Terminale S spécialité maths Contrôle 3 bis correction 1. Ecrire les
Terminale S spécialité maths Contrôle 3 bis correction
1. Ecrire les congruences suivantes sous la forme : avec entier naturel
compris entre 0 et 9 inclus :
, donc
2. Trouver les entiers relatifs tels que : et .<
, avec entier relatif tel que :
, , , c'est-à-dire :
3. Quel est le reste, dans la division par 5, du nombre
suivant les valeurs de
.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
9
10
11
12
13
14
15
1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3
On a :
et
, donc
et
, donc
et
, donc
,
et
, donc
Quel est le reste, dans la division par 5, de
?
, donc
: 3 est le reste de
dans
la division par 5.
4. Il est 14h. Quelle heure sera t’il dans 113h ?
113h correspond donc à 4 jours et 17h plus tard
Or 14+17=31=24+7 : Il sera alors 7h le matin.
5. Montrer que, pour tout entier naturel :
donc
et
)
6. Montrer alors que
, pour tous entiers et .
et , donc
Vérifier avec et .
et , donc
et
Donc
7. Quel est le reste, dans la division par 13, du nombre :
car , et
Le reste, dans la division par 13, du nombre
est 1.
8. Démontrer que, pour tout entier naturel, on a :
pour tout entier .
Exemple :
,
et enfin
Donc
De la même façon, on obtient le tableau de congruences modulo 5 suivant :
0 1 2 3 4
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Finalement, pour tout entier naturel, on a :
Exercices :
1. Quel est le reste, dans la division euclidienne par 7, de
.
, donc
Le tableau des congruences de
modulo 7 est :
0 1 2 3 4 5 6 7 8
9
10
11
12
13
14
15
1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1
Ainsi :
, donc
, et
, donc
, et
, donc
Or , donc
et
Le reste, dans la division euclidienne par 7, de
est donc 4.
2. Démontrer que
est divisible par 5.
c'est-à-dire
c'est-à-dire
Par addition, on obtient :
C'est-à-dire
Le nombre
est donc divisible par 5.
Démontrer que
, avec n impair, est divisible par 5
donc
donc
donc
et
, donc
car n est impair
et
, donc
car n est impair
Finalement
C’est à dire
pour n impair
, avec n impair, est divisible par 5
3. Démontrer que, pour tout entier naturel,
est divisible par 5.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
9
10
11
12
13
14
15
16
16
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-
1
1
-
1
1
-
1
1
-
1
1
-
1
1
-
1
1
-
1
1
-
1
1
-
28
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
-
2
2
-
2
2
-
2
2
-
2
2
-
2
2
-
2
2
-
2
2
-
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Pour :
, donc
Pour +1 :
, donc
Finalement :
, pour tout n
Ou encore : Pour tout entier naturel,
est divisible par 5.
4. Démontrer que : , pour tout entier naturel n.
donc
Comme , on obtient par produit des congruences : (•)
En déduire que les nombres suivants sont divisibles par 111 :
111 111 100 010 001 100 010 000 001
et en appliquant (•)
Donc ,
Comme , on obtient
111 111 est donc divisible par 111
donc (•)
et donc (•)
Donc (1)
donc (•) (2)
Et enfin (3)
(1)+ (2) + (3) donnent :
Et donc
est donc divisible par 111
De la même façon :
En appliquant 3 fois (•), on a : (1)
En appliquant 2 fois (•), on a : (2)
Et enfin (3)
Finalement (1)+ (2) + (3) donnent :
est donc divisible par 111
1. : Le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11 est 7
2.
: Le reste dans la division euclidienne de
par 11 est 1
3.
, donc
, donc
On a donc :
Comme , on a
et donc
4. : le plus grand diviseur commun
divise
et
, donc
divise
Or
, donc
divise
avec
5. Si est pair, et
,
est pair.
Si est impair, et
,
est impair.
6. Les diviseurs de
sont :
,
, … ,
(il y en a )
Comme
divise
,
ou
avec .
Si est pair,
est pair pour tout , et donc
avec ,
est pair
Si est impair,
est impair pour tout , et donc
,
est impair.
7. Pour ,
et
On cherche le PGCD de
et
; comme est impair,
.
Le PGCD de
et de
est
.
On dit que ces deux nombres sont premiers entre eux.
1
/
4
100%
