SUR LA VARI ET E DES ESPACES LIN EAIRES CONTENUS DANS

SUR LA VARIETE DES ESPACES LINEAIRESCONTENUS DANS UNE
INTERSECTION COMPLETE
Olivier Debarre 1, Laurent Manivel2
IRMA { Mathematique { CNRS, Universite Louis Pasteur, 7, rue Rene Descartes, 67084 Strasbourg Cedex,
France (e-mail : [email protected])
2 Institut Fourier, Universit
e de Grenoble 1, B.P. 74, 38402 Saint Martin d'Heres, France
(e-mail : [email protected])
1
Mathematics Subject Classi cation : 14M10, 14G05, 14J40, 14J45, 14J70, 14C25
Abstract { Let X be a subvariety of Pn dened by equations of degrees
d1 : : : ds , over an
algebraically closed eld k of any characteristic. We study the scheme Fr (X) which parametrizes linear
subspaces of dimension r contained in X . Assume for simplicity that X is generic and that n is large
enough. We prove that Fr (X) is connected and smooth of the expected dimension (this was previously
known in characteristic 0 or for r = 1 ). When k = C , using Bott's theorem, we prove a vanishing theorem
for certain bundles on the Grassmannian and use it to determine the cohomology groups of Fr (X) in degree
< dimX ; 2r , and to prove that Fr (X) is projectively normal in the Grassmannian. Finally, we prove
that the Chow group A1 (Fr (X)) Q is of rank 1 , and that Fr (X) is unirational. All bounds on n are
eective.
Soient k un corps algebriquement clos et X un sous-schema d'un espace projectif
lineaires de dimension r contenus dans X . Ces schemas ont une longue histoire (F], vW],
AK], BVV], B1], PS], K], ELV], BV]) mais il ne semble pas exister dans la litterature
d'enonce general sur leurs proprietes, m^eme les plus simples comme la connexite, valable en
toute caracteristique. Un des buts de cet article est de rassembler des faits generaux sur ces
schemas.
Apres un paragraphe de notations, on obtient dans le x 2, en se basant sur les idees
de K], notre premier resultat principal : pour une intersection complete generale X (autre
qu'une quadrique), le schema Fr (X) est non vide et lisse de la dimension attendue lorsque
celle-ci est positive, et connexe lorsque > 0 . Dans le x 3, on applique des resultats de D1] et
S] pour calculer certains groupes d'homotopie de Fr (X) . Par ailleurs, le scheman Fr (X) est
le lieu des zeros d'une section d'un bre vectoriel sur la grassmannienne G(r P ) lorsqu'il
a la dimension attendue , son ideal admet une resolution par un
complexe de Koszul. Un
theoreme d'annulation pour certains bres vectoriels sur G(r Pn) (prop. 3.8) nous permet
de montrer notre second resultat principal, a savoir un theoreme de type Lefschetz, qui permet
Pnk on note Fr (X) le sous-schema de la grassmannienne G(r Pnk) qui parametre les espaces
Finance en partie par le Projet Europeen HCM hh Algebraic Geometry in Europe ii (AGE), Contrat
CHRXCT-940557.
1
d'obtenir, pour k = C , les nombres de Hodge hp q (Fr (X)) pour p + q assez petit (inferieur
a dim X ; 2r ; 1 pour n grand). Apres avoir redige cette partie, nous nous sommes rendus
compte que Borcea avait deja utilise le theoreme d'annulation de Bott dans ce cadre (il
obtient entre autres les resultats du x 2 en caracteristique nulle).
Les m^emes methodes permettent d'etudier dans le x 4 la restriction
H0 (G(r Pn) O(l)) ;! H0(Fr (X) O(nl)) on montre que pour n assez grand, Fr (X) est
projectivement normal dans G(r P ) , etn que toute equation de Fr (X) est de degre au
moins egal a une equation de X dans P . On donne aussi une formule explicite pour le
calcul du degre des schemas Fr (X) : c'est le coecient d'un mon^ome particulier dans un
polyn^ome explicite en r + 1 variables. On donne quelques exemples de ce calcul pour des
hypersurfaces de bas degre.
On s'interesse ensuite aux sous-schemas de Fr (X) qui parametrent les r-plans
contenant un r0-plan xe le theoreme principal du x 5 generalise les resultats analogues
du x 2 dans ce cadre. On en deduit que Fr (X) est separablement uniregle en droites pour
n assez grand, ce qui nous permet dans le x 6 d'adapter des idees de K] pour montrer,
toujours pour n assez grand, que le groupe de Chow rationnel des 1-cycles sur un schema
Fr (X) est de rang 1 . Il est tentant de generaliser une conjecture de Srinivas et Paranjape
(P]) de la facon suivante : pour n assez grand, les groupes de Chow rationnels
de basse
dimension de Fr (X) devraient ^etre ceux de la grassmannienne ambiante G(r Pn) .
Dans le x 7, on demontre, comme conjecture dans BVV], que le schema Fr (X) est
unirationnel pour n assez grand et X generique. On se ramene pour cela a un resultat de
Predonzan (Pr]), precise dans l'article PS], qui fournit un critere explicite pour l'unirationalite d'une intersection complete dans un espace projectif. Les bornes obtenues sont explicites,
mais tres grandes par exemple,
on montre que la variete des droites contenues dans une
hypersurface cubique de Pn est unirationnelle pour n 433 (alors que c'est deja une variete
de Fano pour n 6 ). Lorsque X est une hypersurface, une version un peu plus generale
des resultats de ce x est demontree dans Ch] la demonstration est basee sur des resultats
de Harris, Mazur et Pandharipande.
Les resultats de cet article ont paru pour la premiere fois en novembre 1996 sur le
serveur alg-geom, sous le titre hh Schemas de Fano ii .
1. Notations
Soient k un corps algebriquement clos et V un k-espace vectoriel de dimension n + 1. Pour toutePssuite nie d = (d1 : : : ds ) d'entiers positifs,;det tout
; posiP entier
tif r , on dnote jdLj s= i=1 ddi , puis d + r = (d1 + r : : : ds + r) et r = si=1 dri . On
pose Sym V = i=1 Sym i V , espace vectorield que l'on notera aussi ;PV (d) . Enn,
si f = (f1 : : : fs) est un element non nul de Sym V , on note Xf le sous-schema de PV
d'equations f1 = = fs = 0 on dira d'un tel schema qu'il est de ni par des equations de
degre d .
On pose ensuite
d
+
r
(n d r) = (r + 1)(n ; r) ; r
2
et ;(n d r) = minf(n d r) n ; 2r ; sg , que l'on ecrira simplement et ; lorsque
aucune confusion ne sera a craindre.
2. Dimension, lissite et connexite
On montre dans ce numero que les schemas Fr (X) associes a un sous-schema X de
pour X generale, et connexes lorsque cette dimension est strictement positive. Divers cas
particuliers du theoreme suivant etaient deja connus : citons par exemple BVV], qui traite
le cas k = C et r = s = 1 P], Mu] et PS], qui demontrent b) B1], qui demontre le
theoreme lorsque k est de caracteristique nulle et K], qui traite le cas r = s = 1 (th. 4.3,
p. 266), et dont nous empruntons les idees. Lorsque k = C , une demonstration completement
dierente decoule de celle du theoreme 3.4 (cf. rem. 3.6.1).
Pour appliquer le theoreme, il est utile de noter que lorsque d 6= (2) , l'entier (n d r)
est positif (resp. strictement positif) si et seulement si ; (n d r) l'est.
Pnk deni par des equations de degre d = (d1 : : : ds ) sont lisses de la dimension attendue
Theoreme 2.1.{ Soient X un sous-schema de Pnk de ni par des equations de degre d , et
Fr (X) le schema des r-plans contenus dans X .
a) Lorsque ; (n d r) < 0 , le schema Fr (X) est vide pour X generale.
b) Lorsque ;(n d r) 0 , le schema Fr (X) est non vide il est lisse de dimension
(n d r) pour X generale.
c) Lorsque ;(n d r) > 0 , le schema Fr (X) est connexe.
Considerons la variete d'incidence
Ir = f(f ]) 2 Symd V G(r Pn) j Xf g
et les projections
pr : Ir ! Symd V (dont la bre au-dessus de
f s'identie a Fr (Xf ) ) et
n
;1 (]) est le noyau du morq : Ir ! G(r P ) . Etant
donn
e
un
r
-plan
=
P
W
,
la
bre
q
;d+r
dV ,
phisme surjectif Symd V ! Symd W . Elle est donc de
;d+codimension
r dans Sym
r
n
d
de sorte que Ir est irreductible lisse de codimension r dans Sym V G(r P ) .
