Solution du modèle de SOLOW quand la fonction de production est

Démographie - La population dans le modèle néoclassique de croissance
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La population dans le modèle néco-classique de croissance
Cas de la fonction de production est de type COBB-DOUGLAS
Dernière mise à jour le 12 janvier 2012
C’est dans un article publié en 1956, intitulé « A Contribution to the Theory of Economic
Growth
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» (Contribution à la théorie de a croissance) que Robert SOLOW a montré que la
croissance à long terme était conditionnée par deux facteurs : la croissance de la
population et la croissance du progrès technique.
Nous allons étudier ici la version la plus simple possible de ce modèle, afin de montrer
par quel mécanisme l'un de ces deux taux, le taux de croissance de la population,
détermine le taux de croissance économique.
La fonction de production
Pour concrétiser l’analyse, prenons une fonction de COBB-DOUGLAS avec pour coefficient
a = 0,5. On a donc :
(1)
Où Y représente la production, K le capital et L la population active. Divisons chaque
membre de l’équation (1) par L(t) :
(2)
Posons y =Y/L et k = K/L et remplaçons dans l’équation (2) :
(3)
L’équation (3) indique que l’évolution dans le temps de la production par tête est une
fonction de l’évolution du capital par tête.
Pour résoudre le modèle il faut donc faire une hypothèse sur les équations d’évolution du
capital et du travail.
L’équation d’évolution du capital
L’évolution du capital est donnée par l’équation keynésienne qui pose qu’une
partie constante de la production est épargnée. Cette constante, s, est appelée
« propension à épargner ». Elle est comprise entre 0 et 1 et est égale à 1-c. On a en
effet s = 1-c, où c représente la propension moyenne et marginale à consommer. Nous
supposerons ici que le quart du revenu est épargné, soit s = ¼. L’équation qui gouverne
l’évolution du stock de capital est donc donnée par :
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Disponible sur internet. Voir par exemple
http://www.uac.pt/~amenezes/macroeconomiaII/macroeconomiaII_20062007/papers/solow1956.pdf ou bien
http://faculty.lebow.drexel.edu/LainczC/cal38/Growth/Solow_1956.pdf. Lien vérifié le 16 avril 2010.

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(4)
Dans le modèle de SOLOW, il est supposé que l’épargne est automatiquement
égale à l’investissement. C’est un modèle d’économie fermée où l’investissement
étranger n’est pas pris en considération.
L’équation d’évolution de la population active
Nous supposons qu’il existe une relation automatique entre la population totale (P) et la
population active (L) et que le coefficient qui est relie est constant :
Ceci nous permet de considérer le facteur L comme représentatif de la population en
posant ensuite =1, de sorte que L=P.
L’équation d’évolution de la population active est donnée (à une constante près) par
l’évolution de la population totale. On suppose que cette évolution est exponentielle.
Autrement dit :
(5)
Dans l’équation (5), n représente le taux de croissance de la population active. L(t) la
population active à la date t et L(0) une constante qui représente la population active à la
date zéro.
On peut vérifier que n est bien égal au taux de croissance de la population active en
dérivant l’équation (5) par rapport à t :
(6)

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L’équation d’évolution du capital par tête
L’équation d’évolution du capital par tête est donnée par la formule suivante :
(7)
Simplifions l’équation (7) :
(8)
Sachant que y(t)=k1/2(t) implique k(t)=y2(t) on en déduit que dk(t)/dt = 2y(t)dy(t)/dt,
ce qui permet de simplifier l’équation (8) de la façon suivante :
Ce qui peut encore se simplifier [en divisant les deux membres par y(t)] :

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En réarrangeant les termes nous obtenons l’équation (9) :
(9)
L’équation (9) est une équation différentielle linéaire en y avec coefficient constant et
terme constant. C’est une équation de la forme :
Avec ici a = n/2 et b=1/8.
La solution du modèle et l’évolution du produit par tête
La résolution d’une équation du type :
(10)
Se fait en deux temps :
Dans un premier temps, on calcule la solution particulière, c’est-à-dire la solution de
l’équation (10) avec b=0. On pose donc :
La solution de cette équation différentielle linaire et homogène est donnée par :
Solution particulière
Le terme A est une constante arbitraire.
Dans un second temps, on calcule la solution complémentaire, c’est-à-dire la
solution de l’équation (10) lorsque dy(t)/dt=0 :
Solution complémentaire

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Ensuite, pour obtenir la solution générale, on ajoute b/a au membre de droite de la
solution particulière et on trouve :
La constante qui est dans l’équation précédente peut-être éliminée en posant t=0. On
obtient alors A = y(0) - (b/a) et l’équation peut se réécrire :
Cette équation est la solution de l’équation différentielle :
Revenons à l’équation (9) :
(9)
La solution nous est donnée en posant b = 1/8 et a=n/2 et donc b/a=1/4n. On obtient
alors :
(10)
La solution de l’équation (10) donne l’évolution de la production par tête dans le modèle
de SOLOW. On voit qu’il s’agit d’une une équation ou la production évolue avec le temps
et où le seul paramètre [hormis la valeur initiale y(0)] est le taux de croissance de la
population, n.