Terminale S spécialité maths Contrôle 3 bis correction 1. Ecrire les congruences suivantes sous la forme : 10 avec entier naturel compris entre 0 et 9 inclus : 22012 10 45787 10 9 10 2 10 3 10 9 1 10, donc 9 1 10 2. Trouver les entiers relatifs tels que : 5 9 et 30 30.< 9 5, avec entier relatif tel que : 30 9 5 30, 35 9 25, 3 2 , c'est-à-dire : 3 0 22 5 2 1 13 14 1 2 4 23 3. Quel est le reste, dans la division par 5, du nombre suivant les valeurs de . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 4 On a : ! 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 et "#$% & , donc " #$% & '" ( et " #$% &, donc '" #$% & ' ( et " #$% &, donc ' #$% & ') ( ) , " #$% & et ) ) #$% &, donc ') ) #$% & Quel est le reste, dans la division par 5, de *"" ? *"" ( &* ), donc *"" ) #$% & : 3 est le reste de *"" dans la division par 5. 4. Il est 14h. Quelle heure sera t’il dans 113h ? 113 4 ( 24 17 113h correspond donc à 4 jours et 17h plus tard Or 14+17=31=24+7 : Il sera alors 7h le matin. 5. Montrer que, pour tout entier naturel + : 48, 1 7 48 1 7 donc 48 1 7 et 48, 1 7) 6. Montrer alors que 2, pour tous entiers et . 2 et 2 0 2, donc 2 Vérifier avec 145 et 7. 145 7 138 et 138 0 2 , donc 0 2 21074 et 21074 0 2 Donc 145 7 145 7 2 7. Quel est le reste, dans la division par 13, du nombre : 2001 2001 1 13 car 2001 13 ( 153 12, et 2001 1 13 Le reste, dans la division par 13, du nombre 2001 est 1. 8. Démontrer que, pour tout entier naturel +, on a : +- 4+ 0 5 +- 4+ ++. 4 pour tout entier +. Exemple : + 2 5 + 1 5 , +. 1 5 et enfin +. 4 0 5 Donc ++. 4 0 5 De la même façon, on obtient le tableau de congruences modulo 5 suivant : 0 1 2 3 4 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Finalement, pour tout entier naturel +, on a : + 4+ 0 5 Exercices : 1. Quel est le reste, dans la division euclidienne par 7, de 23.. 23 2 7, donc 23. 2. 7 Le tableau des congruences de 2, modulo 7 est : 12 13 14 15 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 /0 Ainsi : 2 1 7, donc 2 1 7 2/0' 2/0 ( 2, et 2/0 1 7, donc 2/0' 2 7 2/0' 2/0 ( 4, et 2/0 1 7, donc 2/0' 4 7 Or 41 3 ( 13 2, donc 2. 4 7 et 23. 4 7 Le reste, dans la division euclidienne par 7, de 23. est donc 4. 2 4 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 / 2. Démontrer que 1 2 3 4 est divisible par 5. 1 1 5 2 2 5 3 2 5 3 2 5 c'est-à-dire 3 2 5 4 1 5 4 1 5 c'est-à-dire 4 1 5 Par addition, on obtient : 1 2 3 4 1 2 2 1 5 C'est-à-dire 1 2 3 4 0 5 Le nombre 1 2 3 4 est donc divisible par 5. Démontrer que 20, 21, 22, 23, 24, , avec n impair, est divisible par 5 20 0 5 donc 20, 0 5 21 1 5 donc 21, 1 5 22 2 5 donc 22, 2, 5 23 2 5 et 23, 2, 5, donc 23, 2, 5 car n est impair 24 1 5 et 24, 1, 5, donc 24, 1 5 car n est impair Finalement 20, 21, 22, 23, 24, 0 1 2, 2, 1 5 C’est à dire 20, 21, 22, 23, 24, 0 5 pour n impair 20, 21, 22, 23, 24, , avec n impair, est divisible par 5 3. Démontrer que, pour tout entier naturel +, 16 ( 7, 28 ( 3,'/ est divisible par 5. