Examen de MHT761- Alg`ebre Les deux exercices sont indépendants.

M1 ENSM
2010-2011 MHT761- Alg`ebre Renaud Coulangeon
Universit´e Bordeaux 1
Examen de MHT761- Alg`ebre
Dur´ee 4 heures. Documents et calculatrices interdits
Le 21 d´ecembre 2010
Les deux exercices sont ind´ependants.
Exercice 1. Dans tout cet exercice, Kd´esigne un corps commutatif de caract´eristique 0et E
un K-espace vectoriel de dimension finie. On note End(E)l’anneau des endomorphismes de E,
c’est-`a-dire les applications lin´eaires de Edans lui-mˆeme. Un ´el´ement pnon nul de End(E)est
un idempotent ou un projecteur s’il v´erifie la relation p2=p. Le but de l’exercice est de montrer
que la somme de kprojecteurs est un projecteur si et seulement les produits deux `a deux de
ces kprojecteurs sont nuls.
1. R´esultat pr´eliminaire : soient F1,F2, . . ., Fkdes sous-espaces de E, et F=F1+···+Fk
leur somme. Montrer que dim F≤dim F1+···+dim Fk, avec ´egalit´e si et seulement si
F=F1⊕···⊕Fk.
2. Montrer que si pest un projecteur alors E=Ker p⊕Im p. Inversement, si Eadmet une
d´ecomposition en somme directe E=F⊕G, avec G,{0}, montrer qu’il existe un projecteur
ptel que Ker p=Fet Im p=G.
3. Montrer que tout projecteur est diagonalisable. Montrer en outre que si pest un projecteur
diff´erent de l’identit´e alors il admet exactement deux valeurs propres que l’on pr´ecisera.
4. Montrer que pour tout projecteur p, on a la relation
dim Im p=Trp.
5. ´ Etant donn´es des projecteurs p1,...,pk, on souhaite montrer que leur somme p1+···+pk
est un projecteur si et seulement si pi◦pj=0pour tous i,j.
(a) On suppose tout d’abord que pi◦pj=0pour tous i,j. Montrer que p1+···+pkest
un projecteur.
(b) On suppose, inversement, que p=p1+···+pkest un projecteur.
i. Montrer que Im p=Lk
i=1Im pi(on utilisera la relation entre la trace et le rang
d’un projecteur ´etablie pr´ecedemment, ainsi que le r´esultat pr´eliminaire ´etabli `a
la question 1)
ii. En d´eduire que pi◦pj=0pour tous i,j(remarquer tout d’abord, en utilisant
la question pr´ec´edente, que Im pi⊂Im ppour tout i).
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Exercice 2. (d’apr`es CAPES 2002 (extrait)) On note K[X]le K-espace vectoriel des polynˆomes
en une ind´etermin´ee `a coefficients dans un corps commutatif Ket, pour tout entier naturel n,
K[X]nle sous-espace de K[X]constitu´e des polynˆomes de degr´e au plus n. Si Eet Fsont deux
parties de K, on d´efinit
PK(E,F)={P(X)∈K[X]|P(E)⊂F}
c’est-`a-dire l’ensemble des polynˆomes de K[X]dont la valeur en chaque ´el´ement de Eappartient
`a F.
Dans la suite, on note Rle corps des nombres r´eels, Qle corps des rationnels, Zl’anneau
des entiers relatifs, Nl’ensemble des entiers naturels, R+l’ensemble des r´eels positifs ou nuls et
Q+l’ensemble des rationnels positifs ou nuls.
1. Caract´erisation de PR(Q,Q)
(a) Soient nun entier naturel et q0, . . ., qn, une famille de n+1´el´ements de Qdeux
`a deux distincts. Montrer que pour j=0,...,n, il existe un unique polynˆome Lj(X)
(que l’on explicitera) dans Q[X]ntel que
∀0≤i≤n,Lj(qi)=δi,j=
1si i=j
0sinon.
(b) Montrer que les Lj(X)constituent une base de R[X]net d´eterminer les coefficients
dans cette base d’un polynˆome P(X)∈R[X]n, en fonction de P(q0), . . .P(qn).
