Uniformisations partielles et crit`eres `a la Hurewicz dans - IMJ-PRG

Uniformisations partielles et crit` eres ` a la Hurewicz dans le plan.
Dominique LECOMTE
Trans. Amer. Math. Soc. 347, 11 (1995), 4433-4460
R´ esum´ e. On donne des caract´ erisations des bor´ eliens potentiellement d’une classe de Wadge donn´ ee, parmi les bor´ eliens ` a
coupes verticales d´ enombrables d’un produit de deux espaces polonais. Pour ce faire, on utilise des r´ esultats d’uniformisa-
tion partielle.
Cet article fait suite ` a l’´ etude des classes de Wadge potentielles commenc´ ee dans [Le1]. On
d´ emontre entre autres les r´ esultats annonc´ es dans [Le2]. Je renvoie le lecteur ` a [Ku] pour ce qui est
des notions de base en topologie, et ` a [W] pour ce qui concerne les classes de Wadge. On utilisera les
notations et notions standard de la th´ eorie descriptive des ensembles, ainsi que des notions de th´ eorie
descriptive effective, qui peuvent ˆ etre trouv´ ees dans [Mo]. Rappelons les d´ efinitions de base :
D´ efinitions. (a) Soit Γune classe de parties d’espaces polonais de dimension 0. On dit que Γest une
classe de W adge de bor´eliens s’il existe un espace polonais P0de dimension 0, et un bor´ elien A0
de P0tels que pour tout espace polonais Pde dimension 0 et pour toute partie Ade P,Aest dans Γ
si et seulement s’il existe une fonction continue fde Pdans P0telle que A=f−1(A0).
(b) Soient Xet Ydes espaces polonais, et Aun bor´ elien de X×Y. Si Γest une classe de Wadge,
on dira que Aest potentiellement dans Γ (ce qu’on notera A∈pot(Γ)) s’il existe des topologies
polonaises de dimension 0, σ(sur X)et τ(sur Y), plus fines que les topologies initiales, telles que
A, consid´ er´ e comme partie de (X, σ)×(Y, τ ), soit dans Γ.
La motivation pour l’´ etude de ces classes de Wadge potentielles trouve son origine dans l’´ etude
des relations d’´ equivalence bor´ eliennes (ou plus g´ en´ eralement des structures bor´ eliennes ` a plusieurs
variables). Par exemple, dans [HKL], on ´ etudie le pr´ e-ordre qui suit. Si E(resp. E0)est une relation
d’´ equivalence bor´ elienne sur l’espace polonais X(resp. X0), on pose
E≤E0⇔[il existe fbor´ elienne de Xdans X0telle que xEy ⇔f(x)E0f(y)].
En d’autres termes, l’application fd´ efinit par passage au quotient une injection de X/E dans X0/E0,
ce de mani` ere bor´ elienne. La relation E≤E0peut s’´ ecrire : E= (f×f)−1(E0), avec fbor´ elienne ;
or si E0est de classe de Wadge Γ(ou mˆ eme de classe de Wadge potentielle Γ), il est facile de v´ erifier
que Eest de classe de Wadge potentielle Γ(alors que En’est pas de classe Γen g´ en´ eral). La classe de
Wadge potentielle est donc un invariant naturel du pr´ e-ordre ≤. Bien que cet invariant soit en g´ en´ eral
grossier, il fournit des informations sur ≤; par exemple, dans [Lo1], A. Louveau montre que la classe
des relations d’´ equivalence Σ0
ξn’est pas co-finale dans les relations d’´
equivalence bor´ eliennes pour
le pr´ e-ordre ≤, en utilisant la notion de classe de Wadge potentielle.
1

Il en d´ eduit une d´ emonstration simple de la non-existence d’une relation d’´ equivalence bor´ elienne
maximum pour ≤. Ce r´ esultat avait par ailleurs ´ et´ e d´ emontr´ e ant´ erieurement par H. Friedman et L.
Stanley, en utilisant les travaux de H. Friedman sur la diagonalisation bor´ elienne.
