CCP 2010

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CCP 2010
Exercice 1 CCP MP [ 03160 ] [correction]
I) Résolvez sur ]1,+∞[l’équation différentielle
y0+x
1−x2y= 2x
II) Soit Eun espace vectoriel réel de dimension finie n>2.
a) Indiquer des endomorphismes de Edont la représentation matricielle est la
même dans toutes les bases de E.
b) Soit (e1, . . . , en)une base de E. Montrer que pour tout i∈ {2, . . . , n}, la
famille (e1+ei, e2, . . . , en)est une base de E.
c) Déterminer tous les endomorphismes de Edont la représentation matricielle est
diagonale dans toutes les bases de E.
d) Quels sont les endomorphismes de Edont la représentation matricielle est la
même dans toutes les bases de E?
Exercice 2 CCP MP [ 03187 ] [correction]
I) Soit Eun espace euclidien et Aun sous-espace vectoriel de E.
a) Démontrez que
E=A⊕A⊥
(indice : on admettra que toute famille orthonormale de Epeut être complétée en
une base orthonormale de E.)
b) Démontrez que
A⊥⊥=A
II) Soit fune fonction réelle de classe C1positive et décroissante sur I= [a, b].
Soit gune fonction continue sur I. On définit G:I→Rpar la relation
G(x) = Zx
a
g(t) dt
a) Montrer qu’il existe m, M ∈Rtels que
G([a, b]) = [m, M]
b) Montrer que
Zb
a
f(t)g(t) dt=f(b)G(b)−Zb
a
f0(t)G(t) dt
c) En déduire qu’il existe c∈[a, b]tel que
Zb
a
f(t)g(t) dt=f(a)Zc
a
g(t) dt
d) Application : déterminer
lim
x→+∞
1
x2Z1
1/x
sin t
t2dt
Exercice 3 CCP MP [ 03191 ] [correction]
I) Soit hune fonction continue et positive de [a, b]dans R.
a) Démontrez que :
Zb
a
h(x) dx= 0 ⇒h= 0
b) Soit Ele R-espace vectoriel des fonctions continue de [a, b]dans R. On pose
pour tout fet tout gde E
(f|g) = Zb
a
f(x)g(x) dx
Démontrez que l’on définit ainsi un produit scalaire sur E.
c) Majorez
Z1
0
√xe−xdx
en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz.
II) Soient α∈R\Zet f:R→Rla fonction 2πpériodique définie par
f(t) = cos(αt)sur ]−π, π]
a) Montrer que fadmet une série de Fourier convergente sur R.
Quel type de convergence est-ce ?
b) Expliciter les coefficients de Fourier de f.
c) Pour tout x /∈πZ, montrer l’égalité
cotanx=1
x+∞
X
n=1
2x
x2−(nπ)2
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Exercice 4 CCP MP [ 03192 ] [correction]
I) Ces fonctions sont-elles intégrables ?
a) x7→ ln xsin x2
x2sur ]0,+∞[
b) x7→ x
x−2e−xsur ]2,+∞[
II) On considère l’espace vectoriel Rnmuni de son produit scalaire usuel noté
h.|.i. Soit fun endomorphisme symétrique de Rndont toutes les valeurs propres
sont strictement positives.
a) Montrer que
∀x∈Rn\{0},hf(x)|xi>0
b) Soit uun vecteur de Rnet g:Rn→Rl’application définie par
g(x) = 1
2hf(x)|xi−hu|xi
Montrer que gadmet des dérivées partielles selon tout vecteur de Rnet les
expliciter.
c) Montrer que gadmet un unique point critique noté z.
d) Montrer que gadmet un minimum global en z.
Exercice 5 CCP MP [ 03193 ] [correction]
I) Soient F(R,R)l’espace vectoriel des applications de Rdans R,Ele sous-espace
vectoriel engendré par les cinq applications :
f1:x7→ 1/√2,f2:x7→ cos x,f3:x7→ sin x,f4:x7→ cos(2x)et f5:x7→ sin(2x)
et Fle sous-espace vectoriel par f1, f2et f3:
F=Vect(f1, f2, f3)
a) Démontrez que
(f, g)7→ hf|gi=1
πZπ
−π
f(x)g(x) dx
est un produit scalaire sur E.
b) Montrer que f4et f5sont unitaires et orthogonaux.
On admettra dans la suite que B= (fi)i=1,...,5est une base orthonormée de E.
c) Déterminez le sous-espace vectoriel F⊥, orthogonal de Fpour ce produit
scalaire.
II) Pour aet bdes réels tels que ab > 0, on considère
I(a, b) = Zb
a
1−x2
(1 + x2)√1 + x4dx
a) Calculer I(−b, −a),I(1/a, 1/b)et I(1/a, a)en fonction I(a, b).
b) Pour a, b > 1, calculer I(a, b)via changement de variables v=x+ 1/x puis
v= 1/t.
c) Montrer que la relation ainsi obtenue est valable pour tout a, b tels que ab > 0.
