1 Produit scalaire hermitien

Espaces préhilbertiens complexes.
Espaces hermitiens. — PSI — Paul Valéry —
Dans tout ce chapître on travaille avec des espaces vectoriels complexes. |z|représente le module du
complexe zet zson conjugué z.
On va chercher à étendre les propriétés vues dans le chapître des espaces euclidiens.
On reprend exactement le même plan.
1 Produit scalaire hermitien
Soit Eun espace vectoriel complexe.
1.1 Formes sesquilinéaires hermitiennes associées
Définition 1
Soit ϕune application de E×Edans C.
On dit que ϕest une forme sesquilinéaire sur Esi et seulement si
ϕest linéaire par rapport à la deuxième variable et sesquilinéaire par rapport à la première,
cad pour tout (x, y)∈E2:
•y7→ ϕ(x, y)est linéaire
•x7→ ϕ(x, y)vérifie :
∀(λ1, λ2)∈C2∀(x1, x2)∈E2ϕ(λ1x1+λ2x2, y) = λ1ϕ(x1, y) + λ2ϕ(x2, y).
Définition 2
Une forme sesquilinéaire ϕest dite hermitienne ssi ∀(x, y)∈E2ϕ(x, y) = ϕ(y, x).
Remarque pour une forme sesquilinéaire hermitienne ϕsur E,∀x∈E ϕ(x, x)∈R.
Proposition 1
L’ensemble des formes sesquilinéaires hermitiennes sur Eest un espace vectoriel complexe.
Identités de polarisation
Soit ϕune forme sesquilinéaire hermitienne. Soit (x, y)∈E2.
•ϕ(x+y, x +y) = ϕ(x, x) + ϕ(y, y) + 2 Re(ϕ(x, y))
•ϕ(x+iy, x +iy) = ϕ(x, x) + ϕ(y, y)−2 Im(ϕ(x, y))
•ϕ(x, y) = 1
4[ϕ(x+y, x +y)−ϕ(x−y, x −y)] −i 4[ϕ(x+iy, x +iy)−ϕ(x−iy, x −iy)]
•Re(ϕ(x, y)) = 1
4[ϕ(x+y, x +y)−ϕ(x−y, x −y)]
•Im(ϕ(x, y)) = −1
4[ϕ(x+iy, x +iy)−ϕ(x−iy, x −iy)]
1.2 Produit scalaire hermitien
Définition 3
On appelle produit scalaire hermitien sur Etoute forme sesquilinéaire hermitienne définie positive
cad toute application ϕde E2dans Ctelle que :
1. ϕest une forme sesquilinéaire hermitienne
2.∀x∈E ϕ(x, x)>0
3. ∀x∈E ϕ(x, x) = 0 =⇒x= 0
Définition 4
Un C-espace vectoriel muni d’un produit scalaire est appelé espace préhilbertien complexe.
Si, de plus, il est de dimension finie, on dira que c’est un espace hermitien.
Caractérisation d’un produit scalaire hermitien
Pour prouver que ϕ:E2→Cdéfinit un produit scalaire hermitien sur E, il suffit de prouver que :
1. Pour tout vecteur x,y7→ ϕ(x, y)est linéaire
2. ∀(x, y)∈E2ϕ(x, y) = ϕ(y, x)
3. ∀x∈E ϕ(x, x)>0
4. ∀x∈E ϕ(x, x) = 0 =⇒x= 0
Notations usuelles : B(x, y),(x/y),< x, y >,x·y
Remarque importante : si un vecteur xde Evérifie ∀y∈E(x/y) = 0, alors x= 0
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1.3 Exemples et contre-exemples
1. E=Cnx·y=
n
P
i=1
¯xiyi=tXY .
2. E=Cm([a, b],C) (f/g) = Zb
a
f(t)g(t)dt.
3. E=C2π(f/g) = 1
2πZ2π
0
f(t)g(t)dt
4. E={f:I→Ccontinue et de carré intégrable sur I}(f/g) = ZI f(t)g(t)dt.
5. E=Cn[X]
(P/Q) =
n
P
i=0
piqisi P =P
06i6n
piXiet Q =P
06i6n
qiXi
B(P, Q) = Z1
0
P(t)Q(t)dt
6. E=Mn(C) (A/B) = tr(t¯ AB)
1.4 Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski
Proposition 2 Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soit Eun espace préhilbertien complexe muni d’un produit scalaire noté (./.).
∀(x, y)∈E2|(x/y)|6p(x/x) (y/y)
On a égalité si et seulement si xet ysont colinéaires.
Démonstration :
démonstration spécifique au cas complexe. 