On note Zr le ferme des points de Ir ou pr n'est pas lisse, et r l'image de Zr
par pr (avec la convention ;1= ? ). Soit un r-plan,Jd'equations xr+1 = = xn = 0
dans PV pour tout entier m 0, on note Bm la base fx j J f0 : : : rg Card(J) = mg
de l'espace vectoriel ; (m) on note aussi Bd la base 1(Bd1 ) s(Bds ) de l'espace
vectoriel ; (d) (ou i est l'injection canonique de ; (di ) dans ; (d) ).
Lemme 2.2.{ Pourn;qu'un
point (f ]) de Ir soit dans Zr , il faut et il sut que le
r
morphisme : ; (1) ! ; (d) de ni par
(hr+1
n
X
n
X
@f
s
hj @x j
: : : hn) =
hj @x j : : :
j j j =r+1
j =r+1
@f 1
ne soit pas surjectif.
Cela resulte d'un calcul explicite fait dans BVV] dans le cas r = s = 1 .
3
Lorsque X est lisse de dimension n ; s le long de , on a une suite exacte
s
M
n
;r u
0 ;! N=X ;! O(1) ;! O (di ) ;! 0
i=1
et le morphisme n'est autre que H0 (u) (cf. BVV], prop. 3 et K], p. 267 dans le cas
r 1= s = 1 ). La condition du lemme est donc equivalente dans ce cas a l'annulation de
H ( N=X ) .
Soit : ; (1) ; (d ; 1) ! ; (d) le morphisme de multiplication, deni par
(h g1 : : : gs) = (hg1 : : : hgs) . Si H est un hyperplan de ; (d) , on note ;1(H)
l'ensemble f g 2 ; (d ; 1) j (; (1) fgg) H g .
On peut reenoncer le lemme 2.2 de la facon suivante : soit Z le sous-ensemble de
q;1 (]) P; (d) forme des couples (f `]) tels que
@f
s
@xj j : : : @xj j
@f 1
soit dans ;1(Ker(`)) pour tout j = r + 1 : : : n alors Zr \ q;1 (]) s'identie a la
premiere projection de Z . Pour
tout entier h , notons Lh l'ensemble des formes lineaires
` sur ; (d) veriant codim ;1(Ker(
des elements (f `]) de Z
; @f
P `)) = h , et Zh l'ensemble
i
avec ` 2 Lh . On peut ecrire fi = nj=r+1 xj fij , avec fij j = @x
j j , de sorte que
(2.3)
codimq;1 (]) pr1(Zh ) h(n ; r) ; dim PLh
et
(2.4)
codimIr Zr = codimq;1 (]) pr1 (Z ) 1min
h(n ; r) ; dim PLh ] :
hr+1
(2.5) Soit ` une forme lineaire sur ; (d) . Soit M la matrice a coecients dans
P ; (d)
de la forme bilineaire dans
les
bases
B
et
B
=
B
qu'un
e
l
e
ment
g
=
1
d
;1 . Pour
P
b2B gb b
de ;(d ; 1) soit dans ;1(Ker(`)) , il faut et;1il sut que b gb`(xj b) soit nul pour tout
j = 0 : : : r , de sorte que la codimension de (Ker(`)) dans ; (d ; 1) est le rang de la
matrice `(M).
Lemme 2.6.{ Soient (f ]) un element de Zr p;r 1 (r;1;)1 et ` une forme lineaire non
nulle sur ; (d) , qui s'annule sur l'image de . Alors (Ker(`)) est de codimension
r + 1 dans ; (d ; 1) .
Procedons par l'absurde en supposant que la matrice `(M) denie ci-dessus ne soit pas
de rang maximal. Quitte a eectuer un changement
lineaire de coordonnees, on peut supposer
`(xr b) = 0 pour tout b dans B , de sorte que si 0 0 est l'hyperplan de0 denin;par
xr = 0 , la
forme lineaire ` provient d'une forme line0 aire ` sur ;0 (d) . Si : ;0 (1) r+1 0! ;0 (d)
est le 0 morphisme associ
e au point (f ]) de Ir;1@f deni 0dans le lemme 2.2, ` s'annule
sur (f00g ;0 (1)n;r ) . Comme la restriction
de @xir a est nulle pour tout i , la forme
0
lineaire ` s'annule sur toute l'image de , ce qui contredit l'hypothese f 2= r;1 .
4
;
En d'autres termes, q;1 (]) \ Zr p;r 1(r;1 ) est contenu dans pr1(Zr+1 ) , et
(2.3) entra^ne
;1
dim(Zr p;r 1 (r
;1 )) = dim Ir ; codimIr (Zr pr (r;1 ))
dim Symd V + dim G(r Pn ) ; d +r r ; (r + 1)(n ; r) + dim P; (d) < dimSymd V :
(2.7) Il en resulte r r;1 6= Symd V , d'ou r 6= Symd V par recurrence sur r .
On remarquera que nous avons en fait demontre que r a au plus une composante
irreductible de plus que r;1 , c'est-a-dire au plus r + 1 composantes irreductibles.
Lemme 2.8.{ Pour 1 h r + 1 , la dimension de Lh est au plus h(r ; h + 1) + ;d+h;h;1 1 .
On garde les notations de (2.5). Supposons lesPh ;premi
lignes de la matrice `(M)
1 a e`(res
lineairement independantes on peut ecrire `(Ixj b) = hi=0
ij xi b) , pour tous j = h : : : r
et b 2 B , de sorte que les `(bi ) , pour bi = x dans Bdi , peuvent s'exprimer en fonction de
ceux pour lesquels I f0 : : : h ; 1g , et des h(r ; h + 1) coecients aij .
L'inegalite (2.4) donne
d
+
h
;
1
codimIr Zr 1min
h
(
n
;
2
r
+
h
;
1)
;
+1 :
h
;
1
hr+1
(2.9) Lorsque d 6= (2) , on verie que l'expression entre crochets est une fonction concave
' de h sur 1 +1 lorsque d = (2) et ; 0, c'est une fonction croissante. On a dans
chacun de ces cas
codimIr Zr minf'(1) '(r + 1)g + 1 = ; + 1 :
Supposons ; < 0 . Si d = (2) , cela signie 2r n si une quadrique X contient un
r-plan , ecrivons en gardant les m^emes notations f = xr+1 `r+1 + + xn`n , ou les `i
sont des formes lineaires. Comme n ; r r , celles-ci ont un zero commun sur , qui est
un point singulier de X , ce qui ne
peut se produire pour X generale. Lorsque d 6= (2) , on
a < 0 , d'ou dim Ir < dim Symd V , et pr n'est pas surjective ceci montre a) dans tous
les cas.
Supposons ; 0 il existe d'apres (2.9) un point de Ir en lequel pr est lisse. Cela
entra^ne que pr est surjective, et que Fr (X) est de
dimension pour X generale. Par (2.7),
pr est lisse au-dessus d'un ouvert dense de Symd V , ce qui montre b).
Supposons maintenant
0 , et considerons comme dans BVV] la factorisation de
Symd V; >
Stein pr : Ir ;! S ;!
du morphisme propre pr . Si le morphisme est ramie,
le theoreme de purete entra^ne que Zr contient l'image inverse d'un diviseur de S , ce qui
contredit l'estimation
de (2.9). Il s'ensuit que est etale, donc que c'est un isomorphisme
d
puisque Sym V est simplement connexe. La variete Fr (X) est donc connexe pour toute
X , ce qui montre c).
Remarques
2.10. 1) Soit S le sous-bre tautologique sur G(r PV) . Tout element f de
Symd V induit une section du bre Symd S , dont le lieu des zeros est le schema Fr (Xf ) . La
5
partie b) du theoreme montre que lorsque ; (n d r) 0 , la classe de Chern cmax(Symd S )
n'est pas nulle. On verra dans le x 4 comment expliciter cette classe de Chern dans l'anneau
de Chow de la2 grassmannienne. On remarque que lorsque d n= (2) et que ; < 0 , le
rang de Sym S est
plus petit que la dimension de G(r P ) , mais sa classe de Chern
d'ordre maximal 2r+1r+1 r ::: 1 est nulle (cf. Fu], ex. 14.7.15).
