Ch3 : Les triangles 1 Angles dans un triangle 2 Inégalité triangulaire

5ème
Ch3 : Les triangles
Objectifs
• Connaître et utiliser, dans une situation donnée, le résultat sur la
somme des angles d’un triangle.
• Connaître les propriétés relatives aux angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle.
• Connaître et utiliser l’inégalité triangulaire.
• Construire un triangle connaissant :
1
- la longueur d’un côté et les deux angles qui lui sont adjacents,
- les longueurs de deux côtés et l’angle compris entre ces deux
côtés,
- les longueurs des trois côtés.
• Sur papier uni, reproduire un angle au compas.
Angles dans un triangle
Théorème
Dans un triangle quelconque, la somme de ses trois angles est égale à 180◦.
a.
Triangle équilatéral
Règle
≀
Dans un triangle équilatéral, chaque angle a pour mesure 180◦ ÷ 3 = 60◦ .
≀
≀
b.
Triangle rectangle
B
Règle
Dans un triangle rectangle, les deux angles autres que l’angle droit, sont compléb + mes(C)
b = 90◦ .
mentaires : mes(B)
A
c.
Triangle isocèle
C
A
Règle
Dans un triangle isocèle, si on connait la mesure de l’un des angles, on peut
déduire celle des deux autres.
B
b = 40◦ , quelle est la mesure des angles B et C ?
Exemple : Sachant que mes(A)
b + mes(C)
b = 180◦ − 40◦ = 140◦ .
On a : mes(B)
b et C
b ont même mesure, mes(B)
b = mes(C)
b = 140◦ ÷ 2 = 70◦ .
Comme les angles B
b = 40◦ , quell est la mesure des angles A et C ?
Exemple : Sachant que mes(B)
b = mes(B)
b = 40◦ et que mes(A)
b = 180◦ − 2 × 40◦ = 100◦ .
On déduit que mes(C)
2
Inégalité triangulaire
Théorème (inégalité triangulaire)
C
✣
Dans un triangle ABC, on a AB ≤ AC + CB
❘
✿
B
A
Remarque : Lorsque AB = AC + CB, cela signifie que le point C appartient au segment [AB].
A
✲
C
✲
B
C
5ème
Ch3 : Les triangles
3
Construction de triangles
a.
Avec la longueur d’un segment et deux angles
Règle
[ et ABC
[ :
Pour construire un triangle ABC connaissant la longueur d’un côté [AB] et la mesure des angles BAC
– on trace le segment [AB] ;
[ avec la mesure donnée ;
– on trace l’angle BAC
[ avec la mesure donnée ;
– on trace l’angle ABC
– les deux demi-droites qui ont permis de construire les angles doivent se couper en C.
[ = 45◦ et ABC
[ = 76◦ .
Exemple : Construire un triangle ABC tel que AB = 5 cm, BAC
C
A
B
5
b.
A
45◦
B
76◦
A
B
Avec les longueurs de deux côtés et l’angle entre ces côtés
Règle
[ et les longueurs des côtés [AB] et [AC] :
Pour construire un triangle ABC connaissant la mesure de l’angle BAC
[
– On construit un angle de la mesure de l’angle BAC. On place son sommet : A ;
– sur un des côtés de l’angle, on place B avec la bonne longueur ;
– sur l’autre côté de l’angle, on place C avec la bonne longueur.
[ = 51◦ .
Exemple : Construire un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 3, 6 cm et BAC
C
3,6
51◦
A
c.
A
5
B
A
B
Avec les longueurs des trois côtés
Règle
Pour construire un triangle ABC dont on connaÃőt les longueurs des trois côtés :
– On trace un segment ([AB] par exemple) avec la bonne longueur ;
– on trace le cercle de centre A et de rayon AC ;
– on trace le cercle de centre B et de rayon BC ;
– lorsque les deux cercles se croisent, chaque point d’intersection convient pour C.
Exemple : Construire un triangle ABC tel que AB = 5 cm, AC = 4, 2 cm et BC = 3, 6 cm.
C
4,2
A
5
B
A
3.6
B
A
B
A
B
A
ou
B
C