Proposition 3 Inégalité de Minkowski
Soit Eun espace préhilbertien complexe muni d’un produit scalaire noté (./.).
∀(x, y)∈E2p(x+y/x +y)6p(x/x) + p(y/y)
On a égalité si et seulement si ∃λ∈R+x=λy ou y=λx.
Démonstration :
démonstration presque semblable au cas réel. 
1.5 Norme hermitienne
Définition 5
Soit Eun espace préhilbertien complexe. On pose kxk=p(x/x).
On définit ainsi une norme sur Edite norme hermitienne.
Relations entre norme et produit scalaire : identités de polarisation.
Soit Eun espace préhilbertien complexe. Soit (x, y)∈E2.
• k x+yk2=kxk2+kyk2+2 Re((x/y))
• k x+iy k2=kxk2+kyk2−2 Im((x/y))
•(x/y) = 1
4[kx+yk2− k x−yk2]−i 4[kx+iy k2− k x−iy k2]
• k x+yk2+kx−yk2= 2(kxk2+kyk2)
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1.6 Orthogonalité
Soit Eun espace préhilbertien complexe muni d’une forme hermitienne notée (./.).
Les définitions et propriétés sont identiques au cas réel ; seules différent les démonstations (en particulier,
celle du théorème de Pythagore qui fait intervenir les parties réelles des produits scalaires hermitiens).
Définitions :
vecteurs orthogonaux
Définition 6
Deux vecteurs xet yde Esont dits orthogonaux si et seulement si (x/y) = 0.
orthogonal d’une partie
Définition 7
Soit Aune partie de E.On appelle orthogonal de Anoté A⊥l’ensemble des vecteurs xde Etels que
∀a∈A(x/a) = 0.
Proposition 4
Pour toutes parties Aet B:A⊂B=⇒B⊥⊂A⊥et A⊥= (V ectA)⊥
Démonstration :
démonstration semblable au cas réel. 
Proposition 5
Pour toute partie Ade E,A⊥est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration :
démonstration semblable au cas réel. 
Proposition 6
Pour tout sous-espace vectoriel F,F⊂(F⊥)⊥,F∩F⊥={ 0}et E⊥={ 0}.
Démonstration :
démonstration semblable au cas réel. 
Famille orthogonale, famille orthonormale, vecteurs unitaires
Définition 8
Une famille de vecteurs de E(ei)i∈Iest dite orthogonale si et seulement
les vecteurs de cette famille sont 2 à 2 orthogonaux.
De plus, si les vecteurs sont unitaires, on dira que la famille est orthonormale,
cad ∀(i, , j)∈I2(ei/ej) = δj
i.
Proposition 7
Toute famille orthogonale finie de vecteurs non nuls est libre.
Démonstration :
démonstration semblable au cas réel. 
Proposition 8
Pour toute famille (xi)16i6porthogonale finie de vecteurs de Ek
p
P
i=1
xik2=
p
P
i=1
kxik2.
Démonstration :
Pour n= 2, soient x1et x2deux vecteurs orthogonaux ; kx1+x2k2=kx1k2+kx2k2+2 Re(x1/x2) =kx1k2+kx2k2.
Supposons la relation vraie au rang net montrons qu’elle reste vraie au rang n+ 1. Soient (xi)16i6n+1 une famille orthogonale
finie de vecteurs de E.
On a alors k
n+1
P
i=1
xik2=k
n
P
i=1
xi+xn+1 k2=k
n
P
i=1
xik2+kxn+1 k2+2
n
P
i=1
Re(xi/xn+1) =
n
P
i=1
kxik2+kxn+1 k2=
n+1
P
i=1
kxik2.
On conclut grâce au principe de récurrence. 
La réciproque est fausse y compris pour n= 2.
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Sous-espaces vectoriels orthogonaux, sous-espaces vectoriels supplémentaires orthogonaux.
Définition 9
Deux sous-espaces vectoriels de Esont dits orthogonaux lorsque tout vecteur de l’un
est orthogonal à tout vecteur de l’autre.
Proposition 9
Des sous-espaces vectoriels 2 à 2 orthogonaux sont en somme directe.
Démonstration :
démonstration semblable au cas réel. 
En dimension finie caractérisation de F⊥à l’aide d’une base (ei)16i6qde F:
x∈F⊥⇐⇒ ∀i∈[[1, q]](ei/x) = 0.
1.7 Projections et symétries orthogonales
Définition 10
Soit Fun sous-espace vectoriel de Equi admette un sous-espace vectoriel Hsupplémentaire et orthogonal
(F⊥ ⊕H=E).
La projection sur Fparallèlement à Hest appellée projection orthogonale sur F.
