Algèbres de matrices

LE SÉMINAIRE DE MATHÉMATIQUES
1933–1939
édition réalisée et annotée par
Michèle Audin
1. Année 1933-1934
Théorie des groupes et des algèbres
Jean Dieudonné
Algèbres de matrices
Séminaire de mathématiques (1933-1934), Exposé 1-D, 14 p.
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Séminaire de mathématiques 15 janvier 1934
Exposé 1-D, p. 1 à 14
ALGÈBRES DE MATRICES
par Jean Dieudonné
A. Définitions. Anneaux de matrices
1.– Matrices. Soit oun anneau[1] ayant un élément unité. Une matrice de cet anneau
est un tableau de mn éléments de l’anneau :
A=
α11 α12 . . . α1,m
α2,1α2,2. . . α2,m
. . . . . . . . . . . .
αn1αn2. . . αnm
= (αij )
Une matrice est nulle si tous ses éléments sont nuls.
Soient deux matrices Aet Bayant chacune le même nombre de lignes et de co-
lonnes. On pose :
A+B= (αij +βij )
Si λest un nombre de o, le produit λA est défini par :
λA = (λαij )et de même Aλ = (αij λ)
Enfin, soient Aet Bdeux matrices telles que le nombre des colonnes de Asoit égal
au nombre de lignes de B. On appelle alors produit AB la matrice
C= (γhk)où γhk =X
i
αhiβik
Toutes ces définitions s’expliquent d’elles-mêmes quand on considère une matrice
Acomme définissant une substitution linéaire :
U=
m
X
j=1
αij vj(i= 1, . . . , n)
Une telle substitution peut d’ailleurs elle-même s’écrire 1/2

2J. DIEUDONNÉ
U=AVoù U=
u1
u2
.
.
.
un
V=
v1
v2
.
.
.
vn
On déduit immédiatement des définitions les règles suivantes :
A+ 0 = A
A+ (B+C)=(A+B) + C
λ(A+B) = λA +λB
(A+B)λ=Aλ +Bλ
A·BC =AB ·C
A(B+C) = AB +AC
(B+C)A=BA +CA
lorsque les opérations effectuées ont un sens.
Dans la suite de cette conférence, nous ne considérerons plus que des matrices[2]
carrées d’ordre n.
2.–.Toutes les matrices carrées d’ordre ndans un anneau oforment un anneau, l’an-
neau de matrices complet (ou total) sur o.
Cet anneau admet ocomme domaine d’opérateurs à droite et à gauche. Posons :
eij =
0. . . 0
. . . 1. . .
0. . . 0
[le 1 est sur la ième ligne et la jème colonne]
On peut écrire toute matrice sous la forme :
A= (αij ) = Xαij eij =Xeij αij
et inversement. On n’a A= 0 que si αij = 0 quelque soient i,j. Les eij sont dits2/3
éléments de base de l’anneau de matrices par rapport à o.
D’après la règle de multiplication des matrices, on a :
eij ehk = 0 si j6=h
eij ejk =eik
L’anneau de matrices admet un élément unité, la matrice :
1 = 
1 0 . . . 0 0
0 1 . . . . . . . . .
0. . . . . . . . . 1
=e11 +e22 +· · · +enn

(1-D) ALGÈBRES DE MATRICES 3
3.–. Supposons maintenant que osoit un corps K. On désigne alors l’anneau de
matrices d’ordre nsur Kpar Kn.
Théorème I. Knest un anneau simple, c’est dire qu’il n’existe pas d’autres idéaux
bilatères que (0) et Knlui-même.[3]
En effet, si aest un tel idéal et aun élément 6= 0 de aon a :
a=X
ij
αij eij
soit maintenant αλµ 6= 0,acontient aussi :
α−1
λµ ehλaeµk =ehk
quels que soient het k, donc a=Kn
Montrons que Knpeut être décomposé en une somme directe d’idéaux à gauche
minima. Il est facile d’avoir ici une telle décomposition :
`1= (e11 +e21 +· · · +en1)est un tel idéal.
3/4
En effet :
ehkei1=(0si k6=i
eh1si k=idonc ehkei1∈`1
par suite aussi :
x`1⊂`1quel que soit x∈Kn
D’autre part `1est minimum, car si a∈`1et a6= 0 soit a=X
i
αiei1et si αλ6= 0,`1
contient aussi
α−1
λehλa=eh1quel que soit h.
Donc tout élément ade `1engendre tout l’idéal, ce qui montre que `1est minima.
Même raisonnement pour :
`k= (e1k[+]e2k[+] · · · [+]enk )
d’où il suit que :
Kn=`1⊕`2⊕ · · · ⊕ `n
somme directe de nidéaux à gauche.

4J. DIEUDONNÉ
B. Théorème fondamental de Macclagan [Maclagen]-Wedderburn
4.–. L’intérêt des anneaux de matrices réside dans le théorème fondamental de
Macclagan-Wedderburn : Toute algèbre simple est isomorphe à un anneau de
matrices sur un corps.
(Rappel de la définition d’une algèbre simple : anneau sans radical satisfaisant à
la condition minimale pour les idéaux à gauche, et n’ayant pas d’autre idéal bilatère
que 0et l’anneau lui-même).
La démonstration que nous allons donner, dûe [sic] à Artin et non publiée, se fait
en deux étapes.4/5
5.– Première partie de la démonstration.
Définition. Un anneau oavec élément unité est dit posséder un système d’unités
matricielles eij (i, j = 1,2, . . . , n)si les eij sont dans oet satisfont aux conditions :
(I) 
eij ek` = 0 si j6=k
eij ejk =eik
1 = e11 +e22 +· · · +enn
Théorème. Si un anneau possède un système d’unités matricielles eij il est isomorphe
à l’anneau des matrices d’ordre nà coefficients dans le sous-anneau Kde ocomposé
des éléments de opermutables avec tous les eij .[4]
Formons les éléments de K. Soit x∈o. Posons :
y(x) = X
i
ei1xe1i
yejk =ej1xe1k=ejky
Donc y∈K. Inversement, si y∈Kon a :
X
i
ei1ye1i=X
i
eiiy=y
Ceci posé, à x∈ofaisons correspondre la matrice à coefficients dans K
x= (aij )où aij =y(e1ixej1)
on a x+x0=x+x0