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 7, -28 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 2 -2 2 3,'/ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 16 ( 7, 28 ( 3,'/ 16 1 5 28 2 5 3/ 2 5 7 1 5 7, 1, 5 16 ( 7, 1, 5 3 1 5 3, 1, 5 3,'/ 1, ( 2 5 28 ( 3,'/ 1, ( 4 5 Pour + 2 : 16 ( 7, 28 ( 3,'/ 1 4 5, donc 16 ( 7, 28 ( 3,'/ 05 Pour + 2+1 : 16 ( 7, 28 ( 3,'/ 1 1 ( 4 5, donc 16 ( 7, 28 ( 3,'/ 05 Finalement : 16 ( 7, 28 ( 3,'/ 0 5 , pour tout n Ou encore : Pour tout entier naturel +, 16 ( 7, 28 ( 3,'/ est divisible par 5. 15 16 1 -1 2 -2 0 1 1 2 2 0 4. Démontrer que : 1000+ + 111, pour tout entier naturel n. 1000 9 ( 111 1 donc 1000 1 111 Comme + + 111, on obtient par produit des congruences : 1000+ +111 (•) En déduire que les nombres suivants sont divisibles par 111 : 111 111 100 010 001 100 010 000 001 111 111 111 ( 1000 111 et 1000 ( 111 111111 en appliquant (•) Donc 1000 ( 111 0111, Comme 111 0111, on obtient 1000 ( 111 111 0111 111 111 est donc divisible par 111 100 010 001 100 000 000 10 000 1 100 000 000 1000 ( 100 000 donc 100 000 000 100 000 111 (•) et 100 000 1000 ( 100 donc 100 000 100 111 (•) Donc 100 000 000 100 111 (1) 10 000 1000 ( 10 donc 10 000 10 111 (•) (2) Et enfin 1 1 111 (3) (1)+ (2) + (3) donnent : 100 000 000 10 000 1 100 10 1 111 Et donc 100 010 001 111 111 100 010 001 0 111 100 010 001 est donc divisible par 111 De la même façon : 100 010 000 001 100 000 000 000 10 000 000 1 En appliquant 3 fois (•), on a : 100 000 000 000 100 111 (1) En appliquant 2 fois (•), on a : 10 000 000 10 111 (2) Et enfin 1 0 111 (3) Finalement (1)+ (2) + (3) donnent : 100 010 000 001 100 10 1 111 100 010 000 001 111 111 100 010 000 001 0 111 100 010 000 001 est donc divisible par 111 1. 2009 11 ( 182 7 : Le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11 est 7 2. "* "* "" ( 2) " : Le reste dans la division euclidienne de "* par 11 est 1 3. ** **2 "*(**'2 "* ! ( 2 ** "* " "", donc "* ! " "" 2 &" "" ( 3 3 , donc 2 3 "" **2 3 "" On a donc : **2 " ( 3 "" Comme **2 4 "", on a **2 **2 3 4 "" et donc **2 **2 "" 4. 5678 : le plus grand diviseur commun % divise 9 et 9'" , donc % divise 9'" 9 :'" ;< = ;> '" Or '" ( " , donc % divise avec ? " 5. Si ; est pair, ; et 9 ( @" !, 9 est pair. Si ; est impair, ; " et 9 " ( @" ! ", 9 est impair. 6. Les diviseurs de sont : ", , , ) , … , (il y en a ") Comme % divise , % " ou % B avec " B . Si ; est pair, 9 est pair pour tout ? ", et donc % B avec " B , % est pair Si ; est impair, 9 est impair pour tout ? ", et donc % ", % est impair. 7. Pour ; **2, 9**2 **2 **2 et 9*"* *"* **2 On cherche le PGCD de 9**2 et 9*"* ; comme ; **2 est impair, %**2 ". Le PGCD de **2 **2 et de *"* **2 est %**2 ". On dit que ces deux nombres sont premiers entre eux.