Exo.1) Donner les conditions d`application de la loi Binomiale

Exo.1) Donner les conditions d’application de la loi Binomiale. Quelles sont les
caractéristiques de la loi binomiale.
Exo.2) On suppose que 10% des malades guérissent. On tire au hasard un échantillon
composé de 6 personnes malades et soit X la variable aléatoire qui présente le nombre de
malade qui vont guérir.
1-Calculer la probabilité pour :
1.1 Seulement une personne qui guérit,
1.2 entre trois et cinq personnes qui guérissent
1.3 Au moins une personne qui guérissent
2- La valeur espéré E(X) , La variance de X Var (X) et L’écart type (X)
Exo.3) Le tableau suivant donne la répartition des personnes selon l’âge :
Age
2
3
4
5
6
Effectif
10
45
25
15
5
3.1)- Calculer la moyenne et l’écart type de la série précédente
3.2)- On met les 100 personnes dans une chambre, puis on tire trois personnes successivement
en remettant à chaque fois la personne tirée. Soit X la variable qui, à chaque tirage, associe
l’âge de personne portant l’âge 4. Déterminer la loi de probabilité
3.3) calculer l’espérance de X ainsi que son écart-type.
Exo.4) Quelle est la probabilité pour que dans une famille de 4 enfants il y ait, (a) au moins 1
garçons, (b) au moins un garçon et une fille. On supposera que la probabilité de naissance d’1
garçon est égale à celle d’avoir une fille.
4.2) Sur 2000 familles de 4 enfants chacune, combien peuvent être supposées comprendre (a)
au moins un garçon, (b) 2 garçon, (c) 1 ou 2 filles, () pas de filles
Exo.5) Forme de la loi Binomiale :
Le nombre d’étudiants dans une université est 30000 étudiants. Le nombre d’étudiant en 1
année est 10000 étudiants. Le nombre d’étudiants en première et en deuxième année est
15000. Le nombre d’étudiants pour les trois premières années toutes spécialité confondue est
20000. On tire au hasard 5 étudiants ;
1- Donner le tableau de distribution des trois cas précédents
2- Tracer le diagramme de chaque distribution et donner E(X) et Var(X). Conclusion
3- Calculer le mode et la médiane
4- Donner la position de mode et médiane par rapport à E(X).
G.S
Exo.6) Nous avons la distribution suivante :
A
On s’intéresse à la modalité GS O.
1- Mettez le tableau précédent sous forme de schéma de Bernoulli.
AB
2- On tire au hasard un échantillon de 10 individus. Soit X la variable
B
aléatoire qui donne le nombre d’individus de G.S O dans l’échantillon.
O
Donner la loi de probabilité suivie par X
3- Donner le tableau de distribution des probabilités
4- Calculer les probabilités suivantes :
- Il y’a deux individus de G.S O – Il y’a entre 2 et 6 individus de G.S O –Il y’a
moins 3 individus de G.S O – Il y’a au plus 8 individus de G.S O
ni
120
280
150
250
au
Exo.1) Donner la définition générale de la loi de Poisson. Quelles sont les caractéristiques de
la loi de Poisson.
Exo.2 ) Pour la distribution de Poisson
P( k ;  ) 
k  
e

2.1) Calculer e
pour   0,10
2.2) Calculer P(2 ;1) , P(3 ;0.5) , P(2 ;2) et P(2 ;5)
2.3) Pour P(3;2) calculer : P(0  k  2) , P(k  1) ,
k!
2.4) Pour P(3;2) calculer : P(0  k  2) , P(k  1) ,
2.5) Donner une relation entre P(k ,  ) et P(k  1,  )
Exo.3) Le nombre annuel de pannes d’une machine suit une loi de Poisson de paramètre =3.
Quelle est la probabilité pour que cette machine ait au moins 2 pannes dans l’année.
Exo.4) Le nombre d’accident sur une période d’une semaine pour une entreprise est une
variable aléatoire T qui suit une loi de Poisson de paramètre 2.
4.1) Donner la distribution de probabilité de la variable T .
4.2) Calculer l’espérance, la variance et l’écart type de T
4.3) Donner le tableau de la distribution pour k  [0, 9] et tracer le diagramme en bâton.
4.4) Calculer les probabilités des événements A, B, C, D, E, F et G tels que :
A : au moins quatre accidents dans la semaine
B : exactement trois accidents sachant qu’il y’en a eu au moins deux
C:
T  2  3 ;
D=
T  5 sachant que T  4 ;
T  5  3
F= T  1  4
G= 1  T  5  3
E=
Exo.5) Une maladie a une prévalence de 0.0001.
