Equations - carmaths

EQUATIONS
I Propriétés
Les lettres a, b, c et d désignent des nombres relatifs.
1) On ne change pas une égalité lorsque l'on ajoute le même nombre à ses deux membres.
Si a = b alors a + c = b + c
Exemple :
x – 14 = 18
x – 14 + 14 = 18 + 14 (on ajoute 14 aux deux membres de l’égalité)
x = 32
2) On ne change pas une égalité lorsque l'on retranche le même nombre à ses deux membres.
Si a = b alors a − c = b – c
Exemple :
x + 12 = 5
x + 12 − 12 = 5 − 12 (on retranche 12 aux deux membres de l’égalité)
x = −7
3) On ne change pas une égalité lorsque l'on multiplie ses deux membres par le même nombre.
Si a = b alors a × c = b × c
Exemple :
x
9 = − 2
x
9 × 9 = − 2 × 9 (on multiplie par 9 les deux membres de l’égalité)
x = − 18
4) On ne change pas une égalité lorsque l'on divise ses deux membres par le même nombre non nul
Si a = b et si c ≠ 0 alors a
c = b c
Exemple :
3x = 18
3x
3 = 18 3 (on divise par 3 les deux membres de l’égalité)
x = 18
3 = 6

II Equations
Définitions
Une équation à une inconnue est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu désigné par une lettre.
Exemple:
3x + 8 = 14 est une équation où le nombre inconnu est x.
On appelle solution de l'équation un nombre rendant vraie l'égalité.
Le nombre 2 est solution de l’équation 3x + 8 = 14 ; alors que (− 5) n’est pas solution car 3× (−5) + 8 = −7.
Résoudre une équation, c'est trouver toutes ses solutions.
Pour résoudre une équation on applique les propriétés du paragraphe I.
Exemple : on veut résoudre l’équation 2x − 7 = 17
2x − 7 = 17
2x − 7 + 7 = 17 + 7 On utilise la propriété 1)
2x = 24
2x
2 = 24 2 On utilise la propriété 4)
D’où x = 12. La solution de cette équation est 12.
Vérification : pour x = 12 2x − 7 = 2 × 12 − 7 = 24 − 7 = 17.
9x + 13 = 4x − 21 On va regrouper les x dans un même membre.
9x + 13 − 4x = 4x − 21 − 4x
5x + 13 = − 21
5x + 13 − 13 = − 21− 13
5x = − 34
5x
5 = −34 5
x = − 34
5 = − 6,8
La solution de l’équation 9x + 13 = 4x − 21 est x = − 6,8.
Vérification : 9 × (−6,8) +13 = −48,2 et 4 × (−6,8) − 21= −48,2

Pour résoudre un problème par une mise en inéquation, il faut procéder par étapes
1) Lire l’énoncé, comprendre la situation et souligner les données importantes
2) Choisir l’inconnue, c’est souvent le ou les nombres demandés dans l’énoncé
3) Mettre en équation le problème en traduisant les données de l’énoncé par des égalités
4) Résoudre l’équation
5) Conclure en faisant une phrase cohérente avec le problème
III Applications :
1) En achetant 4 romans de même prix et 3 DVD de même prix, on paye 108 euros. Sachant qu’un DVD coûte
8 euros de plus qu’un roman. Déterminer le prix d’un roman et d’un DVD.
2) L’unité de longueur est le centimètre. ABC est un triangle tel que AB = x − 1 ; AC = 2x − 4 et BC = 2x + 2.
(Avec x >2)
Déterminer, si possible, x pour que le périmètre du triangle ABC soit égal à 22 cm. Donner les longueurs de
AB ; AC et BC.
3) Léo a 11 ans et son oncle 46 ans. Dans combien d’années l’âge de l’oncle sera-t-il le double de l’âge de Léo?
4) Déterminer x pour que le triangle ABC soit rectangle en A.