2) Toute quadrique lisse X dans Pn est projectivement equivalente a la quadrique
d'equation x0 x1 + x2 x3 + + xn2;1xn = 0 si n est impair, a la quadrique d'equation
x0 x1 + x2x3 + + xn;2 xn;1 + xn = 0 si n est pair. Le schema Fr (X) est donc lisse
connexe des que ; > 0 , c'est-a-dire n > 2r + 1 on sait qu'il a deux composantes connexes
si n = 2r + 1 .
3. Groupes d'homotopie, groupes de cohomologie et groupe de Picard
Les resultats de D1] et S] permettent de calculer les groupes d'homotopie des schemas
Fr (X) pour n assez grand.
Proposition 3.1.{ Soit X un sous-schema de Pnk de ni par des equations de degre d .
On suppose Fr (X) irreductible de dimension .
2 ;d+r + r + 1 , le schema Fr (X) est algebriquement simplement cona) Si n r+1
r
nexe, topologiquement simplement
connexe lorsque k = C .
;
n ) Fr (X) = 0 pour
b)
Lorsque
k
=
C
et
que
F
(X)
est
lisse,
on
a
G(
r
P
r
i
;
;
n 2 d+r r + i ; 1 . En particulier, si n 2 d+r r + 2 , le groupe de Picard de Fr (X) est
isomorphe a Z, engendre par la classe de O(1) .
Le point b) est consequence directe de S]. Pour a), il sut par D1], cor. 7.4 de
montrer que Fr (X)] Fr (X)] G(r Pn;1)] est non nul dans A(G(r Pdn )) . Par ladremarque
2.10, cette intersection est la classe de Chern de degre maximal de Sym S Sym S S ,
et celle-ci est non nulle des que (n ; 1 (d d) r) est positif, condition qui decoule de
l'hypothese.
Remarques 3.2. 1) On rappelle que i (G(r Pn )) ' i;1(U(r + 1)) pour i 2(n ; r) (H],
chap. 7) si l'onn suppose aussi i 2(r + 1) , le theoreme de periodicite de Bott implique
donc i (G(r P )) = Z ou 0 selon que i est pair nou impair. En general, il peut cependant
appara^tre de la torsion (par exemple, 11 (G(3 P )) = Z2 Z120 si n 9 ).
2) La remarque 2.10 montre que lorsque Fr (X) est de dimension , on a
!Fr (X) ' !G(r Pn) max
^
Symd S jFr (X) ' OFr(X)( dr ++ 1r
;
; n ; 1) :
+r , donc simplement
En particulier, Fr (X) est une variete de Fano lorsque n dr+1
connexe lorsque k = C (C1], KMM1]). Cette borne est neanmoins moins bonne que celle
de la prop. 3.1.a) des que l'un des di est 3 .
3) Les bornes de la proposition ne sont pas optimales, comme le montre l'exemple
ci-dessous.
Le theoreme suivant laisse a penser que l'on devrait avoir i (G(r Pn) Fr (X)) = 0 pour
i ;(n d r) .
6
Exemple 3.3. Soit X une hypersurface cubique lisse dans Pnk par BVV], prop. 5, F1(X)
est une variete lisse connexe de dimension 2n ; 6. La proposition entra^ne que F1(X) est
simplement connexe pour n 6 . Lorsque k = C , cela reste vrai pour n = 5 (BD], prop.
3), mais pas pour n = 4 puisque b1(F1 (X)) = 10 (AK], prop. 1.15).
Passons maintenant au resultat principal de ce numero. On a vu en 2.10 que Fr (X)
est le lieu des zeros d'une section d'un bre vectoriel sur la grassmannienne lorsqu'il a la
codimension attendue, son ideal admet une resolution par un complexe de Koszul. Lorsque
k = C , on montre a l'aide du theoreme de Borel-Weil-Bott (Bo], De]) et des resultats
de Ma1] et Ma2] un theoreme d'annulation (prop. 3.8) qui nous permettra de determiner
certains groupes de cohomologie des schemas Fr (X) .
Theoreme 3.4.{ Soit X un sous-schema de PnC de ni par des equations de degre d , tel que
Fri (X) soit
lisse de dimension (n d r) . Le morphisme de restriction
H (G(r Pn) Q) ! Hi (Fr (X) Q) est bijectif pour i < ; (n d r) .
En particulier, les nombres de Hodge hp q (Fr (X)) et hp q (G(r Pn )) sont egaux si
p + q < ; . Rappelons que ces derniers sont nuls pour p =
6 q , et qu'ils sont egaux si p = q
au nombre de partitions de p inscrites dans un rectangle de c^otes r + 1 et n ; r . On
retrouve aussi un resultat de BV] :
Corollaire 3.5.{ Si de plus ; 3 , le groupe de Picard de Fr (X) est de rang 1 .
Remarques 3.6. 1) La borne du theor
eme est souvent la meilleure
;
possible : pour une
hypersurface cubique lisse X dans P5 , on a ; = 2 et b2 F1(X) = 23 (BD], prop.
3). Supposons d = (2 2) et n = 2g + 1 la variete Fg;2(X) est isomorphe a l'espace de
modules des bres stables de rang 2 et de determinant xe de degre; impair sur
une courbe
hyperelliptique C de genre g (DR], th. 1) on a ; = 3 et b3 Fg;2 (X) = 2g (D2],
ex. 4.4.2), p. 126). La ;variete Fg;1(X) est isomorphe a la jacobienne de C (DR], th.
2);
on a ; = 1 et b1 Fg;1 (X) = g . Enn, pour d = (2 2) et n = 6 , on a ; = 2 et
b2 F1(X) = 8 (B2], th. 2.1).
2) Le theoreme permet de retrouver, lorsque k = C , les points b) et c) du theoreme 2.1
c'est la methode suivie dans B1].
3) Il;dr+esulte
du corollaire 5.5 et de K], cor. 1.11, p. 189 et cor. 3.8, p. 202, que pour
n r+1r + r + 1 , les groupes H0 (Fr (X) !mFr (X)) et H0 (Fr (X) (!1Fr (X))m) sont nuls pour
tout m > 0 . Lorsque k est de caracteristique nulle, l'annulation de ces groupes peut se
deduire de la remarque 3.2.2);d+etrdu theoreme 2.13 de K], p. 254 (cf. C2] et KMM2]), sous
l'hypothese plus faible n r+1 .
; +r ; r+1
4) On montrera en (6.4) que pour n dr+1
+ r + 1 et n d+r+2
, on a H1 q (Fr (X)) = 0
pour tout q > 1 , un resultat qui n'est pas couvert par le theoreme.
; +r
5) Lorsque n dr+1
, Fr (X) est une variete de Fano (remarque 3.2.2). Lorsque k est
de caracteristique nulle, le theoreme d'annulation de Kodaira entra^ne que son groupe de
Picard est sans torsion (cf. K], (1.4.13), p. 242). Vue l'hypothese sur n , et sauf dans le cas
d = (2 2) et n = 2r + 4 , on a ; 3 , d'ou Pic(Fr (X)) ' Z par le corollaire (comparer avec
7
la prop. 3.1.b). Lorsque d = (2 2) et n = 2g + 1 , l'isomorphisme Pic(Fg;2 (X)) ' ZO(1)]
(on a ; = 3 ) est demontre dans DR], (5.10) (II), p. 177 (cf. aussi R]).
Demonstration du theoreme 3.4.d Sous les hypotheses du theoreme, Fr (X) est le lieu des
zeros d'une section du bre Sym S , et sa codimension dans la grassmannienne est le rang
de ce bre. Il existe donc une suite exacte (complexe de Koszul) :
(3.7)
0!
max
^
2
^
(Symd S) ! ! (Symd S) ! Symd S ! IFr (X) ! 0 :
Notre outil essentiel sera le theoreme d'annulation suivant :
Proposition 3.8.{ Soient a b i j1 : : : js des entiers tels que b < a + d1j1 + + dsjs et
b + i < ; . Alors
Hj1 ++js +i(G(r PnC )
j1
^
js
^
(Symd1 S) (Symds S) Sa S b) = 0 :
V
V
Soit Sym S une composante de j1 (Symd1 S) js (Symds S) Sa S b , ou
= (0 : : : r ) jest
une suite decroissante d'entiers relatifs. D'apres le theoreme de Bott
(De], Ma1]), H +i(G Sym S) ne peut ^etre non nul que s'il existe un entier h , avec
0 h r + 1 , tel que j + i = h(n ; r) et h h , ce qui implique en particulier que la
somme des composantes de d'indice superieur ou egal a h verie jjh h(r + 1 ; h) .