(c) En d´eduire que PR(Q,Q)=Q[X].
2. Caract´erisation de PR(R,R+)
(a) Pour tout anneau commutatif unitaire A, on consid`ere l’ensemble S(A)des ´el´ements
de Aqui sont somme de deux carr´es, autrement dit
S(A)=na∈A| ∃b∈A,∃c∈A,a=b2+c2o.(1)
i. Si A=R, montrer que pour tous r´eels a,b,c,d, il existe des r´eels xet y, que l’on
explicitera, tels que
(a2+b2)(c2+d2)=x2+y2
[interpr´eter la quantit´e a2+b2(resp. c2+d2) comme le carr´e du module d’un
nombre complexe]. En d´eduire que S(R)contient 0et 1et qu’il est stable par
multiplication.
ii. Montrer que le r´esultat pr´ec´edent s’´etend `a n’importe quel anneau commutatif
unitaire, c’est-`a-dire que pour un tel anneau A, l’ensemble S(A)contient 0et 1
et est stable par multiplication.
(b) Soit P(X)un ´el´ement non nul de PR(R,R+)et
P(X)=c
s
Y
i=1
(X−ai)αi
t
Y
i=1
(X2+biX+ci)βi(2)
sa d´ecomposition en produit de facteurs irr´eductibles dans R[X]
(autrement dit les exposants αiet βisont des entiers naturels non nuls, cest un r´eel
non nul, les aisont des r´eels, et les polynˆomes du second degr´e apparaissant dans la
d´ecomposition n’ont pas de racine r´eelle).
2

Montrer que le degr´e de P(X)est n´ecessairement pair. Que peut-on dire du signe
de cet de la parit´e des αi? En d´eduire que P(X)est la somme des carr´es de deux
polynˆomes `a coefficients r´eels.
(c) Donner une caract´erisation de PR(R,R+).
3. ` A propos de PQ(Q,Q+)
(a) Montrer que PQ(Q,Q+)⊂ PR(R,R+).
(b) Soit P(X)=2X2+4∈Q[X].
i. D´eterminer des r´eels a,b,cet dtels que
2X2+4=(aX +b)2+(cX +d)2.(3)
ii. Si a,b,cet dsont des r´eels satisfaisant l’´equation (3), montrer que la matrice
M=
a
√2
b
2
c
√2
d
2
est une matrice orthogonale, c’est-`a-dire tMM =MtM= 1 0
0 1!.
iii. Existe-t-il des rationnels a,b,cet dsatisfaisant l’´equation (3) ?
(c) En d´eduire qu’il existe des ´el´ements de PQ(Q,Q+)qui ne sont pas somme des carr´es
de deux polynˆomes `a coefficients rationnels.
4. Caract´erisation de PR(Z,Z)
Pour tout entier naturel non nul n, on pose
Γn(X)=X(X−1) ···(X−n+1)
n!.
On d´efinit ´egalement Γ0(X)=1.
(a) Montrer que Γn(X)∈ PR(Z,Z)pour tout entier naturel n[pour k´el´ement de Z, on
distinguera selon que 0≤k<n,k≥net k<0].
(b) Montrer que, pour tout entier naturel m, les polynˆomes Γn(X),0≤n≤mconstituent
une base de R[X]m.
(c) Soient mun entier naturel et P(X)∈R[X]m. On note d0, . . ., dmles coefficients de
P(X)sur la base {Γn(X),0≤n≤m}.´ Ecrire, `a l’aide des r´eels P(0), . . ., P(m)un sys-
t`eme d’´equations lin´eaires dont le (m+1)-uplet (d0,...,dm)est solution, et calculer le
d´eterminant de ce syst`eme.
(d) Montrer que, pour un polynˆome P(X)∈R[X]m, les assertions suivantes sont ´equiva-
lentes :
i. P(X)∈ PR(Z,Z).
ii. Les coefficients d0, . . ., dmde P(X)sur la base {Γn(X),0≤n≤m}sont entiers.
iii. P(0),P(1), . . ., P(m)sont entiers.
iv. P(X)prend des valeurs enti`eres sur m+1entiers cons´ecutifs.
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