Proposition 10
Soit p∈L(E).pest un projecteur orthogonal ⇐⇒ p◦p=pet Ker p⊥Im p.
Démonstration :
démonstration semblable au cas réel. 
2 Espace hermitien
Sauf mention explicite du contraire, dans ce paragraphe Eest un espace hermitien. On notera n= dim E.
Remarquons que tout sous-espace vectoriel de Ereste un espace vectoriel hermitien.
2.1 Bases orthonormales
Définition d’une base orthogonale, orthonormale.
Définition 11
On appelle base orthogonale de Etoute base de Eformée d’une famille de vecteurs 2 à 2 orthogonaux.
On appelle base orthonormale de Etoute base de Eformée de vecteurs unitaires 2 à 2 orthogonaux.
Existence de bon
Proposition 11
Tout espace hermitien non réduit à { 0}admet au moins une base orthonormale
Démonstration :
La démonstration est semblable au cas réel en considérant la forme linéaire ϕ:u7→ (e1/u).
Ecriture dans une bon.
Soit (e1, . . . , en)une base orthonormée de E. Soient xet ydes vecteurs de E.
x=
n
P
i=1
(ei/x)ei,(x/y) =
n
P
i=1
(ei/x)(ei/y) = tXY et kxk2=
n
P
i=1
|(ei/x)|2=tXX .
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Proposition 12
∀f∈E∗∃!a∈E / ∀x∈E f(x) = (a/x)
Démonstration :
Soit f∈E∗. Choisissons une base orthonormale de E(ei)16i6n. Pour tout vecteur x=
n
P
i=1
xieide E, on a f(x) =
n
P
i=1
xif(ei), ce
qui s’écrit de manière unique sous la forme f(x) = (a/x)où aest un vecteur de Edéfini par a=
n
P
i=1
f(ei)ei.
Remarquons que cette démonstration s’adapte très bien au cas réel aussi.
Proposition 13
Soit Eun espace préhilbertien complexe de dimension quelconque.
Soit Fun sous-espace vectoriel de Ede dimension finie.
Alors Fet F⊥sont supplémentaires orthogonaux dans E
Démonstration : démonstration similaire en prenant garde à l’ordre des composantes des produits scalaires.
Si F={ 0},F⊥=Eet la propriété est vérifée.
Sinon, choisissons (e1,· · · , ep)une base orthonormale de F. Soit x∈E.Posons y=
p
P
i=1
(ei/x)eiet z=x−y.
y∈Fet ∀i0∈[[1, p]] (z/ei0) = (x/ei0)−(y/ei0) = (x/ei0)−(ei0/x) = 0, donc z∈F⊥.
On vient de prouver que tout vecteur de Es’écrit sous la forme de la somme d’un vecteur de Fet d’un vecteur de F⊥.
Comme F∩F⊥={ 0}, ces deux espaces sont donc supplémentaires. 
Conséquences :
1. Dans un espace hermitien, on a E=F⊥ ⊕F⊥pour tout sous-espace vectoriel F.
En particulier, dim E= dim F+ dim F⊥.
2. Toute famille orthonormale d’un espace hermitien se complète en une base orthonormale.
3. Dans un espace hermitien, pour tout sous-espace vectoriel F,F= (F⊥)⊥.
Proposition 14
Si Hest un hyperplan d’équation
n
P
i=1
aixi= 0,a=
n
P
i=1
aieiest un vecteur normal à H
2.2 Projections orthogonales sur un sous-espace vectoriel de dimension finie
Soit Eun espace préhilbertien complexe de dimension quelconque.
Soit Fun sous-espace vectoriel de dimension finie.
On note pFla projection orthogonale sur F.
Proposition 15
Soit (e1, . . . , ep)une bon de F.∀x∈E pF(x) =
p
P
i=1
(ej/x)ej.
Proposition 16
kx−pF(x)kreprésente la distance de xàF, cad kx−pF(x)k= inf
y∈Fkx−yk.
pF(x)est l’unique vecteur de Fréalisant ce minimum.
∀x∈Ekxk2=kx−pF(x)k2+kpF(x)k2
Proposition 17 Inégalité de Bessel
Soit (e1, . . . , ep)une famille orthonormale de E.∀x∈E
p
P
i=1
|(ei/x)|26kxk2
Expressions de pF(x)lorsque Fest une droite, un hyperplan.
◦Si Dest une droite de Edirigée par le vecteur u, alors ∀x∈E pD(x) = (u/x)u
ku k2
◦Si Hest un hyperplan de Ede vecteur normal n, alors ∀x∈E pH(x) = x−(n/x)n
kn k2
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