Comme jj = jj0= d1j1 + + dsjs + a ; b > 0 , le cas h = 0 est exclu. De plus,
d
+
h
;
1
jjh j1 + + js ; h ; 1 ; b :
En eet, supposons tout d'abord a = b = 0 . Admettons provisoirement le cas
s = 1 le cas ou s est quelconque s'ensuit, puisque si Sym S est un facteur direct de Sym1 S Syms S , la regle de Littlewood
et Richardson implique jjh j1jh+ + jsjbh . Enn, tensoriser par S a ne peut qu'augmenter jjh , tandis que
tensoriser par S fait diminuer jjh au plus de b .
Pour conclure a une contradiction, il sut donc de verier que pour 1 h r + 1 ,
d
+
h
;
1
h(n ; 2r + h ; 1) ; h ; 1 > b + i :
On retrouve au membre de gauche la fonction ' de (2.9) comme ; est positif, le
lemme resulte de l'hypothese ; > b + i comme en (2.9). Il reste a traiter le cas a = b = 0
et s = 1 , qui resulte du lemme suivant.
Lemme 3.9.{ Soient
V un espace vectoriel complexe, m et d des entiers,
et e la
V
dimension de Symd Vm . Pour toute composante irreductible Sym V de j (Symd V) , on
a jj>m j ; e .
Soit X la grassmannienne des sous-espaces de codimension m de V , soit Y celle
des sous-espaces de codimension e de Symd V . On notera SX et QX les bres tautologique
8
et quotient sur X , de m^eme que SY et QY sur Y . On dplonge X dans
Y en associant au
noyau du quotient V ! Q celui du quotient induit Sym V ! Symd Q .
Vj
D'apres le theVor
ej;me
de
Borel-Weil,
(Symd V) est l'espace des sections globales du
e
bre E = det QY SY . Notons (;l)l0 la ltration de cet espace de sections selon
leur ordre d'annulation l sur X . On dispose d'applications injectives
;l=;l+1 ,! H0(X EjX Syml N )
ou N est le bre normal de X dans Y .
Le membre de droite ne se deduit pas directement du theoreme de Borel-Weil.
Cependant, tout bre homogene F sur X admet une ltration homogene dont les quotients
successifs dont irreductibles, c'est-a-dire produits de puissances de Schur de QX et SX . La
somme gr F de ces quotients ne depend pas de la ltration choisie, et le lemme de Schur
implique l'existence d'une injection H0(X F ) ,! H0 (X gr F ) : led theoreme de Borel-Weil
explicite ce dernier espace de sections. Par exemple, QY jX = Sym QX est irreductible, et
gr SY jX =
d
M
i=1
Symd;i QX Symi SX
a tous ses termes de degre superieur ou egal a 1 en SX . Cela implique que EjX est somme
de bres de la forme Sym QX Sym SX , avec j j j ; e . L'espace des sections globales
d'un tel bre est une puissance de Schur Sym V , ou = ( ) est la partition (si c'en est
une) obtenue en concatenant et V
. En particulier, jj>m = j j j ; e , ce qui demontre
le lemme pour les composantes de j (Symd V) qui proviennent de ;0 =;1 .
Pour etendre ce resultat a celles qui proviennent de ;l=;l+1 pour tout l > 0 , il
sut de s'assurer que toute composante irreductible de grN est de degre positif ou nul en
SX1 . Mais c'est une consequence immediate du fait que N est un sous-bre homogene de
!Y jX = QY jX SY jX , puisque QY jX est de degre zero, et chaque composante de SY jX de
degre positif en SX .
Revenons a la demonstration du theoreme 3.4 posons G = G(r PV) et F = Fr (X) .
Il sut de le verier pour la cohomologie
complexe, donc, via la decomposition de Hodge,
de demontrer que les morphismes Hq (G !pG ) ! Hq (F !pF) sont bijectifs
pq+ q <p; ,
ppour
q
et injectifs
pour
p
+
q
=
.
On
va
montrer
que
les
morphismes
H
(G
!
)
!
H
(F !GjF)
;
G
et Hq (F !pGjF) ! Hq (F !pF) ont les m^emes proprietes.
Pour les premiers, il s'agit de verier que Hq (G IF !pG) = 0 pour p + q ; , donc,
via le complexe de Koszul, que
j
^
(Symd S)) = 0 pour tout j > 0 :
Rappelons que si Q est le bre quotient sur G , on dispose d'un isomorphisme
!1G ' Q S , d'ou la suite exacte 0 ! !1G ! V S ! S S ! 0 . Sa puissance exterieure
p-ieme montre que l'annulation precedente est consequence de
Hq+j;1 (G !p
G
Hq+j;i;1 (G
j
^
p;i
^
(Symd S) (V
S) Symi (S S)) = 0
9
pour tout j > 0 i 0
ce qu'assure la proposition 3.8 des que q ; .
Pour les seconds, la suite exacte normale montre qu'il sut de s'assurer que
Hq+i(F !pG;i;1jF Symi (Symd S)) = 0
pour tout i > 0
donc, a cause encore une fois du complexe de Koszul, que
j
^
p
;i;1
i
d
q
+
i
+
j
H
(G !
Sym (Sym S) (Symd S)) = 0
G
pour tout i > 0 j 0 :
En raisonnant comme on vient de le faire, on constate que cette annulation a lieu des
que i + q < ; , ce qui conclut cette demonstration puisque i < p .
4. Normalite projective, equations et degre
Theoreme 4.1.{ Soit X un sous-schema de PnC de;d+nirpar des equations de degre d , tel
que Fr (X) soit de dimension . Supposons n r + r . Alors Fr (X) est projectivement
normale, autrement dit les morphismes de restriction
l : H0 (G(r Pn) O(l)) ;! H0 (Fr (X) O(l))
sont surjectifs pour tout l 0 . Par ailleurs, l est injectif pour l < d; = minfd1 : : : ds g .
Posons G = G(r Pn) d'apres le theoreme de Bott,
Hj (G
j
^
(Symd S)(l)) = 0
pour tout j > 0 et tout l 0 :
En eet, si l'on raisonne comme dans la demonstration de la proposition 3.8, cet espace
ne peut ^etre non nul que si j est multiple de n ; r vue l'hypoth
V ese n ; r codim Fr (X) , la
seule possibilite est j = n ; r = codim Fr (X) , auquel cas j (Symd S)(l) est une puissance
de O(1) , et n'a donc pas non plus de cohomologie en degre n ; r . La normalite projective
s'ensuit, via le complexe de Koszul (3.7) tordu par O(l) .
En fait, les arguments precedents impliquent plus precisement que la suite spectrale
associee a ce complexe de Koszul tordu degenere en E2 , ce dont on deduit que le complexe
des sections globales
2
^
;! H0(G (Symd S)(l)) ;! H0 (G Symd S(l)) ;! H0 (G IFr (X)(l)) ;! 0
est exact. Mais pour l < d; , on a H0 (G Symd S(l)) = 0 d'apres le theoreme de Bott, d'ou
l'inexistence d'equations de Fr (X) de degre l .
Remarques 4.2. 1) Ce dernier complexe implique au passage que H0(G IFr (X)(d; )) n'est
pas nul, et l'on peut calculer explicitement sa dimension.
2) Les schemas Fr (X) ne sont en general pas projectivement normaux si l'on revient
au cas d = (2 2) et n = 2g + 1 (cf. rem. 3.6.1), la dimension des espaces vectoriels
10
H0 (Fg;2 (X) O(l)) est donnee par la formule de Verlinde (Sz]), et aucun l ( l > 0 ) n'est
surjectif.
i
3) Le theoreme d'annulation
;d+rde
Kodaira entra^ne que les groupes H (Fr (X) O(l)) sont nuls
pour i > 0 et l ;n + r+1 . Si l'on raisonne comme dans la preuve de la proposition
3.8, on montre facilement la m^eme annulation lorsque 0 < i < min( n ; (l + 2)r ; s) . A
l'exterieur du domaine 6deni par ces inegalites, 2il peut ne pas y avoir annulation : pour
une sextique X dans P , on peut montrer que H (F1(X) O(6)) est de dimension 10024
(alors que F1(X) est de dimension 3 ).
Introduisons des polyn^omes a r + 1 variables, e(x) = x0 + + xr , et
Y
Qr d(x) =
(a0 x0 + + ar xr )
a0 ++ar =d
puis Qr d (x) = Qr d1 (x) Qr ds (x) .
