Cours MF101 Contrôle de connaissances

Cours MF101
Contrˆole de connaissances: Corrig´e
Exercice I
Nous allons d´eterminer par analyse dimensionnelle la relation entre la Train´ee Det les
autres param`etres.
F(D, g, L, V, ρ, ν) = 0 (1)
o`u Drepr´esente la train´ee, gla gravit´e, Lla longueur caract´eristique du bateau, Vsa vitesse,
ρla masse volumique de l’eau et νsa viscosit´e. La relation (1) est dimensionnellement
homog`ene, c’est `a dire qu’elle est invariante quelque soit le syst`eme d’unit´es fondamentales
choisies. Soient donc T,let Mles unit´es fondamentales de temps de longueur et de masse.
On les choisit comme indiqu´e ci-dessous:
T=L
V
l=L
M=ρL3
(2)
Dans ce nouveau syst`eme on a :
[D] = ρL2V2
[ν] = V L
[g] = V2
L
(3)
o`u la notation [A] d´esigne la dimension de la quantit´e Adans le syst`eme d’unit´es (2).La
relation (1) ´etant invariante dans le nouveau syst`eme choisi (2), on peut ´ecrire:
F D
ρL2V2,g
V2
L
,L
L,ρ ρ,ν V L!= 0 (4)
On en d´eduit donc que
D=ρL2V2fgL
V2,ν V L(5)
Il y a similitude exp´erimentale entre la maquette et le bateau si tous les param`etres sans
dimension sont identiques. On a donc en indi¸cant par mla maquette et en se rappelant que
la maquette est test´ee dans le mˆeme fluide que le bateau, les relations suivantes:
D
ρL2V2=Dm ρL2
mV2 m
(6)
gL
V2=gLm V2
m
(7)
1

les deux exp´eriences ayant lieu sur terre, la gravit´e est la mˆeme et:
ν
V L =ν VmLm
(8)
Il n’est pas possible de r´ealiser une similitude totale avec le mˆeme fluide, on n´eglige alors la
viscosit´e; la train´ee dans le cas du bateau ´etant essentiellement du `a la train´ee d’onde, c’est
`a dire due `a la gravit´e. On choisit donc d’´egaler les relations (6) et (7). Or la maquette
´etant au 1/25 `eme, on peut ´ecrire:
L
Lm
= 25 (9)
Par cons´equent:
V2
m=V2Lm
L=V2 25 (10)
On a donc:
Vm= 2ms−1(11)
On en d´eduit la train´ee:
D=Dm
L2
L2
m
V2
V2
m
(12)
D= 9,375.105N (13)
Exercice II
1. On explicite le potentiel complexe engendr´e par la superposition des deux tourbillons:
f(z) = −iΓ
2π{log(z−ia)−log(z+ia)}(14)
Le cercle de centre I(0,2a
√3) et de rayon a √3est caract´eris´e par l’affixe zccomplexe:
zc=i2a
√3+a √3eiθ avec θ∈[0,2π[ (15)
On explicite le potentiel complexe ci-dessous pour l’affixe zc
f(zc) = −iΓ
2πlog zc−ia zc+ia(16)
La partie imaginaire, ψc, de f(zc) doit donc ˆetre constante sur le cercle si celui-ci est
une ligne de courant:
ψc=−Γ
2πlog 
zc−ia
zc+ia(17)
avec |.|d´esignant le module du nombre complexe. Compte tenu de (15), on a :
ψc=−Γ
2πlog s(4a−2a√3)(2a+asinθ)
(4a+ 2a√3)(2a+asinθ)!(18)
2

Ainsi sur le cercle on a :
ψc=−Γ
2πlog 
s4a−2a√3
4a+ 2a√3
=Cte (19)
La fonction de courant est donc constante sur le cercle qui est donc une ligne de courant.
On proc`ede de mˆeme pour l’axe Ox en calculant le potentiel complexe (14) pour z=x:
f(x) = −iΓ
2πlog x−ia x+ia(20)
Or x−ia et x+ia sont complexes conjugu´es. On a donc pour ψx, partie imaginaire
de (20):
ψx=−Γ
2πlog(
x−ia
x+ia
) = 0 (21)
La fonction de courant est donc constante sur l’axe Ox qui est donc une ligne de
courant
2. Le potentiel complexe (14) correspond `a l’´ecoulement autour d’un disque de centre I
(0,2a
√3) et de rayon a √3en pr´esence d’un sol plac´e en Ox.
3. L’´ecoulement est un ´ecoulement de fluide parfait plan, irrotationnel les forces ext´erieures
sont suppos´ees nulles et la masse volumique est constante, on peut donc appliquer le
deuxi`eme th´eor`eme de Bernoulli entre un point `a l’infini amont et un point Msur l’axe.
De plus l’´ecoulement ´etant stationnaire, la conservation de la charge hydraulique s’´ecrit:
p∞
ρ+V2
∞
2=pM ρ+V2
M
2(22)
Pour calculer la vitesse de l’´ecoulement on calcule la vitesse complexe en d´erivant (14)
par rapport `a z:
df
dz =−iΓ 2π(z−ia)+iΓ 2π(z+ia)=u−iv (23)
soit sur l’axe Ox en z=x:
df
dz =Γa π(x2+a2)=u−iv (24)
La vitesse est uniquement selon uet tend vers 0 `a l’infini amont, on a donc en injectant
l’expression de la vitesse dans (22):
p=p∞−ρΓ2a2
2π2(x2+a2)2(25)
4. La force s’exer¸cant sur le cercle de centre I(0,2a
√3) et de rayon a √3est due aux forces
de pression. On peut la repr´esenter par la formule de Blasius. Le cercle ´etant ligne de
courant celle-ci s’exprime sous la forme:
F=Fx−iFy=iρ
2ZCdf dz 2
dz (26)
3