L’un des principaux r´ esultats concernant les classes de Wadge de bor´ eliens est l’existence de
“tests d’Hurewicz”, dont le principe est : un bor´ elien n’est pas d’une classe de Wadge donn´ ee si et
seulement s’il est au moins aussi compliqu´ e qu’un exemple type n’´ etant pas de cette classe. Hurewicz
a d´ emontr´ e l’existence du test pour la classe Gδ. Le r´ esultat pr´ ecis est le
Th´ eor` eme 2.10 Soit Xun espace polonais, et Aun bor´ elien de X. Alors An’est pas Gδsi et
seulement s’il existe Ed´ enombrable sans point isol´ e tel que E\E≈ωωet E=A∩E.
Apr` es les travaux de nombreux auteurs, parmi lesquels J. R. Steel (voir [S]), ainsi que A. Louveau
et J. Saint Raymond, l’existence de tests a ´ et´ e´ etablie pour toutes les classes de Wadge ; dans [Lo-SR],
il est d´ emontr´ e :
Th´ eor` eme. Si ξest un ordinal d´ enombrable non nul, il existe un compact Pξde dimension 0 et un
vrai Σ0
ξde Pξ,Aξ, tels que si Aest un bor´
elien de l’espace polonais X, on ait : An’est pas Π0
ξde
Xsi et seulement s’il existe f:Pξ→Xinjective continue telle que Aξ=f−1(A).
L’ensemble Aξest dit “test d’Hurewicz”. Un des objectifs de cet article est d’´ etudier la possibilit´ e
d’obtenir des r´ esultats similaires, pour les classes de Wadge potentielles. Dans [Le1], il est d´ emontr´ e
un lemme qui sugg` ere l’int´ erˆ et qu’on pourrait avoir ` a´ etudier les probl` emes d’uniformisation partielle,
en vue de caract´ eriser les ensembles potentiellement ferm´ es. Le test usuel pour savoir si un ensemble
Aest ferm´ e est de prendre une suite convergente de points de Aet de regarder si la limite est dans A.
Un tel test ne peut pas convenir pour caract´ eriser les ensembles potentiellement ferm´ es, puisqu’un sin-
gleton peut ˆ etre rendu ouvert-ferm´ e tout en gardant des topologies polonaises. Cependant, on remar-
que que lorsqu’on raffine la topologie d’un espace polonais, tout en gardant une topologie polonaise,
les deux topologies co¨ ıncident sur un Gδdense pour la topologie initiale. D’o` u l’id´ ee de remplacer
les points par des graphes de fonctions continues et ouvertes, objets qui rencontrent tout produit de
deux Gδdenses si les domaines et images des fonctions sont assez “gros”.
Lemme. Soient Xet Ydes espaces polonais, (Cn) (resp. (Dn)) des suites d’ouverts non vides de X
(resp. Y), fn:Cn→Dncontinues et ouvertes, B:= S
n∈ω\{0}
Gr(fn), et Aun bor´ elien de X×Y
contenant B; si B\Acontient Gr(f0), alors Aest non-pot(Π0
1).
La question est de savoir s’il y a une r´ eciproque. Nous allons voir que c’est en partie le cas :
cette r´ eciproque a lieu, modulo un changement de topologies, si Aest ` a la fois pot(Σ0
3)et pot(Π0 3),`
a
ceci pr` es qu’on ne peut pas imposer le sens dans lequel se trouvent les graphes. Ceci signifie que les
fonctions partielles peuvent ˆ etre d´ efinies sur une partie de Xet arriver dans Y, ou ˆ etre d´ efinies sur
une partie de Yet arriver dans X. Le r´ esultat pr´ ecis est un cas particulier du th´ eor` eme 2.3 ; si fnest
une fonction partielle de Xdans You de Ydans X, on notera Gnla partie de X×Y´ egale au graphe
de fnsi fnva de Xdans Y, et ´ egale ` a{(x, y)∈X×Y / x =fn(y)}sinon.
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Th´ eor` eme *. Soient Xet Ydes espaces polonais, et Aun bor´ elien pot(Σ0
3)∩pot(Π0 3)de X×Y.
