a vu que
expx=ex .
Pour tout
d'où l'extension à ℝ et la nouvelle notation:
Résumé des propriétés avec cette nouvelle notation.
Mercredi 14 octobre 2009 (1h ):
7: Étude de la fonction
x e
x
7-1:Tangente en 0; position par rapport à la tangente: pour tout x ∈ℝ ,
ex ≥x1 .
∞ et −∞
Conséquences: Limites en
Approximation affine en 0: eh ≈1h
7-2: Limite en 0 de
x
e x−1
:
x
7-3: Limite en +∞ de
ex
x
7-4: Limite en –∞ de
xe
x 0
e −1
=1
x
ex
=∞
x ∞ x
lim
:
x
lim
:
x
lim xe =0
x  −∞
8: Réciproque
Dire qu'une fonction
f , dérivable sur ℝ, vérifie
f  x y = f  x f  y 
équivaut à ce qu'elle vérifie l'équation différentielle (E):
y
{yy ''=0=
y 0=1
et
f ' 0=1
.
Vendredi 16 octobre 2009 (2h):
DM 4 ramassé
DM 5 en ligne
9: Dérivée de exp(u)
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors la fonction f : x  eu  x  est dérivable sur I et on
alors, pour tout x ∈I : f ' x =u '  x ×eu  x
Exemples
10: Équations ea =eb et inéquations ea eb
Pour tout a et b dans ℝ, on a ea =eb équivaut à
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a=b
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ab
Pour tout a et b dans ℝ, on a ea eb équivaut à
Exemples
Lundi 19 octobre 2009 (1h):
11:Équations différentielles
11-1: Introduction
●
Rappel sur le vocabulaire des équations différentielles la forme des solutions.
●
Cas
a=0 éliminé: vu en première.
●
Cas
a=1 et
11-2: Équation
•
b=0 :Voir Chapitre 4.
(E): y ' =ay ( Cas
b=0 et
a≠0
)
Exemple et conjectures sur la forme possible des solutions.
•
Théorème: Les fonctions
f : x  Ce ax , C ∈ℝ sont solutions, sur ℝ, de (E);
•
Théorème: Les fonctions
f : x  Ce ax , C ∈ℝ sont LES SEULES solutions sur ℝ de (E);
•
L'équation différentielle, avec une condition initiale,
{ yy 'x=ay= y
0
0
f : x  y 0 e a x− x 
admet UNE UNIQUE solution sur ℝ : la fonction:
0
Mardi 20 octobre 2009 (1h):
11-3: Cas général:
•
(E):
y ' =ay b , a≠0 .
Exemple et conjectures sur la forme possible des solutions.
b
, C ∈ℝ sont solutions de (E) sur ℝ; .
a
•
Théorème: Les fonctions
f : x  Ce ax−
•
Théorème: Les fonctions
f : x  Ce ax−
•
L'équation différentielle, avec une condition initiale,
b
, C ∈ℝ sont LES SEULES solutions de (E) sur ℝ
a
{ yy 'x=ayb
= y
admet UNE UNIQUE solution sur ℝ: la fonction:
0
0
b
b
f : x   y0 ea x− x −
.
a
a
0
Vendredi 23 octobre 2009 (2h):
DS 2
2heures
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Vendredi 6 novembre 2009 (2h):
Chapitre 11 du livre
Nombres complexes
1: Approche historique.
●
Étude des limites en +∞ et –∞ des fonctions de la forme x  a 3 x 3a 2 x 2a1 xa0 ;
●
Application du TVI et existence d'au moins une racine.
●
Utilisation des formules de Cardan: une solution de
x=
 
3
 
q
q2 p 3 3 q
q 2 p3

− 
−
−
2
4 27
2
4 27
.
Exemples: x 3−36 x−91=0 et
Notation provisoire
i
pour
x 3−px−q=0 est:
x 3−15 x−4=0 ;
−1
.
On trouve une solution grâce à la formule de Cardan...
−1
Fin définitive de la notation
....
2: Approche ensembliste à partir de diverses équations
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ⊂ℂ
3: Définition de l'ensemble
ℂ
; écriture
z=aib .
Samedi 7 novembre 2009 (2h):
DS 3
2 heures
Lundi 9 novembre 2009 (1h):
4: Égalité de deux nombres complexes
5: Complexe et géométrie
A tout nombre complexe
manière unique, le point
z=aib on peut faire correspondre dans un repère
M a , b .
On dit que M est l'image de M et que z=aib
On pourra noter
6: Opérations dans
z=z M
ou
O ; 
u, 
v  , et de
est l'affixe de M.
M z 
ℂ
•
Addition; exemple: lien avec les translations.
•
Multiplication; exemples: multiplication par
•
Inverse: existence et calcul pour
i et lien avec la rotation de centre O et d'angle
z≠0 ; on trouve:
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
2
.
1
1
=
a− ib
z a 2 b2
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Vendredi 13 novembre 2009 (2h):
7: Conjugaison et module
Définitions
Propriétés
8: Complexes, milieu et barycentres
9: Quelques bêtises à éviter:
Pas de relation d'ordre dans ℂ....donc pas de
Le symbole
z1z 2 !!!!!
 x est réservé aux réels positifs....
10: Module et argument
10-1: Rappels des coordonnées polaires.
Rappels de première:
Lundi 16 novembre 2009 (1h):
10-1: Rappels des coordonnées polaires.
Rappels de première:
Lignes trigonométriques des angles « classiques ».
Mesure principale d'un angle.
10-2: Définition de l'argument
10-3: Définitions: Argument, Forme trigonométrique. Exemples.
Mardi 17 novembre 2009 (1h):
11: Opérations sous forme trigonométrique
11-1: Module et argument du produit
Exemple
11-2: Module et argument de l'inverse
Exemples
Vendredi 20 novembre 2009 (2h):
11-3: Module et argument d'un quotient
Exemples
12: Module et argument de
Avec
z
n
z= cos i sin  on a:
n
n
n
n
z =  cos  i sin   =  cos n i sinn  .
Exemples
Exercices
Lundi 23 novembre 2009 (1h):
13: Complexes et vecteurs:
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z B −z A
●