-Calculer l’epérance mathématique et la variance pour une ville contenant 20000 habitants
- Quelle loi de probabilité suivie par cette variable
- Calculer la probabilité de trouver dans une ville, de 20000 habitants, au moins 5 personnes
malades
- Calculer la probabilité de trouver entre 2 et 5 individus.
Exo.6) La probabilité d’observer une mutation sur un individu est 0.0001. Combien
d’individus faut-il s’attendre à examiner pour être sur d’observer au moins un mutant.
Exo.7) Tracer sur le même diagramme la loi de Poisson pour les valeurs du paramètre =0.5,
=2, =5, =10.
Exo.1) Lecture de table de la loi Normale centrée Réduite N(o,1)
Calculer les probabilités suivantes :
1.1) P(u  0) , P(u  0.17) , P( U  1.96 ) , P(u  2.59) P(u  1.5) ,
1.2) P( u
 1.96 ) , P( u  1.2 ) , P( u  7 ) , P( u  1.96 )
1.3) P( 0.5  u  1.96 ) , P( 0.84  u
 1.02 ) , P( 7  u  0.12 ) , P( 0.47  u  0.12 ) ,
P(0.12  u  0.08) , P(1  u  1)
Exo.2) Calculer les réels << x>> connaissant les probabilités suivantes :
2.1) P(u  x)  0.5 ; P( u  x )  0.6628 , P( u  x )  0.975
2.2)
P( u  x )  0.025 , P( u  x )  0.9901, P( u  x )  0.1736
Exo.3) La taille moyenne des 470 arbres d’une forêt suit une loi normale d’espérance 176 cm et de variance 49.
3.1) Donner la fonction de densité de probabilité f de la variable T qui donne la taille d’un arbre.
3.2) Quel changement de variable permet de revenir à la variable normale centrée réduite.
3.3) Calculer la probabilité qu’un arbre tiré au hasard ait une taille :
3.3.1) Inférieur à 164 cm ? à 204 cm ? Supérieure à 183 cm ? Supérieur à 162 cm
3.3.2) Comprise entre 169 et 183 cm ? Inférieure à 169 cm ou supérieur à 183 cm ?
3.3.3) Inférieure à 191 cm et supérieure à 165 cm ? Supérieure à 171 cm ou inférieur à 181 cm ?.
Exo.4) Soit une variable X de la loi Normale N(6 ;2).
4.1) Calculer les probabilités suivantes :
P( 4  X  8 ) , P( 2  X  10 ) , P( 0  X  12 ) , P( 2 
4.2) Déterminer les réels a,b,c d, e, et f tels que
X  14 )
P( X  a ) =0.951, P( X  b ) =90% ; P( X  c ) =97.51% ; P( X  d ) =0.25
P( e  6  X  e  2 ) =0.9 .
Exo.5) Dans une certaine population, la probabilité qu’une personne demande à être vacciné contre la grippe est
p=0.4. On tire au hasard un échantillon de n individus de cette population et on note X la variable aléatoire
comptant le nombre de personnes de l’échantillon demandant à être vacciné.
5.1) Quelle est la loi de la variable aléatoire X?
5.2) On suppose que n=10. Calculer la probabilité << que 3 personnes demandent à être vacciné>>. Calculer la
probabilité << qu’au moins 2 personnes demandent à être vacciné>>.
5.3) On considère le cas n=2000
5.3.1) Quelle approximation peut-on choisir pour la loi de la variable X ?
5.3.2) Calculer P(750<x<850)
5.3.3) Calculer le nombre X0 tel que P(X X0 ) =0.8
5.3.4) Pour des raisons de conservation limitée des vaccins, le nombre de vaccin disponible dans l’officine
servant cet échantillon de 2000 individus est limitée à une valeur Xlim qui correspond au nombre maximal de
personnes qu’on peut vacciner. On appelle R le risque de ne pouvoir répondre à une demande massive de
vaccinations. Quel nombre Xlim de vaccins faut-il prévoir pour que le risque R soit égal à 5% ? à 10%.
Exo.6) On admet que la taille des hommes d’une région donnée sui une loi normale. Sachant que seuls 10% des
individus de cette population ont une taille inférieure à ou égale à 1.68 m et que 30% mesurent plus de 1.8 m,
déterminer les paramètres de la loi normale ?
Exo.7) Une variable aléatoire Y sui une loi de Poisson de paramètre 2. Nous tirons au hasard un échantillon de
200 personnes.
7.1) Quelle approximation peut on choisir pour la variable Y ?
7.2) Donner la nouvelle loi ?
Lecture directe de la table de la loi normale N(0,1)