Theoreme 4.3.{ Soit X un sous-schema de Pnk de ni par des equations de degre d ,
tel quen Fr (X) soit de dimension . Le degre de
Fr (X) pour le plongement de Plucker de
G(r P ) est egal au coecient du mon^ome xn0 xn1 ;1 xnr ;r dans le produit du polyn^ome
Qr d e et du Vandermonde.
Ce degre est
deg(F) =
Z
G(r Pn )
cmax(Symd S )c1(O(1)) :
Rappelons que l'anneau de Chow de G(r Pn) est un quotient de l'anneau des
polyn^omes symetriques
a r + 1 variables x0 : : : xr , e(x) relevant c1(O(1)) , et Q(x)
d
relevant cmax(Sym S ) (Fu], 14.7). De plus, integrer sur G revient, au niveau des
polyn^omes, a decomposer sur les polyn^omes de Schur (M]), et ne retenir que le coecient
de celui qui
est associe a la partition rectangle ayant r + 1 parts egales a n ; r , a savoir
(x0 : : : xr )n;r .
Il sut donc de montrer que si P est un polyn^ome symetrique, que l'on decompose
sur
les
polyn^omes de Schur, le coecient du precedent est egal a celui du mon^ome
xn0 xn1 ;1 xnr ;r dans le produit de P et du Vandermonde. Mais par linearite, il sut de
le verier lorsque P est lui-m^eme un polyn^ome de Schur, auquel cas c'est une consequence
immediate de l'expression de Jacobi de ces polyn^omes (FH], (A.23), p. 459).
Donnons quelques exemples numeriques, d'abord pour le cas des droites d'une
hypersurface, qui est d^u a Van der Waerden (vW]), puis pour r 2, toujours dans le
cas d'une hypersurface.
11
d
n
dim F
deg F
d
n
dimF
deg F
3
3
0
27
5
5
2
6 125
3
4
2
45
5
6
4
16 100
3
5
4
108
5
7
6
46 625
4
4
1
320
6
5
1
60 480
4
5
3
736
6
6
3
154 224
4
6
5
1 984
7
5
0
698 005
4
7
7
5 824
7
6
2
1 707 797
5
4
0
2 875
9
6
0
305 093 061
1. Degres de schemas F1 (X) .
r
d
n
dimF
deg F
r
d
n
dim F
deg F
2
3
6
2
2 835
2
5
9
0
2 103 798 896 875
2
3
7
5
24 219
3
3
8
0
321 489
2
3
8
8
274 590
3
3
9
4
10 344 510
2
4
7
0
3 297 280
4
3
11
0
1 812 768 336
2. Degres de schemas Fr (X) pour r = 2 3 4 .
La m^eme methode permet en fait de determiner la decomposition
Fr (X)] =
X
jj=codimFr (X)
f de la classe fondamentale de Fr (X) sur les classes des cycles de Schubert de la grassmannienne, ou l'on note la classe du cycle de codimension jj associe a la partition
= (0 : : : r ) .
Proposition 4.4.{ Si l'on ecrit Qr d(x) = P q x , et si designe la suite (r : : : 1 0) ,
alors
f =
X
2Sr+1
"()q
(+); :
Notons que si l'on adopte pour les cycles de Schubert la m^eme convention que pour
les polyn^omes de Schur, a savoir que pour chaque suite d'entiers , on pose = "( )
s'il existe une partition et une permutation 2 Sr+1 telles que + = ( + ) , et
= 0 sinon, la proposition precedente se traduit par la simple egalite
Fr (X)] =
X
12
q :
Donnons par exemple les classes de quelques varietes Fr (X) en bas degre.
Si d = (2)
Si d = (3)
Fr ] = 2r+1 r+1 r ::: 1
F1] = 9(23 1+ 32 2)
F2] = 27(86 3 1 + 126 2 2 + 205 4 1 + 505 3 2 + 424 4 2 + 354 3 3) :
Si d = (4)
F1] = 32(34 1+ 103 2)
F2] = 512(5410 4 1 + 18010 3 2 + 3699 5 1 + 15999 4 2 + 12309 3 3
+ 8198 6 1 + 50228 5 2 + 84598 4 3 + 5047 7 1 + 60397 6 2
+ 188897 5 3 + 133547 4 4 + 116606 6 3 + 235606 5 4 + 64405 5 5) :
Si d = (5)
F1] = 25(245 1+ 1304 2+ 913 3) :
Si d = (2 2) F1] = 16(4 2+ 3 3)
F2] = 64(6 4 2 + 6 3 3 + 5 5 2 + 25 4 3 + 4 4 4) :
5. Espaces lineaires sur les schemas Fr (X)
Le but de ce paragraphe est de montrer que les schemas Fr (X) sont separablement
uniregles en droites pour n assez grand (corollaire 5.5). Pour cela, nous commencons par
generaliser les resultats du x 2 aux sous-schemas de Fr (X) formes des r-plans contenant un
sous-espace lineaire xe de dimension r0 < r . Pour de tels entiers, on pose
d
+
r
d
+
r
0
(n d r r0 ) = (r ; r0 )(n ; r) + r0 ; r
et
d
+
r
0
; (n d r r0 ) = minf(n d r r0 ) n ; 2r + r0 + 1 ; r0 + 1 g
de sorte que (n d r) = (n d r ;1) et ; (n d r) = ;(n d r ;1) . De nouveau, il est
utile de noter que lorsque d 6= (2) , l'entier (n d r r0 ) est positif (resp. strictement
positif) si et;dseulement
si ; (n d r r0 ) l'est cela resulte de la convexite de la fonc
tion : r 7! +r r ; r2 , qui entra^ne l'inegalite (r) ; (r0 ) (r ; r0 )((r0 + 1) ; (r0 ))
(puisque r > r0 ). Le theoreme suivant generalise le theoreme 2.1.
Theoreme 5.1.{ Soit X un sous-schema de Pnk de ni par des equations de degre d , soit
0 un r0 -plan contenu dans X , et soit Fr (X 0 ) , avec r > r0 , le schema de Hilbert des
r-plans contenus dans X et contenant 0 .
a) Lorsque ; (n d r r0 ) < 0 , le schema Fr (X 0 ) est vide pour X generale et 0
general contenu dans X .
b) Lorsque ;(n d r r0 ) 0 , le schema Fr (X 0 ) est non vide il est lisse de dimension
(n d r r0 ) pour X generale et 0 general contenu dans X .
c) Lorsque ;(n d r r0 ) > 0 , le schema Fr (X 0 ) est connexe.
En gardant les notations de la demonstration du theoreme 2.1, on considere
G0 = f] 2 G(r Pn ) j 0g . La dimension de I0 = q;1 (G0 ) est egale a
d
+
r
d
dimSym V ; r + (r ; r0 )(n ; r) :
13
Le c^one;d+Sr00 dans Symd V correspondant aux sous-schemas contenant 0 est de
codimension r0 , de sorte que dim I0 = dim S0 + . Supposons
; < 0 si d = (2) , cela
n ne contenait
signie 2r n , et on a deja vu qu'une quadrique
lisse
dans
P
pas de r-plan si d 6= (2) , on a < 0 , et le morphisme p0r : I0 ! S0 induit par pr n'est pas surjectif.
Cela montre a). On suppose maintenant ; 0 xons un r-plan contenant 0 , et
choisissons des coordonnees de facon que 0 soit deni par les equations xr0 +1 = = xn = 0,
et par xr+1 = = xn = 0 . Pour tout entier positif m , on note ;0(m) le noyau du morphisme ; (m) ! ;0 (m) .
La demarche est entierement analogue
a celle de la demonstration du theoreme 2.1.
0 soit lisse en un point (Xf ) de I0 , il faut et il
Soit f un element de S0 pour que
p
r
sut que le morphisme 0 : ;0 (1)n;r ! ;0(d) induit par le morphisme du lemme 2.2
soit surjectif.