AB
est l'affixe de
Arg z B −z A =u ; 
AB .
; ∣z B −z A∣=AB
Mercredi 25 novembre 2009 (1h):
Exercices
7: Avec
Z=
z D −zC
z B− z A
on a
∣
∣Z∣=
z D −z C ∣z D −z C∣ CD
=
=
z B −z A ∣z B −z A∣ AB
∣
et
Arg Z =Arg 
8: Équations du second degré à coefficients Réels ; extension au cas
z D − zC
=
AB ; 
CD  .
z B −z A
0
14-1: Racines carrées complexes mais non réelles d'un réel négatif; équation: z 2 =a0
14-2: Équation du second degré à coefficients Réels:
Si
az²bzc=0 ( avec a, b et c nombres réels et
solutions non réelles, complexes conjuguées:
0 , l'équation :
z1 =
−bi  −
2×a
et on a
et
z2=
a≠0 ) a deux
−b−i  − 
=z 1
2×a
az²bzc=a z−z1 z−z 2 
Vendredi 25 novembre 2009 (2h):
9: Notation exponentielle
cos i×sin =e
i
;
z=aib=e i  ;
i 1
i 2
e ∗e =e
i 12
∣ei ∣=1
;
etc....;
et : ei  1=0
10: Nombres complexes et translations.
Avec M d'affixe z , M' d'affixe z' et

MM ' =u
équivaut à
u d'affixe
zu on a:
t u  M = M ' équivaut à
z'= z zu
Lundi 30 novembre 2009 (1h):
11: Nombres complexes et rotations.
Exemple
Écriture complexe d'une rotation de centre
 d'affixe

et d'angle
 :
L'affixe z' de M', image de M d'affixe z dans la rotation de centre
d'angle

 d'affixe 
et
 M '= M
, est définie par: z' =e i  z− ; ceci équivaut à:

 M ;
 M '=
{
TP info: Fin du TP 127 de 2009
TD: Aide DM 7
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Mardi 1 décembre 2009 (1h):
TD: Aide DM 7
12: Nombres complexes et homothétie
Écriture complexe d'une homothétie centre
 et de rapport k ∈ℝ
L'affixe z' de M', image de M d'affixe z par l'homothétie de centre
, est définie par: z ' =k  z − .
 de rapport k ∈ℝ
Vendredi 4 décembre (2h):
Exercices complexes
Lundi 7 décembre 2009 (1h):
Chapitre 5
Fonction logarithme népérien
1: Logarithme népérien d'un nombre réel positif
∈] 0 ;∞[ , l'équation ex = a UNE et UNE SEULE solution  dans ℝ, on a donc e =
; ce réel  s'appelle le logarithme népérien de  ; on note =ln  .
Pour tout
La fonction qui a tout réel positif x , fait correspondre le réel
fonction logarithme népérien notée: x  ln x .
ln x défini par: eln  x=x s'appelle la
2: Premières propriétés
●
Sens de variation ( à la main)
●
Avec
a0 et
b0 , équation
lna=lnb
et inéquation
lnalnb
Mardi 8 décembre 2009 (1h):
3: Relation fonctionnelle:
Pour tous nombres réels POSITIFS a et b , on a :
ln a×b=ln aln b
Conséquences:
ln 
1
a
1
=−ln a ; ln  =ln a−ln b ; ln   a= ∗ln a ; lna n =n∗ln a ( n ∈ℤ )
a
b
2
Exercices
Vendredi 11 décembre (2h):
4: Logarithme et dérivation.
4-1 Théorème
Pour tout
x ∈] 0 ;∞[ la fonction x  ln x est dérivable. (Démonstration prévue
ultérieurement)
4-2: Calcul de la fonction dérivée
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Pour tout
x ∈] 0 ;∞[ , on a : ln x'=
1
.
x
5 Limites
5-1: En +∞
lim ln  x=∞
x ∞
5-2 En 0
lim ln x=−∞
x 0
x0
6: Tableau de variations
Lundi 14 décembre 2009 (1h):
7: Approximation affine au voisinage de 1.
8: Position par rapport à la tangente en x=1
9: Logarithme décimal.
Définition; propriétés; représentation graphique; utilisation.
Ex: Nombre de chiffres de
2006 2007
Mardi 15 décembre 2009 (1h):
10: Dérivée de
x  ln ° u x 
Exercices
Vendredi 18 décembre 2009 (2h):
Exercices
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