Aest non-pot(Π0
1)si et seulement s’il existe des espaces polonais Zet Tparfaits de dimension 0,
des ouverts-ferm´ es non vides Anet Bn(l’un dans Zet l’autre dans T), des surjections continues
ouvertes fn:An→Bn, et des injections continues uet vtels que Sn∈ω\{0}Gn⊆(u×v)−1(A),
G0⊆(u×v)−1(ˇ A), et G0=Sn∈ω\{0}Gn\(Sn∈ω\{0}Gn).
Le th´ eor` eme 2.3 ´ etend ce r´ esultat ` a la caract´ erisation des bor´ eliens potentiellement diff´ erence
transfinie d’ouverts, toujours parmi les bor´ eliens pot(Σ0
3)∩pot(Π0 3). On ne se ram`
ene donc pas ` a
un exemple type, comme dans le th´ eor` eme de A. Louveau et J. Saint Raymond, mais ` a une situation
type. Pour d´ emontrer le th´ eor` eme 2.3, l’outil essentiel est le
Th´ eor` eme 1.13 Soient Xet Ydes espaces polonais parfaits de dimension 0, Aun Gδl.p.o. non vide
de X×Y. Alors il existe des ensembles presque-ouverts non vides Fet G, l’un contenu dans Xet
l’autre dans Y, et une surjection continue ouverte de Fsur Gdont le graphe est contenu dans Aou
dans {(y, x)∈Y×X / (x, y)∈A}selon le cas.
Pour le comprendre voici les
D´ efinitions 1.2 (a) Un Gδd’un espace topologique est dit presque-ouvert (ou p.o.) s’il est contenu
dans l’int´ erieur de son adh´ erence (ce qui revient ` a dire qu’il est dense dans un ouvert).
(b) Si Xet Ysont des espaces topologiques, une partie Ade X×Ysera dite localement `a projec-
tions ouvertes (ou l.p.o.) si pour tout ouvert Ude X×Y, les projections de A∩Usont ouvertes.
Les ensembles l.p.o. se rencontrent par exemple dans la situation suivante : Aest Σ1
1dans
un produit de deux espaces polonais r´ ecursivement pr´ esent´ es. Si on munit ces deux espaces de leur
topologie de Gandy-Harrington (celle engendr´ ee par les Σ1
1), Adevient l.p.o. dans le nouveau produit.
C’est essentiellement dans cette situation qu’on utilisera cette notion, au cours de la section 2.
On ´ etudie donc dans un premier temps, et plus largement que n´ ecessaire pour la seule ´ etude des
classes de Wadge potentielles, les probl` emes d’uniformisation partielle, sur des ensembles “gros” au
sens de la cat´ egorie, en essayant d’obtenir l’image de la fonction “grosse” ´ egalement. On obtient
essentiellement des r´ esultats pour les Gδ. Il est ` a noter que malgr´ e des hypoth` eses sym´ etriques, la
conclusion du th´ eor` eme 1.13 ne l’est pas.
Dans [O], il est d´ emontr´ e, sous l’hypoth` ese du continu, l’existence d’une bijection Φde [0,1] sur
lui mˆ eme ´ echangeant ensembles maigres et ensembles de mesure de Lebesgue nulle. En ´ etudiant un
exemple o` u on trouve un graphe dans un sens et pas dans l’autre, dans le th´ eor` eme 1.13, on montre
qu’une telle application Φne peut pas avoir de propri´ et´ e de mesurabilit´ e projective (corollaire 1.8).
Une autre fac¸on de formuler le th´ eor` eme * est (voir [Le2]) le
Th´ eor` eme. Soient Xet Ydes espaces polonais, Aun bor´ elien de X×Y` a coupes verticales
d´ enombrables. Alors Aest non-pot(Π0
1)si et seulement s’il existe des espaces polonais Zet T
parfaits de dimension 0 non vides, des fonctions continues uet v, des ouverts denses (An)de Z, des
applications continues ouvertes fnde Andans T, tels que pour tout xdans Tn∈ωAn,(fn(x))n>0
converge simplement vers f0(x), Gr(g0)⊆(u×v)−1(ˇ A)et Sn>0Gr(gn)⊆(u×v)−1(A).