Soit Z0 le lieu des points
de I0 ou p0r n'est pas lisse on montre comme en 2.6{2.7, par
0
recurrence sur r ; r0 , que pr (Z0 ) est distinct de S0 . Soit 0 : ;0(1) ;(d ; 1) ! ;0 (d)
le morphisme induit par la multiplication . On montre de la m^eme facon que si h est un
entier compris
entre 1 et r ; r0 , l'ensemble des formes lineaires `0 sur ;0(d) telles que
codim;0 1(`0 ) = h est de dimension
d
+
r
+
h
d
+
r
0
0
h(r ; r0 ; h) + r0 + h ; r0 :
On en deduit que la codimension de Z0 dans I0 est
d
+
r
+
h
d
+
r
0
0
1min
h(n ; r) ; h(r ; r0 ; h) ; r0 + h + r0 ] + 1
hr;r0
d
+
r
0
= minfn ; 2r + r0 + 1 ;
g + 1 = ; + 1
r0 + 1
puisque la fonction entre crochets est une fonction concave de h lorsque d 6= (2) , et
croissante lorsque d = (2) puisque ; est positif (cf. (2.9)). La n de la demonstration
est la m^eme que celle du theoreme 2.1.
Soient X un sous-schema de Pnk deni par des equations de degre d , et un (r + 1)plan contenu dans X . Les r -plans contenus dans denissent une inclusion de dans
Fr (X), dont l'image par le plongement de Pl#ucker est un (r + 1)-plan.
Corollaire 5.2.{ Soit X un; sous-sch
ema de Pnk de ni par des equations de degre d .
a) Si d 6= (2) et n r1 d+rr + r ; rs , ou si d = (2) et n 2r + 1 , la variete X est
recouverte par des r-plans.
; +r
b) Si n dr+1
+ r + 1 , la sous-variete Fr (X) de G(r Pn) est unireglee en droites.
Le point a) resulte du theoreme avec r0 = 0 . Soit 0 un r-plan contenu dans X sous
les hypotheses de b), le theoreme 5.1.b) entra^ne qu'il existe un (r + 1)-plan 1 contenu
dans X et contenant 0 . Le (r + 1)-plan 1 , contenu dans Fr (X) , passe par 0] . En
particulier, il passe une droite par tout point de Fr (X) .
14
Theoreme 5.3.{ Soit;d+Xrun sous-schema general de Pnk de ni par des equations de degre
d on suppose n r+1 + r + 1 . Soit un (r + 1)-plan general contenu dans X . La
restriction a une droite generale de du bre normal a dans Fr (X) est isomorphe a
+r
+r
);(d+r r) O(1)n;r;1;(dr+1
):
Or(n;r;1)+(dr+1
Soit N le bre normal a dans Fr (X) on a la suite exacte
0 ;! N ;!
;
N =G
jj
(S j )n;r;1
;! NFr (X)=G j ;! 0
jj
Symd S j
dont la restriction a une droite ` contenue dans est
(5.4)
u Symd S j ;! 0 :
0 ;! Nj` ;! (S j`)n;r;1 ;!
`
Comme SLj` est isomorphe a Or O(1) , cela entra^ne que Nj`0 est isomorphe a une
somme
directe j O(aj ) avec aj 1 pour tout j . On verie que H (` S j`) s'identie a
H0 ( O(1))
, c'est-a-dire a l'espace vectoriel note ; (1) dans la demonstration du theoreme
2.1 et H0 (` Symd S j`) a ; (d) . Soient x0 un point de ` , et 0 l'hyperplan de associe.
On a un diagramme commutatif
;0(1)n;r;1 ;;;! ; (1)n;r;1 ;;;! ;0 (1)n;r
?
0 ?y
?
?y
;0(d)
;;;!
;(d)
?
?
y
;;;!
;0 (d)
ou les
notations sont celles de la demonstration du theoreme 5.1. On verie que s'identie
a H0 (u) , et 0 a H0 (u(;x0)) : H0(` (S j`)(;x0 )n;r;1 ) ! H0 (` Symd S j`(;x0 )) . Comme
d
+
r
; (n d r + 1 r) = n ; r ; 1 ; r + 1
est positif par hypothese, la 1demonstration du theoreme 5.1 entra^ne que H0 (u(;x0 )) est
surjectif il en resulte que H (` Nj` (;x0 )) est nul, donc que les aj sont tous positifs. Le
rang et le degre de N` etant donnes par (5.4), cela demontre le theoreme.
Il n'est pas vrai en general que le bre normal a dans Fr (X) soit somme de bres
en droites cependant, c'est le cas lorsque (n d r + 1) est nul (BV], prop. 3).
15
Corollaire 5.5.{ Soit
ema general de Pnk de ni par des equations de degre
;d+rX un sous-sch
d on suppose n r+1 + r + 1 . La variete Fr (X) est separablement unireglee en droites.
L'hypothese sur n entra^ne que ; (n d r + 1) est positif soient 1 un (r + 1)-plan
general contenu dans X , et ` une droite generale contenue dans 1 . Le theoreme precedent
entra^ne que le bre normal a ` dans Fr (X) est somme de copies de O` et O`(1) , donc
que ` est libre au sens de K], p. 113. Le corollaire resulte alors de loc.cit., p. 188.
6. Cycles algebriques
On voudrait montrer que pour n assez grand, les groupes de Chow rationnels de
Fr (X) sont les m^emes que ceux de la grassmannienne ambiante G(r Pn) , generalisant ainsi
des resultats de P], K] p. 266, et ELV], qui traitent le cas r = 0 . On n'obtient malheureusement de resultats nouveaux que pour les groupes A1 (Fr (X))Q , en caracteristique nulle. Les
idees sont celles de K].
n de ni par des equations de degre d on
Proposition;6.1.{
Soit
X
un
sous-sch
e
ma
de
P
+r . Le schema F (X) est connexek par cha^nes rationnelles en particulier,
suppose n dr+1
r
A0 (Fr (X)) ' Z .
Lorsque X est generale, il resulte du theoreme 2.1 et de la remarque 3.6.1) que Fr (X)
est une variete de Fano lisse connexe, donc est connexe par cha^nes rationnelles (K], 2.13,
p. 254). Le cas general s'en deduit comme dans K], 4.9, p. 271.
On suppose maintenant k = C (pour generaliser les resultats qui suivent en toute
caracteristique, il surait de montrer que le groupe de Neron-Severi d'un schema Fr (X)
general est de rang 1 ).
Proposition 6.2.{
X un sous-schema de PnC de ni par des equations de degre d ;d+rSoit
on suppose n r+1 + r + 1 . Deux points quelconques de Fr (X) peuvent ^etre joints par
une courbe connexe de degre (n d r) , dont toutes les composantes sont des droites.
On peut supposer X generale, de sorte que Fr (X) est une variete de Fano lisse
unireglee en droites (cor. 5.2.b)), de groupe de Neron-Severi de rang 1 (cor. 3.5), sauf dans
le cas trivial n = 3, r = 0 et d = (2) . Le corollaire resulte de K], p. 252.
Soient X un k-schema et m un entier positif on note Am (X) (resp. Bm (X) ) le
groupe des classes d'equivalence rationnelle (resp. algebrique) de m-cycles sur
(cf. K], p.
; rX
+1 entra^ne
122).;Pour l'application du theoreme suivant, on notera que l'inegalite n d+r+2
+r + r + 1 sauf si d = (2 : : : 2) et r s .
n dr+1
Theoreme 6.3.{
ema de PnC de ni par des equations de degre d on
;d+rSoit X un sous-sch
suppose n r+1 + r + 1 .
a) L'espace vectoriel B1(Fr (X))Q est de rang 1 .
; r+1
b) Si de plus n d+r+2
, l'espace vectoriel A1 (Fr (X))Q est de rang 1 .
En raisonnant comme dans K], p. 271, on voit que la proposition 6.2 entra^ne que
A1 (Fr (X))Q est engendre par les classes des droites. Ces droites sont parametrees par
16
un bre en G(r ; 1 Pr+1 ) au-dessus de Fr+1(X) , de sorte qu'il existe un morphisme
surjectif A0 (Fr+1(X))Q ! A1(Fr (X))Q . Sous l'hypothese de a), Fr+1(X) est connexe. Sous
l'hypothese de b), il resulte du cor. 6.1 que A0 (Fr+1 (X))Q est de dimension 1 .
(6.4) Supposons Fr (X) lisse. La conclusion
eoreme precedent reste
; +r de la partie a) du th
valable sous l'hypothese plus faible n dr+1
cela resulte du corollaire 3.5 et de BS] (cf.
aussi K], th. 3.14, p. 207).
D'autre part, le theoreme 3.6.(b) de J] entra^ne que sous les
hypotheses de b), on a H1 q (Fr (X)) = 0 pour tout q > 1 , un resultat qui n'est pas couvert
par le theoreme 3.4.
