Ch3 : Les triangles 1 Angles dans un triangle 2 Inégalité triangulaire

5ème
Ch3 : Les triangles
Objectifs
•Connaître et utiliser, dans une situation donnée, le résultat sur la
somme des angles d’un triangle.
•Connaître les propriétés relatives aux angles des triangles sui-
vants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle.
•Connaître et utiliser l’inégalité triangulaire.
•Construire un triangle connaissant :
- la longueur d’un côté et les deux angles qui lui sont adjacents,
- les longueurs de deux côtés et l’angle compris entre ces deux
côtés,
- les longueurs des trois côtés.
•Sur papier uni, reproduire un angle au compas.
1 Angles dans un triangle
Théorème
Dans un triangle quelconque, la somme de ses trois angles est égale à 180◦.
a. Triangle équilatéral
Règle
Dans un triangle équilatéral, chaque angle a pour mesure 180◦÷3 = 60◦.
≀
≀ ≀
b. Triangle rectangle
Règle
Dans un triangle rectangle, les deux angles autres que l’angle droit, sont complé-
mentaires : mes(
b
B) + mes(
b
C) = 90◦.
A C
B
c. Triangle isocèle
Règle
Dans un triangle isocèle, si on connait la mesure de l’un des angles, on peut
déduire celle des deux autres.
B C
A
Exemple : Sachant que mes(
b
A) = 40◦, quelle est la mesure des angles B et C ?
On a : mes(
b
B) + mes(
b
C) = 180◦−40◦= 140◦.
Comme les angles b Bet b Cont même mesure, mes(
b
B) = mes(
b
C) = 140◦÷2 = 70◦.
Exemple : Sachant que mes(
b
B) = 40◦, quell est la mesure des angles A et C ?
On déduit que mes(
b
C) = mes(
b
B) = 40◦et que mes(
b
A) = 180◦−2×40◦= 100◦.
2 Inégalité triangulaire
Théorème (inégalité triangulaire)
Dans un triangle ABC, on a AB ≤AC + CB ✿
✣
❘
AB
C
Remarque : Lorsque AB = AC + CB, cela signifie que le point C appartient au segment [AB].
✲ ✲
A C B

5ème
Ch3 : Les triangles
3 Construction de triangles
a. Avec la longueur d’un segment et deux angles
Règle
Pour construire un triangle ABC connaissant la longueur d’un côté [AB] et la mesure des angles [ BAC et [ ABC :
– on trace le segment [AB] ;
– on trace l’angle [ BAC avec la mesure donnée ;
– on trace l’angle [ ABC avec la mesure donnée ;
– les deux demi-droites qui ont permis de construire les angles doivent se couper en C.
Exemple : Construire un triangle ABC tel que AB = 5 cm,
[
BAC = 45◦et [ ABC = 76◦.
A B
5A B
45◦
A B
76◦
C
b. Avec les longueurs de deux côtés et l’angle entre ces côtés
Règle
Pour construire un triangle ABC connaissant la mesure de l’angle [ BAC et les longueurs des côtés [AB] et [AC] :
– On construit un angle de la mesure de l’angle [ BAC. On place son sommet : A ;
– sur un des côtés de l’angle, on place B avec la bonne longueur ;
– sur l’autre côté de l’angle, on place C avec la bonne longueur.
Exemple : Construire un triangle ABC tel que AB = 5 cm,AC = 3,6 cm et [ BAC = 51◦.
A
51◦
A B
5A B
C
3,6
c. Avec les longueurs des trois côtés
Règle
Pour construire un triangle ABC dont on connaÃőt les longueurs des trois côtés :
– On trace un segment ([AB] par exemple) avec la bonne longueur ;
– on trace le cercle de centre A et de rayon AC ;
– on trace le cercle de centre B et de rayon BC ;
– lorsque les deux cercles se croisent, chaque point d’intersection convient pour C.
Exemple : Construire un triangle ABC tel que AB = 5 cm,AC = 4,2 cm et BC = 3,6 cm.
A B
5A B
4,2
A B
3.6
A B
C
ou
A B
C