5ème Ch3 : Les triangles Objectifs • Connaître et utiliser, dans une situation donnée, le résultat sur la somme des angles d’un triangle. • Connaître les propriétés relatives aux angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. • Connaître et utiliser l’inégalité triangulaire. • Construire un triangle connaissant : 1 - la longueur d’un côté et les deux angles qui lui sont adjacents, - les longueurs de deux côtés et l’angle compris entre ces deux côtés, - les longueurs des trois côtés. • Sur papier uni, reproduire un angle au compas. Angles dans un triangle Théorème Dans un triangle quelconque, la somme de ses trois angles est égale à 180◦. a. Triangle équilatéral Règle ≀ Dans un triangle équilatéral, chaque angle a pour mesure 180◦ ÷ 3 = 60◦ . ≀ ≀ b. Triangle rectangle B Règle Dans un triangle rectangle, les deux angles autres que l’angle droit, sont compléb + mes(C) b = 90◦ . mentaires : mes(B) A c. Triangle isocèle C A Règle Dans un triangle isocèle, si on connait la mesure de l’un des angles, on peut déduire celle des deux autres. B b = 40◦ , quelle est la mesure des angles B et C ? Exemple : Sachant que mes(A) b + mes(C) b = 180◦ − 40◦ = 140◦ . On a : mes(B) b et C b ont même mesure, mes(B) b = mes(C) b = 140◦ ÷ 2 = 70◦ . Comme les angles B b = 40◦ , quell est la mesure des angles A et C ? Exemple : Sachant que mes(B) b = mes(B) b = 40◦ et que mes(A) b = 180◦ − 2 × 40◦ = 100◦ . On déduit que mes(C) 2 Inégalité triangulaire Théorème (inégalité triangulaire) C ✣ Dans un triangle ABC, on a AB ≤ AC + CB ❘ ✿ B A Remarque : Lorsque AB = AC + CB, cela signifie que le point C appartient au segment [AB]. A ✲ C ✲ B C 5ème Ch3 : Les triangles 3 Construction de triangles a. Avec la longueur d’un segment et deux angles Règle [ et ABC [ : Pour construire un triangle ABC connaissant la longueur d’un côté [AB] et la mesure des angles BAC – on trace le segment [AB] ; [ avec la mesure donnée ; – on trace l’angle BAC [ avec la mesure donnée ; – on trace l’angle ABC – les deux demi-droites qui ont permis de construire les angles doivent se couper en C. [ = 45◦ et ABC [ = 76◦ . Exemple : Construire un triangle ABC tel que AB = 5 cm, BAC C A B 5 b. A 45◦ B 76◦ A B Avec les longueurs de deux côtés et l’angle entre ces côtés Règle [ et les longueurs des côtés [AB] et [AC] : Pour construire un triangle ABC connaissant la mesure de l’angle BAC [ – On construit un angle de la mesure de l’angle BAC. On place son sommet : A ; – sur un des côtés de l’angle, on place B avec la bonne longueur ; – sur l’autre côté de l’angle, on place C avec la bonne longueur. [ = 51◦ . Exemple : Construire un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 3, 6 cm et BAC C 3,6 51◦ A c. A 5 B A B Avec les longueurs des trois côtés Règle Pour construire un triangle ABC dont on connaÃőt les longueurs des trois côtés : – On trace un segment ([AB] par exemple) avec la bonne longueur ; – on trace le cercle de centre A et de rayon AC ; – on trace le cercle de centre B et de rayon BC ; – lorsque les deux cercles se croisent, chaque point d’intersection convient pour C. Exemple : Construire un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 4, 2 cm et BC = 3, 6 cm. C 4,2 A 5 B A 3.6 B A B A B A ou B C