Exercice 6 CCP MP [ 03194 ] [correction]
I) N.B. : les deux questions sont indépendantes
a) Soit Eun K-espace vectoriel de dimension net soit fun endomorphisme de E.
On note L(E)l’espace des endomorphismes de E. Démontrez que, dans L(E), la
famille nIdE, f, . . . , f n2oest liée et déduisez-en que fadmet un polynôme
annulateur non identiquement nul.
b) Soit fun endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie et λune
valeur propre de f.
Démontrez que si Pest un polynôme annulateur de falors P(λ)=0.
II) Définition, continuité et classe C1de
x7→ ∞
X
n=1
(−1)n
nsin x n
Exercice 7 CCP MP [ 03212 ] [correction]
I) On considère
f:t7→ ln t
(1 + t)2
a) Etudier l’intégrabilité de fsur ]0,1] et [1,+∞[.
b) Calculer
Z1
0
ln t
(1 + t)2dtet Z+∞
1
ln t
(1 + t)2dt
II) Soient b= (i, j)et B= (I, J)deux bases d’un R-espace vectoriel de dimension
2 et Pla matrice de passage de bàB.
Pour x∈E, notons
v=Matbxet V=MatBx
a) Retrouver la relation entre vet V.
b) Soient f∈ L(E)et
m=Matbfet M=MatBf
Retrouver la relation entre met M.
c) Par quelle méthode peut-on calculer mnlorsqu’on connaît deux vecteurs
propres non colinéaires de f.
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Exercice 8 CCP MP [ 03293 ] [correction]
I) a) Démontrez que si Aet Bsont deux matrices carrées d’ordre alors AB et BA
ont même trace.
b) Déduisez-en qu’en dimension finie toutes les matrices d’un même
endomorphisme ont même trace.
c) Démontrez que si Aet Bsont semblables alors, pour tout k∈N,Aket Bkont
même trace.
II) Résoudre l’équation différentielle
(1 −x2)y00 −3xy0−y=x
√1−x2
(on pourra vérifier que l’application x7→ 1
√1−x2est solution de l’équation
homogène associée)
Exercice 9 CCP MP [ 03295 ] [correction]
I) On définit dans M2(R)× M2(R)l’application ϕ(A, A0) = tr(tAA0)
On note
F= a b
−b a /(a, b)∈R2
On admet que ϕest un produit scalaire sur M2(R)..
a) Démontrez que Fest un sous-espace vectoriel de M2(R).
b) Déterminez une base orthonormée de F⊥.
d) Déterminez le projeté orthogonal de
J=1 1
1 1 
sur F⊥.
II) Montrer
lim
n→+∞nZ+∞
1
e−xndx=Z+∞
1
e−x
xdx
Exercice 10 [ 03298 ] [correction]
I) Soient θ∈Ret n∈N?. Décomposez en produit de polynômes irréductibles
dans C[X], puis dans R[X]le polynôme
P(X) = X2n−2Xncos(nθ)+1
II) a) Déterminer les rayons de convergence des séries entières
Xln n+ 1
nxnet Xsin(e−n)xn
b) Une série entière converge-t-elle normalement sur son disque ouvert de
convergence ?
Exercice 11 [ 03299 ] [correction]
I) Soit Panznune série entière de rayon de convergence R > 0.
a) Démontrez que cette série converge uniformément sur tout disque fermée de
centre 0 et de rayon rtel que 06r < R.
b) Démontrer que la fonction z7→
+∞
P
n=0
anznest continue en tout point du disque
ouvert de convergence.
II) Soient n>2,Aet Bdes matrices de Mn(Z)de déterminants non nuls et
premiers entre eux.
Montrer qu’il existe Uet Vdans Mn(Z)telles que
UA +V B =In
(on pourra écrire χA(X) = XQA(X) + det A)
On donnera un exemple pour n= 2.
Exercice 12 CCP MP [ 03301 ] [correction]
I) a) Montrer que si Pest un polynôme annulateur d’un endomorphisme falors
P(λ)=0pour toute valeur propre λde f.
b) Montrer que si fvérifie
f3+ 2f2−f−2Id = 0
alors fest bijectif.
II) On note El’espace des fonctions réelles définies et continues sur [0,1].
On note E∞cet espace muni de la norme
k.k∞:f7→ sup
t∈[0,1] |f(t)|
et E1cet espace muni de la norme
k.k1:f7→ Z1
0|f(t)|dt
Soit ul’endomorphisme de Edéfini par
u(f)(x) = Zx
0
tf(t) dt
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a) Montrer que l’application vde E∞vers E1qui à fassocie u(f)est continue et
déterminer sa norme.
b) Montrer que l’application wde E1vers E∞qui à fassocie u(f)est continue et
déterminer sa norme.
Exercice 13 CCP MP [ 03307 ] [correction]
I) Soient Eun espace euclidien et uun endomorphisme de E. On note (x|y)le
produit scalaire de deux vecteurs xet yde E.
a) Soit uun endomorphisme tel que
∀x∈E, ku(x)k=kxk
Démontrez que
∀(x, y)∈E2,(u(x)|u(y)) = (x|y)
Démontrez que uest bijectif
b) Démontrer que l’ensemble des endomorphismes orthogonaux de E, muni la loi
◦, est un groupe.