3

En d’autres termes, en chaque point du Gδdense Tn∈ωAn, on retrouve sur la fibre le test usuel
pour les ferm´ es. On a un ph´ enom` ene analogue pour les Gδ:
Th´ eor` eme 2.11 Soient Xet Ydes espaces polonais, Aun bor´ elien de X×Y` a coupes verticales
d´ enombrables. Alors Aest non-pot(Π0
2)si et seulement s’il existe des espaces polonais Zet T
parfaits de dimension 0 non-vides, des injections continues uet v, des ouverts denses (An)de Z, des
applications continues et ouvertes fnde Andans T, tels que pour tout xdans Tn∈ωAn, l’ensemble
Ex:= {fn(x)/ n ∈ω}soit sans point isol´ e, Ex\Ex≈ωω, et Ex= (u×v)−1(A)x∩Ex.
1 Uniformisation partielle des Gδ.
Les probl` emes d’uniformisation partielle ont d´ ej` a´ et´ e´ etudi´ es dans [GM], o` u au lieu de consid´ erer
la cat´ egorie, il est question d’ensembles de mesure 1 sur chacun des facteurs. Les r´ esultats qu’on
obtient sont ´ egalement ` a rapprocher de r´ esultats obtenus par G. Debs et J. Saint Raymond, o` u il est
question de fonctions totales et injectives, avec des hypoth` eses de compacit´ e sur chacun des facteurs
(cf [D-SR]). Plus pr´ ecis´ ement, il est d´ emontr´ e dans [GM] le r´ esultat suivant :
Th´ eor` eme 1.1 Soient Xet Ydes espaces polonais, λ(resp. µ) une mesure de probabilit´ e sur
X(resp. Y), et Aun bor´ elien de X×Yayant ses coupes horizontales (resp. verticales) non
d´ enombrables µ-presque partout (resp. λ-presque partout). Alors il existe un bor´ elien Fde X(resp.
Gde Y) tels que λ(F) = µ(G)=1, et un isomorphisme bor´ elien de Fsur Gdont le graphe est
contenu dans A.
On peut se demander si on a un r´ esultat analogue en remplac¸ant “ensemble de mesure 0” par
“ensemble maigre”. On va voir que non. Pour ce faire on montre un lemme que nous r´ eutiliserons.
D´ efinitions 1.2 (a) Un Gδd’un espace topologique est dit presque-ouvert (ou p.o.) s’il est contenu
dans l’int´ erieur de sn adh´ erence (ce qui revient ` a dire qu’il est dense dans un ouvert).
(b) Si Xet Ysont des espaces topologiques, une partie Ade X×Ysera dite localement `a projec-
tions ouvertes (ou l.p.o.) si pour tout ouvert Ude X×Y, les projections de A∩Usont ouvertes.
Lemme 1.3 Il existe un espace Xpolonais parfait de dimension 0, et un ferm´ eAl.p.o. ` a coupes
parfaites non vides de X2, tels que si Fet Gsont presque-ouverts non vides dans Xet f:F→G
surjective continue ouverte, Gr(f)6⊆ A.
D´ emonstration. Soient X=ωω,φun hom´ eomorphisme de Xsur l’ensemble P∞des suites de 0 et
de 1 ayant une infinit´ e de 1, et ψun hom´ eomorphisme de Xsur l’ensemble KP(2ω)des compacts
parfaits non vides de 2ω;ψexiste car cet ensemble ne contient pas les compacts finis, est dense et est
Gδde K(2ω)\ {∅} : en effet, si on d´
esigne par N(n, 2ω)le ni`
eme ouvert-ferm´
e de base de 2ω, on a
Kest parfait ⇔
∀m∈ω[(K∩N(m, 2ω) = ∅)ou (∃(p, q)∈ω2N(p, 2ω)∩N(q, 2ω) = ∅et
N(p, 2ω)∪N(q, 2ω)⊆N(m, 2ω)et N(p, 2ω)∩K6=∅et N(q, 2ω)∩K6=∅)].