avec df
dz donn´e en (23). La seule singularit´e de df dz `a l’int´erieur du cercle de centre I
(0,2a
√3) et de rayon a √3´etant z=ia, on a en utilisant le th´eor`eme des r´esidus:
F=iρ
2ZCdf dz 2
dz =iρ
22iπ Res(z=ia) (27)
Or:
Res(z=ia) = Γ2
4iπ2a(28)
Ainsi:
F=Fx−iFy=iρΓ2
4πa (29)
ainsi la train´ee Fxest nulle et la portance vaut:
Fy=−ρΓ2
4πa (30)
le cercle est attir´e vers l’axe Ox.
5. Les efforts que le fluide exerce sur l’axe r´eel peuvent s’exprimer compte tenu de (25):
Z∞
−∞ p∞−ρΓ2a2
2π2(x2+a2)2~
jdx
En appelant ~ jle vecteur unitaire port´e par la verticale et dirig´e vers le haut. En
n´egligeant les termes d´ependant de p∞, on obtient:
Z∞
−∞ −ρΓ2a2
2π2(x2+a2)2dx =ρΓ2a2 2π2x 2a2(a2+x2)2+1 2a3Arctgx a∞
−∞
Soit apr`es calcul:
Z∞
−∞ −ρΓ2a2
2π2(x2+a2)2dx =ρΓ2 4πa
6. La force est donc directement oppos´ee `a la force s’exer¸cant sur le cercle r´eel
Exercice III
1. l’eau est consid´er´ee comme un fluide parfait, incompressible homog`ene de masse vo-
lumique ρeau, donc barotrope , les forces ext´erieures ´etant les forces de gravit´e elles
d´erivent d’un potentiel ~g, on peut appliquer le th´eor`eme de Lagrange. La vitesse ´etant
nulle `a l’instant initial, son rotationnel y est nul donc il le reste dans tout l’´ecoulement.
On peut donc appliquer le deuxi`eme th´eor`eme de Bernoulli entre deux points quel-
conques: Mappartenant `a la surface de s´eparation et Ele point d’´ejection situ´e en
(o, d) . La charge hydraulique se conserve et l’´ecoulement est quasi stationnaire donc
ne d´epend pas du temps:
pM+ρeauU2
M/2 + ρeaugh0=pE+ρeauv2 0/2 + ρeaugd (31)
4

air
eau
H
h0
Σ
O
d
Y
X
jet d’eau
~g
M
E
Le point Ma une vitesse nulle, la vitesse de descente de la surface Σ est suppos´ee tr`es
lente. Le point Ese trouvant `a la sortie sa pression est p0, le point Mest sur la surface
de s´eparation qui est quasi `a l’´equilibre, par cons´equent la pression de part et d’autre
de la surface est la mˆeme et la pression de mest la pression de l’air au dessus de l’eau
soit p1. On a donc:
v0=s2(p1−p0)
ρeau
+ 2g(h0−d) (32)
Compte tenu des valeurs num´eriques, on obtient:
v0= 6,93m.s−1(33)
2. Lorsque la surface Σ se trouve en h, la masse de l’air au dessus de l’eau n’est pas
modifi´ee. On peut ´ecrire que la masse est d´efinie par ρV, avec Vle volume et ρla
masse volumique de l’air, qui d´epend de la pression d’apr`es la loi donn´ee dans l’´enonc´e.
Entre l’instant initial et l’instant o`u la hauteur est hle volume passe de’ V0`a V, on a
donc:
ρ(p=p1)V0=ρ(p=p2)V(34)
avec p2la pression `a la surface Σ quand l’eau ne s’´ecoule plus. On a donc, avec la loi
pour l’air p=kρ:
kp1Σ(H−h0) = kp2Σ(H−h) (35)
Dans l’eau, on peu ´ecrire comme `a la question pr‘’ec´edente, Bernoulli, entre un point
Mde Σ la pression p2inconnue et le point Ede pression p0par lequel l’eau ne s’´ecoule
plus : :
p2+ρeaugh =p0+ρeaugd (36)
On en d´eduit:
p1
Σ(H−h0)
Σ(H−h)+ρeaugh =p0+ρeaugd (37)
hest donc solution de l’´equation du second degr´e:
h2−hH+p0
ρeaug+d+−p1
(H−h0)
ρeaug+dH +p0H ρeaug(38)
5