Lorsque X contient un (r + l)-plan , len plongement G(r ) Fr (X) G(r Pn)
induit un isomorphisme Ai(G(r )) ' Ain(G(r P )) pour i l (Fu], p. 271), de sorte qu'on
a une surjection Ai (Fr (X)) Ai (G(r P )) .
Conjecture
ema de Pnk den ni par des equations de degre d . Si
;d+r+l 6.5.{ Soit X un sous-sch
n r+l+1 , le morphisme Al (Fr (X))Q ! Al (G(r P ))Q induit par l'inclusion est bijectif.
Lorsque l = 1 et k = C , c'est le theoreme precedent pour r = 0 c'est le theoreme
principal de ELV].
7. Unirationalite
Nous allons maintenant demontrer l'unirationalite des schemas Fr (X) pour n assez
grand en nous ramenant a un resultat de PS], qui fournit un critere explicite pour
l'unirationalite d'une intersection complete dans un espace projectif.
Ce critere est le suivant. On denit tout d'abord, pour toute suite d = (d1 : : : ds)
d'entiers strictement positifs, des entiers n(d) et r(d) de la facon suivante : on pose
n(1) = r(1) =0 0 (dans PS], on trouve n(1) = 1 , mais n(1) =0 0 sut)
si l'un des0 di vaut
1, on note d la suite d privee de di , et on pose n(d) = n(d ) + 1 et;dr+(rd()d)=;1r(d ) enn,
si tous les di sont > 1 , on pose r(d) = n(d ; 1) et n(d) = r(d) + r(d) . On a par
exemple
r(2 : : : 2) = s ; 1
r(3 : : : 3) = s2 + s ; 1
2
2
r(4 : : : 4) = s2 + s ; 1 + s (s + 1)(2s + s + 1) :
Les bornes donnees dans Ra] sont un peu meilleures, mais nous n'avons pas su extraire
de cet article un critere eectif.
Theoreme (Pr], PS]) 7.1.{ Soit F une intersection complete dans PNk de nie par
des equations g = (g1 : : : gS) de degre D et contenant un r(D)-plan . On suppose
N N+1
n(D) , que F est irreductible de codimension S et lisse le long de , et que l'application
: k ! ; (D ; 1) de nie par
N N X
X
@g
@g
1
S
(a0 : : : aN ) =
aj @x j : : :
aj @x j
j j j =0
j =0
est surjective. Alors F est unirationnelle.
On remarquera que la surjectivite de entra^ne celle de l'application denie en
2.2, donc la lissite de Fr(D)(F) en .
17
Theoreme 7.2.{ Il existe une constante explicite n(d r) telle que, pour
n n(d r) ,
le schema des r-plans contenus dans un sous-schema generique X de Pnk de ni par des
equations de degre d , est unirationnel.
Remarques 7.3. 1) La borne n(d r) que l'on obtient est tres grande.;diElle
enie de
est d
la facon suivante : soit D la suite d'entiers ou chaque di est repete r+r fois on pose
r1 = (r(D) + 1)(r + 1) ; 1 et
d
+
r
;
1
1
n(d r) = r1 +
:
r1
Pour le cas le plus simple r = 1 et d = (3) , c'est-a-dire pour le schema des
droites contenues dans une hypersurface cubique, on a D = (3 3 3 3) , r(3 3 3 3) = 19
et n((3) 1) = 859 . Dans ce cas precis, il est facile d'ameliorer la borne de PS] en
r(3 3 3 3) = 13 (il sut de remarquer qu'une intersection de 4 quadriques est rationnelle
des qu'elle contient un 3-plan dans son lieu lisse, en procedant par exemple comme dans
CTSSD]) on obtient alors n((3) 1) = 433.
;
On obtient aussi n((2 : : : 2) r) = s(s + 1) r+2
(r + 1) ; 1 . Rappelons que pour
d = (2 2) et n = 2g + 1 , la variete Fr (X) est une vari2ete abelienne pour r = g ; 1 (cf. rem.
3.6.1), et qu'elle est rationnelle pour r = g ; 2 (N]), donc unirationnelle pour r g ; 2.
2) L'adjectif hh generique ii de l'enonce du theoreme peut ^etre precise : si n n(d r) , le
schema Fr (X) est unirationnel s'il est irreductible de dimension (n d r) et si X contient
un r1-plan 1 pour lequel l'application du theoreme 7.1 est surjective.
Demonstration
du theor
eme. Soit V l'espace vectoriel kn+1 . On note (x(0) : : : x(r) ) ,
(
j
)
(
j
)
(
j
)
avec x r=+1(x0 : (:r:+1)(
xn ) , les coordonnees homogenes d'un point de l'espace projectif
P = P(V(0) ) = P(r) n+1);1 . Soit $ la (0)sous-varie(rt)e de P denie comme le lieu des
points (x : : : x ) tels que les points x ] : : : x ] de PV ne soient pas lineairement
independants. L'application
: P $ ;! G(r PV)
qui a (x(0) : : : x(r) ) associe le r-plan engendre par les points x(0)] : : : x(r) ] de PV est
une bration lisse connexe localement triviale.
Soient f = (f1 : : : fs ) les equations denissant X . On note F l'adherence dans P
de ;1 (Fr (X)) lorsque (n;dd+rr) 0 , il ressort du theoreme 2.1 que la variete F est
irreductible de codimension r dans P et lisse en dehors de $ pour f generique.
r+1 forme des (i0 : : : ir )
Pour
note Id le sous ensemble de N
P tout entier ;dd,+ron
tels que i = d il a r elements. Pour tout element f de Symd V et tout element
I = (i0 : : : ir ) de Id , on denit un polyn^ome fI multihomogene de mutidegre (i0 : : : ir )
sur P en posant
X
(7.4)
f (0 x(0) + + r x(r) ) = I fI (x(0) : : : x(r) )
I2Id
ou I = i00 irr on convient aussi que fI est nul si l'un des i est strictement negatif.
En dehors de $ , la variete F est denie par les equations
fi(0 x(0) + + r x(r) ) = 0 pour i = 1 : : : s et pour tout (0 : : : r ) 2 Pr
18
;
c'est-a-dire par les d+r r equations fi I , pour i = 1 : : : s et I 2 ;Idd+i .rEn fait, comme
$ est de codimension n + 1 ; r dans P , si on suppose n ; r r , ces equations
denissent F dans P la variete F est alors une intersection complete;diirr
eductible, lisse
en dehors de $ . Son degre est la suite D ou chaque di est repete r+r fois. Posons
r1 = (r(D) + 1)(r + 1) ; 1 on suppose (n d r1 ) 0 , de sorte qu'il existe un r1 -plan
1 = PW1r+1
contenu dans X on le suppose deni par les equations xr1 +1 = = xn = 0 .
On note 1 le ((r1 + 1)(r + 1) ; 1)-plan P(W1r+1 ) dans P .
Soit un r(D)-plan contenu dans r1+1 et disjoint de $ (on precisera plus bas
notre(rchoix
de ). En vue d'appliquer le theoreme 7.1, on veut verier que l'application
: k +1)(n+1) ! ; (D ; 1) denie par
(a(0) : : : a(r) ) =
X
jl
a(l j) @f(ijI) j 1is
@zl I2Idi
est surjective. Derivons l'egalite (7.4) par rapport a x(l j) on obtient
@f ( x(0) + + x(r)) = X I @fI (x(0) : : : x(r))
j @z
0
r
(j )
l
I2Id @zl
de sorte que si j est l'element de I1 dont toutes les composantes sauf la j ieme sont nulles,
on a
@f @fI
=
@zl I fj g @zl(j)
pour tout I dans Id et tout j = 0 : : : r . On peut donc ecrire
(a(0) : : : a(r) ) =
X
jl
i
a(l j) @f
@zl I
fj g
j
1is I2Idi
P @f pour tout f dans Sym V ,
ou encore, en posant @af = l al @z
l j1
(a(0) : : : a(r) ) =
Lemme 7.5.{ Pour n r1 +
l'application
est surjective.
X
j
;d+r ;1
1
r1
(@a(j)fi )I fj g j
1is I2Idi
:
et f generique dans Symd V nul sur 1 ,
1 : kn+1 ;!
;1 (d ; 1)
a 7;! (@a f1 : : : @a fs)
1 : : : @fs
Il sut de trouver un f pour lequel les @f
@zl
@zl 0ln engendrent ;1;(d ; 1).
Soient J1 : : : Js des sous-ensembles disjoints de fr1 + 1 : : : ng telsP
que Card Ji = di +rr11;1 ,
et soit fgj gj2Ji une base de ;1 (di ; 1) . Il sut de prendre fi = j2Ji xj gj .