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Posons A:= (φ×ψ)−1(A0), o` uA0:= {(x, K)∈P∞× KP(2ω)/ x ∈K}. Il suffit de montrer
les propri´ et´ es pour A0. Il est ferm´ e :
x /∈K⇔ ∃ n∈ω∃U∈Σ0
1d2ωN(n, 2ω)∩U=∅et x∈N(n, 2ω)et K⊆U.
Il est clairement ` a coupes parfaites non vides, et il est l.p.o., car si Ns:= {α∈2ω/s ≺α}et
WU,V0,...,Vn:= {K∈ KP(2ω)/K ⊆Uet ∀i≤n Vi∩K6=∅}
est l’ouvert-ferm´ e de base de KP(2ω), on a
Π1[A0∩(Ns×WU,V0,...,Vn)] = ∅ou Ns∩U∩P∞, et
Π2[A0∩(Ns×WU,V0,...,Vn)] = ∅ou WU,V0,...,Vn,Ns∩ KP(2ω).
Raisonnons par l’absurde : il existe f:F→Gsurjective continue ouverte dont le graphe est contenu
dans A0, et des ouverts non vides Uet Vtels que F(resp. G) soit Gδdense de U(resp. V).
L’ouvert V´ etant non vide contient un ouvert-ferm´ e de base WU,V0,...,Vn, avec U,V0, ..., Vn
ouverts-ferm´ es tels que les U∩Visoient non vides. De sorte qu’on peut supposer, quitte ` a se restrein-
dre ` a son image r´ eciproque, que V=WU,V0,...,Vn.
Soit (Sj)j<n+3 une partition de Uen ouverts-ferm´ es telle que ∀j < n + 3,∀i≤n,Sj∩Vi6=∅.
Posons, si I∈ P(n+ 3) \ {∅},
OI:= {K∈WU,V0,...,Vn/ I ={j < n + 3 / K ∩Sj6=∅}}.
Alors (OI)est une partition en ouverts-ferm´ es non vides de WU,V0,...,Vn, donc (f−1(OI)) est une
partition en ouverts-ferm´ es non vides de F; par propri´ et´ e de r´ eduction, on trouve une suite d’ouverts
non vides de Udeux ` a deux disjoints, (WI), telle que f−1(OI) = F∩WI.
Alors si j < n + 3,W{j}⊆Sj, sinon on trouve xdans F∩W{j}\Sj, et x∈f(x)∈O{j}, donc
f(x)⊆Sj, une contradiction.
Maintenant si I⊆n+ 3 est de cardinal 2, il existe i≤ntel que Vi∩Sj∈ISj⊆WI. En effet,
par ce qui pr´ ec` ede, si j∈I,Sj6⊆ WIsinon W{j}∩WI6=∅. Donc si pour tout i≤nil existe jdans
Itel que Vi∩Sj6⊆ WI, l’ensemble {K∈OI/ K ⊆ˇ WI}est ouvert non vide de G, donc rencontre
Gen K=f(x)et x∈F∩WI, donc K∩WIest non vide, une contradiction.
En particulier, si 1≤j≤n+ 2, il existe ij≤ntel que Vij∩(S0∪Sj)⊆W{0,j}. Soient j6=j0
tels que ij=ij0; alors Vij∩S0⊆W{0,j}∩W{0,j0}, ce qui contredit la disjonction de W{0,j}et
W{0,j0}.
Th´ eor` eme 1.4 Soient X:= K(2ω)\ {∅},Y:= 2ω, et A:= {(K, x)∈X×Y / x ∈K}; alors A
est un ferm´ e` a coupes horizontales non d´ enombrables, ` a coupes verticales non d´ enombrables sur un
ensemble co-maigre de X, mais si F(resp. G) est un bor´ elien co-maigre de X(resp. Y), il n’existe
aucun isomorphisme bor´ elien de Fsur Gdont le graphe soit contenu dans A.
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