II) Soit (fn)la suite des fonctions donnée par
∀n>2,∀x∈R, fn(x)=(−1)nln(n)xn
a) Déterminer le rayon de convergence de la série entière Pfn.
On note Ssa somme.
b) Montrer que
∀x∈]−1,1[ , S(x) = 1
1 + x +∞
X
n=1
(−1)n+1 ln 1 + 1
nxn+1!
c) En déduire que Sadmet une limite en 1−et que
lim
x→1−
S(x) = 1
2 +∞
X
n=1
(−1)n+1 ln 1 + 1
n!
d) Calculer la limite ci-dessus en utilisant la formule de Wallis
lim
n→+∞
1×3× ··· × (2n−1)
2×4× ··· × (2n)√n=1
√π
Exercice 14 CCP MP [ 03359 ] [correction]
I) Pour tout n>1, on pose
In=Z+∞
0−1
1 + t2n
dt
a) Justifiez que Inest bien définie.
b) Démontrez que la suite ((−1)nIn)décroît et déterminer sa limite.
c) La série PInest-elle convergente ?
II) Soient fet gdeux endomorphismes d’un espace vectoriel Esur Rou C
vérifiant f◦g=Id.
a) Montrer que ker(g◦f) = ker fet Im(g◦f) = Img.
b) Montrer
E= ker f⊕Img
c) Dans quel cas peut-on conclure g=f−1?
d) Calculer (g◦f)◦(g◦f)et caractériser g◦f
Exercice 15 CCP MP [ 03361 ] [correction]
I) On munit E=Mp(C)de la norme
kMk= max
16i,j6p|mi,j |
a) Soient Xfixé dans Cpet Pfixé dans GLp(C); montrer que
φ(M) = MX et ψ(M) = P−1MP
définissent des applications continues.
b) Montrer que
f(M, N ) = M N
définit une application continue.
c) Soit A∈ Mp(C)telle que la suite (kAnk)soit bornée ; montrer que les valeurs
propres de Asont de module inférieur à 1.
d) Soit B∈ Mp(C)telle que la suite (Bn)tende vers une matrice C. Montrer que
C2=C; que conclure à propos du spectre de C?
Montrer que les valeurs propres de Bsont de module au plus égal à 1
II) Soit Cun cercle de centre Fet de rayon r.
a) F0étant un point intérieur à C; trouver le lieu des centres des cercles passant
par F0et tangents à C.
b) Même question pour F0extérieur à C.
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Exercice 16 CCP MP [ 03362 ] [correction]
I) Tracer la courbe paramétrée
x(u) = u−1
uet y(u) = u2 u−1
II) Pour n∈Net x∈]0,1[, on pose
fn(x) = x2n+1 ln x
x2−1
a) Montrer que fnest intégrable sur ]0,1[. On pose
Jn=Z1
0
fn(x)dx
b) Montrer que la suite (Jn)n∈Nest convergente et déterminer sa limite.
c) Montrer que
Jn=1
4
+∞
X
k=n+1
1
k2
Exercice 17 CCP MP [ 03363 ] [correction]
I) Soit A∈ M2(Z)telle que det A= 1 et qu’il existe p∈N?pour lequel
Ap=In
a) Montrer que Aest diagonalisable dans C.
On note αet βles deux valeurs propres de A.
b) Montrer que |α|=|β|= 1, que α=¯ βet
|Re(α)|∈{0,1/2,1}
c) Montrer que A12 =I2
d) Montrer que l’ensemble G={An/n ∈N}est un groupe monogène fini pour le
produit matriciel.
II) Soit (a, b)∈R2,a > 0,b > 0. On note Γl’ellipse d’équation
x2
a2+y2 b2−1=0
et Dla partie de R2définie par
x2
a2+y2 b2−160
a) Calculer l’intégrale double
I=ZZD (x2+y2)dxdy
(on posera x=ar cos θet y=br sin θ)
b) Calculer l’intégrale curviligne
J=ZΓ (y3dx−x3dy)
c) Quelle relation existe-t-il entre IetJ?
Exercice 18 CCP MP [ 03365 ] [correction]
I) a) Décomposer en éléments simples
f(x) = 1
(1 + x)(2 −x)
b) Montrer que fest développable en série entière puis donner son développement
et son rayon de convergence.
c) Donner un développement limité à l’ordre 3 de f.
II) Montrer
Dn=
1n n −1. . . 2
2 1 ...3
.
.
...........
.
.
n−1...1n
n n −1. . . 2 1
= (−1)n+1 (n+ 1)nn−1
2
Exercice 19 CCP MP [ 03367 ] [correction]
I) Soient Eun espace euclidien et Aun sous-espace vectoriel de E.
a) Démontrez que
E=A⊕A⊥
(indice : on admettra que toute famille orthonormale de Epeut être complétée en
une base orthonormale de E.)
b) Démontrez que
A⊥⊥=A
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