Mécanique des Fluides

Universit´e se Caen-Basse Normandie
UFR des Sciences
Master 1
2011 - 2012
M´ecanique des Fluides
TD3 – Analyse dimensionnelle et Similitude
Analyse dimensionnelle
Exercice-III.1 Solution : On cherche une relation de la forme
△p=F(U, D, ρ, µ, L, ε)
On a donc N= 6 grandeurs dont 3 peuvent servir comme grandeurs fondamentales : U, D
et ρ, d’o`u r= 3 et N−r= 3 ce qui implique qu’on doit avoir 3 ( + 1) param`etres sans
dimensions. On a donc
π=△p
ραUβDγ,=⇒π=△p ρU2
π1=µ
ρα1Uβ1Dγ1,=⇒π1=µ ρUD
π2=ε
D,
π3=L
D
La relation est donc de la forme
△p=ρU2F(ρUD/µ, ε/D, L/D) = F(Re, ε/D, L/D).
Exercice III.1 : Quels sont les param`etres desquels d´epend la force de frottement F
exerc´ee par un fluide en mouvement `a la vitesse Usur une plaque plane, de longueur Let
de largeur H? L’´ecoulement est suppos´e parall`ele `a L.´ Etablir une relation donnant Fen
fonction de ces param`etres.
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Exercice-III.2 Solution : La force de frottement d´epend de la viscosit´e, µ, et la masse
volumique de fluide, ρ, ainsi que de U,Let H. On cherche donc une relation de la forme
F=F(U, L, H, µ, ρ)
d’o`u N= 5. On peut choisir ρ,Uet Lcomme grandeurs fondamentales et par cons´equent
r= 3.
Il vient alors qu’il y a N−r= 2 (+1) param`etres adimensionnels dont un est form´e
par H/L car Het Lsont tous les deux des longueurs. On a donc
π=F
ραUβLγ,=⇒π=F ρU2L2,
π1=µ
ρα1Uβ1Lγ1,=⇒π1=µ ρUL,
π2=H
L.
La relation recherch´ee est donc
π=F(π1, π2),d’o`u F=ρU2L2F(Re, H/L).
Exercice-III.3 Solution : La force de pouss´e, F, engendr´ee par l’h´elice d´epend de
D,ω,Uet les propri´et´es des fluides µet ρ. Ainsi on peut chercher une relation de la
forme F=F(D, ω, U, µ, ρ) ce qui implique que N= 5. On peut choisir comme grandeurs
fondamentales D,ρavec soit Uou soi ω. Ainsi, r= 3 et il y a N−r= 2 (+1) param`etres
adimensionnels :
π=F
ραUβDγ,=⇒π=F ρU2D2,
π1=µ
ρα1Uβ1Dγ1,=⇒π1=µ ρUD ,
π2=ω
ρα2Uβ2Dγ2,=⇒π2=ω U/D .
La relation recherch´ee est donc donn´ee par
π=F(π1, π2),d’o`u F=ρU2D2F(ReD, ωD/U).
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Exercice-III.4 Solution : L’´ecoulement ´etant `a surface libre o`u les effets de la viscosit´e
est n´egligeable. De plus, le rˆole des effets de la tensions superficielle est trop petits devant
les effets de la pesanteur. Ainsi les facteurs restant qui intervient sont : l’acc´el´eration g
due `a la pesanteur, la masse volumique ρ, la charge H, la lev´ee ade la vanne et le tirant
d’eau yen aval. Le probl`eme est alors
Trouver X=F(H, a, y, g, ρ)
On a donc N= 5.
Commen¸cons par le tableau des exposants :
[Grandeur] L M T
[X] 1 0 0
[H] 1 0 0
[a] 1 0 0
[y] 1 0 0
[g] 1 0 −2
[ρ]−3 1 0
Selon le tableau des exposants r= 3 et par cons´equent N−r= 2. D’o`u la relation
recherch´ee prend la forme
π=F(π1, π2)
En examinant la tableau des exposants on se rend compte assez vite que la grandeur masse
n’intervient que dans ρ, et la grandeur temps n’intervient que dans g. Il est donc imm´ediat
qu’un produit sans dimensions contenant ρet gne peut pas ˆetre form´e. Cela implique que
ces grandeurs sont sans action directe sur le r´esultat cherch´e, et s’´eliminent du probl`eme.
Le nombre Nse r´eduit alors `a 3 et r= 1 car les variables restantes X,H,aet yont toutes
la mˆeme dimension Lce qui sugg`ere π=F(π1, π2). En choisissant Hcomme variable
fondamentale, on trouve
π=X
H, π1=a H, π2=y Hsoit X=HFa H,y H.
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Exercice-III.5 Solution : Selon la m´ethode de Raleigh la relation cherch´ee doit ˆetre
de dimensions homog`enes :
h=Hα1ℓα2̟α3τα4
Notons que les variables Het ℓont comme h, la dimension d’une longueur. ´ Ecrivons le
tableau des exposants :
[Grandeur] L T M Θ exposant
[h] 1 0 0 0 1
[H] 1 0 0 0 α1
[ℓ] 1 0 0 0 α2
[̟] -2 -2 1 0 α3
[τ] -1 -2 1 0 α4
En examinant le tableau de dimensions on se rend compte assez vite que l’on peut
choisir ℓ, et soit ̟ou soit τcomme variables fondamentales, soit r= 2.
Ainsi, puisque la relation recherch´ee doit ˆetre dimensionellement homog`ene, on d´eduit
les ´equations suivantes :
h H ℓ ̟ τ
L: + 1 = + α1+α2−2α3−α4
T: 0 = + 0 + 0 −2α3−2α4
M: 0 = + 0 + 0 + α3+α4
Par la suite, en r´esolvant par rapport aux variables fondamentales (`a savoir ℓ,̟et τ) que
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l’on a choisi, on obtient :
α3=−α4
α1= +1 −α2+α3
D’o`u :
h=H1−α2+α3ℓα2̟α3τ−α3
=HH
ℓα3−α2̟ℓ τα3
soit :
h=HFH
ℓ,̟ℓ τ
Cherchons maintenant la solution par le th´eor`eme de Vaschy–Buckingham. En total on a,
`a part de h,N= 4 variables, `a savoir : H,ℓ,̟et τ. Soit ℓ,̟les grandeurs fondamentales,
au nombre r= 2. Alors il existe N−r= 2 param`etre sans dimensions tel que
h=ℓF(π1, π2)
avec
π1=H
ℓ,
et
π2=τ
ℓα2̟β2,
−2 = α2−β2
−2 = −2β2
1 = β2
=⇒(β2= 1
α2=−1
D’o`u
h=ℓFH
ℓ,τ ̟ℓ
ou
h=HFH
ℓ,̟ℓ τ
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