19
Puisque est contenu dans r1+1 , l'application se factorise par (1 )r+1 , et il
sut de demontrer que les applications
d : ;1 (d ; 1) r+1 ;!
(g(0) : : : g(r)) 7;!
;
; (d ; 1)Id
X
gI(j)fj g j I2I
j
d
sont surjectives pour d = d1 : : : ds . Nous allons montrer qu'elles sont surjectives pour tout
d , pour un choix convenable de . Posons x = x(r(D)+1)+ , de sorte que les x , pour
0 r et 0 r(D) , forment des coordonnees sur 1 . Prenons pour le r(D)-plan
de r1+1 deni par les equations
x(j)= x(0)
0 j il est bien disjoint de $ , et parametre par les y = x(0)
0 , pour = 0 : : : r(D) .
Lemme 7.6.{ Pour tout entier d , l'application
d0 q : ;1 (d ; 1) ;! ; (d ; 1)Id;1
;
g 7;! gI j I2Id;1
est surjective.
Soit g =
Y
xn on a
g(0 x(0) + + r x(r))j =
Y
Y
Q
(r ) n (0 x(0)
+ + r x )j =
P
n
( y )n
P
de sorte que gI j est le mon^ome y
si n = i pour tout , et est nul
sinon. Il reste a montrer que si I = (i0 : : : ir ) est xe dans Id;1 , et si n0 : :P
: nr(D) sont
desPentiers positifs de somme d ; 1 , il existe des entiers positifs n avec n= n
et n = i pour tous et , ce pour quoi il sut de se donner deux partitions d'un
ensemble a n elements en parties (A )0r et (B )0r(D) de cardinaux respectifs i
et n , et de prendre pour n le cardinal de A \ B .
Pour montrer la surjectivite de d, il sut donc de montrer celle de l'application
; I r+1
E d;1
;!
((gI(0))I : : : (gI(r))I ) 7;!
EId
; (0)
gJ f0g + + gJ(r)fr g J2Id
ou E est l'espace vectoriel ;1 (d ; 1) cela se fait sans diculte pour n'importe quel espace
vectoriel E par recurrence sur r .
On a montre que toutes les applications di, donc aussi l'application , sont
surjectives. Si (r + 1)(n + 1) ; 1 n(D) , on peut appliquer le theoreme 7.1 pour conclure
que F est unirationnelle, donc aussi Fr (X) ceci termine la demonstration du theoreme.
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REFERENCES
AK] A. Altman, S. Kleiman : Foundations of the theory of Fano schemes, Comp. Math. 34
(1977), 3{47.
BVV] W. Barth, A. Van de Ven : Fano varieties of lines on hypersurfaces, Arch. Math. 31
(1978), 96-104.
BD] A. Beauville, R. Donagi : La variete des droites d'une hypersurface cubique de
dimension 4, C.R.A.S., t. 301, Serie I (1985), 703{706.
BS] S. Bloch, V. Srinivas : Remarks on correspondences and algebraic cycles, Am. J. of
Math. 105 (1983), 1235{1253.
BV] L. Bonavero, C. Voisin : Schemas de Fano et varietes de Moishezon, C.R.A.S., t. 323,
Serie I (1996), 1019{1024.
B1] C. Borcea : Deforming varieties of k-planes of projective complete intersections, Pacic
J. Math. 143 (1990), 25{36.
B2] C. Borcea : Homogeneous Vector Bundles and Families of Calabi-Yau Threefolds. II, in
Several Complex Variables and Complex Geometry (Santa Cruz 1989), Part 2, Proc.
Symp. Pure Math. 52 (1991), 83{91.
Bo] R. Bott : Homogeneous vector bundles, Ann. Math. 66 (1957), 203{248.
C1] F. Campana : Remarques sur le rev^etement universel des varietes kahleriennes compactes, Bull. S.M.F. 122 (1994), 255{284.
C2] F. Campana : Connexite rationnelle des varietes de Fano, Ann. Sci. E.N.S. 25 (1992),
539{545.
Ch] X. Chen : Unirationality of Fano Varieties, Duke Math. J. 90 (1997), 63{71.
CTSSD] J.-L. Colliot-Thelene, J.-J. Sansuc, P. Swinnerton-Dyer : Intersection of two
quadrics and Ch^atelet surfaces. I, J. reine angew. Math. 373 (1987), 37{107.
D] O. Debarre : Theoremes de connexite pour les produits d'espaces projectifs et les
grassmanniennes, Am. J. of Math. 118 (1996), 1347{1367.
D2] O. Debarre : Sur la cohomologie de N(r d) , in Modules des Fibres Stables sur les
Courbes Algebriques, editeurs J.-L. Verdier et J. Le Potier. Progress in Mathematics
54, Birkh#auser (1985), 105{128.
De] M. Demazure : A very simple proof of Bott's theorem, Invent. Math. 33 (1976), 271{272.
DR] U. Desale, S. Ramanan : Classication of Vector Bundles of Rank 2 on Hyperelliptic
Curves, Invent. Math. 38 (1976), 161{185.
ELV] H. Esnault, M. Levine, E. Viehweg : Chow groups of projective varieties of very small
degrees, Duke Math. J. 87 (1997), 29{58.
F] G. Fano : Sul sistema 12 di rette contenuto in una varieta cubica generale dello spazio
a quattro dimensioni, Atti Reale Accad. Sci. Torino 39 (1904), 778{792.
Fu] W. Fulton : Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 2,
Springer Verlag, Berlin, 1984.
21
FH] W. Fulton, J. Harris : Representation theory, Graduate Text in Mathematics 129,
Springer Verlag, Berlin, 1991.
H] D. Husemoller : Fibre bundles, 2nd ed., Graduate Text in Mathematics 20, Springer
Verlag, Berlin, 1966.
J] U. Jannsen : Motivic Sheaves and Filtrations on Chow Groups, in Motives (Seattle, 1991),
Part 1, Proc. Symp. Pure Math. 55 (1994), 245{302.
K] J. Kollar : Rational Curves on Algebraic Varieties, Ergebnisse der Mathematik und ihrer
Grenzgebiete 32, Springer Verlag, Berlin, 1996.
KMM1] J. Kollar, Y. Miyaoka, S. Mori : Rationally Connected Varieties, J. Alg. Geom. 1
(1992), 429{448.
KMM2] J. Kollar, Y. Miyaoka, S. Mori : Rational Connectedness and Boundedness of Fano
Manifolds, J. Di. Geom. 36 (1992), 765{769.
M] I.G. Macdonald : Symmetric functions and Hall polynomials, Clarendon Press, Oxford,
1979.
Ma1] L. Manivel : Theoremes d'annulation pour les bres associes a un bre ample, Ann.
Scuola Norm. Sup. Pisa 19 (1992), 515{565.
Ma2] L. Manivel : Applications de Gauss et plethysme, Ann. Inst. Fourier 47, 3 (1997),
715-773.
Mu] J. Murre : Discussion of a theorem of Morin, notes de seminaire hh Argomenti di
Geometrica Algebrica ii , Povo, Trento, 1979.
N] P.E. Newstead : Rationality of moduli spaces of stable bundles, Math. Ann. 215 (1975),
251{268.
P] K. Paranjape : Cohomological and cycle-theoretic connectivity, Ann. Math. 139 (1994),
641{660.
PS] K. Paranjape, V. Srinivas : Unirationality of the general Complete Intersection of
small multidegree, in Flips and Abundance for Algebraic Threefolds, ed. J. Kollar,
Asterisque 211 (1992), 241{248.
Pr] A. Predonzan : Intorno agli Sk giacenti sulla varieta intersezione completa di piu forme,
Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. 5 (1948), 238{242.
R] S. Ramanan : The moduli spaces of vector bundles over an algebraic curve, Math. Ann.
200 (1973), 69{84.
Ra] L. Ramero : Eective bounds for unirationality of complete intersections, Manuscr.
Math. 68 (1990), 435{445.
Sz] A. Szenes : Verication of Verlinde's formulas for SU(2) , Internat. Math. Res. Notices
7 (1991), 93{98.
S] A. Sommese : Complex Subspaces of Homogeneous Complex Manifolds II|Homotopy
Results, Nagoya J. Math. 86 (1982), 101{129.
vW] B.L. van der Waerden : Zur algebraischen Geometrie 2. Die geraden Linien auf den
Hyperachen des Pn , Math. Ann. 108 (1933), 253{259.
22